Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ trong giải toán

 MỤC LỤC
Nội dung
Trang
 Lời mở đầu
§1. Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ
1. Một số quy ước khi đọc chuyên đề 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
3. Phương pháp đánh giá
4. Phương pháp lượng giác
5. Một số Phương pháp khác
§2. Một số bài tập tự làm
 Kết luận
2
3
3
3
10
13
15
16
18
 LỜI MỞ ĐẦU 
	Toán học có một vẻ đẹp lôi cuốn, trong vẻ đẹp lôi cuốn đầy huyền bí đó thì các bài toán liên quan đến phương trình vô tỷ lại có nét đẹp riêng. Có lẽ vì lí do đó mà trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học thường có mặt bài toán liên quan đến phương trình vô tỷ để thách thức các nhà toán học tương lai.
	Chuyên đề: ‘‘Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ’’ với mong muốn phần nào giúp các thầy cô và các em học sinh có thể tìm thấy nhiều điều bổ ích và thú vị đối với dạng toán này. Với mỗi ví dụ trong từng phương pháp giải, người đọc có thể tự sáng tác cho mình những bài toán với những con số mà mình thích. Tuy nhiên chuyên đề này khó có thể tránh được sai sót, vì vậy tôi mong nhận được sự động viên và những ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn! 
§1. Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû
1. mét sè quy ­íc khi ®äc chuyªn ®Ò
1.1 	Vt: VÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh. Vt: B×nh ph­¬ng cña vÕ tr¸i ph­¬ng tr×nh.
1.2 	Vp: VÕ ph¶i cña ph­¬ng tr×nh. Vp: B×nh ph­¬ng cña vÕ ph¶i ph­¬ng tr×nh.
1.3 	Vt: VÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh .
1.4 	Vp: VÕ ph¶i cña ph­¬ng tr×nh .
1.5 	§k, ®k: §iÒu kiÖn. 
1.6 	B§T: BÊt ®¼ng thøc. 
2. Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
2.1 Mét sè l­u ý
Khi gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû b»ng ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ta cã thÓ gÆp c¸c d¹ng nh­: 
2.1.1 §Æt Èn phô ®­a ph­¬ng tr×nh ®· cho vÒ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè kh«ng cßn chøa c¨n thøc víi Èn míi lµ Èn phô.
2.1.2 §Æt Èn phô mµ vÉn cßn Èn chÝnh, ta cã thÓ tÝnh Èn nµy theo Èn kia.
2.1.3 §Æt Èn phô ®Ó ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ hÖ hai ph­¬ng tr×nh víi hai Èn lµ hai Èn phô, còng cã thÓ hai Èn gåm mét Èn chÝnh vµ mét Èn phô, th­êng khi ®ã ta ®­îc mét hÖ ®èi xøng.
2.1.4 §Æt Èn phô ®Ó ®­îc ph­¬ng tr×nh cã hai Èn phô, ta biÕn ®æi vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch víi vÕ ph¶i b»ng 0.
Th­êng gi¶i ph­¬ng tr×nh ta hay biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng, nÕu biÕn ®æi hÖ qu¶ th× nhí ph¶i thö l¹i nghiÖm.
2.2 Mét sè vÝ dô
VÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 
1) 	.
2) 	.
3) 	.
4) 	.
H­íng dÉn (HD): 1) §Æt víi . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh , suy ra , ta ®­îc . Tõ ®ã ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ . 
2) Ta cã , víi mäi x.
MÆt kh¸c .
§Æt (cã thÓ viÕt ®k hoÆc chÝnh x¸c h¬n lµ ), ta ®­îc 
, ta ®­îc (lo¹i ). 
Tõ ®ã ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ .
 	3) Ta thÊy kh«ng tháa m·n. 
Khi ®ã ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi hÖ . 
§Æt, ta ®­îc .
XÐt (do hai vÕ kh«ng ©m).
DÉn ®Õn (do víi mäi tháa m·n (1)).
Tõ ®ã ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ .
 NhËn xÐt: Bµi to¸n nµy ta cã thÓ gi¶i b»ng Ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ trong phÇn sau. 
4) Ta cã ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi
XÐt (1), ®Æt , suy ra vµ . 
Ta ®­îc 
 . Tõ ®ã suy ra . 
Thö l¹i ta ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ vµ .
NhËn xÐt: Bµi to¸n nµy ta cã thÓ gi¶i b»ng Ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c trong phÇn sau. 
VÝ dô 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
HD: §Æt , víi . Khi ®ã ta ®­îc 
 .
DÉn ®Õn vµ . Tõ ®ã ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ .
VÝ dô 3. Gi¶i ph­¬ng tr×nh . 
HD: §Æt víi vµ . Khi ®ã ta ®­îc hÖ .
XÐt .
Suy ra ®­îc y - 2 = 0. Tõ ®ã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x = 1 vµ x = -1. 
VÝ dô 4. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 
1) 	.
2) 	. 
HD: 1) §Æt , víi . 
Khi ®ã ta ®­îc hÖ .
ThÕ hoÆc l¹i ®Æt råi gi¶i tiÕp ta ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ
; vµ .
2) §Æt . 
Khi ®ã ta ®­îc hÖ . 
XÐt hiÖu hai ph­¬ng tr×nh dÉn ®Õn 
(do ).
Thay vµo hÖ vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh ta ®­îc .
VÝ dô 5. Gi¶i ph­¬ng tr×nh . 
HD: §k . Víi ®iÒu kiÖn ®ã ta biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh ®· cho nh­ sau:
§Æt , víi . 
Ta ®­îc , tõ ®ã ta ®­îc .
NÕu th× ta ®­îc (do).
NÕu th× ta ®­îc . VËy ph­¬ng tr×nh cã ba nghiÖm trªn.
VÝ dô 6. Gi¶i ph­¬ng tr×nh , víi .
 NhËn xÐt: D¹ng ph­¬ng tr×nh nµy ta th­êng ®Æt , sau ®ã b×nh ph­¬ng lªn råi ta “cè ý” biÕn ®æi vÒ hÖ ®èi xøng víi hai Èn . Tõ ®ã ta sÏ biÕt ®­îc gi¸ trÞ cña a, b. Víi bµi to¸n nµy ta t×m ®­îc . (NÕu a = 1 vµ b = 0 mµ gi¶i ®­îc th× ®ã lµ ph­¬ng tr×nh qu¸ ®¬n gi¶n, ta kh«ng xÐt ë ®©y).
HD: §Æt , do nªn , tõ ®ã .
Ta ®­îc hÖ . Gi¶i hÖ b×nh th­êng theo d¹ng ta ®­îc .
 NhËn xÐt: Khi gi¶i mét ph­¬ng tr×nh kh«ng ph¶i lóc nµo còng cã nghiÖm thùc, cã nh÷ng ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm nh­ng khi cho häc sinh lµm bµi ta còng kiÓm tra ®­îc n¨ng lùc cña häc sinh khi tr×nh bÇy lêi gi¶i bµi to¸n ®ã. Ch¼ng h¹n nh­ bµi to¸n trong vÝ dô nµy.
HD: §Æt = y víi . Khi ®ã ta ®­îc hÖ vµ tõ ph­¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã . XÐt hiÖu hai ph­¬ng tr×nh cña hÖ ta ®­îc ph­¬ng tr×nh .
Víi th× , dÉn ®Õn v« nghiÖm.
Cßn víi mäi vµ . Do ®ã hÖ v« nghiÖm hay ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.
2.3 Mét sè bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
1) 	.
 (HD: §Æt , ta ®­îc . 
Tõ ®ã vµ ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ 
).
2) 	.
(HD: Tõ ph­¬ng tr×nh suy ra . §Æt , b×nh ph­¬ng dÉn ®Õn . Ph­¬ng tr×nh trë thµnh , ta ®­îc . Tõ ®ã ).
 Bµi 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
(HD: §Æt , víi . Tõ ®ã ta ®­îc . 
Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm ). 
Bµi 3. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
1) 	.
(HD: §Æt , víi . 
Ta ®­îc . Tõ ®ã ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ).
2) 	.
(HD: §k . §Æt 
vµ víi .
Suy ra . Tõ (1) thay vµo (2) ta ®­îc . XÐt hiÖu hai b×nh ph­¬ng suy ra . 
Tõ ®ã ta ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ ).
 Bµi 4. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
(HD: §Æt =, ta ®­îc . 
Tõ suy ra vµ , do ®ã .
Suy ra , ta ®­îc nghiÖm , lo¹i ).
Bµi 5. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
1) 	.
(HD: §Æt , ta ®­îc 
.
NÕu ta ®­îc (v« nghiÖm).
NÕu ta ®­îc (tháa m·n)).
2) 	.
(HD: §k . §Æt vµ , víi . 
Khi ®ã ta ®­îc . Tõ ®ã ph­¬ng tr×nh cã bèn nghiÖm lµ vµ ).
Bµi 6. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
1) 	.
(HD: §Æt , ta ®­îc ).
2) 	, víi.
(HD: §Æt ,®­îc (lo¹i), nÕu th× ).
3) 	, víi .
(HD: T­¬ng tù, ta ®­îc ).
3. Ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸
3.1 Mét sè l­u ý
Khi gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû (ch¼ng h¹n ) b»ng ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸, th­êng lµ ®Ó ta chØ ra ph­¬ng tr×nh chØ cã mét nghiÖm (nghiÖm duy nhÊt).Ta th­êng sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc cæ ®iÓn C« si, Bunhiacopxki, ®­a vÕ tr¸i vÒ tæng b×nh ph­¬ng c¸c biÓu thøc, ®ång thêi vÕ ph¶i b»ng 0. Ta còng cã thÓ sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè (cã thÓ thÊy ngay hoÆc sö dông ®¹o hµm xÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè) ®Ó ®¸nh gi¸ mét c¸ch hîp lý. 
Th­êng ta ®¸nh gi¸ nh­ sau: , hoÆc ®¸nh gi¸ còng nh­ lµ  
Ngoµi ra ®èi víi bµi cô thÓ nµo ®ã ta sÏ cã c¸ch ®¸nh gi¸ kh¸c.
Còng cã mét sè ph­¬ng tr×nh v« tû cã nhiÒu h¬n mét Èn mµ ta gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸.
3.2 Mét sè vÝ dô
VÝ dô 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
HD: Bµi to¸n nµy cã trong ®Ò thi vµo §¹i häc B¸ch Khoa vµ §HQG n¨m 2001. Bµi nµy cã nhiÒu c¸ch gi¶i, ®¸p ¸n sö dông ®¹o hµm.
Ta cã thÓ lµm ®¬n gi¶n nh­ sau: Ta thÊy lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
NÕu th× Vt > 1 = Vp.
NÕu th× Vt < 1 = Vp.
Do ®ã ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm trong hai tr­êng hîp nµy.
VËy ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm lµ .
VÝ dô 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh . 
HD: Bµi nµy qu¸ ®¬n gi¶n, ®¸nh gi¸ Vt cßn Vp , do ®ã hai vÕ cïng b»ng 5. Ta ®­îc ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ .
VÝ dô 3. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
HD: Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi ph­¬ng tr×nh
, ®k . §Æt , suy ra .
Khi ®ã ta ®­îc (b×nh ph­¬ng hai vÕ).
Theo B§T C«-si ta ®­îc , do ®ã 
Tõ ®ã ta ®­îc , suy ra tháa m·n ®k.
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ .
VÝ dô 5. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
HD: Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi 
. Ph­¬ng tr×nh x¸c ®Þnh víi mäi x lµ sè thùc. Theo B§T C«-si cho hai sè d­¬ng ta ®­îc :
Vt(1) Vp(1).
Do ®ã (1) . Tõ ®ã ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ vµ .
VÝ dô 6. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
HD: §k . Víi ®k ®ã, ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi ph­¬ng tr×nh: .
theo B§T Bunhiacopxki, ta ®­îc .
Suy ra Vt = Vp. Do ®ã , nghÜa lµ dÊu b»ng trong hÖ x¶y ra. Tõ ®ã ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ .
VÝ dô 7. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
HD: §k . 
Víi ®k ®ã ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi
Theo B§T Bunhiacopxki, ta ®­îc 
Theo B§T C«-si cho hai sè d­¬ng ta ®­îc .
Do ®ã Vt(1) , ta ®­îc 
(1) . Tõ ®ã dÉn ®Õn .
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ .
4. Ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c
4.1 Mét sè l­u ý
Khi gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tû b»ng ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ta cã thÓ ®Æt
 nÕu víi ®iÒu kiÖn hoÆc víi ®iÒu kiÖn
. Còng cã khi ®Æt  ®Ó ®­a ph­¬ng tr×nh ®· cho vÒ ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c. Gi¶i ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c råi tõ ®ã t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho. 
4.2 Mét sè vÝ dô
VÝ dô 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .	
HD: §Æt . Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh 
. §Æt .
suy ra , ta ®­îc vµ .
Víi th× , do ®ã .
Víi th× , do ®ã .
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ vµ .
VÝ dô 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
HD: §k .
§Æt suy ra . 
Khi ®ã ph­¬ng tr×nh trë thµnh .
§Æt (chÝnh x¸c lµ ), biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh ta ®­îc 
	 .
NÕu th× th× , do ®ã .
NÕu th× 
VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm trªn.
4.3 Mét sè bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
 (HD: §Æt , ph­¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ ).
Bµi 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
Bµi 3. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
Bµi 4. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
Bµi 5. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
5. Mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c
5.1 Mét sè l­u ý
Ngoµi nh÷ng ph­¬ng ph¸p th­êng gÆp ë trªn, ®«i khi ta còng cã nh÷ng lêi gi¶i kh¸c l¹ ®èi víi mét sè ph­¬ng tr×nh v« tû. Còng cã thÓ ta sö dông kÕt hîp c¸c ph­¬ng ph¸p ë trªn ®Ó gi¶i mét ph­¬ng tr×nh.
5.2 Mét sè vÝ dô
VÝ dô 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
NhËn xÐt: Bµi to¸n nµy kh«ng khã, chØ kiÓm tra tÝnh cÈn thËn cña häc sinh mµ th«i v× sau khi ®Æt ®iÒu kiÖn ®É t×m ®­îc gi¸ trÞ cña x. Tuy nhiªn nÕu häc sinh häc hêi hît sÏ ngåi nh×n mµ kh«ng lµm ®­îc bµi.
HD: §Æt ®k cho ph­¬ng tr×nh x¸c ®Þnh ta sÏ ®­îc . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh trë thµnh , suy ra . VËy ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm lµ . 
VÝ dô 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
HD: §Æt , 
suy ra vµ(1).
MÆt kh¸c (2).
Tõ (1) vµ (2) ta ®­îc 
 .
XÐt (3) ta ®­îc , xÐt (4) ®­îc vµ (5) ®­îc .
VËy tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ .
VÝ dô 3. Gi¶i ph­¬ng tr×nh .
 HD: Trong mÆt ph¼ng täa ®é xÐt hai vÐc t¬ vµ .
Khi ®ã ta ®­îc , suy ra vµ ta còng cã ,
. Ph­¬ng tr×nh trë thµnh , ®¼ng thøc ®ã x¶y ra khi vµ cïng chiÒu . Tõ ®ã ta ®­îc ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm lµ .
§2. Mét sè bµi tËp Tù lµm
	Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp tù lµm mµ chóng ta cã thÓ sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p ë trªn.
Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 
1) 	. 
2) 	. 
3) 	.
4) 	.
5) 	.
Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 
1) 	. 
2) 	. 
3) 	.
4) 	.
5) 	.
Bµi 3. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 
1) 	. 
2) 	. 
3) 	.
4) 	.
5) 	.
Bµi 4. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 
1) 	. 
2) 	. 
3) 	.
4) 	.
KẾT LUẬN
Trên đây là một trích dẫn về sự vận dụng ‘‘một số phương pháp giải phương trình vô tỷ trong giải toán’’.
Đề tài này đã được bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng đơn vị thí điểm trên các em học sinh có học lực khá trở lên. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú. Một số em đã đạt được những thành tích tốt qua những đợt thi học sinh giỏi vừa qua. Vì tác dụng tích cực trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi nên kính mong hội đồng khoa học và quý thầy cô góp ý bổ sung để đề tài này ngày một hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng hơn trong quá trình dạy học ở trường THPT.
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này do tôi viết, không sao chép của người khác.
Xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25/5/2016	 Người viết
 Lê Đình Hải