Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp đưa về xét hàm một biến số để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Họ và tờn tỏc giả: Đào Văn Lương
Chức vụ: Tổ trưởng chuyờn mụn
Tổ chuyờn mụn: Toỏn – tin học
Đơn vị cụng tỏc: Trường THPT chuyờn tỉnh Lào Cai
CHỨC VỤ: TỔ TRƯỞNG CHUYấN MễN
TỔ : TOÁN TIN HỌC
ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT CHUYấN TỈNH LÀO CAI
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
------------oOo------------
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ XẫT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Lào Cai, thỏng 4 năm 2014
Mục lục
Nội dung
Trang
Đặt vấn đề
4
Giải quyết vấn đề
4
Cơ sở lý luận của vấn đề
4
Thực trạng của vấn đề
4
Cỏc biện phỏp đó tiến hành để giải quyết vấn đề
4
Cỏc kiến thức chuẩn bị
6
Phương phỏp đưa về xột hàm số một biến số để tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất.
8
Phương phỏp khảo sỏt lần lượt từng biến để tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất.
15
Bài tập ỏp dụng
20
Hiệu quả của SKKN
22
Kết luận
22
Tài liệu tham khảo
23
Danh mục chữ cỏi viết tắt
Chữ viết tắt
Giải nghĩa
SKKN
Sỏng kiến kinh nghiệm
GTLN
Giỏ trị lớn nhất
GTNN
Giỏ trị nhỏ nhất
SGK
Sỏch giỏo khoa
VMO
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Việt Nam mụn Toỏn
(Vietnamese Mathematical Olympiad )
BĐT
Bất đẳng thức
ĐH –B2013
Đề thi đại học khối B năm 2013
IMO
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toỏn quốc tế
(International Mathematical Olympiad)
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
	Trong chương trình bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán trung học phổ thông, chuyờn đề bất đẳng thức, cực trị là một nội dung không thể thiếu, các bài toán về bất đẳng thức và tỡm cực trị luôn luôn chiếm một vị trí quan trọng trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia và trong cỏc đề thi tuyển sinh đại học bất đẳng thức, cực trị thường là cõu dựng để phõn loại học sinh.
Chuyờn đề bất đẳng thức và cực trị học sinh được học từ rất sớm, hiện nay trờn thị trường đó cú rất nhiều tài liệu tham khảo cung cấp rất nhiều cỏc phương phỏp để chứng minh bất đẳng thức hay tỡm cực trị của cỏc biểu thức. Tuy nhiờn trong quỏ trỡnh dạy học tụi nhận thấy xu hướng ra đề thi đại học và học sinh giỏi của nhiều năm gần đõy phương phỏp hàm số nổi lờn như một phương phỏp hiệu quả để giải quyết cỏc bài toỏn về tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức. Vỡ vậy tụi đó lựa chọn đề tài:
“PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ XẫT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ”
làm đề tài sỏng kiến kinh nghiệm của mỡnh trong năm học 2013-2014.
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề
Nghiên cứu và trình bày chuyên đề 
“PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ XẫT HÀM MỘT BIẾN SỐ ĐỂ TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ”
nhằm cung cấp cho học sinh cỏch suy nghĩ để giải quyết cỏc bài toỏn tỡm GTLN và GTNN bằng cỏch đưa về khảo sỏt đối với hàm số cú một biến số. Trong SKKN ta cựng xột cỏc ý tưởng để chuyển húa cỏc bài toỏn tỡm GTLN, GTNN của cỏc biểu thức cú chứa nhiều biến về xột với hàm số một biến số và trong SKKN cũng sẽ cung cấp cỏc nhận xột quan trọng của phương phỏp, từ đú giỳp học sinh hiểu rừ phương phỏp và cú một cụng cụ hiệu quả để giải quyết lớp bài toỏn này. 
2.2. Thực trạng của vấn đề
Chuyờn đề bất đẳng thức, cực trị là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Xuất hiện nhiều trong các đề thi chọn học sinh giỏi toỏn cỏc cấp và trong kỳ thi tuyển sinh vào đị học, cao đẳng hàng năm. Tuy nhiên việc giải quyết được cỏc bài toỏn về tỡm GTLN và GTNN là khụng đơn giản. Nó đòi hỏi người làm toán ngoài việc hiểu rõ kiến thức, có các kỹ năng cần thiết thì cần phải có một tư duy sáng tạo, sắc bén. 
2.3. Cỏc biện phỏp đó tiến hành để giải quyết vấn đề
Trong phần này SKKN sẽ trỡnh bày cỏc nội dung chớnh là:
Đ 1 Cỏc kiến thức chuẩn bị.
Đ 2 Phương phỏp đưa về xột hàm số một biến số để tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Đ 3 Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương phỏp khảo sỏt lần lượt từng biến số.
Trong mỗi nội dung được trỡnh bày đều nờu rừ cơ sở của phương phỏp, đưa ra cỏc phõn tớch, định hướng cỏc lời nhận xột cần thiết. Cuối cựng là đề xuất một số bài tập tương tự để người đọc tự rốn luyện. 
Đ 1 Cỏc kiến thức chuẩn bị
I. Khỏi niệm về giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên D. 
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu : 	 	Kí hiệu : .
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu : 	 	Kí hiệu : .
II. Phương phỏp chuẩn húa
1. Một số định nghĩa.
Định nghĩa 2: Ta bảo H(x,y,z) là một đa thức đẳng cấp bậc k (k nguyờn dương) nếu 
 H(tx, ty, tz) = tk H(x, y, z).
Định nghĩa 3: Ta bảo, f(x, y, z) và g(x, y, z) là hai đa thức đồng bậc m (nguyên dương) nếu 
2) Phương phỏp chuẩn húa
a) Bài toỏn 1: Cho H(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc k và hàm số F(x, y, z) thỏa mãn 
F(x, y, z) = F(x, y, z). Khi đó giá trị của F(x, y, z) trên miền {(x, y, z)| H(x, y, z) = a, a > 0} không thay đổi khi a thay đổi.
Chứng minh.
 Thật vậy, giả sử M(x, y, z): H (x, y, z) = a1
	M’(x’, y’, z’): H(x’, y’, z’) = a2; a1 ạ a2; a1, a2 > 0
 Ta có 
đặt 
Ta có: 
Mặt khác : 
b) Phương phỏp chuẩn húa
Từ việc chứng minh bài toỏn trờn, ta nhận được kết quả là: Để tìm giá trị của F(x, y, z) trên miền H(x, y, z) ta chỉ cần tìm giá trị của F(x, y, z) trên miền H(x, y, z) = a, cố định thích hợp. Trong đú H(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc k. Cỏch làm này ta gọi là phương phỏp chuẩn húa.
3) Mở rộng 
Bài toỏn 2: Cho bất đẳng thức: f(x, y, z) g(x, y, z) (*) 
Với f, g đồng bậc và H(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc k. Nếu bất đẳng thức (*) đúng trên miền H(x, y, z) = a1 thì cũng đúng trên miền H(x,, y,, z,) = a2 với a1, a2 > 0. 
Chứng minh
Tương tự:
Khi đó: 
Nhận xột: Như vậy để chứng minh (*) đúng trên miền H(x,y,z) chỉ cần chứng (*) đúng trên miền H(x, y, z) = a > 0 cố định. Việc chọn giá trị a là rất quan trọng, bởi vỡ thay cho việc nghiờn cứu tớnh đỳng đắn của (*) trờn miền H(x,y,z) bất kỳ thỡ ta đó chuyển về việc nghiờn cứu tớnh đỳng đắn của (*) xột trờn miền H(x,y,z) = a. 
Đ 2 Phương phỏp đưa về xột hàm số một biến số để tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất.
1. Bài toỏn mở đầu:
Trước hết ta hóy xột bài toỏn sau: 
Bài toỏn 1: (Cõu V. Khối D-2009). Cho cỏc số thực khụng õm x, y thay đổi và thỏa món: x+y=1. Tỡm GTLN, GTNN của biểu thức: S=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy.
Hướng dẫn giải
Để tận dụng giả thiết x+y=1 ta biến đổi như sau:
S=16x2y2+12(x3+y3)+34xy = 16x2y2+12[(x+y)3-3xy(x+y)+34xy
 = 16x2y2-2xy+12.
Đặt t=xy, khi đú biểu thức:
S=f(xy) = f(t) = 16t2-2t+12.
Tiếp theo ta đỏnh giỏ xem với x,y khụng õm và x+y=1 thỡ miền giỏ trị của biến mới t như thế nào?
Dễ thấy: 
Như vậy bài toỏn bõy giờ trở về một bài toỏn đơn giản:
Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của f(t)= 16t2-2t+12 với 
Bằng phương phỏp lập bảng biến thiờn của hà f(t) trờn , hoặc sử dụng qui tắc trang 21 SGK – Giải tớch 12, ta dễ dàng nhận được 
Nhận xột 1:
10) Ở bài toỏn trờn ta cũng cú thể từ giả thiết x+y=1 rỳt y=1-x rồi thay vào biểu thức S sẽ đưa S về hàm bậc 4 đối với ẩn x, , sau đú tiến hành tương tự, tuy nhiờn cỏch này khi thực hiện sẽ dài và biểu thức của S khụng thuận lợi như cỏch làm trờn.
20) Trong cỏch làm trờn ta đó chuyển biểu thức của S về hàm f(xy), rồi sử dụng phộp đặt ẩn số phụ. Cần lưu ý tới cỏc giả thiết của bài toỏn và ở dạng toỏn này khi đổi biến nhất thiết phải đặt chớnh xỏc điều kiện cho biến mới.
2. Áp dụng.
Bài toỏn 2: Cho x, y là cỏc số thực và thỏa món điều kiện x2+y2=2. Tỡm GTLN, GTNN của biểu thức: P=2(x3+y3) – 3xy
Hướng dẫn giải:
So sỏnh với bài toỏn 1, rừ ràng việc xuất phỏt từ giả thiết của bài toỏn để rỳt biến x theo y rồi thế vào biểu thức P khú thực hiện được, do đú một suy nghĩ tự nhiờn là ta sẽ tỡm cỏch biểu diễn biểu thức P theo một ẩn số cú chứa cả x và y rồi sử dụng phộp đặt ẩn số phụ.
Ta cú: 
Mặt khỏc, ta luụn cú đẳng thức hiển nhiờn sau:
, vỡ thế sau khi đặt t=x +y, thỡ 
Vấn đề cũn lại với giả thiết ban đầu thỡ biến mới t như thế nào?
Lại cú: 
Đến đõy bài toỏn trở về bài toỏn tỡm GTLN và GTNN của hàm số 
, với 
(Đõy là bài tập quen thuộc trong SGK giải tớch 12).
Bài toỏn 3. (Đại học khối B-2012)
Cho cỏc số thực x, y, z thỏa món cỏc điều kiện và Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
Hướng dẫn giải
*) Đưa P về hàm ẩn x?
Ta cú: 
 =
*) Tỡm miền giỏ trị của x?
Do x+y+z=0 và x2+y2+z2=1. Nờn ta cú:
Suy ra: 
*) Bài toỏn trở thành: Tỡm giỏ trị lớn nhất của hàm P=f(x)= , với 
Bài toỏn 4. (Đại học khối B-2011) Cho cỏc số thực a, b, là cỏc số thực dương thỏa món điều kiện :. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn giải
Lưu ý rằng:
*) = f(t)=4t3-9t2-12t+18, với 
*) Tỡm miền giỏ trị cho biến mới t?
Từ giả thiết: 
= 
Giải bất phương trỡnh này, sẽ tỡm được điều kiện: 
Bài toỏn trở thành: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm: f(t)=4t3-9t2-12t+18, với 
Bài toỏn 5 (VMO-2003- bảng A).
Cho hàm số f xỏc định trờn tập hợp số thực R, lấy giỏ trị trờn R và thoả món điều kiện:
f(cotx) = sin2x+cos2x, với x(0;). Hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của hàm số 	g(x) = f(x).f(1-x) trờn [-1;1] 
Hướng dẫn giải
Ta cú: f(cotx) = sin2x+cos2x, với x(0;).
Đặt t=cotx, khi x(0;) thỡ t thuộc R.
Hàm 
Dẫn đến : g(x) = f(x).f(1-x) = 
Đặt u=x(1-x). Khi x thuục [-1 ;1] thỡ u thuộc [-2 ;1/4]
Bài toỏn trở thành :
Tỡm GTLN, GTNN của hàm (đến đõy là bài tập SGK).
Bài toỏn 6 (VMO-2004 bảng B):
Xột cỏc số thực dương x, y, z thỏa món điều kiện . Hóy tỡm GTNN và GTLN của biểu thức : 
Hướng dẫn giải
Đặt t=xy+yz+zx, đưa Q về dạng Q= 2(t2-32t+144)
*) Tỡm điều kiện của t?
Từ giả thiết, suy ra y+z=4-x và yz=2/x
nờn t=x(4-x)+2/x(*)
Sử dụng BĐT hiển nhiờn: 
Khảo sỏt hàm t(x) trờn miền x ở trờn suy ra điều kiện của t. Khi đú bài toỏn trở về bài toỏn SGK.
Bài toỏn 7. (Đề thi đại học khối B-2010)
Cho cỏc số thực a ,b ,c khụng õm thỏa món a + b + c = 1 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
M = 
Hướng dẫn giải
Nhận xột rằng đõy là bài toỏn tỡm GTNN của biểu thức đối xứng giữa ba biến, việc suy nghĩ theo hướng rỳt thế để giảm dần số biến qui về hàm một biến rất khú thực hiện.
Hơn nữa, ta cú: 
Như vậy, qua cỏch biểu diễn trờn ta đó đưa M về dạng chỉ chứa cỏc biểu thức ab, bc, ca.
Làm thế nào để biểu thị M thụng qua biểu thức của hàm chỉ chứa một biến số, ta nghĩ đến một đỏnh giỏ trung gian, khỏ tự nhiờn là:
, khi đú
Đặt t=ab+bc+ca thế thỡ: 
Mặt khỏc: (BĐT hiển nhiờn).
Nờn đến đõy bài toỏn được đưa về đưa về bài toỏn SGK. Tỡm GTNN của với 
Nhận xột 2: 
30) Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng cỏc đỏnh giỏ trung gian để làm trội biểu thức cần tỡm GTLN và GTNN, khi sử dụng cỏc đỏnh giỏ trung gian này cần phải lưu ý đến việc dấu bằng xảy ra đồng thời của cỏc bất đẳng thức trung gian mà ta sử dụng.
Bài toỏn 8. (HSG tỉnh phỳ Thọ 2013-2014).
Cho cỏc số dương thay đổi thỏa món Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
Hướng dẫn giải
Vỡ nờn ta cú 
Suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Tương tự Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Do đú 
Xột hàm số với .
Chứng minh được Vậy 
Bài toỏn 9: Cho x, y, z là cỏc số thực thỏa món x2 + y2 + z2 = 9, tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: F = 2(x + y + z) – xyz.
Hướng dẫn giải
Do vai trũ a, b, c bỡnh đẳng giả sử z2 3.
Ta cú F = 2(x + y) + (2 – xy)z
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta cú:
Theo bài ra ta suy ra: F (1)
Đặt xy = t, vỡ x2 + y2 + z2 = 9 x2 + y2 = 9 – z2 , mà:
 2 x2 + y2 9 – z2 6 nờn -3 t 3, từ đú bất đẳng thức (1) trở thành: 
F F 
Xột hàm số f(t) = 2t3 + t2 - 20t + 72 với t [-3, 3], ta chứng minh:
 f(t) = 2t3 + t2 - 20t + 72 100 (2)
 2t3 + t2 – 20t – 28 0
 (t + 2)(2t2 – 3t - 14) 0
 (t + 2)2(2t – 7) 0
Do t[-3, 3] nờn bất đẳng thức trờn đỳng, dấu ‘=’ xảy ra t = - 2.
Suy ra: F 10 (3)
Dấu ‘=” của bđt (1) xảy ra .Xột hệ: 
 (x, y, z) = (2, -1, 2), (-1, 2, 2).
Vậy GTLN của F = 10 đạt được (x, y, z) = (2, -1, 2) và cỏc hoỏn vị của chỳng.
Nhận xột 3 :
40) Trong nhiều trường hợp để tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức ta cú thể kết hợp với phương phỏp chuẩn húa, để chuyển cỏc biểu thức cần tỡm GTLN và GTNN về cỏc biểu thức cú dạng đơn giản hơn đồng thời tạo ra cỏc điều kiện liờn hệ giữa cỏc biến.
Bài toán 10: Cho a, b, c > 0. Tỡm GTLN của 
Hướng dẫn giải
 Do F(a , b, c) = F(ta, tb, tc). Ta có thể xem a + b + c = 1.
 Suy ra: 
Giả sử: 
Ta có: 
Khi đó: 
Khảo sát hàm số f(a), ta có: maxđạt được khi a=b=c.
Bài toỏn 11: Cho a, b, c > 0. Tỡm GTNN của
Hướng dẫn giải
Do F(a, b, c) = F(ta, tb, tc). Ta chỉ tìm giá trị của Q trên miền 
 a2+b2+c2=3
Khi đó:
Đặt . Suy ra:
Suy ra: , khi a = b = c > 0
Đ 3 Phương phỏp khảo sỏt lần lượt từng biến để tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất.
1. Nhận xột 4 : Để tỡm cực trị của biểu thức cỳ chứa nhiều biến số cú thể dựng phương phỏp khảo sỏt lần lượt từng biến, nghĩa là Tỡm GTLN (hoặc GTLN) của hàm số với biến thứ nhất và cỏc biến cũn lại coi là tham số. Rồi tỡm GTLN(GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giỏ trị đó xỏc định của biến số thứ nhất mà cỏc biến số cũn lại coi như là tham số.
2. Vớ dụ minh họa.
Bài toỏn 12: 
Xột hàm số : f(x;y) = (1-x)(2-y)(4x-2y) trờn miền D = {(x,y)/ 0x1, 0y 2}
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số f trờn miền D.
Hướng dẫn giải
Biến đổi hàm số đó cho trở thành: f(x,y) = 2(1-x)(2-y)[(2-y)-2(1-x)]
Đặt v = 1-x và u = 2- y, ta chuyển về tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số: 
F(u,v) = uv(u-2v) = -2uv2+u2v, trờn miền : E = {(u,v)| 0u2 , 0v1}. Nghĩa là:
Tỡm 
Xột hàm : g(v) = -2uv2+u2v với 0v1 và ta coi u là tham số thoả món 0u2. Ta cú:
g'(v) = -4uv+u2 = u(u-4v) ta thấy g'(v) = 0 v0= mà 0 v0 [0;1] và qua v0 thỡ g'(v) đổi dấu từ dương sang õm, suy ra: = min{0;-2u+u2}=u2-2u 
(vỡ u2-2u = u(u-2)0) 
Vậy: = -1 khi u = 1; v = 1.
Từ đú đạt được khi 
Bài toỏn 13: Xột cỏc số thực dương a, b,c thoả món điều kiện: abc+a+c = b. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P = (VMO-1999-bảng A)
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết: abc+a+c = b a+c = b(1-ac) > 0 ac < 1 0<a < 
Rỳt b = (1) thay vào biểu thức P ta thu được: P = 
 P = = 
 = = (2)
Xột hàm số f(a) = với 0 0
Ta cú: f'(a) = trờn (0;) thỡ f'(a) = 0 a2+2ac -1 = 0 a = (0;) ( loại a = )
Bảng xột dấu:
 a 	 0 	1/c
 	 f'(a) - 0 + 0 -	 -
 f(a)
Qua a0 = thỡ f(a) đổi dấu từ dương sang õm nờn f(a) đạt cực đại tại a0=
 f(a)f(a0) = f() = 1+ từ đú theo (2) ta cú: 
P =2. f(a) + 2(1+)+ = += g(c)
Xột hàm số: g(c) = + với c > 0. Ta cú: g'(c) = 
Với c > 0 thỡ g'(c) = 0 tại c0 = và dễ thấy qua c0 thỡ g'(c) đổi dấu từ dương sang õm nờn g(c0) là giỏ trị cực đại, suy ra Pg() = . Giỏ trị P đạt được khi c = 
và a = = b = 
Bài toỏn 14: Xột cỏc số thực dương x, y, z thoả món hệ điều kiện sau : 
 Hóy tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P(x;y;z) = 
(VMO-2001-bảng B)
Hướng dẫn giải
Ta viết lại : P(x,y,z) = 
Từ điều kiện (1) suy ra: x z và từ (2) suy ra: x xmax {z, } (4) 
Xột hàm số : f(x) = với x > 0 và tham số là z . Xảy ra hai trường hợp sau đõy: (Rừ ràng ta nghĩ tới việc xột giỏ trị mà làm cho z = z =)
Nếu z thỡ x z theo (4) nờn: f(x) = (5)
Nếu z thỡ x z theo (4) nờn: f(x) = = g(z)
Xột hàm số g(z) = với z . Ta cú: g'(z) = = < 0 khi z [;]
Từ đú g(z) là hàm giảm và f(x) g(z) g() = 4 (6) 
So sỏnh (5) và (6) kết luận: f(x) = 4. Dấu "=" xảy ra = 4 z = x = (7) 
b. Xột hàm số h(y) = Từ điều kiện (1) và (3) suy ra y max{z;} (8)
Lập luận hoàn toàn tương tự như cõu a) ta được 
Nếu z thỡ h(y) 2 (9)
Nếu thỡ h(y) (10) . So sỏnh (9) và (10) rỳt ra : đồng thời : = 
 z = y = 
Từ cỏc kết quả a) và b) ta cú: P(x;y;z) = 4+2. = 13 
Vậy MaxP(x,y,z) = 13 đạt được khi 
Bài toỏn 15: Xột cỏc số thực dương a, b, c thoả món điều kiện: 21ab+2bc+8ca 12
Hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P(a,b,c) = 
(VMO- 2001)
Hướng dẫn giải
Đặt x = ; y =; z = , thỡ đề bài chuyển về bài toỏn sau:
Xột cỏc số thực dương x, y, z thoả món điều kiện: 2x+8y+21z12xyz. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
P(x,y,z) = x+2y+3z
Xuất phỏt từ giả thiết : 2x+8y+21z12xyz z(12xy-21)2x+8y > 0 (1)
Suy ra : P(x,y,z)x+2y+ (2)
Xột hàm số: f(x) = x+ = với biến là x > và y là tham số y >0
Ta cú: f'(x) = trờn (;+) thỡ f'(x) = 0 16x2y2-56xy-32y2+35 = 0 cú nghiệm duy nhất là x0 = và qua x0 thỡ f'(x) đổi dấu từ õm sang dương nờn f(x) đạt cực tiểu tại x0 . 
Từ đú f(x) f(x0) = (theo định lý ) = 2x0 -=2() -
 = 
Suy ra: P(x,y,z) f(x)+2y 2y+ = g(y) (3)
Xột hàm số g(y) = 2y+ với y > 0. Sau khi tớnh g'(y) ta cú: g'(y) = 0
 (8y2-9) -28 = 0 
đặt t = (Điều kiện t > 0) thỡ phương trỡnh trờn trở thành : t3 - 50t -112 = 0 
 (t-8)(t2+8t+14) = 0 t = 8 y = . từ đú g'() = 0
Với y > 0 và qua y0 = thỡ g'(y) đổi dấu từ õm sang dương nờn g(y) đạt cực tiểu tại y0 = lỳc đú:
g() = . Từ đú và theo (3) suy ra: P(x,y,z) g(y) g() = (Theo tớnh chất bắc cầu)
Dấu đẳng thức xảy ra 
Vậy : MinP(a,b,c) = .
 Nhận xột 5: Phương phỏp khảo sỏt lần lượt từng biến cho thấy đường lối giải rừ ràng hơn so với cỏch vận dụng bất đẳng thức, đồng thời cú thể dựng để giải một loạt cỏc bài toỏn tỡm cực trị của hàm nhiều biến.
Đ 4 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Tỡm GTLN, GTNN của biểu thức: 
Bài tập 2: (A-2006). Cho hai số thực thay đổi và thỏa món điều kiện: . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 3 (ĐH B-2009). Cho cỏc số thực x, y thay đổi và thoả món:
 (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 
A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
Bài tập 4. (ĐH B-2007). Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài tập 5. (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x³ y, x³ z. 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu biểu thức 
Bài tập 6. (ĐH A2012) Cho cỏc số thực x, y, z thỏa món điều kiện x +y + z = 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài tập 7. (ĐH A2013) Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món điều kiện . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài tập 8. (ĐH B2013) Cho a, b, c là cỏc số thực dương . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : 
Bài tập 9. (Ireland 2000). Cho . Tỡm GTLN của 
Bài tập 10. Xột cỏc số thực dương x, y, z thỏa món điều kiện (x+y+z)3=32xyz. Hóy tỡm GTNN và GTLN của biểu thức : (VMO-A-2004).
Bài tập 11. (IMO 1984/1). Cho x, y,z là cỏc số thực khụng õm sao cho: x+y+z=1. 
CMR: . Dấu ‘=’ xảy ra khi nào ?
Bài tập 12. (VMO-2001-bảng A). Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P(x,y,z) = 
Bài tập 13. 
Cho hàm số: f(x,y,z) =xy+yz+zx - 2xyz trên miền : D = {(x,y,z):0x,y,z và x+y+z = 1 }
Tìm và 
Bài tập 14. Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số thực đôi một khác nhau thì : 
Bài tập 15: Cho x, y, z R thoả mãn ba điều kiện :
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F(x,y,z) = 
---------------------------------------------------------------
2.4. Hiệu quả của SKKN
Sáng kiến kinh nghiệm này được ỏp dụng dạy cho đội tuyển thi chọn HSG cấp tỉnh và cấp Quốc gia trong năm học 2013-2014 đạt hiệu quả tốt, cú 4 học sinh đạt giải học sinh giỏi Quốc gia mụn Toỏn học. Sỏng kiến kinh nghiệm là chuyờn đề tốt được sử dung trong việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu. 
3. Kết luận
Bất đẳng thức, cực trị là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Xuất hiện nhiều trong các đề thi chọn học sinh giỏi toỏn cỏc cấp, trong cỏc đề thi tuyển sinh vào đại học và cao đẳng hằng năm. Tuy nhiên việc giải quyết được cỏc bài toỏn về bất đẳng thức, cực trị là khụng đơn giản. Nó đòi hỏi người làm toán ngoài việc hiểu rõ kiến thức, có các kỹ năng cần thiết thì cần phải có một tư duy sáng tạo, sắc bén. 
Sáng kiến kinh nghiệm này được ỏp dụng dạy cho đội tuyển thi chọn HSG cấp tỉnh và cấp Quốc gia cú hiệu quả. Sỏng kiến cũng cú thể được sử dụng thành chuyên đề để giúp học sinh THPT phát triển kỹ năng, kỹ xảo và tư duy trong quá trình giải toán. Sáng kiến cũng có thể được sử dụng như là một tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh yêu thích môn toán và chuẩn bị thi vào các trường đại học và cao đẳng, thi học sinh giỏi. Sáng kiến có thể phát triển thành đề tài nghiên cứu, gắn liền với chương trình THPT nhằm giúp cho học sinh tiếp thu và tư duy một cách nhanh nhất.
Sáng kiến kinh nghiệm đã đạt được mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đã đề ra. Tuy nhiên vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế, nên sáng kiến không tránh khỏi thiếu xót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo và các em học sinh khi sử dụng tài liệu này.
	 	 Lào Cai tháng 4 năm 2014
	 Giáo viên
	 Đào Văn Lương
Tài liệu tham k