Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài toán về tạo số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THCS & THPT THỐNG NHẤT
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 “PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ TẠO SỐ”
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Sen
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lỉnh vực môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài1
1.2.Mục đích nghiên cứu..1
1.3.Đối tượng nghiên cứu.. .1
1.4. Phương pháp nghiên cứu..2
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến2
2.2. Thực trạng của sáng kiến..3
2.3. Các giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán tạo số4
Chương I : Số tạo thành gồm những số khác nhau: 
 I.1. Trong các chữ số đã cho không có chữ số 0.4
 I.2. Trong các chữ số đã cho có chữ số 0:5
Chương II : Số tạo thành chứa các chữ số định trước: 
 II.1. Trong các chữ số đã cho không có chữ số 0:6
 II.2. Trong các chữ số đã cho có chữ số 0:8 
 Chương III: Số tạo thành chứa các chữ số lặp lại: 
 III.1. Trong các chữ số đã cho không có chữ số 0:.11
 III.2. Trong các chữ số đã cho có chữ số 0:.12
 Chương IV : Số tạo thành thỏa mãn điều kiện rằng buộc cho trước:..14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến17
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.18
3.1. Kết luận18
3.2.Kiến nghị18
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Trong nhà trường phổ thông, nội dung kiến thức môn Toán trang bị cho học sinh không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả các kĩ năng và phương pháp. Vì vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ có trong bài giảng lí thuyết mà còn có trong bài tập tương ứng. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt trong dạy học toán ở trường phổ thông. Và đặc biệt hơn bắt đầu từ kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia 2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định môn Toán là môn thi trắc nghiệm 100% thì các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo để bài làm có kết quả chính xác và nhanh nhất.
 Qua thực tế giảng dạy, trực tiếp ôn thi Đại học, cao đẳng và ôn luyện học sinh giỏi tôi nhận thấy các bài toán tính số các số tạo thành từ một số chữ số cho trước và thỏa mãn một số điều kiện nào đó đòi hỏi học sinh phải có lối tư duy logic sáng tạo, khả năng phân tích, phán đoán. Đồng thời nó đòi hỏi ở người học kĩ năng lập luận, tính toán chính xác, khoa học. Thực tế học sinh của tôi khi học cũng như tham gia các kì thi lúc gặp các dạng toán này một số em đôi lúc còn lúng túng và mất nhiều thời gian để tìm lời giải cho các bài toán. Vì vậy với trách nhiệm của mình tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên đề từ đó rèn luyện kĩ năng nhận dạng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh để các em không còn e ngại hay lúng túng khi gặp các dạng toán này. Qua quá trình tích lũy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp giải bài toán về tạo số ”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu.	
- Lựa chọn đề tài làm sáng kiến kinh nghiệm, trước hết giúp bản thân tôi hoàn thiện kỹ năng, phương pháp dạy học dạng bài toán tạo số. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Toán của học sinh trung học phổ thông.
- Giới thiệu phương pháp giải hiệu quả, phân dạng với các bài tập cụ thể, giúp học sinh hiểu đúng bản chất, hình thành và rèn luyện kỹ năng giải nhanh, chính xác các bài toán lập số. Nhằm đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
- Được đồng nghiệp đón nhận, góp ý xây dựng và áp dụng vào thực tiễn giảng dạy. Được hội đồng khoa học các cấp nhận xét, đánh giá và ghi nhận sự cố gắng của bản thân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Đề tài này tập trung giải quyết các nội dung:
Phân dạng chi tiết và phương pháp giải bài toán tạo số.
Từ ví dụ cụ thể khái quát cách giải tổng quát cho một lớp bài toán.
Đưa ra một số bài toán có tính chất điển hình.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11.
- Phương pháp thu thập thông tin: Điều tra thực tế, quan sát tình hình dạy và học dạng toán tạo số ở trường trung học phổ thông.
- Phương pháp so sánh, đối chiếu, khái quát hóa: Từ bài toán cụ thể, nghiên cứu xây dựng, khái quát nên cách giải bài toán tổng quát ở các dạng bài tập trong nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng toán liên quan đến bài toán tạo số. Đặc biệt là các bài toán, dạng toán liên quan đến các bài toán tính số các số tạo thành từ một số chữ số cho trước và thỏa mãn một số điều kiện nào đó trong các kì thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng, các kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa trong các năm gần đây.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành ôn tập chủ đề cho học sinh .
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến. 
Kiến thức cơ sở.
Quy tắc cộng: 
 Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động 
này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện [1, Tr 44].
Quy tắc nhân: 
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực 
hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. [1, Tr 45]
Hoán vi: 
 Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n≥1).
 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đố.
 Số các hoán vị : Pn=n! [1, Tr 47]
Chỉnh hợp:
 Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n≥1).
 Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp : Ank=n!n-k! (1≤k≤n) . [1, Tr 49]
Tổ hợp:
 Định nghĩa:
 Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Số các tổ hợp : Cnk=n!n!n-k! (1≤k≤n) . [1, Tr 51]
2.2. Thực trạng của sáng kiến.
 Đối với giáo viên: Trên thực tế, qua khảo sát tình hình giảng dạy của giáo viên sở tại và một số trường đa số các thầy cô khi dạy phần này chỉ mô tả những gì viết trong sách giáo khoa và một số tài liệu tham khảo, không phân tích, không giải mã các điểm mấu trốt của bài toán. Mà bài toán tạo số trong sách giáo khoa và tài liệu tham khảo chỉ giới thiệu một vài ví dụ đơn lẻ và rời rạc. Vì vậy đa phần học sinh lúng túng khi gặp dạng toán này.
Đối với học sinh: Khả năng của một bộ phận học sinh còn hạn chế. Khi gặp dạng toán này các em thường e ngại, bỏ qua không làm hoặc hiểu sai bản chất dẫn đến lời giải sai.
Ví dụ 1 : Cho tập A=0,1,2,3,4,5. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 ? 
Lời giải sai:
 Mỗi số gồm 4 chữ số phân biệt có dạng:
 a1a2a3a4 , ai ∈A,ai ≠aj, i≠j, i,j∈N ;1≤i,j≤4. 
 Để số tìm được là một số chia hết cho 2, điều kiện là a4 ∈0, 2, 4.
Có 3 cách chọn a4 , tiếp theo a1 có 4 cách chọn từ 4 phần tử của tập A\0,a4 , có A42 cách chọn 2 số từ tập A\a1 ,a4 xếp vào vị trí của a2, a3.
 Vậy số các số tạo thành là: T1=3.4.A42=144 ( số)
 Ví dụ 2 : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó số 1 có mặt 3 lần, còn mỗi số khác nhau có mặt đúng một lần.
( Lời giải đúng là đáp án bài 23 )
Lời giải sai:
 Bộ ( 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5 ) sẽ tạo ra các số có 8 chữ số .
Có cách chọn 3 trong số 8 vị trí cho chữ số 1. Sau đó có cách chọn 5 chữ số 
( khác 1 ) vào 5 vị trí còn lại. 
 Ta được số các số đó là T=C83.A55=6742 (số)
 ( Lời giải đúng là đáp án bài 19 )
 Xuất phát từ thực trạng trên đây, chọn đề tài “ Phương pháp giải bài toán về tạo số ” làm sáng kiến kinh nghiệm là rất cần thiết với bản thân và để hướng dẫn học sinh 11 luyện tập nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo để bài làm có kết quả chính xác và nhanh nhất.
2.3. Các giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán tạo số.
Chương I: 
 SỐ TẠO THÀNH GỒM NHỮNG CHỮ SỐ KHÁC NHAU
 I.1. Trong các chữ số đã cho không có chữ số 0:
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác 0 và đôi một khác nhau?
Lời giải:
 Gọi số tự nhiên cần lập là: a1a2a3 , ai ≠aj, i≠j; i,j∈N ;1≤i,j≤3.
 Chọn a1 có 9 cách, ứng với mỗi cách chọn a1 có 8 cách chọn a2 ; ứng với mỗi cách chọn a2 có 7 cách chọn a3 . Do đó theo quy tắc nhân suy ra số các số cần tìm là T = 9.8.7= 504 ( số).
 Bài 2: Cho A=1,2,3,4,5,6. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau lấy từ A?
Lời giải:
 Gọi số tự nhiên có 4 chữ số tạo thành có dạng:
 a1a2a3a4 , ai ∈A,ai ≠aj, i≠j, i,j∈N ;1≤i,j≤4. 
 Như vậy mỗi số được tạo thành là một cách xếp 4 chữ số được chọn từ 6 chữ số của tập A vào 4 vị trí a1, a2, a3,a4. Hay mỗi số tạo thành là một chỉnh hợp chập 4 của 6.
 Vậy số các số cần tìm là: T = A64 = 360 (số)
 Tổng quát: Cho tập hợp A gồm n chữ số khác 0. Số các số được tạo gồm m chữ số (m n) đôi một khác nhau được lập từ n chữ số của tập A là: T= Anm (số).
 Thật vậy, mỗi số được tạo thành là cách xếp m chữ số được chọn trong số n chữ số đã cho vào m vị trí định trước. Hay mỗi số tạo thành là một chỉnh hợp chập m của n ( chữ số) .
I.2. Trong các chữ số đã cho có chữ số 0:
Bài 3: Từ các chữ số của A=0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 5 chữ số khác nhau ? [2, Tr 253]
Lời giải:
 Mỗi số gồm 5 chữ số phân biệt được lập từ các số của tập A có dạng:
 a1a2a3a4a5 ,ai∈A, a1≠0, ai ≠aj, i≠j, i,j∈N ;1≤i,j≤5. 
 Có 6 cách chọn a1, ứng với mỗi cách chọn a1, mỗi bộ (a2,a3,a4,a5 ) ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử của tập A\a1. Suy ra có A64 cách chọn.
 Vậy có thể lập được T= 6.A64 =2160 số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập A.
Bài 4: Cho tập A=0,1,2,3,4,5
 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt từ tập A.
Lời giải: 
 Ta thấy, mỗi số gồm 4 chữ số phân biệt hình thành từ tập A (chữ số đầu có thể là 0) ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 6. Do đó từ tập A có thể lập được A64 số gồm 4 chữ số phân biệt. 
 Từ tập A\0 có thể lập được A53 số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt.
 Do đó, số các số cần tìm là: T = A64-A53 = 300 ( số )
Bằng cách lập luận tương tự như trên ta có bài toán tổng quát:
Tổng quát: Cho tập hợp A gồm n chữ số trong đó có chữ số 0. Từ A có thể lập được T= n-1An-1m-1số tự nhiên gồm m chữ số ( m n ) đôi một khác nhau.
Chương II:
SỐ TẠO THÀNH CHỨA CÁC CHỮ SỐ ĐỊNH TRƯỚC
II.1. Trong các chữ số đã cho không có chữ số 0.
 Bài 5: Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 1?
Lời giải
Gọi A=1,2,3,4,5. Số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng: a1a2a3 ,ai∈A, ai ≠aj, i≠j, i,j∈N ;1≤i,j≤3.
Ta thấy: Có 3 cách chọn vị trí cho chữ số 1. Tiếp theo mỗi bộ số dành cho hai vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử còn lại của tập A. 
 Có A42 cách chọn. Như vậy, ta được: 3. A42 = 36 ( số ).
 Bài 6: Với tập X=1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt và là số lẻ?
 Lời giải:
 Mỗi số gồm 4 chữ số phân biệt có dạng:
a1a2a3a4 ,ai∈X, ai ≠aj, i≠j, i,j∈N 1;≤i,j≤4.
 Chọn a4 từ các số 1, 3, 5 nên có 3 cách chọn. bộ (a1,a2,a3 ) là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ tập X\a4. Do đó, nó là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nên có A53 cách chọn.
 Số các số lẻ gồm 4 chữ số phân biệt, hình thành từ tập X bằng:T=3.A53 =180( số).
 Bài 7: Hỏi từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5 ? [3, Tr 184]
Lời giải:
 Xếp số 1 và 5 vào 2 trong 5 vị trí ta có A52=4.5=20 cách. 
 Có A53=3.4.5=60 cách chọn 3 trong 5 phần tử của tập E=2,3,4,6,7 rồi xếp vào 3 vị trí còn lại.
 Vậy có T= 20.60=1200 số thỏa mãn yêu câu bài toán.
 Tổng quát: Cho tập hợp gồm n chữ số, trong đó không có chữ số 0, từ chúng có thể viết được T= Amk.An-km-k số có m chữ số sao cho trong đó có k chữ số định trước ( thuộc n chữ số trên) với k < m≤n.
 Thật vậy: Số tạo thành gồm m vị trí . Gọi tập hợp k chữ số định trước là E.
Số cách xếp k chữ số định trước vào m vị trí là . Số cách chọn (m- k) chữ số trong số ( n- k ) chữ số không thuộc E cho (m- k) vị trí còn lại là .
 Theo quy tắc nhân ta được số các số đó là T= Amk.An-km-k ( số ).
 Bài 8: Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 2 và 6 đứng cạnh nhau?
Lời giải:
 Có 2 cách sắp xếp hai chữ số 2 và 6 đứng cạnh nhau. Khi đó có 3 cách chọn vị trí cho cặp số 2 và 6.
 Số cách chọn 2 chữ số khác 2 và 6 vào 2 vị trí còn lại là A42.
 Do đó số các số cần tìm là 2. 3. A42 = 72 ( số )
Bài 9: Cho tập hợp E=1,2,3,4,5,6,7 . Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt trong đó các chữ số 1, 2, 5 đứng cạnh nhau?
Lời giải: 
 Có 3! cách sắp xếp bộ 3 số 1, 2 ,5 đứng cạnh nhau.
 Ứng với mỗi bộ số (1, 2, 5) đứng cạnh nhau có 5 cách chọn vị trí trong một số có 7 chữ số. Có A44 cách chọn các số của tập E\1,2,5 xếp cho vị trí còn lại. Như vậy, số các số thỏa mãn là T= 3!.5. A44 = 720 ( số ).
 Tổng quát: 
 Cho tập hợp gồm n chữ số không chứa chữ số 0, từ chúng có thể viết được 
T= k!.(m-k+1). An-km-k số có m chữ số ( m≤n) khác nhau mà trong đó có k chữ số định trước nào đó đứng cạnh nhau.
Chứng minh: 
 Có k! cách sắp xếp bộ k số đứng cạnh nhau.
 Ứng với mỗi bộ k số đứng cạnh nhau có (m-k+1) cách chọn vị trí trong một số có m chữ số. Có An-km-k cách chọn các số còn lại xếp vào vị trí còn trống. Như vậy, số các số thỏa mãn là T= k!.(m-k+1). An-km-k ( số ).
II.2. Trong các chữ số đã cho có chữ số 0.
Bài 10: Có thể thành lập bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có số 8. 
Lời giải:
 Gọi E=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, số tạo thành gồm 5 chữ số nên có 5 vị trí .
+) Trường hợp 1: Số tạo thành chứa số 0
 Có 4 cách chọn vị trí cho số 0, số cách sắp xếp số 8 vào 4 vị trí còn lại là A41 cách. Số cách chọn 3 trong 8 phần tử của tập E\0, 8 xếp vào 3 vị trí còn trống là A83 cách.
 Suy ra ta có T1= 4. A41. A83 =5376 (số)
 +) Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0
 Số cách xếp số 8 vào 5 vị trí là A51, số cách chọn 4 trong 8 phần tử của tập E\0, 8 xếp vào 4 vị trí còn trống là A84 cách.
 Suy ra ta có T2=A51. A84 = 8400 ( số)
Vậy số các số tạo thành là: T=T1 + T2=13776 (số).
Bài 11: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau trong đó phải có chữ số 2 và 4? 
 ( Đề thi HSG tinh Thanh Hóa năm 2009-2010) 
 Lời giải:
Gọi số tự nhiên cần lập là X=a1a2a3a4 ( a1≠0)
ai∈0,1,2,3,4,5, i=1;2;3;4
 Trường hợp 1: X có chữ số 0
 Có 3 cách xếp chữ số 0, A32 cách xếp hai chữ số 2 và 4 và A31 cách chọn một trong ba chữ số 1; 3; 5 xếp vào vị trí còn lại.
 Suy ra ta có T1=3.A32. A31= 54 ( số)
 Trường hợp 2: Trong X không có chữ số 0
 Có A42 cách xếp hai chữ số 2 và 4 và A32 cách chọn hai trong ba chữ số 1; 3; 5 xếp vào hai vị trí còn lại.
 Suy ra có T2=A42. A32= 72 ( số)
 Vậy có tất cả T= 54+ 72= 126 ( số).
Bài 12: Hỏi từ các số 0, 1, 2, 3,, 8, 9. có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có chữ số 0, 1, 2?
Lời giải:
 Đặt A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
 Số tạo thành gồm 6 chữ số là a1a2a3a4a5a6 ( a1≠0)
 ai∈A, i=1;2;3;4; 5; 6
 Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 0. Số cách chọn chữ số 1 và 2 cho 5 vị trí còn lại là A52. Số cách chọn 3 trong số 7 chữ số khác 0, 1, 2 cho 3 vị trí còn lại là A73.
 Theo quy tắc nhân số các số tạo thành là T=5. A52. A73 = 21000 ( số )
 Tổng quát: Cho tập hợp gồm n chữ số trong đó có chữ số 0, từ chúng viết được 
 T số có m chữ số khác nhau sao cho trong đó có k chữ số khác nhau định trước
 ( thuộc n chữ số trên ) với k≤m≤n.
 Chứng minh: Số tạo thành gồm m vị trí . Gọi X là số cần lập có chứa k chữ số định trước. E là chứa k chữ số định trước. Ta xét hai khả năng sau:
a, Trong E chứa chữ số 0:
 Ta có ( m-1) cách chọn vị trí cho chữ số 0; Am-1k-1 cách xếp k-1 chữ số định trước và An-km-k cách chọn chữ số không thuộc tập E xếp vào vị trí còn lại.
 Suy ra ta có T=(m-1).Am-1k-1. An-km-k ( số)
b, Trong E không chứa chữ số 0. Ta tính theo các trường hợp sau:
* Trường hợp 1: Trong số tạo thành X chứa chữ số 0. 
 Có (m-1) cách chọn vị trí cho chữ số 0; Am-1k cách xếp k chữ số định trước và An-k-1m-k-1 cách chọn chữ số khác 0 không thuộc tập E xếp vào vị trí còn lại.
 T1 = (m-1). An-1k. An-k-1m-k-1
* Trường hợp 2: Trong số tạo thành X không chứa chữ số 0: 
 Số cách viết k chữ số thuộc E trong m vị trí Amk. Số cách chọn (m-k) trong số (n-k-1) chữ số khác 0 mà không thuộc E cho (m-k) vị trí còn lại là An-k-1m-k. 
 T2= Amk. An-k-1m-k ( số). 
 Vậy số các số tạo thành thỏa mãn bài toán là: 
 T= T1+ T2 =(m-1). An-1k. An-k-1m-k-1+Amk. An-k-1m-k( số )
Bài 13: Cho tập hợp A=0,1,2,3,4,5,6. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau?
Lời giải:
 Mỗi số gồm 5 chữ số phân biệt có dạng 
 a1a2a3a4a5 ( a1≠0) ai∈A, i=1;2;3;4;5
Có hai cách mà chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau là 23 và 32.
Ta xét hai khả năng sau:
* a1a2 ≡ 23. Khi đó mỗi số a1a4a5 ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số của tập A khác 2 và 3. Số các số đó là A53.
*a1a2 ≠ 23. Có 4 cách chọn chữ số a1 khác 0, 2, 3. Tương ứng có 3 cách chọn vị trí cho 23.Và có A42 cách sắp xếp số vào vị trí còn trống. Theo quy tắc nhân số các số đó là 4.3. A42=
 Số các số chứa 23 là: A53 + 4.3. A42 = 204 ( số ).
 Tương tự, số các số chứa 32 là 204 ( số )
 Vậy số các số tạo thành là 204 .2 = 408 ( số ) 
Bài 14: Cho tập hợp A=0,1,2,3,4,5,6, 7. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt trong đó chữ số 0 và 2 đứng cạnh nhau?
Lời giải:
 Mỗi số X gồm 5 chữ số phân biệt có dạng:
a1a2a3a4a5 ,ai∈A, ai ≠aj, i≠j, i,j∈N ;1≤i,j≤5.
Có hai cách mà chữ số 0 và 2 đứng cạnh nhau là 20 và 02.
* X có chứa 20.
 Có 4 cách chọn cho vị trí số 20, có A63 cách chọn 3 số khác 0 và 2 xếp vào vị trí còn lại. Như vậy có 4. A63 cách.
* X có chứa 02
 Có 6 cách chọn chữ số a1 khác 0, 2. Có 3 cách chọn vị trí cho 02 trong số có 5 chữ số. Có A52 cách chọn 2 chữ số còn lại xếp vào vị trí còn trống. Số các số đó là 6.3. A52 ( số)
 Vậy số các số cần tìm là: 4. A63+ 6.3. A52 = 840 ( số )
Bài 15: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.
Lời giải:
 Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau từ 3 số 1,3,5 là A32=6 cách. Ta xem mỗi cặp số lẻ như một số a. Vậy mỗi số cần lập gồm a và 3 trong 4 số chẵn 0,2,4,6.
 Gọi số cần lập n=a1a2a3a4a5 
Trường hợp 1: a5=0, xếp a có 3 cách, có A32 cách chọn số xếp vào 2 vị trí còn lại. Suy ra có : 3. A32=18( số).
Trường hợp 2: a5∈2,4,6 có 3 cách chọn a5, xếp a đứng đầu, có A32 cách chọn số xếp vào 2 vị trí còn lại. Suy ra có : 3. A32=18( số).
Trường hợp 3: a5∈2,4,6 có 3 cách chọn a5, xếp a không đứng đầu, xếp a có 2 cách, chọn a1 có 2 cách và A21 cách chọn số xếp vào vị trí còn lại. Suy ra có : 3.2.2. A21=24( số).
 Vậy có : 6(18+18+24)=360 số n.
Chương III:
SỐ TẠO THÀNH CHỨA CÁC CHỮ SỐ LẶP LẠI
III.1. Trong các chữ số đã cho không có chữ số 0
Bài 16: Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số trong đó có 3 chữ số 2 và bốn chữ số còn lại là 1, 3, 4, 5? 
Lời giải:
 Bộ số ( 2, 2, 2, 1, 3, 4, 5) sẽ tạo ra số cần lập có 7 chữ số:
 Có C73 cách chọn 3 trong số 7 vị trí cho chữ số 2.
 Tiếp theo, có A44 cách xếp 4 chữ số 1, 3, 4, 5 vào 4 vị trí còn lại .
 Do đó số các số tạo thành là C73.A44 = 840 ( số )
Bài 17: Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt hai lần, còn các chữ số khác có mặt 1 lần? 
Lời giải:
 Bộ số ( 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6 ) sẽ tạo ra số có 8 chữ số.
 Có cách chọn vị trí cho chữ số 1. Tiếp theo có cách chọn vị trí cho chữ số 6. Có A44 cách xếp 4 chữ số 1, 3, 4, 5 vào 4 vị trí còn lại. Do đó số các số tạo thành là: T=C82C62.A44 = 10080 ( số ).
 Tổng quát: Cho tập hợp n chữ số trong đó không có chữ số 0. Từ chúng có thể lập được T=Cmt1.Cm-t1t2....Cm-1k-1titk.An-km-1kti số có m chữ số trong đó có k chữ số định trước có số lần xuất hiện tương ứng là t1, t2,,tk và (1kti≤m ) và các chữ số còn lại xuất hiện không quá 1 lần.
 Thật vậy: Có Cmt1 cách chọn vị trí cho chữ số xuất hiện t1 lần. Tiếp theo có Cm-t1t2 cách chọn vị trí cho chữ số xuất hiện t2 lần,, có Cm-1k-1titk cách chọn vị trí cho chữ số xuất h