Sáng kiến kinh nghiệm Phép co trong mặt phẳng và ứng dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÉP CO TRONG MẶT PHẲNG VÀ ỨNG DỤNG
Người thực hiện: Lê Ngọc Phương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
MỤC LỤC
Phần 1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
2
1.2 Mục đích nghiên cứu
2
1.3 Đối tượng nghiên cứu
2
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
3
Phần 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí thuyết
4
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
7
2.3 Các giải pháp thực hiện 
12
7
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, 
 với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Phần 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
15
3.2 Kiến nghị, đề xuất
15
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 16
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Phần 1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình hình học lớp 10 có một số bài toán về elip khiến giáo viên và học sinh lúng túng trong việc tìm hướng giải như các bài toán về sự vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng và elíp hay các các bài toàn về cực trị của elip
Trong quá trình giảng dạy tôi phát hiện ra có một cách giải quyết nhẹ nhàng các bài toán trên đó là sử dụng “Phép co trong mặt phẳng”. Vì vậy tôi đã đưa ra sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “Phép co trong mặt phẳng và ứng dụng” nhằm giúp thầy cô và học sinh giải quyết một số bài toán liên quan đến elip đồng thời xây dựng cho học sinh có những suy nghĩ mở rộng hơn, sáng tạo hơn đối với ứng dụng của phép co trong mặt phẳng. 
1.2 Mục đích nghiên cứu
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trước mỗi bài tập tôi thường cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất. Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung. Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hoá thành bài toán tổng quát và xây dựng các bài toán tương tự.
Thứ hai đó là mong muốn bổ sung phương pháp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi trước đến nay. Xây dựng một phương pháp mới đó là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc mọi nơi các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về sự vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng và elíp; các các bài toán về cực trị của elip
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
 + Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài. 
 + Phương pháp quan sát (hoạt động dạy - học của giáo viên và HS).
 + Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn...)
 + Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông qua trao đổi trực tiếp).
 + Phương pháp thực nghiệm.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Dù lĩnh vực được đề cập đến trong SKKN tương đối hẹp. Nhưng cở sở lý luận và phương pháp sử dụng “Phép co” để giải quyết những bài toán khó về elip trong đề tài đã nêu có thể nói chưa xuất hiện trong bất cứ tài liệu bồi dưỡng và luyện học sinh giỏi nào. Nó tạo ra sự kích thích và hấp dẫn tính sáng tạo của cả giáo viên và học sinh. 
Phần 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí thuyết
Việc SGK đề cập đến mối liên hệ giữa đường elip và đường tròn qua phép co về trục hoành theo một hệ số cho trước, khiến ta có thể chuyển việc việc giải quyết các bài toán về elip sang việc giải quyết các bài toán về đường tròn dựa trên cơ sở của phương pháp “Phép co trong mặt phẳng”
Dựa vào SGK & Sách bài tập Hình học 10 Nâng cao, tác giả đã xây dựng một hệ thống lý thuyết về phép co trong mặt phẳng nhằm phục vụ cho nhu cầu giải toán của các học sinh khá giỏi. Để chuẩn bị cho phần cơ sở lý thuyết, tác giả đã nghiên cứu kỹ lý thuyết về phép co (trang 101, 102 – SGK Hình học 10 nâng cao; trang 113 – Sách bài tập Hình học 10 nâng cao). Sau đó tác giả tiến hành phân loại các bài toán về elip trong các đề luyện thi đại học, lựa chọn các bài toán có thể giải bằng phép co để làm ví dụ minh họa cho bài viết. Cụ thể như sau:
2.1.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một đường thẳng cố định và một số dương. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên , phép đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M’ sao cho được gọi là phép co về trục theo hệ số k (h. 1). 
2.1.2 Một số tính chất của phép co
Hình 1
a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ta có:
+ Phép co về trục theo hệ số k biến điểm thành điểm sao cho 
Chứng minh: Ta có nên
+ Phép co về trục theo hệ số k biến điểm thành điểm sao cho 
Chứng minh: Ta có nên 
b. Phép co biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng.
 Chứng minh: Cho 3 điểm thẳng hàng, ta chọn hệ trục sao cho trục . Gọi , , và phép co về trục theo hệ số k biến 3 điểm thành 3 điểm , ta có , , , suy ra và . Nếu 3 điểm nằm trên đường thẳng d vuông góc với trục hoành thì dễ thấy 3 điểm cũng thuộc d, và do đó chúng thẳng hàng, giả sử nằm trên đường thẳng không vuông góc với Ox, khi đó vì và cùng phương nên 
 ,
từ đó suy ra và cùng phương hay 3 điểm thẳng hàng. 
	Tương tự, ta chứng minh được tính chất sau đây:
c. Giả sử AB và CD là 2 đoạn thẳng song song và phép co về trục theo hệ số k biến đoạn AB thành đoạn A’B’, biến đoạn CD thành đoạn C’D’ thì 
 và .
d. Nếu phép co về trục theo hệ số k biến thành thì 
Chứng minh: Ta xét các trường hợp sau
Hình 2
	- Nếu BC thuộc thì (h. 2), do đó: 
trong đó H là chân đường cao từ A xuống trục .
	- Nếu và thì dễ thấy (h. 3).
Hình 3
- Nếu , AB không song song với và cùng phía với thì ta gọi , khi đó 
Hình 4
= = (h. 4).
- Nếu , AB không song song với và khác phía với thì ta gọi , khi đó 
Hình 5
= (h. 5).
- Nếu bất kỳ, chọn trên trục điểm và tịnh tiến theo vectơ ta có = và do đó tam giác lại thuộc một trong các trường hợp trên, ta cũng suy ra (h. 6).
Hình 6
Hình 7
M
M’
.
.
f. Phép co về trục Ox theo hệ số biến đường tròn thành elip và ngược lại phép co về trục Ox theo hệ số biến elip thành đường tròn (h. 7).
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trước khi tiến hành dạy về phép co cho học sinh, tác giả cho học sinh lớp 10C1 và 10C3 làm bài kiểm tra 45 phút trong giờ tự chọn với đề kiểm tra như sau: 
 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip . 
1. Cho và thuộc . Tìm tọa độ điểm N sao cho diện tích tam giác lớn nhất.
2. Từ vẽ 2 tiếp tuyến đến , A và B là tiếp điểm. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Kết quả thu được là 100% học sinh không làm được bài!
2.3 Các giải pháp thực hiện 
Nguyên nhân của thực trạng nêu trên là với những bài toán khó học sinh thiếu công cụ để giải toán và thiếu sự định hướng trong tư duy để sáng tạo những cách làm mới. 
Để giải quyết vấn đề đó, trong một số tiết tự chọn ở lớp 10C1, tác giả đã tiến hành dạy về phép co với các nội dung sau:
Bài toán 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip . M là điểm thay đổi trên đường thẳng . Từ M kẻ đến hai tiếp tuyến. Gọi các tiếp điểm là T1, T2. Tìm vị trí của M để đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng T1T2 có bán kính nhỏ nhất.
 Giải: 
 Phép co về trục hoành theo hệ số biến thành đường tròn , biến đường thẳng thành đường thẳng . Gọi và , là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ đến đường tròn ta có tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính là và tâm nên hay , khi đó tọa độ của , là nghiệm của hệ do đó ta có phương trình của là .
 Bán kính đường tròn tâm tiếp xúc với đường thẳng là 
Dấu “=” xảy ra khi , suy ra , từ đó suy ra .
Bài toán 2. Trong mặt phẳng Oxy cho elip và đường thẳng . Từ điểm M bất kì trên d kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định.
	Giải: Ta chọn phép co về trục Ox theo hệ số , khi đó elip trở thành đường tròn còn đường thẳng biến thành đường thẳng . Giả sử phép co biến các điểm M, A, B lần lượt thành thì và, là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ đến . Có tứ giác OA'M'B' nội tiếp trong đường tròn đường kính tâm , bán kính . Suy ra 
.
 	Hai tiếp điểm A', B' chính là giao của và , do đó tọa độ của A', B' là nghiệm của hệ: . Tọa độ của A', B' thỏa mãn phương trình nên là đường thẳng đi qua A', B'. Mặt khác, nên , từ đó ta có , khi b thay đổi, luôn đi qua điểm cố định . 
 Bây giờ ta lại xét phép co về trục Ox theo hệ số biến điểm thành . Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định .
Bài toán 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng và elip . Tìm điểm sao cho khoảng cách từ đến nhỏ nhất.
	Giải: Phép co về trục hoành theo hệ số biến elip thành đường tròn , biến đường thẳng thành .	Gọi và đi qua thì phương trình của là . Khi đó tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ 
 hoặc . 
Do đó . 
Ta có 
; ,
dễ thấy là điểm thuộc đường tròn sao cho khoảng cách từ đến nhỏ nhất, từ đó suy ra điểm là điểm cần tìm.
Bài toán 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp trong elip . Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC.
	Giải: Ta chọn phép co về trục Ox theo hệ số , khi đó elip trở thành đường tròn . Phép co nói trên biến tam giác thành tam giác nội tiếp trong đường tròn .
	Ta có 
suy ra lớn nhất bằng . 
Bài toán 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm tọa độ điểm M thuộc elip để tiếp tuyến với tại M tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Giải: Phép co về trục hoành theo hệ số biến elip thành đường tròn , biến tiếp tuyến của tại điểm thành tiếp tuyến của tại điểm . Giả sử , phương trình tiếp tuyến d của đường tròn tại M là: suy ra và . Khi đó dấu bằng xảy ra khi . Do đó diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi 
.
Vậy 
Bài toán 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip . Lấy 2 điểm và thuộc . Tìm tọa độ điểm sao cho diện tích tam giác lớn nhất. 
	Giải: Phép co về trục hoành theo hệ số biến thành đường tròn , biến các điểm và thuộc elip thành các điểm và nằm trên đường tròn . Ta có diện tích tam giác lớn nhất khi và chỉ khi diện tích tam giác lớn nhất với là điểm tương ứng với trong phép co nói trên. Vì không đổi nên diện tích tam giác lớn nhất khi , ta có phương trình : và : do đó tọa độ của là nghiệm của hệ 
+ với thì 
+ với thì 
Theo trên, với điểm thì diện tích tam giác lớn nhất, từ đó suy ra là điểm cần tìm.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 
	Trong quá trình dạy về phép co đối với học sinh lớp 10C1, tác giả thấy học sinh rất hứng thú, các bài toán tuy khó nhưng khi sử dụng phép co thì mọi chuyện đã trở nên dễ dàng hơn. Để kiểm nghiệm chính xác, tác giả cho đề kiểm tra 45 phút ở lớp 10C1 và 10C3, trong đó lớp là lớp 10C1 thực nghiệm đề tài này, còn lớp 10C3 là lớp đối chứng. Đề kiểm tra như sau:
Câu 1.(4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm . Lập phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt elip tại và sao cho .
Câu 2.(6 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng cắt elip tại 2 điểm A, B. Tìm tọa độ điểm sao cho diện tích tam giác lớn nhất. 
Sau khi chấm bài tác giả thu được kết quả như sau
Điểm
0-2,5
3-4,5
5-6,5
7-8,5
9-10
Lớp thực nghiệm
(50 học sinh)
0%
4%
10%
32%
54%
Lớp đối chứng
(52 học sinh)
96,2%
3,8%
0%
0%
0%
Các bài điểm 9 – 10 có cách giải phổ biến như sau:
Câu 1. Phép co về trục hoành theo hệ số biến thành đường tròn , biến điểm thành điểm , biến d thành , biến các điểm và thành và . Dễ thấy là trung điểm của khi và chỉ khi đi qua và nhận làm vtpt, do đó . Từ đó phương trình đường thẳng d cần lập là . 
Câu 2. Phép co về trục hoành theo hệ số biến thành đường tròn , biến đường thẳng thành và biến điểm M, A, B thành các điểm . Khi đó . Xét đường thẳng đi qua O và vuông góc với , có phương trình: , dễ thấy diện tích tam giác lớn nhất thì suy ra từ đó tìm được tọa độ của , tính khoảng cách từ đến ta có điểm sao cho diện tích tam giác lớn nhất, từ đó tìm được điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
	Kết quả kiểm tra của 2 lớp thực nghiệm và đối chứng cho thấy, ở lớp 10C1 đa số học sinh hiểu bài, vận dụng tốt phép co vào việc giải bài tập; học sinh thấy hứng thú vì tính tự nhiên và gần gũi nhưng đạt hiệu quả bất ngờ của phương pháp này. Còn ở lớp 10C3, mặc dù đã hoàn thành các kiến thức về đường elip nhưng khi gặp các dạng toán nêu trên, học sinh không biết phải giải như thế nào.
	Trao đổi phương pháp “Sử dụng phép co” với các đồng nghiệp tác giả cũng nhận được các phản hồi tích cực. Mặc dù kết quả này không áp dụng được cho nhiều bài toán, tuy nhiên với những hiệu quả mà nó mang lại trong từng bài toán đã kích thích tính sáng tạo và tư duy cho người học, gợi trí tò mò ham hiểu biết vào những lĩnh vực khác của toán học. Đó cũng là điều tác giả tâm đắc nhất trong khi thực hiện đề tài này.
Phần 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tôi rút ra được một số kết quả sau:
	- Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận toán học về vấn đề cần nghiên cứu của đề tài cho học sinh cho những lớp thực nghiệm
	- Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu quả qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm sư phạm.
	 - Giáo viên: Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn học. Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn và người học thấy được ý nghĩa của môn học.
 - Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri thức của HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình huống đa dạng
 - Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách của các em.
3.2 Kiến nghị, đề xuất
	Xuất phát từ những kiến thức cơ bản trong chương trình học để xây dựng những cách làm mới đạt hiệu quả cao là phẩm chất mà người học toán và làm toán cần phải có. Thiết nghĩ, việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn Toán sẽ thực sự thành công nếu giáo viên biết hướng dẫn cho học sinh tìm tòi khai thác từ những kiến thức cũ những cách làm mới sáng tạo và đạt hiệu quả cao.
Thạch Thành, ngày 24 tháng 05 năm 2017
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
CAM KẾT KHÔNG COPY, SAO CHÉP
Lê Ngọc Phương
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa, sách bài tập 10 (Nâng cao), NXB Giáo Dục Năm 2007
Ba thập kỷ đề thi toán vào các trường đại học Việt Nam. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh
[3].Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và tuổi trẻ. Nhà xuất bản Giáo dục 
Năm 1997
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Ngọc Phương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán trường THPT Thạch Thành 1
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
“Sử dụng phần mềm Geometer’s sketchpad làm phương tiện trực quan trong dạy học hình học không gian lớp 11”
Cấp tỉnh
(QĐ số 932/ QĐ-SGD ngày 11/9/2008)
C
2007- 2008
‘Xây dựng bài toán bất đẳng thức từ các tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit”
Cấp tỉnh
(QĐ số 871/ QĐ-SGD ngày 18/12/2012)
C
2011-2012
Một số kinh nghiệm dạy “Khoảng cách” trong Hình học không gian
Cấp tỉnh
(QĐ số 753/ QĐ-SGD ngày 03/11/2014)
B
2013-2014
----------------------------------------------------