SKKN Dạy học sinh sử dụng máy tính cầm tay tìm giới hạn của dãy số và hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“DẠY HỌC SINH SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ”
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy môn Đại số và giải tích lớp 11, tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp cận khái niệm giới hạn của dãy số và hàm số. Điều này là lẽ tất yếu khi mà giới hạn là một khái niệm khó, trừu tượng và mang tính bước ngoặt trong nhận thức về thế giới số với các đại lượng vô cùng nhỏ và vô cùng lớn. Do đó làm thế nào để lột tả được khái niệm giới hạn để đa số các học sinh có thể hiểu được và vận dụng khái niệm trong giải toán là điều tôi luôn trăn trở. 
Hơn nữa, hiện nay theo chủ trương đổi mới toàn diện giáo dục của Đảng mà khâu then chốt là đổi mới phương pháp dạy học, theo hướng lấy hoạt động học của học sinh làm trung tâm, học sinh là chủ thể của quá trình nhận thức và hoạt động học, dưới sự điều hành, dẫn dắt, gợi mở của giáo viên. Vì vậy, giáo viên cần thiết kế bài dạy thế nào để thu hút được nhiều học sinh tham gia nhất và đạt hiệu quả cao nhất. Cùng với việc đổi mới phương pháp dạy học thì phương pháp kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh cũng là một khâu rất quan trọng. Từ năm học 2017 – 2018, môn toán được chuyển từ hình thức làm bài thi tự luận sang hình thức trả lời trắc nghiệm khách quan trong kì thi THPT Quốc gia. Do vậy, giáo viên cần điều chỉnh phương pháp dạy để phù hợp với tình hình mới. 
Khi dạy chương giới hạn, nếu chỉ dạy các khái niệm, các quy tắc tính giới hạn một cách thuần túy lí thuyết như truyền thống thì học sinh khó nhớ, khó thực hiện, mất nhiều thời gian và dễ nhàm chán. Tuy nhiên nếu sử dụng công cụ máy tính cầm tay thì học sinh có thể dễ dàng lĩnh hội được các khái niệm giới hạn cũng như tính toán giới hạn một cách chính xác và nhanh chóng, phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiện nay. Chính vì vậy, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm : “ Sử dụng máy tính trong việc tính giới hạn của dãy số và hàm số” 
1.2. Mục đích của nghiên cứu
Tôi viết SKKN này với mục đích chia sẻ với đồng nghiệp những kinh nghiệm của bản thân khi dạy chương giới hạn, giúp học sinh có thể hiểu được các khái niệm giới hạn một cách tường minh và tính giới hạn một cách đơn giản nhất.
1.3. Đối tượng của nghiên cứu
Đề tài này được áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh đặc biệt là học sinh trung bình, yếu.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra;
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm GD; 
- Phương pháp nghiên cứu các sản phẩm hoạt động;
- Phương pháp lấy ý kiến đồng nghiệp;
- Phương pháp khảo nghiệm, thử nghiệm.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong thời đại nhân loại đang bước vào cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ 4, con người cần phải không ngừng thích ứng với tình hình mới nhằm chiếm lĩnh các kiến thức KHKT tiên tiến, hiện đại. Vì vậy giáo dục cần tạo ra sản phẩm là những con người năng động, sáng tạo, dám làm, dám chịu trách nhiệm,Trong lộ trình cải cách toàn diện nền giáo dục nước nhà, việc đổi mới khâu tổ chức các kỳ thi, trong đó có việc chuyển từ hình thức làm bài tự luận sang hình thức làm bài trắc nghiệm là một khâu rất quan trọng vì nó giúp chúng ta đánh giá được học sinh trên diện rộng một cách khách quan, toàn diện, nhanh chóng và chính xác.
Trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017, lần đầu tiên đề thi môn toán được ra bằng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan.Theo cấu trúc thì một đề thi có 50 câu với thời gian 90 phút, trung bình là 1,8 phút/1 câu. Như vậy, học sinh ngoài việc phải nắm vững các kiến thức cơ bản, các phương pháp giải toán thì một điều rất quan trọng là kỹ năng làm bài, trong đó phải biết khai thác các tính năng của máy tính cầm tay, coi máy tính vừa là một công cụ hỗ trợ, vừa là một phương pháp giải toán hiệu quả.
Phương pháp tư duy tự luận có ưu điểm là kết quả được đảm bảo chính xác tuyệt đối, phù hợp với học sinh giỏi và nhược điểm là : phải huy động nhiều kiến thức, kỹ năng nhất là phải nắm vững các phương pháp giải đa dạng 
Phương pháp tư duy máy tính (tư duy thuật toán) có ưu điểm là : tốc độ xử lí nhanh, tính toán chính xác, cần ít phương pháp, dễ hiểu, dễ làm, phù hợp với đa số học sinh. Tuy nhiên nhược điểm là trong một số trường hợp kết quả của bài toán không đảm bảo tuyệt đối.
2.2 Khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ truyền thống 
a) Giới hạn của dãy số : Cho dãy số 
Ta nói dãy có giới hạn là L khi n tiến tới dương vô cực nghĩa là là một số dương nhỏ tùy ý nếu ta cho n đủ lớn. Kí hiệu : hay đơn giản là 
Ta nói dãy có giới hạn là dương vô cực khi n tiến tới dương vô cực nghĩa là là một số dương lớn tùy ý nếu ta cho n đủ lớn. Kí hiệu : hay đơn giản là 
Ta nói dãy có giới hạn là âm vô cực khi n tiến tới dương vô cực nghĩa là là một số âm nhỏ tùy ý nếu ta cho n đủ lớn. Kí hiệu : hay đơn giản là 
b) Giới hạn của hàm số : Cho hàm số xác định trên 
Ta nói : hàm có giới hạn là L khi x tiến tới nghĩa là nếu cho x các giá trị mà thì : hay nói cách khác là một số dương nhỏ tùy ý miễn là ta chọn đủ gần . Kí hiệu : 
Ta nói : hàm có giới hạn là khi x tiến tới nghĩa là nếu cho x các giá trị mà thì . Kí hiệu : 
Ta nói : hàm có giới hạn là khi x tiến tới nghĩa là nếu cho x các giá trị mà thì . Kí hiệu : 
Ta nói : hàm có giới hạn là L khi x tiến tới nghĩa là nếu cho x các giá trị mà thì . Kí hiệu : 
Ta nói : hàm có giới hạn là L khi x tiến tới nghĩa là nếu cho x các giá trị mà thì . Kí hiệu : 
Giới hạn phải tại a: ( hoặc nếu khi tiến về a nhưng x luôn lớn hơn a thì f(x) tiến về L (hoặc 
Giới hạn trái tại a: ( hoặc nếu khi tiến về a nhưng x luôn bé hơn a thì f(x) tiến về L (hoặc 
2.3 Phương pháp tính giới hạn truyền thống
1. Phương pháp rút (với k là bậc cao nhất)
2. Phương pháp phân tích thành nhân tử 
3. Phương pháp nhân liên hợp
4. Phương pháp sử dụng nguyên lí kẹp
5. Phương pháp tổng hợp : phối hợp các phương pháp trên.
2.4. Khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ máy tính
Chỉ số, biến chạy
Dạng giới hạn
Nhập giá trị biến
 ( )
X =10;100;
X= 
X = 
X = 
X =10;100; 
X = -10; - 100; 
Kết quả giới hạn
Kết quả gần đúng (máy tính)
Dự đoán kết quả chính xác
 (n nguyên dương, a > 0)
Hoặc các số hàng trăm, hàng ngàn,..
 hoặc dạng thập phân 0,000.. (có nhiều số 0 sau dấu phẩy)
0
 (n nguyên dương, a < 0)
Hoặc các số âm hàng trăm, hàng ngàn,..
Số thập phân có nhiều chữ số giống nhau chẳng hạn 
2,5
46/3
-5/3
2.5 Phương pháp máy tính
a. Giới hạn dãy 
Bước 1 : Nhập công thức thay chỉ số n bằng biến X ta có 
Sử dụng phím CALC để khảo sát các giá trị f(X). Đối với dãy số thì chỉ số n luôn tiến tới dương vô cực nên ta có thể cho X các giá trị 10, 100, 1000,
Bước 2. Dựa vào kết quả gần đúng để dự đoán kết quả chính xác 
b. Giới hạn hàm số
Dạng 1. Tính giới hạn hàm số khi x tiến tới a
Phương pháp giải bằng máy tính
- Ghi biểu thức cần tính giới hạn vào máy (biến X)
- Nhấn phím CALC (để tính giá trị biểu thức)
- Nhập giá trị của X (cho X = a + 0,001, X = 0,0001,)
- Dựa vào các giá trị của biểu thức để dự đoán kết quả giới hạn
Dạng 2. Tính giới hạn hàm số khi x tiến tới hoặc 
Phương pháp giải bằng máy tính
- Ghi biểu thức cần tính giới hạn vào máy (biến X)
- Nhấn phím CALC (để tính giá trị biểu thức)
- Nhập giá trị của X
 + Nếu x tiến tới thì ta nhập các giá trị 
	 + Nếu x tiến tới thì ta nhập 
- Dựa vào các giá trị của biểu thức để dự đoán kết quả giới hạn
Chú ý : Nên cho X tăng từ từ 10, 100, 1000 (hoặc giảm từ từ -10; -100; -1000) để dự đoán giá trị của hàm số. Trong một số trường hợp nếu cho X quá lớn (hoặc quá bé) ngay thì máy sẽ cho kết quả sai lệch ( thường về là kết quả sai = 0)
Dạng 3. Tính giới hạn hàm số khi x tiến tới hoặc 
- Ghi biểu thức cần tính giới hạn vào máy (biến X)
- Nhấn phím CALC (để tính giá trị biểu thức)
- Nhập giá trị của X
 + Nếu x tiến tới thì ta nhập các giá trị 
	 + Nếu x tiến tới thì ta nhập 
- Dựa vào các giá trị của biểu thức để dự đoán kết quả giới hạn
2.6. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong thực tiễn giảng dạy, tôi thấy nhiều em học sinh rất lúng túng và sợ những bài toán về giới hạn đặc biệt là học sinh trung bình, yếu, phần vì không hiểu được khái niệm, phần vì có nhiều kỹ thuật tính toán, biến đổi, quy tắc khá phức tạp, khó nhớ. Nhiều học sinh vẫn còn mang nặng tư duy tự luận, vì chưa có thói quen sử dụng công cụ hỗ trợ là máy tính cầm tay. Do đó khi làm bài thi các em còn mất khá nhiều thời gian hoặc không thể tìm ra được đáp án cho bài toán về giới hạn,các em chưa biết kết hợp một cách linh hoạt các phương pháp giải toán, dẫn đến tốc độ làm bài chưa cao. Qua việc nghiên cứu các kỹ thuật sử dụng máy tính, tôi thấy rằng có một số dạng toán nếu sử dụng tư duy máy tính thì thời gian làm bài có thể ít hơn nhiều lần so với làm bài theo tư duy tự luận.
NỘI DUNG CỤ THỂ
2.7. Các ví dụ minh họa
DẠNG 1 Giới hạn của dãy số
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau 
Cách giải bằng máy tính cầm tay
Tính A. 
Ghi biểu thức . 
Nhấn phím CALC. 
 Nhập 10 = (kq 1,239)
Tiếp tục nhấn = 100 = (kq 0,31) nhấn = 1000 = ( 0,095). Nếu ta nhấn = 1000000 = ( kq 3,00001x10-3). 
Vậy ta đoán có thể khẳng định kết quả là A = 0
Tính B. 
Ghi biểu thức . 
Nhấn phím CALC. 
Nhập 10 = (kq -260)
Nhập tiếp = 1000 = (kq -4985900)
Dự đoán kết quả chính xác 
Tính C. 
Ghi biểu thức 
Nhấn phím CALC
Nhập 100 = (kq -4,95)
Nhập = 1000 = (kq -4,995)
Nhập = 1000000 = (kq -4,99999)
Dự đoán kết quả chính xác C = -5
Tính D
Ghi biểu thức 
Nhấn phím CALC
Nhập 1000 = (kq 2999,5)
Nhập = 1000000 = (kq 2999999,5)
Dự đoán kết quả chính xác 
Tính E.
Ghi biểu thức 
Nhấn phím CALC
Nhập 1000 = (kq3,00099)
Nhập = 1000000 = (kq 0 )
Nhập = 10000 (kq 3,00001)
Dự đoán kết quả chính xác E = 3.
Chú ý : Trong nhiều bài toán nếu cho X giá trị quá lớn > 106 máy sẽ cho kết quả bằng 0 – không phải là kết quả đúng hoặc máy hiển thị SYNTAX ERROR (không tính được)
Tính F
Ghi biểu thức 
Nhấn phím CALC
Nhập 100 = (kq 21,8)
Nhập = 10000 (kq 1720,37)
Nhập = 1000000 (kq 171577,5)
Dự đoán kết quả chính xác 
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
Giải
Tính A
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 100 = (kq 6,189)
Nhập tiếp = 10000 = (kq 6,496)
Nhập tiếp = 1000000 = (kq 6,4999)
Dự đoán kêt quả chính xác A = 6,5
Tính B.
Ghi biểu thức 
Nhấn phím CALC
Nhập 10 = (kq 0,039)
Nhập = 100 = (kq 4/1701)
Nhập = 200 = (kq 4/1701)
Dự đoán kết quả chính xác B = 4/1701.
DẠNG 2. Giới hạn của hàm số
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
Cách giải bằng máy tính cầm tay
Tính A 
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 1,0001 = (kq -0,99969)
Dự đoán kết quả chính xác A = -1
Tính B.
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 3,0001 = (kq 0,0324)
Dự đoán kết quả gần đúng B = 0,0324
Tính C.
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 5,0001 = (kq 1,0001x1010)
Dự đoán kết quả chính xác A = 
Tính D. 
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 0,0001 = (kq 0,4998)
Dự đoán kết quả chính xác A = 
Tính E
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập -2,001 = (kq -30000,0003)
Dự đoán kết quả chính xác A = 
Tính F
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 4,00001 = (kq 83333,36111)
Dự đoán kết quả chính xác A = 
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau 
Cách giải bằng máy tính cầm tay
Tính A
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 1000 = (kq - 0,0395 )
Nhập 1000000 = (kq -1.24x10-3)
Dự đoán kết quả chính xác A = 0
Tính B
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 1000 = (kq -2,49 )
Nhập 10000 = (kq -2,499 )
Dự đoán kết quả chính xác B = -2,5
Tính C
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 1000 = (kq -968377,0652)
Dự đoán kết quả chính xác C = 
Tính D
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập - 1000 = (kq 2997,005)
Dự đoán kết quả chính xác D = 
Tính E
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập -1000 = (kq -0,499 )
Dự đoán kết quả chính xác E = -0,5 +2019
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
Cách giải bằng máy tính cầm tay
Tính A
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 2+0,0001 = (kq -10002)
Dự đoán kết quả chính xác A = 
Tính B
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 0 - 0,0001 = (kq -1 )
Dự đoán kết quả chính xác B = -1
Tính C
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 3 - 0,0001 = (kq -15000,25 )
Dự đoán kết quả chính xác B = 
Tính D
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 7 - 0,0001 = (kq 69,699)
Dự đoán kết quả chính xác C = 70
Tính E
Ghi biểu thức 
Nhấn CALC
Nhập 1 - 0,0001 = (kq 99999800 )
Dự đoán kết quả chính xác E = 
2.8. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
- Đề tài được áp dụng dạy cho học sinh lớp 11C7 là lớp có đa số học sinh có học lực trung bình 
- Đánh giá kết quả :
 Để thấy được hiệu quả của sáng kiến, tôi đã tiến hành cho học sinh làm một bài kiểm tra, với hai đối tượng học sinh : học sinh lớp 11 C6 không được áp dụng đề tài, học sinh lớp 11C7 được áp dụng đề tài.
ĐỀ KIỂM TRA
Thời gian : 30 phút
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. . 	B. .	C. . 	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. . 	B. .	C. . 	D. .
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. 	.	D. .
 có giá trị bằng
A. . 	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. 	.	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. . 
 có giá trị bằng
A. .	 B. .	C. .	D. .
 có giá trị là bao nhiêu?
A. ;	B. ;	C. ;	D. .
 có giá trị bằng
A. .	 B. .	C. .	D. .
ĐÁP ÁN
1B
2A
3C
4D
5C
6C
7B
8D
9A
10B
11C
12A
13A
14D
15A
16D
17B
18C
19B
20C
KẾT QUẢ THU ĐƯỢC
Lớp 11 C6 (không được áp dụng đề tài) : sĩ số lớp 42
SLHS
2
3
6
4
6
6
6
2
3
2
1
1
Điểm
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7 – 7.5
8 - 10
Lớp 11 C7 (có đầu vào tương đương 11 C6 và được áp dụng đề tài trong giảng dạy.
Sĩ số lớp 11C7 : 39.
SLHS
0
0
1
1
3
2
2
2
3
6
9
10
Điểm
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7 – 7.5
8 - 10
SO SÁNH KẾT QUẢ CỦA HAI LỚP
2 – dưới 3,5
3,5 – dưới 5,0
5,0 – dưới 6,5
6,5 – dưới 8,0
8,0 trở lên
11C6
26,2%
38,1%
26,2%
7,1%
2,4%
11C7
2,6%
15,4%
18%
38,5%
25,6%
Qua bảng so sánh kết quả của hai lớp, ta thấy được rõ ràng rằng kết quả của lớp 11 C7 cao hơn hẳn so với lớp 11C6, đặc biệt là mức điểm khá, giỏi. Điều này cho thấy SKKN đã phát huy tốt hiệu quả dạy học, nâng cao chất lượng, khích lệ động viên học sinh vươn lên đặc biệt là tạo sự tự tin cho đối tượng học sinh trung bình, yếu. 
2.9. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Khi triển khai đề tài áp dụng vào thực tiễn, kết quả thu được là rất tích cực. 
- Học sinh hiểu được bản chất của vấn đề hơn
- Học sinh thích giải toán hơn (đặc biệt là học sinh trung bình lâu nay sợ giải những bài toán khó, phức tạp)
- Học sinh có thể giải quyết một số dạng toán với tốc độ nhanh hơn trước đây nhiều lần.
- Bản thân cải thiện được chất lượng các học sinh trực tiếp giảng dạy.
- Giúp đồng nghiệp, nhà trường nâng cao chất lượng dạy học, giáo dục toàn diện.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Qua quá trình áp dụng SKKN vào giảng dạy, có thể kết luận rằng, SKKN đã mang lại kết quả rất đạng khích lệ, cho thấy kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt. Nhiều học sinh ở các lớp không được áp dụng SKKN khi học xong chương giới hạn vẫn không hiểu và không biết tính những giới hạn đơn giản. Nhưng khi áp dụng đề tài này thì các em có thể tính được nhiều giới hạn phức tạp mà trước đây chỉ có học sinh giỏi mới giải được. Do thời gian chưa nhiều nên đề tài tạm thời dừng lại tại đây. Đề tài này còn tiếp tục được nghiên cứu phát triển để giải quyết các bài toán về giới hạn chứa tham số, hàm số liên tục, đạo hàm,...
3.2 Kiến nghị
Nhân rộng các SKKN có tính thực tiễn cao áp dụng vào dạy học. Các nhà trường cần tổ chức cho tổ chuyên môn nghiên cứu các SKKN có chất lượng cao, khả thi để không ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy học, nhất là ở những bài có khái niệm khó, mới, nặng về tư duy.
Qua việc thực hiện đề tài, tôi mong muốn được chia sẻ kinh nghiệm với các đồng nghiệp để học hỏi thêm nhiều ý tưởng sáng tạo hơn nữa. Tôi đề xuất với Sở GD&ĐT lập trang Web sáng kiến kinh nghiệm riêng cho tỉnh để giáo viên có thể giao lưu học hỏi được nhiều hơn nhằm hướng tới mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục của tỉnh Thanh Hóa.
Cuối cùng mặc dù đã có nhiều cố gắng song do khả năng và thời gian còn hạn chế, khó tránh khỏi thiếu sót của đề tài. Vì vậy tôi mong nhận được ý kiến trao đổi, góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn !
	Nông Cống, Ngày 10 tháng 5 năm 2019
	 TÁC GIẢ
 Hàn Thị Lê
 PHỤ LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuyên đề giới hạn - Võ Văn Chinh – Internet.
2. Phần lớn các bài toán là do tác giả sáng tác 
CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐẠT GIẢI
STT
Tên đề tài
Giải
Năm học
Hội đồng cấp giấy chứng nhận
2
Ứng dụng góc và khoảng cách giải bài toán hình tọa độ phẳng
C
2014 – 2015 
Sở GD&ĐT Thanh Hóa
MỤC LỤC
TRANG
I. MỞ ĐẦU
1
1.1 Lý do chọn đề tài
1
1.2 Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1
1.4 Phương pháp nghiên cứu
1
II. NỘI DUNG
3
2.1 Cơ sở lý luận
3
2.2 Kkhái niệm giới hạn theo ngôn ngữ truyền thống
3
2.3 Nội dung cụ thể
5
2.4. Khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ máy tính
5
2.5 Phương pháp máy tính
6
2.6. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
7
2.7. Các ví dụ minh họa
8 – 15
2.8. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
16
2.9. Các giải pháp thực hiện, bài kiểm tra thực nghiệm
17 -19
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
20
3.2 Kiến nghị
20
Tài liệu tham khảo
21
Các sáng kiến kinh nghiệm đã đạt giải
21