Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình mũ và phương trình Lôgarit

BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu :
Phương trình mũ và phương trình lôgarit là một bài toán thường được cho trong các đề thi tốt nghiệp THPT cũng như đề thi tuyển sinh vào cao đẳng, đại học những năm học trước và với năm học này là kỳ thi THPT quốc gia. Yêu cầu về bài toán phương trình mũ và lôgarit khá phong phú và đa dạng. Các em học sinh thường lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ. Do đó, các em phải biết chuyển một bài toán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Việc làm này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán. Ngoài ra, các em học sinh còn phải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải một cách khoa học. Điều này còn có một số em học sinh chưa nắm vững và hay nhầm lẫn trong việc vận dụng. Cho nên tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit” nhằm giúp học sinh nắm vững lý thuyết và phương pháp giải của từng dạng toán về phương trình mũ và phương trình lôgarit. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các em học sinh trong việc ôn tập để kiểm tra và thi cử. 
2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thu Thủy
- Địa chỉ tác giả sáng kiến:Trường THPT Triệu Thái
- Số điện thoại:01676584756. E_mail:nguyenthuthuy.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học giáo dục
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 12/11/2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến: 
1.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ :
1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số: 
1.1 a) Phương pháp : Biến đổi cùng cơ số đưa phương trình về các dạng sau:
+ 0< a ¹ 1: af(x)=ag(x) (1)	Û f(x)=g(x). 
+ 0< a ¹ 1: af(x)=b 	Û.
b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Bài giải:
Ta có phương trình đã cho tương đương với
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
Điều kiện: 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
1.1 c) Bài tập tự luyện : Giải các phương trình sau :
 Bài 1 :
 ĐS : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 
Bài 2:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ:
1.2 a) Các bước giải :
* Dạng 1: 
 Cách giải: + Đặt . Phương trình trở thành: (*)
 + Giải phương trình (*) tìm t, chỉ nhận 
 + Giải phương trình để tìm x. 
 + Kết luận nghiệm của phương trình đã cho. 
 * Dạng 2: 
 Cách giải: Biến đổi PT về dạng 
 Đến đây PT có dạng 1.
* Dạng 3: 
 Cách giải: + Chia hai vế phương trình cho hoặc ta được:
 Đến đây PT có dạng 1.
 * Dạng 4: Các phương trình bậc lớn hơn 2 đối với f(x) có dạng tương tự như dạng 1. Cách giải của những dạng này tương tự như dạng 1.
b) Ví dụ minh hoạ : 
 Giải các PT sau:
1) 
2) 
3) 
 Bài giải:
1) Ta có:
2) 
3) Ta có:
c) Bài tập tự luyện : Giải các phương trình sau:
25x - 7.5x + 6 = 0 
52x-1+5x+1=250
9x + 6x = 2.4x
2.8x=12x+27x
11) 
12) 3x+33-x=12
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
 1.3 Phương pháp lôgarit hoá : 
 1.3 a) Các bước giải : 
 + Biến đổi phương trình về dạng : hoặc có hai vế luôn dương. 
 + Chọn cơ số thích hợp ( theo cơ số a, hoặc b, hoặc c) để lấy lôgarit hai vế của phương trình. 
 + Sử dụng các công thức về luỹ thưa và lôgarit để giải phương trình tiếp theo. 
b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các PT sau:
1) 
2) 
3) 
Bài giải:
Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được:
Lấy lôgarit cơ số 5 hai vế phương trình và làm tương tự như phần 1.
Ta có: 
PT 
 Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình (*)và làm tương tự như phần 1.
1.3c) Bài tập tự luyện :
Giải phương trình sau :
3x+3x+1+3x+2=4x+4x+3.
 1.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
 1.4 a) Các bước giải :
+ Thường biến đổi phương trình đã cho về dạng f (x) = g(x) hay f (x) = c
+ Nhẩm nghiệm x = x0 .
+ Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x = x0.
+ Với x > x0 f (x) > f (x0 ) suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với x < x0 f (x) < f (x0 ) suy ra phương trình vô nghiệm.
b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
Bài giải:
PT 
Ta thấy x=2 là một nghiệm của phương trình.
Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thật vậy, xét hàm số: 
Vì nên nghịch biến trên IR. 
Do đó:
+ Với , suy ra PT vô nghiệm khi 
+ Với , suy ra PT vô nghiệm khi 
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
2) Tương tự 
1.4c) Bài tập tự luyện :
Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT: 
2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số: 
2.1 a) Các bước giải : 
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình. 
+ Biến đổi đưa phương trình về dạng cơ bản : 
2.1 b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Bài giải:	
1) ĐK:
 (loại)
Vậy,phương trình vô nghiệm.
2) ĐK:
3) Ta có: 
4) Ta có: 
5) ĐK:x > 0
2.1 c) Bài tập tự luyện :
Giải các phương trình sau:
1) 
2) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46	
3) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
4) log4x + log2x + 2log16x = 5	
5) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
6) log3x = log9(4x + 5) + ½ 	
7) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
8) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)	 
9) 	
10) 
11) 
12). 
13)
14) 
15)
16)
17)
18)
19)
20)
2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ : 
2.2 a) Các bước giải : 
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình. 
+ Biến đổi cùng cơ số và đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai hoặc phương trình bậc ba, hoặc phương trình chứa ẩn ở mẫu. 
2.2 b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
Bài giải:
1) Điều kiện: x>0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=3 và .
2) Điều kiện: x>-1.Ta có:
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=3 và .
3) Ta có:
2.2 c) Bài tập tự luyện :
Giải các phương trình sau:
1) 	
2) logx2 + log2x = 5/2 
3) 
4) logx + 17 + log9x7 = 0	
5) log2x + 
6) 
7) log1/3x + 5/2 = logx3	
8) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x
9) 	
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
2.3 Phương pháp mũ hoá : 
2.3 a) Các bước giải : 
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình. 
+ Mũ hoá cơ số thích hợp. 
2.3 b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
Bài giải:
Điều kiện: >0
Mũ hóa cơ số 2 hai vế của phương trình ta được:
Vậy PT đã cho có hai nghiệm là 
Mũ hóa cơ số 3 hai vế của phương trình và làm tương tự phần 1.
Đặt , chuyển về PT ẩn t rồi mũ hóa cơ số 2 hai vế PT và làm tương tự phần 1.
2.3 c) Bài tập tự luyện :
 Giải các phương trình sau:
1) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x)	
2) log3(3x – 8) = 2 – x 
3) 
4) 
5) / 
6) 
7)
2.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :. 
2.4 a) Các bước giải : 
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình. 
+ Chú ý dạng : có dạng , trong đó hàm f là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên tập xác định của nó và phương pháp đánh giá hai vế của phương trình.
2.4 b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
Bài giải:
1) · Điều kiện : x > 0
· Ta thấy x = 2 là nghiệm của phương trình.
· Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.Thật vậy :
+ với mọi x > 2 ,ta có f (x) = log2 x đồng biến và g(x) = 3- x là hàm
nghịch biến nên f (x) > f (2) =1 , g(x) < g(2) =1 . Do đó phương trình
vô nghiệm với mọi x > 2 .
+ Tương tự, với mọi x thoả 0 < x < 2 phương trình vô nghiệm.
· Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm là x = 2.
2) · Điều kiện : x > 0
· Ta thấy x =1 là nghiệm của phương trình.
· Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x =1 .Thật vậy :
+ với mọi x >1,ta có f( x) = đồng biến và g(x) = 2 -log3 x là hàm
nghịch biến nên f (x) > f (1) = 2 , g(x) < g(1) = 2 . Do đó phương trình
vô nghiệm với mọi x >1.
+ Tương tự, với mọi x thoả 0 < x <1 phương trình vô nghiệm.
· Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm là x =1.
2.4 c) Bài tập tự luyện :
1) log3x+log5(2x-1)=2 
2) lnx+ln(2x-e)=2
2.5 Bài tập tổng hợp :
1. 
2. 
3. 	 
4.
5.
6.	
7.	
8. 
9. 1/. 
10/. 	
11/. 
12/. 
13/. 
14/. 	
15/. 
16/. 
18. 22x-3 - 3.2x-2 + 1 = 0 
19. 
20. = 12.
21. 
22. 	
23. 
24. 
25. 
26. 7. 3x+1 - 5x+2 = 3x+4 - 5x+3 
27. 6. 4x - 13.6x + 6.9x = 0 
28/. 	
29/. 
30/. 
31/. 
32/ 
33/
34/ 
 35/ 
 36/ 
 37/ 
3.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ :
Bài toán PT Mũ chứa Tham Số - Các câu hỏi hay gặp:
- Tìm m để pt có nghiệm
- Tìm m để phương trình có 1 nghiệm duy nhất, 2 nghiệm, 3 nghiệm,...
- Biện luận số nghiệm của phương trình theo m.
Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm :	
	a/ 	
	b/ 
	c/ 
	d/ 
	e/ 
	f/ 
	g/ 
Bài 2. Tùy theo giá trị m, em hãy biện luận số nghiệm của phương trình :
Bài 3. Giải và biện luận theo m : 
Bài 4. Cho phương trình 
	a/ Giải phương trình khi m=2
	b/ Tìm m để PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 + x2 = 3.
Bài 5. Cho phương trình . Tìm m để PT có nghiệm duy nhất.
Bài 6. Cho phương trình ( m là tham số )
	a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu	
 b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x1 + x2 = 3	
TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1). Tìm m để phương trình 9x - 2.3x + 2 = m có nghiệm x Î (- 1;2).
	A). 1 £ m < 65.	B). < m < 45.	C). 1 £ m < 45.	D). < m < 65.
 2). Giải phương trình 3x + 6x = 2x. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1}.	B). {2}.	C). Æ.	D). {- 1}.
 3). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1, - 1}.	B). {- 4, 4}.	C). {-2, 2}.	D). {2, }.
 4). Giải phương trình 3x + 5x = 6x + 2. 
	A). Phương trình có đúng 2 nghiệm x = 0 và x = 1. 
 B). Phương trình có đúng 3 nghiệm.
	C). Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.	 
 D). Phương trình vô nghiệm.
 5). Giải phương trình 4x = 3x + 1 .
	A). x = 0.	B). x = 0, x = 1.
	C). Phương trình có nghiệm duy nhất x =1.	D). Phương trình có nhiều hơn 2 nghiệm.
 6). Tìm m để phương trình 4x - 2x + 3 + 3 = m có đúng 2 nghiệm x Î (1; 3).
	A). - 13 < m < - 9.	B). 3 < m < 9.	C). - 9 < m < 3.	D). - 13 < m < 3.
 7). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {2}.	B). Æ.	C). {1}.	D). {-1}.
 8). Giải phương trình 12.9x - 35.6x + 18.4x = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1, - 2}.	B). {- 1, - 2}.	C). {- 1, 2}.	D). {1, 2}.
 9). Tìm m để phương trình có nghiệm.
	A). - 41 £ m £ 32.	B). - 41 £ m £ - 32.	C). m ³ - 41.	D). m £ - 32.
 10). Tìm m để phương trình có nghiệm.
	A). - 12 £ m £ 2.	B). - 12 £ m £ .	C). - 12 £ m £ 1. D). - 12 £ m £ .
 11). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1+ , 1 - }.	B). {- 1+ , - 1 - }.
	C). {1+ , 1 - }.	D). {- 1+ , - 1 - }.
 12). Giải phương trinh . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1, }.	B). {1, }.	C). {1, 4}.	D). {1, }.
 13). Giải phương trình 3x + 33 - x = 12. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1, 2}.	B). {- 1, 2}.	C). {1, - 2}.	D). {- 1, - 2}.
 14). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {- 1, 1}.	B). {1}.	C). {0, - 1}.	D). {0, 1}.
 15). Giải phương trình 2008x + 2006x = 2.2007x. 
	A). Phương trình có đúng 2 nghiệm x = 0 và x = 1. B). Phương trình có nhiều hơn 3 nghiệm.
	C). Phương trình có đúng 3 nghiệm.	 D). Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
 16). Giải phương trình 125x + 50x = 23x + 1. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {- 1}.	B). {1}.	C). {2}.	D). {0}.
 17). Tìm m để phương trình 9x - 6.3x + 5 = m có đúng 1 nghiệm x Î [0; + ¥).
	A). m > 0 v m = 4.	B). m ³ 0 v m = - 4.	C). m > 0 v m = - 4.	D). m ³ 1 v m = - 4.
 18). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1, 2}.	B). {- 1, 2}.	C). {2, - 2}.	D). {- 2, 4}.
 19). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). { 1, 2}.	B). {1, - 1}.	C). {0, - 1, 1, - 2}.	D). {- 1, 2}.
 20). Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm.
	A). m ³ 2.	B). m ³ - 2.	C). m > - 2.	D). m > 2.
 21). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {- 2, 2}.	B). {1, 0}.	C). {0}.	D). {1, 2}
 22). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {- 1, - 5, 3}.	B). {-1, 5}.	C). {- 1, 3}.	D). {- 1, - 3, 5}.
 23). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1, 1 - }.	B). {- 1, 1 + }.	C). {- 1, 1 - }.	D). { 1, - 1 + }.
 24). Giải phương trình x2.2x + 4x + 8 = 4.x2 + x.2x + 2x + 1. Ta có tập nghiệm bằng.
	A). {- 1, 1}.	B). {- 1, 2}.	C). {1, - 2}.	D). {- 1, 1, 2}.
 25). Tìm m để phương trình 4x - 2(m - 1).2x + 3m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1 + x2 = 3.
	A). m = .	B). m = 4.	C). .	D). m = 2.
 26). Giải phương trình 8 - x.2x + 23 - x - x = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {0, -1}.	B). {0}.	C). {1}.	D). {2}.
 27). Tìm m để phương trình 4x - 2(m + 1).2x + 3m - 8 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
	A). - 1 < m < 9.	B). m < .	C). < m < 9.	D). m < 9.
 28). Giải phương trình 4x - 6.2x + 8 = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {2, 4}.	B). {1, 2}.	C). {- 1, 2}.	D). {1, 4}.
 29). Giải phương trình 6x + 8 = 2x + 1 + 4.3x . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1, }.	B). {2, }.	C). {2, }.	D). {1, 2}.
 30). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {-1, 1,0}.	B). {- 1, 0}.	C). {1, 2}.	D). {0, 1}.
 31). Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm.
	A). m = 3.	B). m = 2.	C). m > 3.	D). 2 < m < 3.
 32). Tìm m để phương trình có nghiệm x Î [- 2;1 ].
	A). 4 £ m £ 6245.	B). m ³ 5.	
 C). m ³ 4.	D). 5 £ m £ 6245.
 33). Giải phương trình 3x + 1 = 10 - x. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1, 2}.	B). {1, - 1}.	C). {1}.	D). {2}.
 34). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {6, - 3}.	B). {1, 6}.	C). {- 3, - 2}.	D). {- 3, - 2, 1}.
 35). Giải phương trình 4x + (x - 8).2x + 12 – 2x = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1, 3}.	B). {1, - 1}.	C). {1, 2}.	D). {2, 3}.
 36). Giải phương trình (x + 4).9x - (x + 5).3x + 1 = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {0 , - 1}.	B). {0, 2}.	C). {1, 0}.	D). {1, - 1}.
 37). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {}.	B). {}.	
 C). {}.	D). {}.
 38). Giải phương trình 8x - 7.4x + 7.2x + 1 - 8 = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {0, 1, 2}.	B). {- 1, 2}.	C). {1, 2}.	D). {1, - 2}.
 39). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {4; - 2}.	B). {- 4; 2}.	C). {- 5; 3}.	D). {5; - 3}.
 40). Tìm m để phương trình có nghiệm.
	A). m ³ 30.	B). m ³ 27.	C). m ³ 18.	D). m ³ 9.
 41). Tìm m để phương trình 4x - 2x + 3 + 3 = m có đúng 1 nghiệm.
	A). m > - 13.	B). m ³ 3.	
 C). m = - 13v m ³ 3.	D). m = - 13 v m > 3.
 42). Giải phương trình 3x - 1 = 4. Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1 - }.	B). {1 - }.	C). {1 + }.	D). {1 + }.
 43). Tìm m để phương trình 4x - 2x + 1 = m có nghiệm.
	A). - 1£ m £ 0.	B). m ³ 1.	C). m ³ 0.	D). m ³ - 1.
 44). Tìm m để phương trình 4x - 2x + 6 = m có đúng 1 nghiệm xÎ [1; 2].
	A). m ³ 8.	B). 8 £ m £ 18.	
 C). 8 < m < 18.	D). m = v 8 < m < 18.
 45). Giải phương trình 2x + 3 + 3x - 1 = 2x -1 + 3x . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {}.	B). {}.	
 C). {}.	D). {}.
 46). Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm.
	A). 2 3 v m = 2.	D). 2 < m < 6.
 47). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {2, - 2}.	B). {4, }.	C). {2, }.	D). {1; - 1}.
 48). Tìm m để phương trình 9x - 4.3x + 2 = m có đúng 2 nghiệm .
	A). m ³ - 2.	B). m ³ 2.	C). - 2 < m < 2.	D). - 2 < m £ 2.
 49). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {2}.	B). {2, }.	C). {1}.	D). {3, }.
 50). Giải phương trình . Ta có tập nghiệm bằng :
	A). {1, - 1, ±}.	B). {0 , - 1, 2}.	C). {1, 2}.	D). {1, - 2}.
TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Câu 1: Tập xác định của phương trình:là:
A. x > - 1	B. x > 0	C. xR	D. x0
Câu 2: Tập xác định của phương trình: là:
A. x > 1	B. x1	C. xR	D. x1
Câu 3: Phương trình có nghiệm là:
A. 	B. 	C. 	D. 87
Câu 4: Số nghiệm của phương trình: = 0 là:
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 5: Số nghiệm của phương trình: là:
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 6: Số nghiệm của phương trình: là:
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 7: Số nghiệm của phương trình: là:
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 8: : Phương trình: có tập nghiệm là:
	A. {1; 16}	B. {1; }	C. {1; 4}	D. {4}
Câu 9: Phương trình: có nghiệm là:
	A. 9	B. - 1	C. 1	D. 0
Câu 10: Số nghiệm của phương trình: là:
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 11: Số nghiệm của phương trình: là:
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 3
Câu 12: Phương trình: có nghiệm là:
	A. 	B. 1	C. 	D. Đáp án khác
Câu 13: Phương trình: có nghiệm là:
	A. 	B. 1	C. 3	D. 0	
Câu 14: Phương trình: có nghiệm là:
	A. 2	B. 4	C. 	D. 	
Câu 15: Phương trình: có nghiệm là:
	A. 1	B. 2	C. 4	D. 	
Câu 16: Phương trình: có nghiệm là:
A. 16	B. 2	C. 4	D. 8
Câu 17: Phương trình: có nghiệm là:
	A. 24	B. 36	C. 45	D. 64
Câu 18: Phương trình: = 1 có tập nghiệm là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 19: Phương trình: có nghiệm là:
	A. 3	B. 9	C. 15	D. 21
Câu 20: : Phương trình: có tập nghiệm là:
	A. {1; 2}	B. {1; 3}	C. {1; 6}	D. {1; 9}
- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Áp dụng cho học sinh lớp 12
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 12 sau khi học xong chương II giải tích 12.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
Thống kê kết quả trước khi học tập tài liệu :
Lớp
Sĩ số
0.0 – 3.5
3.5 - 5.0
5.0 - 6.5
6.5 – 8.0
8.0 – 10
>=5.0
12A3
37
7
12
9
7
2
18
Thống kê kết quả sau khi học tập tài liệu :
Lớp
Sĩ số
0.0 – 3.5
3.5 - 5.0
5.0 - 6.5
6.5 – 8.0
8.0 – 10
>=5.0
12A3
37
3
9
11
8
6
24
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số TT
Tên tổ chức/cá nhân
Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
1
Lớp 12A3
Trường THPT Triệu Thái
Toán học giáo dục
......., ngày.....tháng......năm......
Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
........, ngày.....tháng......năm......
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG 
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
Lập Thạch ,
 Ngày 24 tháng 01 năm 2019
Tác giả sáng kiến
Nguyễn Thu Thủy