Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp phân loại bài toán tìm toạ độ đỉnh, viết phương trình các cạnh của tam giác

Sở giáo dục VÀ đào tạo Lào Cai
TRUNG TÂM GIÁO DỤC THƯỜNG XUYấN SA PA
sáng kiến kinh nghiệm
"Phương pháp Phân loại bài toán tìm toạ độ đỉnh,
viết phương trình các cạnh của tam giác"
Họ và tên: Lưu Võn Hương
Năm học: 2013- 2014
Mục lục
Trang
1. Mục lục: ..................................................................................................
02
2. Lý do thực hiện: ......................................................................................
03
3. Phạm vi thực hiện: ..................................................................................
03
4. Thời gian thực hiện: ................................................................................
03
5. Quá trình thực hiện: ................................................................................
04
6. Nội dung:	 ...............................................................................................
05
Phần I - Nhắc lại kiến thức cơ bản: .............................................................
05
Phần II - Phương pháp chung để giải toán: .................................................
06
Phần III - Các dạng bài tập thường gặp	: .....................................................
06
7. Kết quả thực hiện: ..................................................................................
19
8. Kiến nghị sau khi thực hiện: ...................................................................
19
9. Tài liệu tham khảo: .................................................................................
20
A- Lý do chọn đề tài
Bài toán tìm tọa độ đỉnh, viết phương trình các cạnh trong tam giác khi biết trước 1 số yếu tố của tam giác là dạng toán hay và không quá khó trong chương trình lớp 10; để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các điểm đặc biệt của tam giác như: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Mức độ tư duy lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc. 
Đây cũng là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phương pháp toạ độ trong mặt phẳng trong các đề thi vào đại học, cao đẳng. 
Là giáo viên giảng dạy ở TTGDTX và đang trực tiếp giảng dạy khối 10 tôi thấy nhìn chung đối tượng học sinh ở mức trung bình mức độ tư duy vừa phải, các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này bởi các em học sinh rất hay nhầm lẫn các yếu tố trong tam giác nên việc giải các bài tập về tìm tọa độ đỉnh và viết phương trình các cạnh trong tam giác gặp nhiều khó khăn. Để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặp dạng toán này tôi đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn đề. 
Qua đó giúp các em học tốt hơn về bộ môn Hình học lớp 10, tạo cho các em tự tin hơn khi làm các bài tập Hình học và tạo tâm lý không "bí" khi giải bài tập hình.
B- Phạm vi thực hiện đề tài
Đề tài này được thực hiện trong phạm vi lớp 10 TTGDTX Sa Pa.
C- Thời gian thực hiện đề tài
Là những buổi phụ đạo sau khi học xong chương phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, các tiết bài tập hình học, các buổi ôn thi đại học năm học 2013-2014.
D- Quá trình thực hiện đề tài
Chuẩn bị trước khi thực hiện đề tài:
	- Hệ thống bài tập và phương giải các dạng toán trên.
 	- Yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:
Bài 1: Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết đỉnh ; đường trung tuyến kẻ từ A có phương trình: và đường cao kẻ từ B có phương trình là: 
Bài 2: Lập phương trình các cạnh của nếu cho và 2 đường cao xuất phát từ A và B có phương trình lần lượt là và 
Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết ; đường trung tuyến hạ từ A có phương trình là: ; đường cao hạ từ đỉnh A có phương trình là: 
Số liệu khảo sỏt cụ thể trước khi thực hiện đề tài:
Kết quả của lớp 10A (sĩ số 30 hs) 
Làm đúng
Làm sai
Số h/s không có lời giải
Bài 1
20
5
5
Bài 2
10
13
7
Bài 3
8
12
10
Kết quả của lớp 10B (sĩ số 32) 
Làm đúng
Làm sai
Số h/s không có lời giải
Bài 1
17
11
4
Bài 2
18
11
3
Bài 3
16
10
6
Kết quả của lớp 10C (sĩ số 34) 
Làm đúng
Làm sai
Số h/s không có lời giải
Bài 1
17
13
4
Bài 2
18
13
3
Bài 3
16
10
8
Như vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả là không cao; sau khi nêu lên lời giải và phân tích từng bước làm bài thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng thú với dạng bài tập này.
E- Nội dung thực hiện đề tài
Phần I: Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
1. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d
Vectơ và có giá song song hoặc trùng với d thì là vectơ chỉ phương của d.
Nếu là vectơ chỉ phương của d thì k.cũng là vectơ chỉ phương của d ()
2. Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d
Vectơ và có giá vuông góc với d thì là vectơ pháp tuyến của d
Nếu là vectơ pháp tuyến của d thì kcũng là vectơ pháp tuyến của d ()
3. Phương trình của đường thẳng 
Nếu đường thẳng d đi qua điểm và có véc tơ chỉ phương là với thì: 
+ Phương trình tham số của đường thẳng d là: (là tham số)
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d là : ()
Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng: 
Phương trình đường thẳng d qua , có vectơ pháp tuyến với là: 
Phương trình đường thẳng d qua có hệ số góc k: 
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm , có dạng:
Phương trình đoạn thẳng chắn trên các trục tọa độ: 
(đi qua 2 điểm )
Phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng có dạng 
Phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng có dạng 
4. Các kiến thức khác
Cho ; ; 
- Véc tơ 
- Toạ độ trung điểm I của AB là 
- Độ dài vectơ là 
- Nếu điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số thì 
- A, B, C thẳng hàng 
- Nếu A, B, C là 3 đỉnh 1 tam giác, gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có: 
Quy ước: 	Pháp tuyến của đường thẳng ký hiệu là 
	 	Chỉ phương của đường thẳng ký hiệu là 
Phần II: Nêu phương pháp chung để giải toán:
Trong bài toán Viết phương đường thẳng d thì phương pháp chung nhất là đi xác định véc tơ chỉ phương hoặc vetơ pháp tuyến của đường thẳng và toạ độ một điểm mà đường thẳng đi qua sau đó áp dụng các dạng phương trình đường thẳng nêu trên để viết phương trình đường thẳng đó.
Phần III: Các dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A, biết hai trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại BM, CN. Tìm toạ độ B; C, viết phương trình các cạnh của tam giác.
Phương pháp:
Cách 1:
B1: Tìm toạ độ trọng tâm của ABC
B2: Tham số hoá toạ độ của theo phương trình BM, CN.
B3: Tìm toạ độ của B, C: áp dụng công thức: 
 ; 
B4: Viết phương trình các cạnh.
Cách 2: 
B1: Tìm toạ độ trọng tâm của ABC
B2: Xác định điểm H đối xứng với A qua G theo công thức trung điểm. 
Khi đó tứ giác BGCH là hình bình hành.
B3: Lập phương trình đường thẳng HC qua H và song song với trung tuyến BM. 
C là giao điểm của HC với CN.
B4: Lập phương trình đường thẳng HB qua H và song song với trung tuyến CN. 
B là giao điểm của HB với BM.
B5: Viết phương trình các cạnh.
Ví dụ: 
1. Cho tam giác ABC có và hai đường trung tuyến BL: và CK: . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Bài giải:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phương trình:
Gọi G' là điểm đối xứng với A qua G. Ta có: 
Tứ giác BGCG' là hình bình hành nên G'C // BL nên phương trình G'C có dạng:
. .
Phương trình G'C là: 
Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ: 
Lại có G'B // CK nên phương trình G'B có dạng:
 mà .
Phương trình G'B là: 
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ: 
Khi đó: Phương trình cạnh AB là: 
Phương trình cạnh AC là: 
Phương trình cạnh BC là: 
2. Cho tam giác ABC có và hai đường trung tuyến BM: và CN: . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC
Lời giải
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phương trình:
Vì B thuộc đường thẳng BM nên giả sử thì: 
Tương tự 
Mặt khác vì là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
Vậy 
BBTT: Cho tam giác ABC có và hai đường trung tuyến BM: và CN: . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC
Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A và 2 đường cao BH, CK. Tìm tọa độ các đỉnh B; C, lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Phương pháp: 
B1: Lập phương trình cạnh AB đi qua A và vuông góc với CK
 	Lập phương trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH
B2: Tìm toạ độ điểm B, C.
B3: Lập phương trình cạnh BC
Ví dụ
1. Lập phương trình các cạnh của nếu cho và 2 đường cao xuất phát từ B và C có phương trình lần lượt là và 
Bài giải: 
Vì nên cạnh AC có phương trình , AC qua A nên 
. Phương trình cạnh AC là: 
Vì nên cạnh AB có phương trình , AB qua A nên 
. Phương trình cạnh AB là: 
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 
Khi đó nên vectơ pháp tuyến của BC là . Phương trình cạnh BC có dạng: 
2. Tam giác ABC có và phương trình hai đường cao lần lượt là BH: và CK: . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC
Bài giải: 
Cạnh AB đi qua và vuông góc với CK: nên AB có phương trình: 
Tương tự cạnh AC đi qua và vuông góc với BH: nên AC có phương trình: 
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: 
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 
BBTT: 
1. Lập phương trình các cạnh của nếu cho và 2 đường cao xuất phát từ B và C có phương trình lần lượt là và 
2. Cho có phương trình cạnh AB: và 2 đường cao xuất phát từ A và B có phương trình lần lượt là và 
Dạng 3: Tam giác ABC biết 1 đỉnh A, phương trình đường cao BH và trung tuyến xuất CK. Xác định tọa độ đỉnh B, C; lập phương trình các cạnh.
Phương pháp:
B1: Lập phương trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH. 
Từ đó tìm được tọa độ điểm C là giao điểm của AC và trung tuyến CK.
B2: Tham số hoá toạ độ (với K là trung điểm của AB) theo phương trình BH, CK. Tìm toạ độ B nhờ: 
B3: Lập phương trình cạnh AB; BC
Ví dụ: 
1. Xác định tọa độ của các đỉnh A; C của biết và đường cao ; trung tuyến 
Bài giải:
Theo bài ra BC đi qua và vuông góc với nên phương trình cạnh BC là: 
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ:
 vậy 
Giả sử ta có: 
Vì M thuộc trung tuyến CM nên 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
Vậy ; 
2. Xác định tọa độ của các đỉnh B; C của biết và đường cao ; trung tuyến 
Bài giải:
Theo bài ra AC đi qua và vuông góc với nên phương trình cạnh AC là: 
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ:
Giả sử ta có: nên vậy 
Tương tự toạ độ của . Vì K là trung điểm của AB nên ta có:
BTTT: Lập phương trình các cạnh của biết và phương trình đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh lần lượt là và 
Dạng 4: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và biết trọng tâm G. Xác định tọa độ các đỉnh, lập phương trình cạnh còn lại.
Phương pháp: 
B1 (Chung cho 2 cách): tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC
Suy ra toạ độ điểm M là trung điểm của BC nhờ : hoặc 
Cách 1: 
B2: Tham số hoá toạ độ của theo phương trình AB, AC
B3: Tìm toạ độ của B; C nhờ: 
B4: lập phương trình của BC.
Cách 2: 
B2: Viết phương trình đường thẳng MN qua M và song song với AC với N là trung điểm của AB. Tìm tọa độ điểm N.
B3: Từ suy ra tọa độ điểm B. Phương trình cạnh BC qua B và nhận làm vectơ chỉ phương. Từ đó tìm tọa độ C.
Ví dụ: 
1. Tam giác ABC biết phương trình AB: ; AC: và trọng tâm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, viết phương trình BC.
Bài giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
Gọi là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: 
Gọi N là trung điểm của AB. Phương trình đường thẳng MN // AC có dạng:
. Điểm .
Phương trình MN là: 
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ 
Ta có 
Đường thẳng BC qua B và nhận làm vectơ chỉ phương có dạng:
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 
2. Tam giác ABC biết phương trình AB: ; AC: và trọng tâm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
Gọi là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm nên: 
Vì B thuộc AB nên toạ độ với 
nên . Tương tự 
Mà là trung điểm của BC nên ta có:
nên 
BBTT: Tam giác ABC biết phương trình AB: ; AC: và trọng tâm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Dạng 5: Tam giác ABc biết hai cạnh AB, AC và trực tâm H. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, viết phương trình cạnh BC.
Phương pháp: 
B1: tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC
B2: Tham số hoá toạ độ của B(xB ; yB) theo AB
B3: Tìm toạ độ của B:
Vì H là trực tâm nên là vectơ pháp tuyến của AC. Vậy 
B4: Phương trình cạnh BC qua B và có là véc tơ pháp tuyến.
Ví dụ:
Tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: và cạnh AC: và là trực tâm của tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC.
Bài giải: 
Toạ độ của A là nghiệm của hệ phương trình: 
Vì 
Mặt khác vì H là trực tâm nên Suy ra là vectơ pháp tuyến của AC. Suy ra: 
Tương tự, là vectơ pháp tuyến của BC. Vậy phương trình cạnh BC là:
Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ: 
BTTT: Tam giác ABC biết phương trình cạnh AB: và cạnh AC: và là trực tâm của tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC.
Dạng 6: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Xác định tọa độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC.
Phương pháp: 
B1: Tìm toạ độ điểm A là giao của AB và AC
Gọi M là trung điểm cạnh AB. Vì I là trực tâm nên 
Tìm toạ độ của B nhờ M là trung điểm của AB
B2: Gọi N là trung điểm của AC. Vì I là trực tâm nên 
Tìm toạ độ của C nhờ N là trung điểm của AC
B3: Lập phương trình cạnh BC
Ví dụ: 
Tam giác ABC biết phương trình cạnh AB:; cạnh AC: và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Xác định tọa độ các đỉnh.
Bài giải: 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
Gọi là trung điểm của AB. Ta có 
Vì nên 
Tương tự trung điểm của AC 
Ta có: 
Mặt khác vì M là trung điểm của AB nên suy ra 
Tương tự vì N là trung điểm của AC nên suy ra 
Dạng 7: Tam giác ABC biết đỉnh B, đường cao AH, đường phân giác ngoài của góc C. Xác định tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của tam giác.
Phương pháp:
B1: Viết phương trình cạnh BC qua B và vuông góc với AH
Suy ra C là giao điểm của BC với phân giác ngoài góc C.
B2: Gọi k là hệ số góc của cạnh AC, là hệ số góc của phân giác ngoài góc C, là hệ số góc của BC. áp dụng 
B3: Viết phương trình cạnh AC qua C có hệ số góc k.
	Suy ra A là giao điểm của AH và AC
B5: Viết phương trình cạnh AB qua A và B
Ví dụ: Cho tam giác ABC biết ,phương trình đường cao AH: , phương trình đường phân giác ngoài của góc C: . 
Tìm tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của tam giác.
Bài giải:
Phương trình cạnh BC qua B và vuông góc với AH là: 
	Suy ra C là giao điểm của BC với phân giác ngoài góc C. Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 
Gọi k là hệ số góc của cạnh AC, là hệ số góc của phân giác ngoài góc C, là hệ số góc của BC. áp dụng 
Phương trình cạnh AC qua C có hệ số góc là: 
	Suy ra A là giao điểm của AH và AC. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
Phương trình cạnh AB qua A và B là: 
F- Kết quả thực hiện
Giúp học sinh tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập đó có thể coi là một thành công của người giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em học sinh lớp 10A, 10B, 10C kiểm tra 45 phút với nội dung là các bài toán viết phương trình các đường thẳng thuộc dạng có trong đề tài. Kết quả là đa số các em đã nắm vững được phương pháp giải các dạng bài tập trên và nhiều em có lời giải chính xác.
Số liệu cụ thể sau khi thực hiện đề tài:
Kết quả của lớp 10A (sĩ số 30) 
Làm đúng
Làm sai
Số h/s không có lời giải
Bài 1
24
6
0
Bài 2
16
10
4
Bài 3
15
10
5
Kết quả của lớp 10B (sĩ số 32) 
Làm đúng
Làm sai
Số h/s không có lời giải
Bài 1
20
10
2
Bài 2
23
8
1
Bài 3
24
5
3
Kết quả của lớp 10C (sĩ số 34) 
Làm đúng
Làm sai
Số h/s không có lời giải
Bài 1
25
8
1
Bài 2
24
9
1
Bài 3
26
5
3
G- Kiến nghị sau quá trình thực hiện đề tài
Kiến nghị với nhà trường:
 	Mở rộng khuyến khích việc mở các lớp chuyên đề, ôn luyện, kiểm tra đánh giá việc ôn luyện của học sinh.
Mong muốn lớn nhất của tôi khi thực hiện đề tài này là học hỏi, đồng thời giúp các em học sinh trước hết là bớt đi sự khó khăn khi gặp các bài toán tìm tọa độ đỉnh và viết phương trình các cạnh trong tam giác, đồng thời ôn luyện lại cho học sinh về mối quan hệ của đường thẳng, từ đó các em say mê học toán.
Đề tài của tôi chắc hẳn không thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong quý thầy cô, đồng nghiệp cùng đọc và đóng góp ý kiến cho tôi để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn.	
Xin chân thành cảm ơn!
Sa pa, tháng 3 năm 2014
Người viết bản sáng kiến
Lưu Võn Hương
Tài liệu tham khảo
1.
Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học lớp 10 - Chương trình cơ bản.
2.
Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học lớp 10 - Chương trình nâng cao.
3.
Hướng dẫn thực hiện Chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán.
4.
Tuyển tập các bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng.
5.
Đề thi tốt nghiệp các năm từ 2000-2013.
6.
Đề thi đại học cao đẳng các năm từ 2002-2013.