Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán về cực trị hình học khi giải bài tập phần phương pháp tọa độ trong không gian

 MỤC LỤC
 Mục Lục ...............................................................................................................1
1. Lời giới thiệu.....................................................................................................2
2. Tên sáng kiến ................................................................................................2
3. Tác giả sáng kiến...............................................................................................2
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến...........................................................................2
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến...........................................................................2
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử..................................2
7. Mô tả bản chất của sáng kiến........................................................................3
- Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan.
- Một số bài toán cực trị hình học.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có)...................................................19
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến..................................................19
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý 
kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần 
đầu, kể cả áp dụng thử.........................................................................................19
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến 
lần đầu..................................................................................................................20
 1 hoc sinh lớp 12 . Kết quả: Hoc sinh nắm đươc nôi dung và biết vân dun g, bướ c đầu
thu đươc môt số kết quả khả quan.
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
1. Nội dung của sáng kiến
Phần I. Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
1, Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
 + ≠ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mp 
(α)
Chú ý: + là vectơ pháp tuyến của (α) thì (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của (α)
 + nếu ) , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm 
trên (α) thì vectơ pháp tuyến của (α) là 
2, Phương trình tổng quát của mặt phẳng
+ Phương trình tổng quát của (α) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C2 ≠ 0)
Chú ý:
 + Nếu (α) có phương trình Ax + By + Cz +D = 0 thì (α) có một vectơ pháp tuyến 
là (A; B; C)
 + Nếu (α) qua M(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến là (A; B; C) thì 
phương trình (α) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
3, Phương trình tham số của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M 0(x0; y0; z0) và có
vecto chỉ phương a  (a1; a2 ; a3 ) là:
  x  x0  ta1
 y  y  ta
  0 2
  
 z  z0  ta3
trong đó t là tham số.
Chú ý: Nếu a1, a2, a3 đều khác 0 thì có thể viết phương trình của  dưới dạng chính tắc:
 x  x y  y z  z
 0  0  0
 a1 a2 a3
Phần 2: Một số bài toán cực trị hình học
Bài toá n 1: Viết phương h mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cá ch môt điểm
trin
 M d môt 
Giải
 3 + Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P M
+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d 
Ta có:
MH MK khi H trùng K d H
 K
 x 1 y z  2
VD1: Viết phương trình mp (P) chứ a đường thẳng d:   và cách M
 2 11
(2;1;1) môt khoảng lớn nhất. 
Giải
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)
+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d
VD2: Viết phương tr ình mp (P) đi qua đi ểm A (1;-2;1) song song với đường thẳng d:
 x y 1 
   z và cách gốc toa đô ̣môt khoảng lớn nhất.
 2 2
Giải
+ (P) chứa d’: qua A, // d. Phương trình d’: d
+ K là hình chiếu của O trên d’ 
 d’
+ Tìm được t = 1/9
VD3: Viết phương trình măṭ phẳng (P) đi qua O, vuông góc với măṭ phẳng (Q) : 2x – y +
 1
z – 1 = 0 và cách điểm M ( ( ; 0; 2) ) môt khoảng lớn nhất.
 2
Giải
 5 Bước 3: (P) qua I, vuông góc với IM.
 x 1 y 1 z  2 
VD1: Viết phương trình măt phẳng (P) chứ a d:   tao với đường thẳng
 2 1 2
 x 1 y z 1 
d’:   môt góc lớn nhất.
 1 2 1
Giải
+ Lấy K(1; - 1; 2) 
+ Lấy M(2; 1; 3) 
Tìm được điểm I. Mp (P): qua I, vuông góc MI có phương trình: x – 4y + z – 7 = 0.
VD2: Viết phương trình măṭ phẳng đi qua O và vuông góc với măṭ phẳng (P) : 2x + y – z
– 1 = 0 và tạo với truc Oy môt góc lớn nhất. 
Giải
+ chứa đường thẳng : qua O, vuông góc với mặt phẳng (P);
VD3: Viết phương trình măt phẳng đi qua O, song song với đường thẳng d:
 x 1 y z  2 
   và tao vớ i măṭ phẳng (P) : x + 2y – z + 1 = 0 môt góc nhỏ nhất.
 2 1 3
 7 Ta có MK MH (MK)min khi K H
+ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P) d qua A và H
VD1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toa đô ̣ O, nằm trong phẳng (P) :
măt
2x – y + z = 0 và cách điểm M (1;2;1) môt khoảng nhỏ nhất. 
Giải
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P).
+ Đường thẳng qua M, vuông góc với (P): 
+ Xét hệ:
VD2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua O.song song với măṭ phẳng (P) :
 2x – y – z + 1 = 0 và cách điểm M (1;-1;2) môt khoảng nhỏ nhất.
Giải
+ Vì d qua O, // (P) nên d nằm trong mặt phẳng qua O, // (P)
+ Gọi H là hình chiếu của M trên 
+ Xét hệ:
 9 + Mà
VD1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;-1) cho trước, nằm trong măt
phẳng (P) : 2x – y – z = 0 và cách điểm M( 0;2;1) môt khoảng lớn nhất.
Giải
VD2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toa đô ̣O, vuông góc với đường thẳng
 x 1 y 1 z 1
d1 :   và cách điểm M (2;1;1) môt khoảng lớn nhất.
 2 3 1
Giải
+ d nằm trong qua O, vuông góc d1
VD3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (1;0;2), song song với măt phẳng
(P) : 2x – y + z – 1 = 0 và cách gốc toa đô ̣O môt khoảng lớn nhất.
Giải
+ d nằm trong qua A, // (P)
 x  1 2a + at
VD4: Tim a để đương thẳng d: y = -2 + 2a + (1-a)t (a la tham số) cach điểm M
 
 
 z = 1 + t
 1
 ( ,1, 4) môt khoảng lớn nhất.
 2
Giải
+ d luôn đi qua điểm A(1; 0; 3)
+ 
Từ đó tìm được a = 4/3.
 11 + Xét hệ phương trình:
VD2: Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua O, vuông góc với đường thẳng d:
 x 1 y 1 z 1
   và tao vớ i măṭ phẳng (P) : x – y + 2z – 1 = 0 môt góc lớn nhất.
 2 2 1
Giải
+ d’ nằm trong mặt phẳng : qua O, vuông góc với d 
+ d’ tạo với đường thẳng a (vuông góc với (P)) một góc nhỏ nhất.
 x y 1 z
VD3: Viết pt đường thẳng đi qua gốc toa đô ̣ O, cắt đường thẳng   và tao
 d: 1 2 3
với trục Oy môt góc nhỏ nhất.
Giải
+ Mp đi qua O, chứa đường thẳng d.
Ta có: M(0; 1; 0) thuộc d 
Vậy nên Oy nằm trong . Trong : đường thẳng qua O, tạo với trục Oy góc 
nhỏ nhất là góc
Bài toá n 6: Cho măt phẳng (P) và điểm A∈ (P) , và đường thẳng d cắ t (P) tai điểm
M khá c A. Viết pt đường thắ ng d’ nằm trong (P) đi qua A và khoảng cá ch giữa d và 
d’ lớ n nhấ t.
Giải
+ Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d, // d’
 13 + d’ là đường thẳng qua A’ và song song với đường thẳng d.
VD: Cho măṭ phẳng (P) : 2x – y + z + 1 = 0. Viết phương trình d nằm trong mp (P), song
song với mặt phẳng (Q) : x – 2y + z + 2 = 0 và cách gốc O môt khoảng nhỏ nhất.
Giải
+ d đi qua hình chiếu H của O trên (P)
+ d là giao của (P) với (Q’) trong đó (Q’) // (Q).
 Một số bài toán khác
VD1: Viết pt mặt phẳng đi qua điểm A (1;0;-2) và cách điểm M (2;1;1) môt khoảng lớn
nhất.
HD:
 x 1 y z 1 
VD2: Cho đường thẳng d:   , viết phương trình đường thẳng d’ song song
 2 1 2
với d, cách d môt khoảng bằng 3 và cách điểm K (-3;4;3) môt khoảng lớn nhất (nho
nhất).
Giải
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua K, vuông góc với d, cắt d tại I, cắt d’ tại M
 15  x  3  2t
VD4: Cho đương thẳng d: y  2  t . Viết phương trinh mp (P) song song va cach d môt
 
 
 z  2  t
khoảng R = 2 và cách M (0;1;2) môt khoảng nhỏ nhất ( lớn nhất ).
Giải
+ (Q): qua M, vuông góc với d và cắt d tại I
+ Đường thẳng qua M, vuông góc với (P) và cắt (P) tại A. Gọi B’ là hình chiếu vuông 
góc của I trên (P).
Ta thấy: I, M, B, A thuộc (Q) và 
VD5: Cho măt cầu (S): (x + 1)2 + (y – 4)2 + z2 = 8 và điểm A (3;0;0) , B (4;2;1). Goi M
là điểm thuôc măṭ cầu (S). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thứ c MA + 2MB
Giải
+ M(a; b; c) thuộc mặt cầu (S), ta có:
 17 Câu 6. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (P):
 và tạo với trục Ox một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau
đây?
Câu 7. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với đường thẳng
và cách điểm A (- 1; 2; 3) một khoảng lớn nhất. Hỏi (P) song song với đường thẳng nào 
sau đây?
Câu 8. Cho mặt phẳng (P): . Gọi d là đường thẳng đi qua 
A, nằm trong (P) và cách O một khoảng nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?
Câu 9. Gọi d là đường thẳng đi qua A(1; 2; - 1), vuông góc với trục Ox và cách điểm 
M(2; 1; - 2) một khoảng nhỏ nhất. Một vecto chỉ phương của d là:
Câu 10. Cho mặt phẳng (P): . Gọi d là đường thẳng đi 
qua A, nằm trong (P). Tính khoảng cách lớn nhất giữa Oy và d.
 19