Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học không gian oxyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ 
Người thực hiện: Nguyễn Thị Den
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Hậu Lộc 2
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ *
PHÒNG GD&ĐT ....(TRƯỜNG THPT....)**
(*Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock;
** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)
TÊN ĐỀ TÀI
(Font Times New Roman, cỡ 16-18, CapsLock, đậm)
Người thực hiện: Nguyễn Văn A
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS B
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
MỤC LỤC
Mở đầu 
Lí do chọn đề tài1
Mục đích nghiên cứu.1
Đối tượng nghiên cứu....1
Phương pháp nghiên cứu2
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm2
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm2
Các giải pháp...2
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.20
Kết luận, kiến nghị.
Kết luận..21
Kiến nghị21
MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán tìm cực trị trong hình học không gian Oxyz là các bài toán khó, yêu cầu tư duy cao và cũng là một phần kiến thức quan trọng mà học sinh thường xuyên gặp trong các đề thi THPT Quốc Gia và đề thi học sinh giỏi hàng năm. Tuy nhiên, các bài tập loại này thường khó, đặc biệt là các câu phân loại trong đề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi. Việc tìm ra cách giải và vận dụng cách giải để giải quyết các bài toán liên quan gặp không ít khó khăn đối với học sinh, nhất là việc xác định dạng và sử dụng phương pháp phù hợp với từng bài toán thì không dễ dàng gì.
Vì thế để phân loại các dạng bài toán tìm cực trị và đưa ra phương pháp giải tương ứng với từng dạng toán cụ thể đã được chứng minh có hiệu quả rất cao trong việc dạy học sinh học phần hình học không gian Oxyz nói chung và phần tìm cực trị nói riêng.
Chuyên đề này là hệ thống các bài tập có phương pháp giải cụ thể được phân loại theo hệ thống. Qua đó học sinh sẽ hiểu rõ và nhận dạng được các bài toán tìm cực trị trong hình học Oxyz, cũng như biết cách vận dụng phương pháp phù hợp cho từng bài toán cụ thể. Trong chuyên đề cũng có đề cập đến hai phương pháp chủ yếu để giải quyết các bài tập dạng này là phương pháp đại số và phương pháp hình học. Với lí do trên tôi nghiên cứu đề tài “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
	Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi học phần bài tập tìm cực trị trong hình học giải tích trong không gian.
	Phát triển tư duy trừu tượng, tư duy logic, khả năng phát hiện vấn đề, khả năng đánh giá và phán đoán của học sinh.
	Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh phương pháp giải một số bài toán cực trị điển hình trong hình học không gian Oxyz. Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp ích cho các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. 
Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh khối 12 THPT
- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT
- Về nội dung chỉ tìm hiểu phương pháp giả một số bài toán cực trị trong hình học không gian Oxyz.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp:
- Nghiên cứu lí luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện: 
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên trong tổ bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy.
2. NỘI DUNG
2.1.Cơ sở lí luận.
Phương pháp tọa độ trong không gian là mảng kiến thức rất quan trọng trong mạch kiến thức nghiên cứu về hình học. Cụ thể là cung cấp kiến thức để học sinh có thể tiếp cận được hình học giải tích; các bài toán liên quan đến cực trị trong hình học Oxyz. Các dạng bài toán này rất quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học các năm trước cũng như trong đề thi THPT Quốc gia năm nay và các năm tới. 
2.2.Thực trạng của vấn đề.
	Bài toán cực trị trong hình học Oxyz là một mảng kiến thức khá trừu tượng đối với học sinh phổ thông nên việc tiếp cận kiến thức này là khó đối với đa số học sinh. Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở cấp THPT tôi thấy còn rất nhiều học sinh học tập môn toán một cách thụ động, đối phó; kĩ năng giải các bài toán còn yếu, đặc biệt là kĩ năng nhận dạng và phân loại các dạng toán cũng như áp dụng phương pháp phù hợp cho từng dạng toán còn nhiều lúng túng. Nguyên nhân chủ yếu là do học sinh mất căn bản về kiến thức, kĩ năng và phương pháp giải toán; lại thêm lười học, thiếu ý thức tự học.Thực trạng trên dẫn đến: còn nhiều học sinh học trước quên sau nên chưa có hứng thú học tập môn Toán, đặc biệt là phần cực trị trong hình học Oxyz.
Số liệu thống kê trước khi áp dụng SKKN vào dạy.
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
12B3
43
0
5
20
18
0
2.3.Giải pháp thực hiện. 
 	Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách làm:
Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số.
Bài toán 1: Trong không gian cho các điểm và mặt phẳng Tìm điểm sao cho:
1. nhỏ nhất.
2. lớn nhất với 
Phương pháp:
 Xét vị trí tương đối của các điểm so với mặt phẳng 
 Nếu thì hai điểm cùng phía với mặt phẳng 
 Nếu thì hai điểm nằm khác phía với mặt phẳng 
1. nhỏ nhất.
 Trường hợp 1: Hai điểm ở khác phía so với mặt phẳng 
Vì ở khác phía so với mặt phẳng nên nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi 
 Trường hợp 2: Hai điểm ở cùng phía so với mặt phẳng 
Gọi đối xứng với qua mặt phẳng khi đó và ở khác phía và nên 
Vậy nhỏ nhất bằng khi 
2. lớn nhất.
 Trường hợp 1: Hai điểm ở cùng phía so với mặt phẳng .
Vì ở cùng phía so với mặt phẳng nên lớn nhất bằng khi và chỉ khi 
 Trường hợp 2: Hai điểm ở khác phía so với mặt phẳng .
Gọi đối xứng với qua mặt phẳng , khi đó và ở cùng phía và 
 nên 
Vậy lớn nhất bằng khi 
Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng biết:
1. đi qua đường thẳng và khoảng cách từ đến lớn nhất
2. đi qua và tạo với mặt phẳng một góc nhỏ nhất.
3. đi qua và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất.
Phương pháp:
Cách 1: Dùng phương pháp đại số
1. Giả sử đường thẳng và 
Khi đó phương trình có dạng: 
Trong đó () (1)
Khi đó (2)
Thay (1) vào (2) và đặt , ta đươc 
Trong đó , khảo sát hàm ta tìm được . Từ đó suy ra được sự biểu diễn của qua rồi cho giá trị bất kì ta tìm được .
2. và 3. làm tương tự
Cách 2: Dùng phương pháp hình học
1. Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và , khi đó ta có:
, mà không đổi. Do đó lớn nhất 
Hay là mặt phẳng đi qua , nhận làm VTPT.
2. Nếu nên ta xét và (Q) không vuông góc với nhau.
 Gọi là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng qua và vuông góc với . Lấy điểm cố định trên đường thẳng đó. Hạ Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là Ta có 
Mà không đổi, nên nhỏ nhất khi 
 Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng . Suy ra là VTPT của .
3. Gọi là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng qua và song song với . Lấy điểm cố định trên đường thẳng đó. Hạ Góc giữa mặt phẳng và đường thẳng là . Ta có 
Mà không đổi, nên lớn nhất khi 
 Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng . Suy ra là VTPT của .
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc cho và đường thẳng . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của lên và viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất.
Lời giải.
 Đường thẳng có là VTCP. 
Gọi là hình chiếu của lên .
Do .
 Gọi là hình chiếu của lên . 
Khi đó, ta có: lớn nhất 
Suy ra là VTPT của và đi qua .
Vậy phương trình .
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc cho bốn điểm với là tham số.
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và khi ;
2. Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Tìm các giá trị của tham số để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải.
Ta có: 
1. Với ta có: và 
Do đó 
Vậy .
2. Đặt 
Suy ra . 
Đẳng thức xảy ra 
Ta có: 
Do đó 
Vậy là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cắt các trục tọa độ tại các điểm (khác gốc tọa độ) sao cho:
1. là trực tâm của tam giác ;
2. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng là lớn nhất;
3. ;
4. và .
Lời giải.
Giả sử mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ là: 
 với 
Phương trình mặt phẳng có dạng 
Mặt phẳng đi qua điểm nên 
1. Ta có:
Điểm là trực tâm tam giác khi và chỉ khi 
.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là 
2. Cách 1: Ta có: 
Bài toán trở thành, tìm giá trị nhỏ nhất của với các số thực 
 thỏa mãn 
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 
Nên suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Phương trình mặt phẳng cần tìm là 
Cách 2: Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Vì mặt phẳng luôn đi qua điểm cố định nên 
Dấu đẳng thức xảy ra khi khi đó là mặt phẳng đi qua và có véctơ pháp tuyến là nên phương trình là
3. Vì nên do đó xảy ra bốn trường hợp sau:
 Trường hợp 1: 
Từ suy ra nên phương trình là: 
 Trường hợp 2: Từ suy ra nên phương trình là 
 Trường hợp 3: Từ suy ra nên phương trình là 
 Trường hợp 4: Từ có nên phương trình là 
Vậy có bốn mặt phẳng thỏa mãn là và các mặt phẳng 
4. Vì nên do đó 
 Nếu nên từ ta có 
Vì nên phương trình mặt phẳng cần tìm là 
 Nếu nên từ ta có 
Vì nên không có giá trị thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng 
Ví dụ 4. Cho mặt cầu và mặt phẳng có phương trình 
1. Chứng minh rằng mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn. Xác định tâm và tìm bán kính của đường tròn đó;
2. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Lời giải.
Mặt cầu có tâm , bán kính .
1. Ta có , suy ra cắt mặt cầu theo đường tròn tâm bán kính 
 là hình chiếu của lên mặt phẳng , suy ra phương trình của là:
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ 
Vậy tâm .
2. Ta có nên phương trình đường thẳng 
Vì nên mặt phẳng đi qua luôn cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính . Do đó nhỏ nhất lớn nhất.
Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và , ta luôn có
 nên suy ra lớn nhất 
Do 
Vì 
Vậy phương trình .
Ví dụ 5. Trong không gian cho mặt phẳng và hai điểm . Tìm điểm thuộc sao cho:
1. nhỏ nhất 2. lớn nhất
Lời giải.
Mặt phẳng có là VTPT
Thay tọa độ hai điểm vào vế trái phương trình của ta được và nên hai điểm nằm về cùng một phía so với .
1. Gọi là điểm đối xứng với qua , khi đó và ở khác phía so với và với mọi điểm , ta có .
Do đó , mà không đổi và đẳng thức xảy ra khi , suy ra nhỏ nhất .
Ta có: 
Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ: 
 là trung điểm của 
Suy ra , phương trình 
Tọa độ là nghiệm của hệ 
Vậy là điểm cần tìm.
2. Vì nằm về cùng một phía so với nên với mọi ta luôn có
, đẳng thức xảy ra khi .
Phương trình 
Tọa độ . Vậy .
Ví dụ 6. Trong không gian cho điểm , đường thẳng có phương trình và mặt phẳng 
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và khoảng cách từ đến lớn nhất;
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc nhỏ nhất;
3. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất.
Lời giải.
Mặt phẳng (P) có là VTPT
Đường thẳng đi qua và có là VTCP.
1. Cách 1: Giả sử là VTPT của , suy ra phương trình của có dạng: (1)
Do nên .
Do đó: 
Nếu 
Nếu thì ta đặt , ta có: 
Xét hàm số với ta có: 
Suy ra , do đó , đạt được khi 
Chọn ta tìm được . Vậy phương trình .
Cách 2: Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và , khi đó
, mà không đổi nên lớn nhất 
Dẫn tới là mặt phẳng đi qua và nhận làm VTPT.
Vì 
Vậy phương trình .
2. Cách 1: Tương tự như trên ta có 
Gọi , . 
Ta có: .
Nếu 
Nếu , đặt thì ta có: 
Khảo sát hàm số ta tìm được 
Suy ra đạt được khi , chọn 
Vậy phương trình .
Cách 2: Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với 
Ta có phương trình , lấy 
Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và , khi đó và 
.
Mà không đổi, nên suy ra nhỏ nhất hay là mặt phẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng .
Mặt phẳng đi qua và vuông góc với nên là VTPT của .
Do đi qua và vuông góc với nên là VTPT của , suy ra phương trình của .
3. Cách 1: Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng: 
Do nên 
Ta viết lại dạng phương trình của như sau: 
Suy ra là VTPT của . Gọi 
Ta có: 
Nếu , với , đặt 
Xét hàm số ta tìm được .
Do đó , chọn 
Vậy phương trình của .
Cách 2: Ta có: là VTCP của , suy ra phương trình đường thẳng . Gọi là đường thẳng đi qua , song song với . Suy ra phương trình 
Trên ta lấy điểm . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và , khi đó .
Ta có: , mà không đổi nên lớn nhất 
Hay là mặt phẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng 
Ta có: là VTPT của 
Suy ra là VTPT của 
Vậy phương trình của .
Ví dụ 7. Trong không gian cho mặt phẳng và điểm . Lập phương trình đường thẳng nằm trong và
1. đi qua và khoảng cách từ đến lớn nhất, nhỏ nhất;
2. đi qua và khoảng cách giữa và lớn nhất.
Lời giải.
Mặt phẳng có là VTPT
Gọi là VTCP của , do (1)
1. Ta có: 
Do đó: 
Nếu , với đặt 
Xét hàm số , khảo sát hàm số ta tìm được 
 Khoảng cách từ đến lớn nhất khi , chọn , suy ra phương trình đường thẳng :
 Khoảng cách từ đến nhỏ nhất khi , chọn , suy ra phương trình đường thẳng :.
2. Đường thẳng đi qua và có là VTCP
Do đó 
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy phương trình .
Ví dụ 8. Lập phương trình đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng sao cho:
1. Khoảng cách từ đến đường thẳng là lớn nhất, nhỏ nhất;
2. Khoảng cách giữa và là lớn nhất.
Lời giải.
Giả sử cắt tại điểm thì 
 là VTCP của đường thẳng .
1. Ta có nên 
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là
Ta có nên 
Từ đó ta tìm được Do đó:
 đạt được khi nên phương trình đường thẳng cần tìm 
 đạt được khi nên phương trình đường thẳng cần tìm 
2. đi qua và có véc tơ chỉ phương 
Ta có 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng là:
Vì nên 
Từ đó ta tìm được , khi đó 
Vậy đường thẳng có phương trình là 
Bài toán 3: Trong không gian cho điểm . 
1. Tìm sao cho 
 a) Nhỏ nhất khi 
 b) Lớn nhất khi 
2. Tìm sao cho nhỏ nhất hoặc lớn nhất, trong đó .
Phương pháp:
Gọi là điểm thỏa mãn: điểm tồn tại và duy nhất nếu . Khi đó:
1. 
Do không đổi nên:
 Nếu thì nhỏ nhất nhỏ nhất 
 Nếu thì lớn nhất nhỏ nhất 
2. 
Do đó nhỏ nhất hoặc lớn nhất nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
 Nếu thuộc đường thẳng (hoặc mặt phẳng ) thì lớn nhất khi và chỉ khi là hình chiếu của lên (hoặc ).
 Nếu thuộc mặt cầu (S) và đường thẳng đi qua và tâm của (S), cắt (S) tại hai điểm ( thì nhỏ nhất (lớn nhất) ().
Ví dụ 9. Cho và ba điểm .
1. Tìm tọa độ điểm sao cho và ;
2. Tìm sao cho nhỏ nhất.
Lời giải.
1. Gọi , ta có: 
Suy ra 
. Vậy .
2. Gọi là điểm thỏa mãn (*)
Ta có: 
Nên . Suy ra 
Khi đó: 
 ; 
Do đó 
Do không đổi nên nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất hay là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Gọi , là VTPT của 
Vì (1)
Do nên thay vào (1), ta có được:
. Vậy .
Ví dụ 10. Trong không gian cho ba điểm 
1. Tìm thuộc mặt phẳng sao cho biểu thức sau nhỏ nhất ;
2. Tìm thuộc đường thẳng sao cho biểu thức sau lớn nhất: ;
3. Tìm thuộc mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
1. Cách 1: Gọi là điểm thỏa mãn: (*)
Mà 
Do đó 
Khi đó: 
 .
Do không đổi nên nhỏ nhất nhỏ nhất là hình 
chiếu của lên . Ta có 
Tọa độ của là nghiệm của hệ: 
Vậy là điểm cần tìm. 
Cách 2: Gọi 
Suy ra: 
Suy ra 
Đẳng thức xảy ra hay là điểm cần tìm
2. Cách 1: Gọi là điểm thỏa mãn: (*)
Mà , 
Nên (*)
Khi đó: 
Do đó nhỏ nhất nhỏ nhất là hình chiếu của lên 
Vì . Vậy là điểm cần tìm.
Cách 2: Ta có 
Suy ra 
Do đó 
Nên 
Đẳng thức xảy ra . Vậy là điểm cần tìm.
3. Gọi là điểm thỏa mãn: 
Ta tìm được . Khi đó 
Vì không đổi nên lớn nhất, nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất, lớn nhất.
Mặt cầu (S) có tâm , 
Tọa độ các giao điểm của với mặt cầu (S) là nghiệm của hệ
.
Do nên ta có được:
 lớn nhất khi và chỉ khi 
 nhỏ nhất khi và chỉ khi .
Bài tập tương tự
Bài 1. Trong không gian cho 2 điểm và mặt phẳng .
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với .
b) Tìm toạ độ điểm thuộc sao cho nhỏ nhất.
Bài 2. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cắt các tia lần lượt tại các điểm (khác gốc tọa độ) sao cho
a) Thể tích khối tứ diện có giá trị nhỏ nhất.
b) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. Cho đường thẳng và các điểm 
Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho
a) nhỏ nhất. b) nhỏ nhất.
Bài 4. Lập phương trình mặt phẳng đi qua sao cho cắt các tia lần lượt tại 3 điểm thỏa:
1. Tứ diện có thể tích lớn nhất;
2. Khoảng cách từ đến lớn nhất;
3. và .
Bài 5. Cho và Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho
1. nhỏ nhất 2. nhỏ nhất.
3. Diện tích tam giác nhỏ nhất.
Bài 6. Cho ba điểm và mặt phẳng 
1. Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm của tam giác trên mặt phẳng 
2. Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng 
3. Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho biểu thức có giá trị nhỏ nhất với 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
Việc phân dạng cụ thể các bài toán tìm giới hạn hàm số và đưa ra phương pháp giải tương ứng giúp các bài toán cơ bản trở nên có hệ thống hơn, nhờ đó học sinh dễ tiếp cận và nhớ lâu hơn. Từ đó học sinh thấy hứng thú hơn khi học phần giới hạn hàm số và thấy những bài toán này trở nên đơn giản hơn. 
Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này thì học sinh đã tiếp cận được chỉ còn rất ít học sinh gặp khó khăn trong việc giải bài toán tìm cực trị trong hình học Oxyz. Cụ thể:
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
12B3
43
5
20
18
0
0
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận.
Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi đúc rút được trong nhiều năm giảng dạy ở trường THPT và cụ thể là thử nghiệm với học sinh lớp 12B3 trường THPT Hậu Lộc 2.
Hình học Oxyz nói chung và các bài toán cực trị trong hình học Oxyz nói riêng là nội dung rất quan trọng trong chương trình môn toán THPT. Nhưng đối với học sinh đây là mảng kiến thức tương đối khó. Trong đề tài này tôi đã đưa ra được hệ thống bài tập theo dạng khác nhau cùng với phương pháp giải phù hợp giúp học sinh tiếp cận dễ dàng hơn từ đó tạo hứng thú cho học sinh học phần này góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. Chuyên đề này là ý kiến chủ quan cũng như kinh nghiệm của cá nhân tôi nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn. 
Tiến	Tôi xin chân thành cảm ơn!
Kiến nghị.
Nhà trường cần tổ chức các buổi thảo luận trao đổi phương pháp giảng dạy. Cần lưu lại thư viện nhà trường những chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hằng năm để làm tư liệu phục vụ cho việc dạy và học sau này.
Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa những tài liệu tham khảo về đổi mới phương pháp dạy và học	 để phục vụ tốt công việc nghiên cứu học tập và nâng cao chuyên môn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 05 tháng 5 năm 2019
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết
 Nguyễn Thị Den