Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán chọn lọc về đồ thị hàm đạo hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ ĐỒ THỊ 
HÀM ĐẠO HÀM
Người thực hiện: Phạm Văn Bình
Chức vụ: Tổ phó chuyên môn
SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
PHẦN I. PHẦN MỞ ĐẦU	
2
1.1. Lý do chọn đề tài	
2
1.2. Mục đích nghiên cứu	
2
1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu	
2
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu	
1.5. Phương pháp nghiên cứu.	
1.6. Đóng góp của đề tài.	
2
2
2
PHẦN II. NỘI DUNG SKKN	
2.1. Cơ sở lí luận của SKKN	
2
2.2. Giải pháp để giải quyết vấn đề...............................................................
4
Dạng 1: Các bài toán về khoảng đơn điệu của hàm số 
4
Dạng 2: Các bài toán về cực trị của hàm số 
8
Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .
10
Dạng 4: Liên quan đến đồ thị của hàm số 
14
Dạng 5: Một số dạng toán chứa tham số liên quan đến đồ thị hàm số 
17
2.3. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục.
19
PHẦN III. KẾT LUẬN
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO	
22
PHẦN I. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : 
 Những năm gần đây, trong đề thi THPT Quốc gia, đề thi thử của Sở GD&ĐT Thanh Hóa, một số trường trên toàn quốc đã xuất hiện những bài toán liên qua đến đồ thị của hàm đạo hàm. Nó được thể hiện qua rất nhiều bài toán khác nhau, liên quan đến nhiều dạng câu hỏi, bài tập, cùng với những hình thức hỏi rất đa dạng.
	Vì tính quan trọng và ứng dụng của đồ thị hàm đạo hàm nên tôi thấy cần có một hệ lý thuyết, phương pháp và phân dạng bài tập đối với loại toán này. Do đó tôi chọn đề tài ‘Một số bài toán chọn lọc về đồ thị hàm đạo hàm ’.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
 Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số với các vấn đề của hàm số . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi TN THPT QG 2018-2019.
1.3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : 
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là: Các bài toán về khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất , các bài toán chứa tham số liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm trong chương trình SGK 12, đề thi TN THPT QG 2017-2018, đề thi thử của Sở GD& ĐT thanh hóa và một số trường năm học 2018-2019 trên toàn quốc để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số .
1.4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : 
Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết. Từ đó mô tả, phân tích và định hướng để tìm ra biện pháp dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này.
1.5. CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH : 
Sử dụng các phương pháp của giải tích, hình học , đặc biệt là kiến thức , kỷ năng đọc đồ thị hàm số .
1.6. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI 
Trình bày một cách hệ thống, khoa học các dạng toán liên qua đến đồ thị hàm đạo hàm với các ví dụ minh họa, cùng lời giải chi tiết.
PHẦN II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
 2.1.1. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 
2.1.2. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên.
Bảng 1:
Hàm số đạt cực đại tại điểm .
Bảng 2:
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
2.1.3. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên.
Bảng 3:
Ta có: .
Bảng 4:
Ta có: .
Bảng 5: Bảng 6:
Ta có: . Ta có: .
2.1.4. Phép biến đổi đồ thị.
Cho hàm số có đồ thị . Khi đó, với số ta có:
 Hàm số có đồ thị là tịnh tiến theo phương của lên trên đơn vị.
Hàm số có đồ thị là tịnh tiến theo phương của xuống dưới đơn vị.
 Hàm số có đồ thị là tịnh tiến theo phương của qua trái đơn vị.
 Hàm số có đồ thị là tịnh tiến theo phương của qua phải đơn vị.
Hàm số có đồ thị bằng cách:
	+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục và bỏ phần nằm bên trái .
	+ Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục qua .
 Hàm số có đồ thị bằng cách:
	+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên .
	+ Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới qua và bỏ phần đồ thị nằm dưới Ox
2.2. GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Dạng 1: Các bài toán về khoảng đơn điệu của hàm số 
Cho hàm số có đạo hàm xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên 
B. Hàm số đồng biến trên và 
C. Hàm số nghịch biến trên 
D. Hàm số đồng biến trên 
Lời giải
Trên khoảng và đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành. Chọn B
 Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng
A. 	B. 
C. 	D. 
Lời giải
Chọn C .
Ta có: 
Hàm số đồng biến khi .
 Cho hàm số có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
 Cho hàm số có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. . 
Lời giải
Chọn D	
Nếu 
Mà 
Nếu 
Mà 
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng .
 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. . 
Lời giải
Chọn B
Điều kiện xác định .
Khi đó .
Vậy .
Đối chiếu đáp án chọn .
 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. . D. . 
Lời giải
Chọn A
Ta có.
Suy ra .
Đối chiếu đáp án chọn .
 Cho hàm số có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Có 
Quan sát đồ thị đã cho có và 
Do vậy ta chỉ cần chọn thì 
Vậy, nghịch biến trên khoảng . 
Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Có 
Đặt , bất phương trình trở thành 
Kẻ trên đồ thị đường thẳng qua hai điểm và .
Suy ra .
Dạng 2: Các bài toán về cực trị của hàm số 
 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm 
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm .
Lời giải
	Chọn C 
	Giá trị của hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi qua .
 Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình vẽ. Khi đó trên hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.	B. 4.	C. 3.	D. 2.
Lời giải
Chọn A
 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.
 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
Xét hàm số . Ta có . Từ đồ thị hàm số ta thấy:
+ .
+ .
+ .
Từ đó suy ra hàm số liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị .
Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị.
 Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số là
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A Ta có 
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình có nghiệm đơn duy nhất. Suy ra hàm số có điểm cực trị. 
Dạng 3: Các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số 
 Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số như hình bên. Tìm giá trị để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D Từ đồ thị ta có . 
Bảng biến thiên:
 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ: 
Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Khi đó là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A Cách 1: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị:
Ta suy ra đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số bằng cách thực hiện phép dãn theo trục hoành với hệ số dãn . Sau đó thực hiện phép dãn theo trục tung với hệ số dãn 
Vậy . 
Cách khác: Ta có , . Từ đó lập bảng biến thiên của hàm số .
 Người ta khảo sát gia tốc của một vật thể chuyển động ( là khoảng thời gian tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất?
A. giây thứ 7.	B. giây thứ nhất.	C. giây thứ 10.D. giây thứ 3.
Lời giải
Chọn D
 Phương pháp: . Từ đồ thị ta có bảng biến thiên sau:
 Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn 
A. 	B. 
C. 	D. 
Lời giải
Chọn D 
 và 
Mà .
 Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Đặt , , . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn B. 
Gọi , , , lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với và trục hoành.
Quan sát hình vẽ, ta có 
² 
² 
² 
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có và 
Khi đó .
Dạng 4: Liên quan đến đồ thị của hàm số 
 Cho đồ thị của ba hàm số , , được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số , và theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào? 
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A 
Trong khoảng thì nằm trên trục hoành và “đi lên”.
Trong khoảng thì nằm dưới trục hoành và “đi xuống”.
Đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành và “đi lên”. 
Hoặc:
Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị cắt trục tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị hàm số 
Đồ thị đồng biến trên mà đồ thị lại nằm hoàn toàn trên trục hoành.Ta chọn đáp án A
 Cho đồ thị của ba hàm số , , được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số , và theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị cắt trục tại 3 điểm là 3 điểm cực trị của của đồ thị hàm số Đồ thị cắt trục tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số 
Cho đồ thị của ba hàm số , , được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số , và theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị cắt trục tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số 
Đồ thị cắt trục tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị hàm số .
Một vật chuyển động có đồ thị của hàm quãng đường, hàm vật tốc và hàm gia tốc theo thời gian được mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số trên theo thứ tự là các đường cong nào?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn D
Cho đồ thị của ba hàm số , , được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số , và theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn B .
Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị cắt trục tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số ; đồ thị cắt trục tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số .
Dạng 5: Một số dạng toán chứa tham số liên quan đến đồ thị hàm số 
 Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới:
Xét các khẳng định sau:
(I) Hàm sốcó ba cực trị.
(II) Phương trình có nhiều nhất ba nghiệm. 
(III) Hàm sốnghịch biến trên khoảng .
Số khẳng định đúng là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B
Phương pháp: Từ đồ thị hàm số lập BBT của đồ thị hàm số và kết luận.
Cách giải: Ta có 
BBT:
Từ BBT ta thấy (I) đúng, (II) sai.
Với Hàm sốnghịch biến trên khoảng.
=> (III) đúng. Vậy có hai khẳng định đúng.
 Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới và với mọi . Đặt . Có bao nhiêu giá trị dương của tham số để hàm số có đúng hai điểm cực trị?
A. 4. 	B. 7.	C. 8.	D. 9.
Lời giải
Chọn D 
Ta có ; . Để hàm số có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm bội lẻ phân biệt. Khi đó . Vậy có giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đặt . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị?
A. 3. 	B. 4.	C. 5.	D. Vô số.
Lời giải
Chọn D 
Từ đồ thị hàm số ta thấy cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương (và điểm có hoành độ âm)
 có điểm cực trị dương 
 có điểm cực trị 
 có điểm cực trị với mọi (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn D
Chú ý: Đồ thị hàm số có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.
Đồ thị hàm số có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.
 Cho hàm số có đồ thị hàm như trong hình bên 
Có bao nhiêu số nguyên để hàm số nghịch biến trên khoảng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Suy ra, hàm số nghịch biến trên khoảng và .Theo giả thiết bài toán ta có .
Vậy, có giá trị nguyên của m thỏa mãn.
2.3 .Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục
	Trong năm học 2018 - 2019, tôi được nhà trường phân công giảng dạy ở lớp 12C3;12C4; 12C5 là lớp học Ban Khoa học tự nhiên; có chất lượng đầu vào của học sinh không được tốt. Trong quá trình giảng dạy, tôi đã mạnh dạn đưa một số bài tập thuộc các dạng đã nêu trong đề tài cùng với định hướng phân tích tìm lời giải như đã nêu và trong một số tiết ôn tập , các buổi ôn thi THPTQG, phần ôn tập đề thi tổng hợp như hệ thống bài tập về nhà. 
Qua thực tiễn áp dụng đề tài, tôi nhận thấy đa số học sinh nắm được các dạng toán này và giải quyết được một cách triệt để các bài toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm trong các kỳ thi. Cụ thể như sau:
Năm học 2018 - 2019:
+ Lớp 12C5 - không áp dụng đề tài:
Số HS
Làm được
Không làm được
Thi lần 1
37
03
34
Thi lần 2
37
03
34
Thi lần 3
37
05
32
+ Lớp 12C3 - Áp dụng đề tài:
Số HS
Làm được
Không làm được
Thi lần 1
43
38
05
Thi lần 2
43
40
03
Thi lần 3
43
43
0
+ Lớp 12C4 - Áp dụng đề tài:
Số HS
Làm được
Không làm được
Thi lần 1
38
33
05
Thi lần 2
38
35
03
Thi lần 3
38
38
0
Qua đây tôi thấy kết quả thật là rõ rệt.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
III.1. Kết luận
	Đề tài đã nêu được phương hướng áp dụng đồ thị hàm đạo hàm vào một số dạng toán cụ thể mà tôi đã nêu ra trong đề tài. Việc sử dụng phương pháp đã nêu phần nào giúp cho bản thân tôi một số định hướng mới trong quá trình dạy toán cũng như góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo và ham học của học sinh.
Đề tài cũng có thể được dùng làm tài liệu tham khảo ôn thi THPT Quốc gia cho đồng nghiệp, học sinh lớp 12 . 
III.1. Kiến nghị
Qua quá trình dạy học nhiều năm, bản thân tôi nhận thấy việc phân phối chương trình dạy học toán trong trường phổ thông còn nhiều chỗ chưa hợp lí. Một số phần, chương có lượng kiến thức không nhiều, bài tập không có tính phát huy tư duy học sinh lại phân phối nhiều thời lượng, nhiều tiết bài tập. Trong khi đó các phần, các chương cần có nhiều tiết bài tập để học sinh phát huy tốt khả năng tư duy tích cực của bản thân thì thời lượng cũng như số tiết bài tập bị hạn chế. Vì thế, tôi đề nghị cần chỉnh sửa phân phối chương trình toán trung học phổ thông cho hợp lí hơn.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Hậu lộc, ngày 25 tháng 4 năm 2019
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của 
 mình viết , không sao chép nội dung 
 của người khác.
 Phạm Văn Bình 
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm-Nguyễn Khắc Minh- Đặng Hùng Thắng, Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.
 Đề thi THPT Quốc gia năm 2018.
 Đề thi thử THPT Quốc gia , năm 2017-2018,năm 2018-2019 của Sở GD& ĐT Thanh hóa và một số trường trên toàn quốc.
 Tham khảo một số sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp.
 Tham khảo một số nguồn tài liệu trên internet.