SKKN Hướng dẫn học sinh sử dụng tư duy hàm số để giải hệ phương trình

 MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lí do chọn đề tài 
 1.2. Mục đích nghiên cứu 
 1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 1.4. Phương pháp nghiên cứu 
 1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 
01
01
01
02
02
02
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
03
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
03
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
04
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 2.3.1 Mục tiêu của giải pháp 
 2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 
 2. 3.2.1 GP1: Tư duy hàm số giải hệ phương trình
 2.3.2.2 GP2: Giải các hệ thường gặp bằng phương pháp hàm số.
 2.3.2.3 GP3: Xây dựng các dấu hiệu nhận biết một hệ phương trình có thể giải được bằng phương pháp hàm số.
Dấu hiệu 1: Hệ phương trình có phương trình độc lập được ẩn số
Dấu hiệu 2: Hệ phương trình có sự tương tự của hai nhóm ẩn số
Dấu hiệu 3: Xử lý phương trình trung gian sau phép thế
 2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” trong giải hệ phương trình
Kĩ thuật 1: ÉP hàm đặc trưng về từng khoảng đồng biến ( nghịch biến ).
Kĩ thuật 2: ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng cách xét dấu cho biến.
Kĩ thuật 3: ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng qua phép giải toán trung gian
Kĩ thuật 4: ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng phương pháp hệ số
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
05
05
05
11
 16
3. KẾT LUẬN 
18
3.1. Kết luận
18
3.2. Kiến nghị
18
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI	
Phương trình, hệ phương trình là một vấn đề quan trọng của Toán học phổ thông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT. Đây là một vấn đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh các cấp học. Việc giải toán phương trình, hệ phương trình cũng rất đa dạng và phong phú, ngoài việc phân loại theo các dạng toán cơ bản đặc trưng chúng ta cũng có thể phân loại theo phương pháp giải toán. Do sự đa dạng về dạng toán, phương pháp giải cũng như mật độ xuất hiện dày đặc trong các đề thi nên học sinh có một khối lượng lớn các kiến thức và bài tập thực hành khổng lồ. Vì vậy, nếu không có chiến lược trong cách học phần kiến thức này học sinh rất dễ sa vào việc chỉ lo giải bài tập toán mà không có những định hướng tư duy phương pháp. 
 Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học, làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh. Bài tập giải phương trình, hệ phương trình là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong các đề thi ở mức độ cao. Tuy nhiên các nội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá đơn giản, rải rác từ lớp 10 đến lớp 12, và không phân loại dạng toán, phương pháp. Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh.
 Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toán phương trình, hệ phương trình. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải bài toán hệ phương trình” bằng “tư duy hàm số”.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã trang bị cho học sinh để giải toán hệ phương trình. Đó là: “ Hướng dẫn học sinh sử dụng tư duy hàm số để giải hệ phương trình ”. Từ đó đề ra các giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải toán phương trình, hệ phương trình của học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Các dấu hiệu nhận biết bài toán hệ phương trình giải được bằng tư duy hàm số.
Các kĩ thuật giải một bài toán hệ phương trình bằng tư duy hàm số.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề
Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm
Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh
Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề liên quan đến nội dung đề tài
Phương pháp thống kê, phân tích số liệu
1.5. NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN
SKKN này tiếp nối và hoàn thiện hệ thống tư duy hàm số giải phương trình, hệ phương trình. SKKN này tập trung giải quyết trọn vẹn tư duy hàm số về hệ phương trình. (Phần tư duy hàm số để giải phương trình đã được giải quyết trọn vẹn ở SKKN năm học 2016 ).
Những điểm mới của SKKN là:
 1- Phát triển và mở rộng tư duy hàm số cho học sinh trên bài toán hệ phương trình.
	2- Phân loại các dạng toán cơ sở về hệ phương trình giải được bằng tư duy hàm số
	3- Giải quyết triệt để một số khó khăn khi dùng phương pháp khác giải một số hệ cơ bản ( Hệ đối xứng, hệ hoán vị....)
	4- Xây dựng và hoàn thiện các dấu hiệu nhận biết một hệ phương trình giải được bằng tư duy hàm số.
	5- Sáng tạo nên các kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” để giải hệ phương trình.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.1. Hàm số đồng biến, nghịch biến
- Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K
Hàm số f đồng biến trên nếu 
Hàm số f nghịch biến trên nếu [1]
- Nhận xét:
Cho xác định trên K, ta có: Với 
2.1.2. Phương pháp chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến
- Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số trên K ta dựa vào 2 phương pháp sau:
* Phương pháp 1: Dùng định nghĩa [1]
+ Lấy , lập tỉ số 
+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu 
Nếu thì hàm số f đồng biến
Nếu thì hàm số f nghịch biến biến 
*Phương pháp 2: Dùng đạo hàm [2]
 Định lí : Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng .
 a) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng .
b) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng .
c) Nếu với mọi thì hàm số không đổi trên khoảng .
- Nhận xét:
 + Nếu chỉ tại một số hữu hạn điểm của thì có thể mở rộng định lí trên cho ( hoặc ).
 +Nếu chứng minh hàm số đồng biến( nghịc biến) trên thì thêm tính chất hàm số phải lên tục trên và thỏa mãn định lí trên.
 + Học sinh cần phân biệt tính đơn điệu của hàm số trên Tập xác định khác với việc hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng của Tập xác định.
 2.1.3. Tư duy hàm số về phương trình
Định lí 1: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên D  thì số nghiệm của trên D không nhiều hơn một và khi và chỉ khi với mọi thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a)=k và f đồng
Trong trang này: Mục 2.1.1 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [1].
- Mục 2.1.2 tác giả tham khảo có bổ sung từ TLTK [1], [2].
biến trên D nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số 
y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên D  thì số nghiệm trên của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. 
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).
Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm 
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm 
Vậy phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
 Định lí 3: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên k khoảng rời nhau thì phương trình có nhiều nhất k nghiệm .
Chứng minh:
Theo Định lí 1, trên mỗi khoảng phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm nên trên k khoảng rời nhau phương trình có nhiều nhất k nghiệm.
2.1.4. Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình
Dạng 1: “Khảo sát trực tiếp hàm số của phương trình”
Bài toán: Giải phương trình : “h(x) = g(x)” (1)
 Bước giải toán:
Bước 1: Biến đổi (1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x) trên D
Bước2: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số trên D để suy ra số nghiệm tối đa của phương trình (2).
Bước 3: Chỉ ra đủ số nghiệm cần thiết và kết luận cho phương trình (1).
Dạng 2: “Khảo sát hàm đặc trưng của phương trình”
Bài toán: Giải phương trình : “h(x) = g(x)” (1)
 Bước giải toán:
Bước 1: Biến đổi (1) về dạng 
Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên 
Bước 3: Kết luận: (1)u(x) = v(x).
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.2.1.Thuận lợi:
 Nội dung phương trình, hệ phương trình được học sinh làm quen từ THCS nên gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác cơ bản.
Trong trang này: Mục 2.1.3 tác giả tổng hợp từ TLTK [5]. Mục 2.1.4 do tác giả viết.
Phương trình, hệ phương trình xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh vào 10 cho đến các kì thi THPT Quốc Gia nên học sinh được làm quen với một khối lượng lớn các bài tập đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội dung cũng như dạng toán.
2.2.2. Khó khăn:
 Do đây là một nội dung khó, lại xuất hiện trong các đề thi với tư cách là câu 
phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn. Vì vậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực để vượt qua. Thậm chí một phần lớn học sinh xác định bỏ luôn phần này, không để ý rèn luyện.
 Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài toán. 
Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưa thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp. Do đó hiệu quả học và giải toán chưa cao. Việc vận dụng tư duy hàm số vào giải phương trình, hệ phương trình còn mang nặng tính cảm tính, thử nghiệm, chưa có đường lối rõ ràng, các dấu hiệu nhận biết không định hướng nên chưa tự tin khi vận dụng giải toán.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 2.3.1.Mục tiêu của giải pháp
Đưa ra được nội dung phương pháp hàm số, các dấu hiệu nhận biết một hệ phương trình có thể giải được bằng tư duy hàm số và các kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” khi giải hệ phương trình. 
 2. 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
 2. 3.2.1 GP1: Tư duy hàm số giải hệ phương trình
 Có nhiều cách khác nhau để phân loại tư duy hàm số trong giải hệ phương trình, nhưng tựu chung lại có thể chia thành 4 dạng cơ bản như sau:
Dạng Toán
Dấu hiệu phân loại
Dạng 1
Một phương trình trong hệ thu được phép thế bằng phương pháp hàm số.
Dạng 2
Sau phép thế, phương trình thu được giải bằng phương pháp 
hàm số.
Dạng 3
Hệ phương trình giải hoàn toàn bằng phương pháp hàm số
(Kết hợp của Dạng 1 và dạng 2)
Dạng 4
Sử dụng tư duy hàm số trong quá trình trung gian giải toán hệ phương trình ( Tư duy hàm số xuất hiện sau các phép ẩn phụ,
biến đổi, đánh giá )
Trong trang này: Mục 2.2; 2.3.1; 2.3.2.1 do tác giả viết.
2.3.2.2 GP2: Giải các hệ thường gặp bằng phương pháp hàm số.
Một số hệ phương trình thường gặp khi giải theo phương pháp truyền thống sẽ gặp khó khăn hoặc không giải được thì nhờ tư duy hàm số có thể giải quyết nhanh chóng. Đây là một bổ sung hiệu quả, toàn diện cho học sinh về tư duy giải hệ phương trình.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình : 
Tư duy: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 quen thuộc đối với học sinh. Tuy nhiên định hướng giải bằng phép trừ 2 vế tương ứng các phương trình trong hệ để thu được nhân tử là không giải được. Do đó tư duy hàm số khi nhìn thấy vai trò bình đẳng của các ẩn giúp ta xử lí trọn vẹn bài toán này
Lời giải
Từ hệ phương trình ta có :
với là hàm số xác định trên .
Mà : 
Suy ra hàm số đồng biến trên .
Do đó: 
Thay vào pt trong hệ ta thu được pt: 
Xét hàm số : trên 
Ta có: 
Khi đó:
Hàm số nghịch biến trên có tối đa một nghiệm trên 
Mà , nên pt 
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất: .
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh nhận ra ngay hệ đối xứng loại 2 
nhưng lại không biết cách xử lí để thu được phép thế , vì cứ tập trung biến
Trong trang này: Ví dụ 1 do tác giả đề xuất, lời giải của tác giả.
đổi mà không nghĩ đến vai trò bình đẳng trong tư duy hàm số. Phương trình thu được sau phép thế , học sinh có thể giải bằng phương pháp liên hợp không hoàn toàn nhưng cuối cũng vẫn phải dùng tư duy hàm số mới giải quyết được.
Sau quá trình giải toán ví dụ 1, học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí bằng hàm số là ngắn gọn và dễ thực hành hơn cả. Điều đó phản ánh ưu điểm của tư duy hàm số đối với bài toán này.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình : 
Tư duy: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 quen thuộc đối với học sinh. Tuy nhiên định hướng giải bằng phép ẩn phụ là khó khăn vì phép biến đổi dài. Phép bình phương cũng sẽ gặp khó khăn vì số bậc tăng nhanh. Tư duy hàm số giúp ta giải nhanh bài toán này.
Lời giải
Điều kiện : 
Từ hệ ta có : (*)
với là hàm số xác định trên .
Mà : 
(Vì thì , còn thì nên )
Mà hàm số liên tục trên 
Suy ra hàm số đồng biến trên. 
Mặt khác: 
Suy ra: , do đó xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: . Nhận thấy thỏa mãn hệ đã cho.
Trường hợp 2: 
Khi đó: pt(*) vô nghiệm nên hpt vô nghiệm.
Trường hợp 3: 
Khi đó: pt(*) vô nghiệm nên hpt vô nghiệm.
Kết luận: Hệ pt có nghiệm duy nhất .
Trong trang này: Ví dụ 2 do tác giả đề xuất, lời giải của tác giả.
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh nhận ra ngay hệ đối xứng loại 1, tuy nhiên phép bình phương hoặc đặt ẩn phụ gặp nhiều khó khăn nên đa số học sinh không hoàn thành lời giải bài toán.
Lời giải bài toán ấn tượng khi sáng tạo được: “phép cộng hàm số và ép hàm đặc trưng” .
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình [3]. 
Tư duy: Đây là hệ phương trình hoán vị vòng quanh quen thuộc đối với học sinh. Hệ giải được bằng phương pháp hàm số khi các hàm đặc trưng hoặc đồng biến hoặc nghịch biến trên toàn miền khảo sát nghiệm.
Lời giải
 Điều kiện . Hệ pt 
Xét hàm số đồng biến trên , vì: .
 Hàm số nghịch biến trên .
 Giả sử là nghiệm của hệ, ta chứng minh ; 
 Xét : Ta có: 
Xét , tương tự . Lập luận như trên ta được: 
 Ta chỉ xét .Giải pt ta có nghiệm duy nhất . 
Vậy nghiệm của hệ: . 
Nhận xét
Bài toán này học sinh đã được học tư duy hàm số nên đội tuyển Toán THPT Hoằng Hóa 3, năm học 2014 - 2015 đều giải trọn ven.
Trong trang này: Ví dụ 3 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [3].
2.3.2.3 GP3: Xây dựng các dấu hiệu nhận biết một hệ phương trình có thể giải được bằng phương pháp hàm số.
Việc chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng để học sinh nhận biết một hệ phương trình có thể giải được theo tư duy hàm số là một điều cần thiết. Các dấu hiệu đặc trưng được thông qua các ví dụ cụ thể đã được tiến hành với các quá trình giải toán của học sinh như sau:
Dấu hiệu 1: Hệ phương trình có phương trình độc lập được ẩn số
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình : [4].
Tư duy: Phương trình đầu tiên của hệ phương trình có thể độc lập được ẩn số, do đó ta có thể sử dụng tư duy hàm số để giải phương trình một ẩn này.
Lời giải
Điều kiện: (*). Đặt phương trình (1) có dạng: 
với hàm số nghịch biến trên .
Vậy ta có: 
Khi đó phương trình (2) có dạng: 
(Vì hàm số đồng biến trên khoảng )
KL: Hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: .
Nhận xét
Đây là một bài toán hay và học sinh thực hành bài toán này đã rèn luyện được nhiều kĩ năng khi giải hệ phương trình bằng tư duy hàm số.
Dấu hiệu 2: Hệ phương trình có sự tương tự của hai nhóm ẩn số
Đây là dấu hiệu thường gặp khi giải hệ phương trình theo tư duy hàm số.
Ví dụ 5. Giải hệ pt : [4].
Tư duy: Phương trình đầu tiên của hệ phương trình có sự tương tự của hai nhóm ẩn số và , do đó ta có thể tư duy hàm số tìm phép thế .
Trong trang này: Nội dung phương pháp, dấu hiệu là do tác giả phát hiện và viết.
 Ví dụ 4, ví dụ 5 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [4].	
Lời giải
Điều kiện: (*).
Khi đó: .
Hàm số đồng biến trên nên: 
Thế vào phương trình còn lại, ta được: (3).
Đặt , phương trình (3) trở thành hệ: 
Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được: 
Thế vào hệ: .
Với ,thoả mãn (*). Vậy, hệ đã cho có nghiệm: .
Nhận xét
Đây là đáp án của đề thi, việc giải phương trình (3) cũng tương đối lắt léo, nếu học sinh không quen dạng chắc chắn gặp khó khăn,thậm chí là không giải được.
Trong thực tiến khi dạy học sinh, bài toán này một số học sinh giỏi đã giải phương trình (3) theo hướng sáng tạo theo tư duy hàm số. 
Dấu hiệu 3: Xử lý phương trình trung gian sau phép thế
Đây là một đặc trưng khá hay, nó là thao tác phối kết hợp nhiều phương pháp cho việc giải một bài toán. Không có phương pháp vạn năng để giải mọi bài toán, vì vậy cần phải sáng tạo để vận dụng linh hoạt, hợp lí hệ thống các phương pháp giải toán để giải quyết một bài toán.
Ví dụ 6. Giải hệ pt : [5].
Tư duy: Hệ phương trình này dấu hiệu hàm số không xuất hiện ngay ban đầu, có chăng chỉ xuất hiện “trung gian khi xử lí phương trình sau phép thế”.
Lời giải
Điều kiện . Ta có : . và .
 Suy ra: . Đẳng thức xảy ra: 
Thế vào phương trình (2) ta có:
Trong trang này: Nội dung phương pháp, dấu hiệu là do tác giả phát hiện và viết.
Ví dụ 6 tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải của tác giả.
Vấn đề là ta giải phương trình (3) bằng tư duy hàm số
Với mọi 
Hàm số : nghịch biến trên 
. 
Do đó, với mọi ta có: 
 hay pt(3) vô nghiệm
Vậy, hệ có nghiệm duy nhất 
Nhận xét
Đây là một thao tác thường gặp khi giải phương trình thu được sau phép thế.
Học sinh đã được học tư duy hàm số cho phương trình nên chủ động đánh giá phương trình (3) bằng hỗ trợ của Máy tính cầm tay.
2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” trong giải hệ phương trình
Khi giải hệ phương trình nếu một phương trình có dạng hàm đặc trưng, mà hàm đặc trưng lại luôn đồng biến (hoặc nghịch biến trên một khoảng cùng chứa ) thì chúng ta thu ngay được phép thế , và chuyển việc giải hệ về giải phương trình một ẩn. Tuy nhiên có một số hệ mà : việc xuất hiện hàm đặc trưng chưa có ngay, hàm đặc trưng trên nhiều khoảng, hàm đặc trưng chưa chịu đồng biến, nghịch biến..... chúng ta phải “ép” nó thành hàm đặc trưng chính quy để giải toán.
Sau đây là một số kĩ thuật cơ bản
Kĩ thuật 1: ÉP hàm đặc trưng về từng khoảng đồng biến (nghịch biến).
Mục đích: Bằng đánh giá điều kiện kéo theo từ phương trình còn lại của hệ hoặc đánh giá về dấu để u, v nằm cùng một khoảng mà hàm đặc trưng đồng biến hoặc nghịch biến
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình:
 [5].
Tư duy: Pt(1) với trên .
Mà: đang đổi dấu theo t
Hàm này nghịch biến trên và đồng biến trên 
Vấn đề : Ta phải dùng pt(2) để ÉP cho vào cùng mỗi tập A, B
Thật vậy, ta có ĐKXĐ ở pt(2) là: 
Khi đó, xảy ra các trường hợp sau:
 TH1:, suy ra ta ÉP được vào A
 TH2:, suy ra ta ÉP được vào B
Nói tóm lại: Ta “ép hàm đặc trưng” về từng khoảng đồng biến B hoặc nghịch biến A
Lời giải
Từ suy luận trên dẫn tới phép thế: , và ta thu được phương trình:
 : Phương trình này có nhiều cách giải .
Nhận xét
Đây là một kĩ thuật hay và sáng tạo, học sinh rất thích thú với việc tạo ra kĩ thuật này. Điều đó thôi thúc học sinh chỉ động tìm kiếm các kiến thức mới, kĩ thuật giải toán mới.
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình 
 [4].
Tư duy: Phương trình đầu tiên của hệ phương trình có thể độc lập được ẩn số, do đó ta có thể sử dụng tư duy hàm số để giải phương trình một ẩn này.
Trong trang này: Nội dung phương pháp, các kĩ thuật là do tác giả sáng tạo và trình bày.
 Ví dụ 7 tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải của tác giả.
Lời giải
Điều kiện: và (*)
Xét pt(1): Đặt t = 2x – y, phương trình (1) trở thành: (3)
Hàm số: nghịch biến và đồng biến trên 
Mà t = 1 thỏa mãn (3), nên t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3) 
Vậy: 
Ta có 
Hàm số trên nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .
Vấn đề : Ta phải ÉP cho vào cùng mỗi tập A, B
Thật vậy:
Với ta có thỏa mãn hệ phương trình đã cho.
Từ 
	Với ta có:
	Suy ra với ta luôn có 
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 
Nhận xét
Lời giải trên là đáp án chính thức, tuy nhiên trong quá trình giảng dạy các lớp học sinh giỏi, học sinh có những cách giải rất sáng tạo khi dùng tư duy hàm số.
Chẳng hạn: Đặt t = 2x – y, phương trình (1) trở thành:
 .
Hay để ép vào cùng mỗi tập A, B, học sinh dùng phản chứng như sau:
Giả sử suy ra hoặc , mà hai trường hợp này đều dẫn đến phương trình (4) vô nghiệm.
Trong trang này: Nội dung phương pháp, các kĩ thuật là do tác giả sáng tạo