SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng có sử dụng tính chất của đường tròn

Mục lục
2 : Nộ dung sáng kiến kinh nghiệm	4
2.1 Cơ sở lí luận của SKKN	4
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN	4
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề	4
 1. Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về đường tròn...........4
 2. Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi............6
 3. Một số bài toán cơ bản......................................................... ......................7
 4. Một số bài tập tự luyện ..........................................................................17 
 2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp 
 và Nhà trường ...........................................................................................18
 3 : Kết luận và kiến nghị	19
 3.1 Kết luận	19
3.2 Kiến nghị	19
1. MỞ ĐẦU
 Trong đề thi THPT QG(ở những năm trước), phần kiến thức về "Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng" là câu ở mức (điểm 8); Trong các kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh thì đây là câu ở mức (điểm 16-18). Hầu hết các học sinh ở các trường THPT, nhất là học sinh học ở các trường miền núi thường gặp khó khăn khi làm câu này. Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn cho học sinh đạt được điểm 8 trở lên trong kỳ thi THPT QG và đạt giải cao trong kỳ thi HSG cấp tỉnh thì phải hướng dẫn các em học tốt các nội dung trong câu này. Một phần kiến thức rất quan trọng trong phần này là các kiến thức về: Viết phương trình đường thẳng, viết phương trình đường tròn, xác định tọa độ điểm có sử dụng các tính chất của đường tròn. Với mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt trong các kỳ thi THPT QG và đạt giải cao trong kỳ thi chon HSG cấp tỉnh tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm: “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG CÓ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRÒN”. 
 Do khả năng còn hạn chế; kinh nghiệm chưa nhiều và hạn chế về số trang nên trong SKKN của tôi có thể có những phần chưa hoàn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
1.1. Lí do chọn đề tài
	Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là phần kiến thức mà các em được học từ năm lớp 10 với các nội dung khá cơ bản và đơn giản. Nhưng trong các kỳ thi THPT QG và thi HSG cấp tỉnh thì đây là câu ở mức “vận dụng thấp và vận dụng cao”. 
Đối với học sinh miền núi nơi Tôi trực tiếp giảng dạy, Tôi thấy ít học sinh làm chọn vẹn được câu này trong các kỳ thi.
Hiện tại chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề: Chia phần kiến thức này thành các dạng: - Có sử dụng tính chất của đường tròn 
 - Có sử dụng tính chất của hình vuông
 - Có sử dụng tính chất của hình chữ nhật
 - Có sử dụng tính chất của hình 
Vì vậy việc tôi lựa chọn cách này để viết SKKN là cấp thiết, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
	Tôi viết SKKN này với mục đích: Phổ biến đến các thành viên trong tổ chuyên môn nơi tôi công tác, giúp các em học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi THPT QG và trong kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh. Nếu các đồng nghiệp ở trường khác thấy có ích thì tôi sẵn sàng chia sẻ.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
	Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về lớp các bài toán viết phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, xác định tọa độ điểm có sử dụng đến tính chất của đường tròn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
	- Tôi nêu lên phần lí thuyết và một số tính chất hay của đường tròn.
	- Nêu lên bài toán cơ bản và cách suy nghĩ để giải bài toán này.
	- Một số bài tập vận dụng và nâng cao.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lí luận của SKKN
- Một học sinh không thể học “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” tốt khi không nắm vững các tính chất hay về đường tròn, về các đa giác
- Một học sinh không thể học “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” tốt khi không nắm vững các bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình chính tắc của e líp và xác định tọa độ điểm.
- Một học sinh không thể học “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” tốt nếu không có kỹ năng phân tích đề, không có kỹ năng vẽ hình và khả năng tự giải quyết vấn để.
 ..
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Thực trạng chung: Hầu hết các học sinh có cảm giác sợ hình và ngại học hình, nhất là các tính chất hình học phẳng mà các em được học từ cấp hai.
- Thực trạng đối với giáo viên: Do đây là phần kiến thức khó dạy, học sinh lại không hứng thú học, vì vậy một số giáo viên không mặn mà khi dạy phần kiến thức này.
- Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi gặp phần kiến thức này và luôn có cảm giác “sợ học hình”. Vì vậy hầu hết các em đều học chưa tốt phần kiến thức này.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về đường tròn.
 Ví dụ như:
 Phương trình đường tròn.
Vị trí tương đối của một điểm đối với đường tròn và các tính chất đặc biệt. 
	- Trong phần này phải nhấn mạnh cho học sinh nắm vững một số tính chất sau: 
Nếu điểm nằm trong đường tròn thì mọi đường thẳng qua điểm đều cắt tại hai điểm phân biệt . Nhưng để đoạn ngắn nhất thì đường thẳng đó phải vuông góc với tại .
(Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh tính chất này để ghi nhớ vận dụng)
Nếu điểm nằm ngoài đường tròn thì giáo viên phải cho học sinh nắm vững các kiến thức sau:
+/ Qua kẻ được hai tiếp tuyến với , gọi là hai tiếp điểm thì ta thấy: 
♥ Tứ giác nội tiếp
♥ là đường phân giác của 
♥ Khi thì tứ giác là hình vuông
+/ Đường thẳng qua đồng thời cắt tại hai điểm phân biệt thì ta thấy: 
	♥ 
 ♥ Tam giác có diện tích lớn nhất khi nào?
 ♥ Nếu qua đồng thời cắt tại hai điểm phân biệt và thì đường thẳng cách một đoạn bằng bao nhiêu?
Vị trí tương đối của một đường thẳng đối với đường tròn và các tính chất đặc biệt.
Vị trí tương đối của hai đường tròn.
2/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.
H? Yêu cầu bài toán là gì?
H? Để thực hiện yêu cầu đó ta có những hướng suy nghĩ nào?
H? Giả thiết bài toán cho gì?
H? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài toán này và ta sẽ làm bài này theo cách nào? vì sao?
Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi?
H? Ta gặp khó khăn ở đâu?
H? Có phần giả thiết nào chưa sử dụng không?
H? Ta đã gặp bài toán nào tương tự bài này chưa?
...
3/ Một số bài toán cơ bản
Bài toán 1:
 Trong mặt phẳng tọa độ , cho phương trình , nằm bên trong . Viết phương trình đường thẳng qua đồng thời cắt tại hai điểm sao cho:
 a/ 
 b/ nhỏ nhất
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn
a/ Từ , chỉ ra được khoảng cách từ đến . Chuyển bài toán đã cho về bài toán quen thuộc “viết phương trình đường thẳng qua đồng thời cách một đoạn cho trước”.
b/ Đường thẳng cần lập sẽ qua và vuông góc với tại .
Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.
 Trong mặt phẳng tọa độ , cho và điểm . Viết phương trình đường thẳng qua đồng thời cắt tại hai điểm sao cho:
 a/ 
 b/ nhỏ nhất
Đáp số: 
 a/ Có 2 đường thẳng cần lập là 
 b/ 
Bài toán 2:
 Trong mặt phẳng tọa độ , cho phương trình , nằm ngoài . Viết phương trình đường thẳng qua đồng thời cắt tại hai điểm sao cho:
 a/ 
 b/ Diện tích tam giác lớn nhất
 c/ Diện tích tam giác bằng .
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn:
	a/ Từ , ta tìm được khoảng cách từ đến . Chuyển bài toán đã cho về bài toán quen thuộc “viết phương trình đường thẳng qua đồng thời cách một đoạn cho trước”.
	b/ . Suy ra diện tích tam giác lớn nhất khi . Từ đó ta tính được độ dài đoạn , quay lại “bài toán 1”.
	c/ Từ ta tính được , sau đó tính được độ dài đoạn , quay lại “bài toán 1”.
“Ở câu c phải lưu ý thường có 2 số đo góc ”
Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.
 Trong mặt phẳng tọa độ , cho và điểm . Viết phương trình đường thẳng qua đồng thời cắt tại hai điểm sao cho:
 a/ 
 b/ Diện tích tam giác lớn nhất
 c/ Diện tích tam giác bằng 
Hướng dẫn:	
 a/ 
 b/ Từ diện tích tam giác lớn nhất ta tính được , quay lại câu a.
 c/ Diện tích tam giác bằng , ta chỉ ra được hoặc . Từ đó ta tính được hoặc . 
Bài toán 3:
 Trong mặt phẳng tọa độ , cho phương trình , phương trình đường thẳng . Xác định tọa độ điểm thuộc sao cho qua kẻ được hai tiếp tuyến đến đồng thời:
 a/ Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
 b/ Góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng .
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn:
	Trong cả hai ý, học sinh lập luận để tính được khoảng cách từ đến tâm , khi đó bài toán đã cho trở về bài toán quen thuộc.
Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.
 Trong mặt phẳng tọa độ , cho . Xác định tọa độ điểm thuộc sao cho qua kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) đồng thời:
 a/ Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
 b/ Hai tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc bằng 
 Kết quả mong muốn:
 a/ Lập luận chỉ ra là đường chéo của hình vuông( là tâm của )
 b/ Chia thành 2 trường hợp, Lập luận chỉ ra được độ dài .
Bài toán 4:
Cho tam giác , gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác . 
 a/ CMR:.
 b/ Gọi là trung điểm của là giao điểm thứ 2 của với , là điểm đối xứng với qua . CMR:
+/ và đối xứng nhau qua .
+/ và đx nhau qua .
 c/ Gọi lần lượt là trung điểm của là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . CMR:
 +/ là trực tâm của tam giác .
 +/ là trung điểm của .()
 d/ Gọi lần lượt là chân đường cao hạ từ xuống cạnh đối diện. CMR:
 +/ vuông góc với .
 +/ vuông góc với .
 +/ vuông góc với .
 e/ CMR 6 điểm cùng năm trên một đường tròn(Đường tròn Ole đi qua 9 điểm). 
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh chứng minh và ghi nhớ các tính chất hay trong bài toán 4.
Yêu cầu học sinh làm ví dụ cụ thể.
Ví dụ cụ thể 1: “Đề thi HSG lớp 12 cấp trường năm học 2015-2016”
Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là . Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là . Viết phương trình các đường thẳng AB, AC; Biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.
* Yêu cầu học sinh nêu lên cách nghĩ, cách làm của mình:
Câu trả lời mong muốn:
Học sinh 1: Vận dụng tính chất b, bài toán 4 một cách linh hoạt:
- Xác định được tọa độ điểm 
- Viết phương trình đường thẳng 
- Xác định được tọa độ điểm 
- Xác định được tọa độ điểm 
- Xác định được tọa độ điểm 
- Xác định được tọa độ điểm 
- Viết phương trình đường tròn 
- Xác định được tọa độ điểm 
Đáp số: 
Học sinh 2.
- Xác định được tọa độ điểm 
 - Viết phương trình đường thẳng 
 - Xác định được tọa độ điểm 
- Viết phương trình đường trung trực của đoạn .
- Viết phương trình đường trung trực của đoạn 
- Xác định được tọa độ điểm 
- Viết phương trình đường tròn 
- Xác định được tọa độ điểm 
Đáp số: 
Bình luận:
 Nếu hướng dẫn học sinh làm theo “học sinh 1” thì ta phải chứng minh nhiều tính chất, bài làm hơi dài.
 Nếu hướng dẫn học sinh làm theo “học sinh 2” thì bài làm sẽ ngắn gọn, dễ hiểu hơn.
Ví dụ cụ thể 2. “Tự sáng tác”
	Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác với thuộc đường thẳng . là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Đường tròn đi qua hai điểm và cắt hai đường thẳng và lần lượt tại . Viết phương trình đường thẳng .
* Yêu cầu học sinh nêu lên cách nghĩ, cách làm của mình:
Câu trả lời mong muốn:
 Học sinh biết vận dụng sáng tạo “tính chất d” trong “bài toán 4”.
- Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Ta chứng minh được .
 - Dễ dàng chứng minh được vuông góc , suy ra vuông góc .
 - Viết được pt cạnh : : x + y +2 = 0; : x - 3y + 10 = 0
 - Viết được phương trình đường tròn : 
 - Tìm được tọa độ điểm 
Bài toán 5:
Tam giác nội tiếp trong đường tròn tâm là điểm chính giữa của cung (không chứa ); Hai đường thẳng cắt nhau tại . Đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . CMR . 
 */ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh chứng minh và ghi nhớ kết quả của bài toán.
Kết quả mong đợi: suy ra điều phải chứng minh
Yêu cầu học sinh làm bài tập vận dụng(Thi chọn đội tuyển trường THPT Cẩm Thủy 1, năm học 2015-2016)
	Tam giác nội tiếp trong đường tròn tâm là điểm chính giữa của cung (không chứa ); Hai đường thẳng cắt nhau tại . Đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường tròn ngoại tiếp tam giác có phương trình và .
* Yêu cầu học sinh nêu lên cách nghĩ, cách làm của mình:
Câu trả lời mong muốn:
- Chứng minh được (đây là bước mấu chốt của bài toán này)
- Suy ra , xác định được tọa độ điểm , viết được phương trình , tìm được tọa độ điểm , tìm được điểm , tìm được tọa độ điểm .
ĐS: .
Bài toán 6:
Cho tam giác nội tiếp trong đường tròn ; là tâm đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác ; là giao điểm thứ hai của đường thẳng với . Chứng minh rằng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . 
 */ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh chứng minh và ghi nhớ kết quả của bài toán.
Kết quả mong đợi: 
- Ta dễ chứng minh được 
- Chứng minh được 
- Suy ra điều phải chứng minh
Yêu cầu học sinh làm bài tập vận dụng.(HSG cấp trường khối 11, năm học 2016-2017)
	Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho đường tròn có phương trình và điểm . Gọi và là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn (khác ). Viết phương trình đường thẳng , biết là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .	
* Yêu cầu học sinh nêu lên cách nghĩ, cách làm của mình:
Câu trả lời mong muốn:
	- Gọi là giao điểm thứ hai của đường thẳng với . Chứng minh được là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
	- Viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác là .
	- Đáp số 	
4/ Một số bài tập tự luyện
Bài 1: “Đề HSG tỉnh Thanh hóa năm học 2012-2013”
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có trọng tâm . Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh và chân đường cao hạ từ đến cạnh của tam giác là Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Đáp số: 
Bài 2: “Bộ đề thi Tự luận Toán học: Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy - Nguyễn Văn Thổ”
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên , và là giao điểm của hai đường thẳng , . Biết đường thẳng có phương trình , và hoành độ điểm nhỏ hơn 2. Tìm tọa độ các điểm .
ĐS: 
Bài 3: “Bộ đề thi Tự luận Toán học: Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy - Nguyễn Văn Thổ”
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn Gọi I là tâm đường tròn Đường thẳng đi qua cắt tại hai điểm A và B. Viết phương trình đường thẳng biết tam giác có diện tích bằng 8 và cạnh AB là cạnh lớn nhất.
ĐS: Có hai đường thẳng thỏa mãn là và 
Bài 4:“Kiểm tra đội tuyển HSG lớp 12, năm học 2014-2015”
Trong mặt phẳng tọa độ cho ; . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc , tiếp xúc với và cắt tại hai điểm sao cho .
ĐS: 
Bài 5:“Tuyển tập các đề thi thử ĐH-CĐ trên báo THTT năm 2012”
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho đường tròn và đường thẳng . Tam giác có trực tâm trùng với tâm của , các đỉnh và thuộc , đỉnh và trung điểm cạnh thuộc . Tìm tọa độ điểm . 
ĐS: Có 2 điểm cần tìm là: và .
2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. 
 Với cách làm trên tôi đã chia sẻ trong tổ chuyên môn và áp dụng vào giảng dạy cho các học sinh khá giỏi trong trường. Tôi thấy, với cách phân chia các dạng toán như vậy và cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu hỏi của mình trong quá trình làm một bài toán nói chung và nhất là trong bài hình học sẽ làm cho học sinh có cảm giác không sợ khi gặp bài toán hình học tổng hợp. Với cách làm đó Tôi thấy học sinh học hình học tốt hơn nhiều, điểm thi THPT QG của các em có nhiều điểm cao hơn; trong kỳ thi HSG cấp tỉnh Nhà trường đạt nhiều giải cao hơn ở bộ môn Toán. Cụ thể như sau:
Qua hai năm kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau: 
* Về thi HSG cấp tỉnh môn Toán và MTCT môn toán. 
Năm học
HSG tỉnh
MTCT cấp tỉnh
2015-2016
Nhất miền núi
(1 Nhì, 3 ba, 1 KK)
2 giải KK
2016-2017
Nhất miền núi
(1 Nhất, 3 ba)
Nhất miền núi
(1 Nhì, 2 ba, 1 KK)
* Về kết quả thi THPT QG đối với môn toán.
Năm học
Thi THPT QG
(Điểm 7,8)
Thi THPT QG
(Điểm >9)
2014-2015
30 hs
4 hs
2015-2016
50 hs
12 hs
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
 Như vậy trong thực tiễn dạy học Tôi thấy, việc phân các dạng toán hợp lí và hướng dẫn cho học sinh cách suy nghĩ: Tự đặt câu hỏi - tự giải quyết vấn đề, Giáo viên chỉ làm cố vấn trong quá trình học sinh thực hiện. Tôi thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt trong tư duy nói chung và nhất là trong tư duy hình học.
	Qua quá trình áp dụng SKKN này vào giảng dạy ở Nhà trường Tôi thấy học sinh của mình giải quyết khá tốt câu “ Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở kỳ thi HSG giỏi cấp tỉnh và thi THPT QG, vì thế đã nhiều em đạt điểm cao hơn trong kỳ thi THPT QG, trong kỳ thi HSG cấp tỉnh đạt nhiều giải cao hơn, đặc biệt năm học 2016-2017 Nhà trường đã có em đạt giải Nhất môn toán với số điểm cao nhất tỉnh.
Trong chuyên đề này, không thể tránh khỏi mhững thiếu sót và hạn chế. Rất mong được sự góp ý của quý bạn đọc, các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề này được hoàn thiện hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!
 3.2. Kiến nghị. Không	
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hình học 10 nâng cao 
2. Bài tập hình học 10 nâng cao 
3. SGV Hình học 10 nâng cao 
4. Hình học 10 
5. Bài tập hình học 10 
6. SGV Hình học 10 
7. Bộ đề thi Tự luận Toán học: Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy - Nguyễn Văn Thổ 
8. Báo Toán học tuổi trẻ.
9. Đề thi ĐH, THPT QG các năm.
10. Đề thi HSG cấp tỉnh các năm.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2017
CAM KẾT KHÔNG COPY
Trịnh Ngọc Bình