SKKN Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
 Người thực hiện: Nguyễn Hữu Nam
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán học
THANH HÓA, NĂM 2019
MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
 Vấn đề thể tích các khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ, khối chóp, gọi chung là khối đa diện) học sinh đều được học công thức tính thể tích. Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá, trừu tượng hoá.
 Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay. Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” thể tích mới tính được.
 Tài liệu “CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY” nhằm giúp cho học sinh lớp 12 rèn kỹ năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Tài liệu này cũng phân loại các dạng toán theo các mức độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao, giúp học sinh học tập thuận tiện nhất. Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi THPT Quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề ứng dụng của tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay theo các cấp độ kiến thức khác nhau.
 Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các dạng toán của ứng dụng tích phân trong hình học theo các cấp độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải các bài toán của ứng dụng tích phân trong hình học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Ứng dụng của tích phân trong hình học. Nội dung nằm ở chương 3 sách giáo khoa Giải tích 12.
 Lập ma trận các dạng toán tính thể tích của khối tròn xoay theo các cấp độ kiến thức bao gồm: thông hiểu, vận dụng, vận dung cao.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Phương pháp: 	
 - Nghiên cứu lý luận chung.	
 - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
 - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
 Cách thực hiện:
 - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn. 
 - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học. 
 - Thời gian nghiên cứu: Năm học 2018 – 2019.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
 Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
 Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán tính thể tích của khối tròn xoay.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán Giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành. Đây cũng là 
một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi THPT Quốc Gia.
Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
 - Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay). Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây. Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này.
 - Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính thể tích vật tròn xoay một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ thể tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải. 
2.3. Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay.
2.3.1. Lý thuyết cơ bản.
a) Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng và vuông góc với trục lần lượt tại 
. Một mặt phẳng bất kì vuông góc với
 tại điểm cắt C theo một thiết diện có diện tích . Giả sử là hàm liên tục trên
. Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn
bởi hai mp và được tính theo công thức: .
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền được giới hạn bởi các đường quanh trục . Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ bằng là một hình tròn có bán kính nên diện tích thiết diện bằng . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:
c) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi các đường (Với ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay quanh trục được tính bởi công thức: 
.
2.3.2. Lập ma trận chuyên đề.
CÁC CHỦ ĐỀ
MIÊU TẢ
CÁC MỨC ĐỘ ĐÁNH GIÁ
TỔNG
Thông hiểu
Vận dụng 
Vận dụng cao
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , quanh . ( không đổi dấu trên )
Câu 1
Câu 2, 3
3
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , quanh . (thiếu các cận , không đổi dấu trên )
Câu 4
Câu 5
2
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ,, , quanh (, không âm trên )
Câu 6
Câu 7
2
Tính thể tích của một vật thể dựa vào diện tích thiết diện mặt cắt
Câu 8
Câu 9
2
Bài toán thực tế liên quan tính thể tích khối tròn xoay
Câu 10, 11
Câu 12, 13, 14
Câu 15
6
Bài toán cực trị liên quan tính thể tích khối tròn xoay.
Câu 16
Câu 17
2
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , quanh . (, âm trên )
Câu 18
1
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) có trục đối xứng là Ox quay quanh trục Ox.
Câu 19
1
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , quanh . (dương, âm trên )
Câu 20
1
TỔNG
6
11
3
20
2.3.3. Các dạng toán theo ma trận.
Câu 1.	Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ,, , quanh trục hoành có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A 
Ta có: .
Câu 2.	Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành bằng 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là 
.
Câu 3.	Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, hai đường thẳng , . Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình quay xung quanh trục bằng , (trong đó , là các số hữu tỷ). Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục là 
. 
Câu 4.	Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là
.
Suy ra thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành là:
(đvtt).
Câu 5.	Gọi  là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số  (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên).
Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay  quanh trục hoành bằng.
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
.
Phương trình hoành độ giao điểm của và là: 
.
Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
.
 .
Câu 6.	Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , quanh trục .
 A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Vẽ đồ thị các hàm số , và trục trên cùng hệ trục tọa độ
Phương trình hoành độ giao điểm: .
 .
Câu 7.	Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và , , quanh trục gần nhất với kết quả nào sau đây
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng tạo bởi các đường , trục hoành , , quanh trục là .
Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng tạo bởi các đường , trục hoành
, , quanh trục là .
Vậy .
Câu 8.	Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là và . 
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Diện tích của thiết diện là .
Thể tích phần vật thể đã cho là .
Câu 9.	Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng và , biết thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ làm một tam giác đều có cạnh là 
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Diện tích tam giác đều .
Vậy thể tích .
Câu 10.	Một thùng rượu có bán kính các đáy là , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là , chiều cao thùng rượu là . Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu ?
A. lít. B. lít. C. lít. D. lít.
Lời giải 
Chọn D
Đơn vị tính là . Gọi qua.. .
Câu 11.	Một hình cầu có bán kính người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Trong hệ trục tọa độ , xét đường tròn có phương trình . Khi đó nửa phần trên trục hoành của quay quanh trục hoành tạo ra mặt cầu tâm bán kính bằng . Mặt khác ta tạo hình phẳng giới hạn bởi nửa phần trên trục hoành của , trục và các đường thẳng ; sau đó quay quanh trục ta được khối tròn xoay chính là chiếc lu trong đề bài.
Ta có nửa phần trên trục hoành của là . Thể tích của chiếc lu được tính bởi công thức:
 .
Câu 12.	Một viên gạch hoa hình vuông cạnhđược thiết kế như hình bên dưới. Diện tích hoa văn trang trí (phần tô đậm) bằng
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A
Diện tích hoa văn trang trí bằng bốn lần diện tích một cánh hoa được tính theo công thức sau:
 .
Câu 13.	Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm , sao cho là một đường kính của đường tròn . Gọi là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay quanh trục ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ tọa độ với , , .
Cạnh .
Phương trình đường tròn : .
Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục , , .
Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục , , .
Phần hình phẳng giới hạn bởi các đường trên có tính đối xứng qua trục , khi đó thể tích cần tính chính bằng thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục trừ đi thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục 
Ta có .
Lại có .
Do đó .
Câu 14.	Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay với đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là và . Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay khi quay đường cong quay quanh trục . Thể tích của bình cắm hoa đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 và 4 nên bán kính của đáy bình và miệng bình lần lượt là 1 và 2.
Ta có và .
Vậy thể tích của bình cắm hoa là .
Câu 15.	Một đồ chơi được thiết kế gồm hai mặt cầu , có cùng bán kính thỏa mãn tính chất: tâm của thuộc và ngược lại (xem hình vẽ). Tính thể tích phần chung của hai khối cầu tạo bởi và .
A..	B..	C..	D..
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục và mặt cầu tâm là hình tròn. Diện tích thiết diện là (Trong đó là khoảng cách từ đến mặt phẳng ).
Thể tích cần tính là: . 
Câu 16.	Gọi là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số và , khi quay quanh trục . Giá trị của để đạt giá trị lớn nhất là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình : 
.
.
Xét hàm số . 
Bảng biến thiên
Hàm số có 1 cực trị duy nhất tại và là điểm cực đại. Do đó giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại .
Câu 17.	Cho Parabol và hai điểm . Gọi là hình phẳng giới hạn bởi và trục , là hình chữ nhật ( là 2 điểm thuộc ). Gọi là thể tích hình tròn xoay có được khi xoay quanh và là thể tích hình tròn xoay có được khi xoay quanh . Tính giá trị lớn nhất của tỉ số . 
A. . 	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có . Vì nên . 
Do đó khi xoay quanh ta được hình trụ tròn có bán kính và chiều cao . Suy ra 
Xét hàm số trên ta thấy:
 nên .
Suy ra đạt giá trị lớn nhất là khi . 
Câu 18.	Gọi là phần hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị 
 . Tính thể tích vật thể sinh ra khi quay quanh trục 
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi 
 quanh : 
Gọi là thể tich sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi quanh :
. Suy ra .
Câu 19.	Cho hình giới hạn bởi các đường và ( phần gạch sọc trong hình). Khối tròn xoay khi quay xung quanh trục có thể tích bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm: .
Thể tích của khối tròn xoay: 
 .
Câu 20.	Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và (phần tô đậm trong hình). Khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Hình 1 biểu diễn thiết diện của mặt phẳng chứa trục hoành và khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục hoành.
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường, 
,, như phần tô đậm ở hình 2.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục hoành cũng là khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục hoành.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và là nghiệm của phương trình: .
Chia thành 3 phần như hình 3. Khi đó thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục hoành là:
. Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tìm là: .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tính thể tích khối tròn xoay. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số Học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
học
Lớp
Tổng
 số
Điểm 8 
trở lên
Điểm từ 5 đến 8
Điểm dưới 5
Số
lượng
Tỷ
lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
2018
-2019
12
B4
42
12
29%
20
48 %
10
23 %
12
B7
37
7
19 %
20
54 %
10
27 %
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại trường THPT Hoằng Hóa 3.
Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 12 nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy phần toán ứng dụng của tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị.
 Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
XÁC NHẬN CỦA THỦ 
 TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
 Nguyễn Hữu Nam
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Tuyển tập các chuyển đề & kỹ thuật tính Tích phân- Trần Phương.
[3]. Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục & Đào tạo.
[4]. Các đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 và 2019 của các trường THPT trên toàn quốc.