Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể

 MỤC LỤC
 Trang
1. Lời giới thiệu 2
2.Tên sáng kiến. 3
3.Tác giả sáng kiến... 3 
4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến... 3 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến.. 3
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu.. 3
7. Mô tả bản chất của sáng kiến .. 3
 NỘI DUNG5
Phần 1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.....5
 Dạng 1.............................................................................................................. 5
 Dạng 2.............................................................................................. 6
Phần 2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể........................................................ 10
 Dạng 1.............................................................................................................. 10
 Dạng 2.............................................................................................................. 11
 Loại 1..................................................................................................... 11
 Loại 2..................................................................................................... 13
 Loại 3..................................................................................................... 15
 Loại 4............................................................................................. 17
8. Những thông tin cần được bảo mật.. 21
9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến. 21 
10. Đánh giá lợi ích thu được.. 21
11. Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử. 21
 1 sơ sài. Trên các diễn đàn thì tài liệu nhiều vô kể nhưng cũng gây hoang mang cho học 
sinh vì không biết nên tham khảo tài liệu nào hay bỏ tài liệu nào, chưa kể các tài liệu viết 
rất lan man, nhiều bài toán thậm chí còn đánh đố học sinh. Nhận thức được vấn đề đó nên 
tôi viết đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ ” nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu 
tham khảo cô đọng nhất, lượng bài tập từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng. Từ đó giúp học 
sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ năng tính diện tích, thể tích. Học sinh thấy được những 
ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực 
và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân, gặp bài toán thực tế các em sẽ không còn cảm 
giác không làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài toán đó rất nhanh gọn.
2. Tên sáng kiến
 “Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể”
3. Tác giả sáng kiến
 - Họ và tên: Tô Ngọc Dũng
 - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Huyện Vĩnh Tường – 
Tỉnh Vĩnh Phúc.
 - Số điện thoại: 0976378504
 - Email: dung.thpt.nvx@gmail.com
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
 - Họ và tên: Tô Ngọc Dũng
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
 - Nghiên cứu giảng dạy môn Toán lớp 12 trong trường THPT.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Từ tháng 09 năm 2018 đến tháng 02 năm 2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Để giúp các em học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân. Ứng dụng tích phân 
trong các bài toán thực tế về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể.
 3 NỘI DUNG
Phần 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Dạng 1. Nếu hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn a;b thì diện tích S của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f ( x ), trục hoành và hai đường thẳng x  a,x  b là:
 b
 S   f  x dx .
 a
Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
 y  x3  1 , trục hoành Ox, trục tung và đường thẳng x  2 .
Giải:
Diện tích S của hình phẳng cần tìm là
 2 1 2
 3 3 11 7
 S x x3  1dx  x3  1dx    1 dx    
 0 0 1 4 4 2
Chú ý: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , , xk thuộc
(a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2), , (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi.
 b
Khi đó để tính tích phân S  f (x) dx ta có thể tính như sau:
 a
 b x1 x2 b
 S   f (x) dx   f (x)dx   f (x)dx  ...   f (x)dx .
 a a x1 xk
Bài 2. Cho hàm số y  x3  3x2  2 có đồ thị (C ). Tính diện tích của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường thẳng x  2 .
 y
 4
 fx = x3-3x2+2
 A 2 x
 -2 -1 O 1 B 3
 (C)
 Hình 3
 5 ￿x = 0
 ￿
 Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 ￿ x = x ￿ x2 ￿ x 3 + x 2 ￿ 2x = 0 ￿￿ x = 1
 ￿
 ￿ x = ￿2
 Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là
 1 0 1
 3 2 3 2 x 3 x2 2x dx
 S = x + x ￿ 2x dx = x + x ￿ 2x dx + + ￿ 
 ￿￿2 ￿￿2 ￿0
 0 1 8 5 37
 = (x 3 + x2 ￿ 2x) dx ￿ (x 3 + x2 ￿ 2x) dx = + =.
 ￿ ￿ 3 12 12
 ￿2 0
 2
 Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 1 + x , đường thẳng
 y = 0 và đường thẳng x = 1 .
 Giải:
 ￿ x = 0
 2 
 Phương trình hoành độ giao điểm: x 1+ x = 0 ￿￿ ￿ x = 0 .
 ￿ 1 x 2
 ￿ + = 0
 1 1 2￿1
 2 2
 1+ x 2 1+ x dx =.
 Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm: S = x dx = x 3
 ￿0 ￿0 
 x
 Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ): y  3x 2  4 và đường thẳng
 4
 y = x (đồ thị như hình vẽ).
 y
 4
 3
 2
 1
 O x
 -3 -2 -1 1 2 3 4
 -1
 d -2
 (C)
 -3
 Giảix : Phương trình hoành1 độ giao điểm củax hai  0 đồ thị đã cho là :
 3x 2  4  x  x( 3x 2  4 1)  4  x  0 x  0
   
  2  
 4 4 3x  4  16 x 2  4 x  2
 7 Hình 7
 Ta có mô hình cổng đồng trong mặt phẳng tọa độ như hình vẽ trên. Diện tích cổng đồng
 gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích phần giới hạn bởi parabol  P và trục hoành.
 Từ tọa độ 3 điểm thuộc parabol  P ta tìm được phương trình của parabol  P là:
 2,5 2 1  5 15 55
 2 1 
 2 2 
 ￿
 P : y   x   S   2 ￿ ￿ m
     x   dx  5.1, 5     
 25 2 2,5  25 2  3 2 6
 55 
 Vậy số tiền ông Hùng cần trả để làm cổng đồng là: .7000000  64170000 (đồng)
 6
 Bài 10. Người ta trồng hoa vào phần đất được gạch sọc được giới hạn bởi cạnh AB, CD,
 đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin
 (như hình vẽ). Biết AB = 2￿ (m) và AD = 2(m). Tính diện tích phần còn lại.
 A. 4￿ ￿ 1. B. 4(￿ ￿ 1).
 4￿ ￿ 2 4￿ ￿ 3
 C. ￿ D. ￿
 2 2
 Bài 11. (THPT Chuyên Đại học Vinh) Trong Công viên Toán học có những mảnh đất 
 mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi 
 một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó y
 có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành 
 từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ
 Oxy là 16y2 = x2(25 ￿ x2) như hình vẽ bên. Tính diện x
 tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị 
 trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.
 125 125 250 125 
 A. S = (m2 ). B. S = (m 2). C. S = (m 2). D. S = (m 2).
 6 4 3 3
 Giải:
 Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x = ￿5, x= 0, x = 5 .
 Diện tích của mảnh đất Bernoulli bằng 4 lần diện tích của mảnh đất nhỏ trong góc phần 
 9