Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm

phÇn i
phÇn më ®Çu
I.TÝnh cÊp thiÕt cña ®Ò tµi:
Trong thực tế giảng dạy lớp 12 thì bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong là một bài toán rất cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học hàng năm. 
Vì thế là một giáo viên dạy Toán THPT và nhiều năm dạy ôn luyện học sinh lớp 12 tôi chỉ có một lao động sáng tạo nhỏ là hệ thống lại các bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đường đồ thị hàm số tại một điểm, đưa ra các phương pháp giải đồng thời chỉ ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải vì các em chưa có nhiều bài tập để rèn luyện kĩ năng phân tích và trình bày bài toán. Các em học sinh chưa có được phương pháp khái quát các bài toán thường gặp về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Chính vì vậy, tôi đã tìm hiểu và viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm ” nhằm giúp các em học sinh nắm chắc được kiến thức về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, để các em có sự chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi đại học, cao đẳng.
II. T×nh h×nh nghiªn cøu: 
Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, quan sát và tổng kết kinh nghiệm sè kÕt qu¶ nghiªn cøu ban ®Çu ®Ó thÊy râ ®­îc kÕt qu¶ luyÖn tËp cña häc sinh.
III. Môc ®Ých vµ nhiÖm vô cña s¸ng kiÕn:
Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận và áp dụng vào thực tiễn giảng dạy. Để giúp học sinh vận dụng lí thuyết vào bài tập. Đưa các bài toán khó về các bài toán thường gặp.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI:
Häc sinh líp 12A2 - Tr­êng THPT sè 1 B¶o Yªn.
Thêi gian nghiªn cøu: Trong n¨m häc 2013 - 2014.
PHẦN II
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Tiếp tuyến của đường cong phẳng
 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y = f(x) 
và M(x; f (x)) kí hiệu M’(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C)
 y
 f(x) M,
 M
 f (x) T
 O x x x
Đường thẳng MM’ là một cát tuyến của ( C).
Khi xthì M’(x; f(x))
di chuyển trên ( C) tới M(x; f (x)) và ngược lại. Giả sử MM’ có vị trí giới hạn, kí hiệu là MT thì MT được gọi là tiếp tuyến của ( C) tại M. Điểm M được gọi là tiếp điểm
Định lý: 
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến tại tại M(x;y) có dạng: y=f’(x).( x -x) + y
Với: f’(x) là hệ số góc của tiếp tuyến và y= f (x) 
Chú ý:
Dạng bài: Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại một điểm .
Phương pháp giải:
- Tính .
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến .
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm là:
PHẦN III
BÀI TẬP ÁP DỤNG
 A. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài tập 1. Cho hàm số có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)Î(C).
Giải
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:
Bài tập 2. Cho hàm số: . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng .
Giải
Gọi xo là hoành độ tiếp điểm Þ ta có .
+Với Þ phương trình tiếp tuyến tại là:
+Với Þ phương trình tiếp tuyến tại là:
 Nhận xét 1:
 Bài tập 1 khi đã cho hoành độ và tung độ vì vậy viết phương trình tiếp tuyến là tương đối đơn giản, học sinh chỉ cần tính đạo hàm và tìm hệ số góc của tiếp tuyến, Đến bài tập 2 thì độ khó đã tăng nên đầu bài chỉ cho tung độ chúng ta cần hướng dẫn học sinh tìm hoành độ rồi quay về bài tập 1,ngoài ra bài tập 2 còn có thể cho biết hoành độ chúng ta phải tìm tung rồi mới viết phương trình tiếp tuyến cụ thể như sau(( Cho hàm số: . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng -2 )).
Các bài tập tương tự
Bài tập 3:
1. Cho hàm số có đồ thị (C) . Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB
 ÐỀ CAO ĐẲNG NĂM 2013
Giải
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của Û x = 2
Phương trình tiếp tuyến : y – 5 = y’(2)(x – 2) Û y = -3x + 11
Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A và B. 
	A (0; 11); B ( ; 0); SDOAB = (đvdt)
2. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f’’(x) = 0
3. Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2 có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm phương trình f’’(x0) =-6
4. Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 là nghiệm phương trình f’(x0) = 7
Bài tập 4. Cho hàm số có đồ thị (C). 
Cho , tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số (C) tại hai điểm A, B . Chứng minh rằng M là trung điểm AB .
Giải
 , , 
tiếp tuyến tại M có dạng (d) : 
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 . 
suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 
Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , 
suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ : 
Nhận xét : (đpcm) 
Nhận xét 2:
Đây là bài tập phải tính toán tương đối phức tạp, đầu tiên ta phải giải tích được điểm M thuộc đồ thị (C) nghĩa là .
 Phương trình tiếp tuyến được viết theo điểm .
 Xác định các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị, sau đó tìm giao điểm của tiếp tuyến với các tiệm cận bằng cách giải hệ phương trình tìm ra tọa độ các điểm A, B.
Bài tập 5. Cho hàm số có đồ thị (C) 
Tìm điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng (ĐH 2007 khối D)
Giải
 , 
Tiếp tuyến tại M có dạng : 
Gọi tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 
Gọi tọa độ điểm B là nghiệm của hệ : 
Tam giác OAB vuông tại O ; OA = ; OB =   
Diện tích tam giác OAB : 
 S = OA.OB = 
Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : 
Nhận xét 3:
 	Đây là bài tập phải tính toán tương đối phức tạp và cách giải tương tự như bài tập 4, nhưng sau khi tìm được tọa độ các điểm A, B chúng ta phải nhận xét được tam giác OAB có đặc điểm gì để có thể tính được diện tích một cách nhanh nhất. Cụ thể trong bài này thì tam giác OAB là tam giác vuông tại O vì vậy diện tích tam giác OAB là S = OA.OB 
Bài tập 6. Cho hàm số có đồ thị (C), và điểm (C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A . Tìm hoành độ điểm B theo 
Giải
 Điểm (C) , 
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng : 
phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :
Vậy điểm B có hoành độ 
Nhận xét 4:
Đây là bài tập thuộc dạng quen thuộc vì (C) ta vẫn làm theo các bước thông thường 
- Tính .
- Tính hệ số góc của tiếp tuyến .
- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm là: 
Tìm giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị ta sẽ được hoành độ điểm B, chú ý là hoành độ của điểm A phải khác hoành độ của điểm B.
Bài tập 7. Cho hàm số có đồ thị (C) 
Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. Chưng minh rằng diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M.
Giải
Gọi 
Tiếp tuyến tại M có phương trình: 
Giao điểm với tiệm cận đứng là 
Giao điểm với tiệm cận ngang là 
Giao hai tiệm cận I(-1; 2)
Suy ra đpcm
Bài tập 8. Cho hàm số có đồ thị (C) 
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M thuộc đồ thị, biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng .
Giải
*Tiếp tuyến của (C) tại điểm có phương trình 
 Hay (*) 
*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 
giải được nghiệm và 
*Các tiếp tuyến cần tìm : và 
Bài tập 9. Cho hàm số có đồ thị (C) 
Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất
Giải
Gọi Thì phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị là hay 
 Khoảng cách từ tới tiếp tuyến là:
. 
Theo bất đẳng thức Côsi ta có: , 
Vậy . 
Khoảng cách d lớn nhất là bằng khi 
.
Có hai điểm M thỏa mãn là M : hoÆc 
Nhận xét 5:
Bài tập 9 là mở rộng của bài tập 8,chỉ khác nhau ở chỗ là bài tập 9 sau khi tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng chúng ta phải lập luận sao cho khoảng cách từ tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
Cách 1: chúng ta sử dụng bất đẳng thức Côsi như trên.
Cách 2: chúng ta sử dụng đạo hàm bằng cách đặt ẩn phụ như sau
Đặt t = (x0 + 1)2, với 
Ta xét hàm số trên 
Tính đạo hàm rồi kẻ bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên chúng ta sẽ được kết quả cần tìm.
B. CÁC BÀI TẬP MỞ RỘNG:
 Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
Bài tập 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc bằng 2.
Giải
 = 2 => 
Có 2 toạ độ tiếp điểm là 
Hai phương trình tiếp tuyến: và 
Bài tập 11. Viết phương trình tiếp tuyến với : biết tiếp tuyến song song với .
Giải
 Ta có 
Có hai phương trình tiếp tuyến 
Bài tập 12. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Giải
Đường thẳng có hệ số góc . Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là 
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình :
Thay lần lượt vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta được các tiếp tuyến là: và 
Nhận xét 6:	
Các bài tập 10, 11, 12 ta nhận thấy có chung một cách làm và đối với bài toán Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k. 
Cách làm
-Tìm hoành độ tiếp điểm vì f’(x) là hệ số góc của tiếp tuyến và y= f (x)
- Tìm tung độ của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến khi đã cho hệ số góc 
- Chú ý: mối quan hệ giữa hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2
 Hai đường thẳng song song với nhau khi a1 = a2 và b1 khác b2 
 Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi a1. a2 = -1
Bài toán 2. Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
Bài tập 13. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm 
Giải
Đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc là k có dạng
Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm
Thay k lần lượt vào (*), ta được các phương trình tiếp tuyến là 
 và 
Bài tập 14. Cho hµm sè . ViÕt pttt cña (C) ®i qua 
Gi¶i
 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua cã d¹ng: 
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:
 cã nghiÖm.
 Suy ra 
+) Víi x = 0 . Pttt lµ: 
+) Víi . Pttt lµ: 
+) Víi x= - . Pttt lµ: y = .
KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyÕn kÎ tõ ®Õn ®Õn thÞ (C).
Nhận xét 7:
Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua điểm A 
Cách giải
Đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc là k có dạng 
Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm
 Giải hệ phương trình trên ta tìm được k, thay k vào 
Bài toán 3. Áp dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm vào chứng minh bất đẳng thức .
Bài tập 14. Cho và a + b + c = 1. 
Chứng minh rằng: 
Giải
Bất đẳng thức có dạng thuần nhất, đối xứng 3 biến
Bất đẳng thức đã cho có dạng 
Xét hàm số 
	với ta có 
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ là 
 Ta chứng minh rằng :
Thật vậy : xét luôn đúng.
Do đó với a,b,c thuộc và a+b+c = 1 ta có :
Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Bài tập 15. Cho a, b, c > 0. 
Chứng minh rằng: 
Giải
Bất đẳng thức có dạng thuần nhất ,đối xứng 3 biến
Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng 
 Ta biến đổi như sau :
Do vai trò a, b, c bình đẳng như nhau nên có thể đặt a + b + c = 3 
và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1 
BĐT đã cho trở thành
Bất đẳng thức đã có dạng 
	Xét hàm số với x Î (0; 3)
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: 
Xét 
Từ đó ta có: 
Vậy đpcm
Nhận xét 8:
Bài tập 14, 15 là dạng bài tập về chứng minh một bất đẳng thức dựa vào phương trình tiếp tuyến ta tổng quát thành các bước làm như sau:
Bước 1: Chọn điểm rơi của bất đẳng thức nếu đầu bài cho như bài 14, hoặc do vai trò các biến là bình đẳng như nhau nên có thể đặt a + b + c = 3 
và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1 như bài 15
Bước 2: Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng 
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm rơi, chứng minh được bất đẳng thức. 
Bài tập tương tự
1. Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa điều kiện 
CMR: 
2. Cho a, b, c là 3 số thực thỏa điều kiện : a + b + c = 1
 Chứng minh rằng : 
3. Cho x,y,z > 0 và . 
Chứng minh rằng : 
4.Chứng minh rằng : 
PHẦN IV
THỜI GIAN VÀ HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
Kết luận
Học xong chương trình lớp 11 học sinh cơ bản đã viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc. Đến lớp 12 học sinh mới được học viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm. Đa số học sinh còn chưa phân biệt được hay nói cách khác là còn nhầm lẫn giữa các dạng phương trình tiếp tuyến cơ bản với nhau. Học sinh thường hay nhầm lẫn mặc định khi điểm M (x0; y0) thuộc đồ thị thì đó là tiếp tuyến tại một điểm. Sau khi đã hướng dẫn các em phân chia các loại của phương trình tiếp tuyến thì đa số các em không còn sự nhầm lẫn và đã phân biệt và trình bày bài làm khá tốt kể cả các bài phương trình tiếp tuyến trong các đề thi đại học và các đề thi thử đại học. 
Thời gian áp dụng: Học kì I năm học 2013- 2014
Phạm vi: Lớp 12A2
Kết quả trước khi áp dụng:
Líp
SÜ sè
Giái
Kh¸
Trung b×nh
YÕu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A2
38
1
2,6%
4
10,5%
8
25%
25
61,9%
Kết quả sau khi áp dụng:
Líp
SÜ sè
Giái
Kh¸
Trung b×nh
YÕu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A2
38
10
26%
14
36,8%
12
32%
2
5,2%
PHẦN V
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 	1. Sách giáo khoa giải tích cơ bản 12.
 2. Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12.
 3. Bài tập giải tích cơ bản 12.
 4. Bài tập giải tích nâng cao 12.
 5. Các đề thi ĐH - CĐ và các đề dự bị môn toán của BGD& ĐT.
PHẦN VI
PHỤ LỤC
TT
Nội dung
Trang
1
Trang bìa
1
2
Phần I. Mở đầu
2
3
Phần II. Tóm tắt lí thuyết
3
4
Phần III. Bài tập
4- 15
5
Phần IV. Thời gian áp dụng và hiệu quả
16
6
Phần V.Tài liệu tham khảo
17
7
Phần VI. Phụ lục
17
KẾT LUẬN CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH