Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của hàm số

Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của hàm số

Đối với giáo viên, việc áp dụng sáng kiến này khiến cho người giáo viên say mê tìm tòi và sáng tạo hơn, hiệu quả dạy học cũng cao hơn.

Đối với học sinh, được sự hướng dẫn của giáo viên, các em sẽ biết tìm hiểu các kiến thức trong chuyên đề để có cách nhìn tổng quát để giải quyết các bài toán về tính đơn điệu của hàm số.

Trong những năm học vừa qua, trường THPT Ngô Gia Tự liên tục giữ vững chất lượng dạy và học, đứng trong tốp 6 trường có điểm thi THPTQG cao nhất tỉnh và tốp 200 trường có điểm trung bình thi đại học cao nhất cả nước. Kết quả ấy đã góp một phần không nhỏ làm nên những vụ mùa bội thu cho giáo dục tỉnh nhà. Có được thành công đó là domỗi người giáo viên khi đứng lớp luôn luôn tâm niệm: Người dạy học phải tin vào sức mạnh tiềm tàng của học trò, và phải nỗ lực hết sức để giúp học trò mình trải nghiệm được sức mạnh này. Nếu người kỹ sư vui mừng nhìn thấy cây cầu mà mình vừa mới xây xong, người nông dân mỉm cười nhìn đồng lúa mình vừa mới trồng, thì người giáo viên vui sướng khi nhìn thấy học sinh đang trưởng thành, lớn lên. Uy tín và vị trí của người giáo viên trong nhà trường chính là kết quả học tập và rèn luyện đạo đức của học sinh.

Đóng góp vào thành công lớn của nhà trường phải kể đến sự lao động bền bỉ của mỗi giáo viên thuộc các tổ chuyên môn trong đó có tổ Toán - Tin. Việc các tổ chuyên môn đầu tư công phu, thống nhất ý chí và quyết tâm cao thực hiện giảng dạy các chuyên đề ôn thi THPTQG đã cho thấy vai trò quan trọng của người thầy trong hoạt động dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.

doc 42 trang Mai Loan 17/03/2025 620
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
 Tên sáng kiến:
“Kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của 
 hàm số”
 Tác giả sáng kiến: Phạm Quốc Huy
 Mã lĩnh vực: 12.52
 Lập Thạch, năm 2020 MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
 Trong chương trình toán THPT đặc là Giải Tích lớp 12, bài toán xét tính đơn 
điệu của hàm số là một vấn đề cơ bản, quan trọng của chương trình. Trong các kì thi 
học sinh giỏi cấp tỉnh các khối không chuyên và kỳ thi trung học phổ thông quốc gia 
xét tốt nghiệp và lấy kết quả xét vào các trường đại học và cao đẳng đây là một vấn đề 
luôn được đề cập tới. Để giúp các em có những kiến thức nhất định trong các kì thi 
học sinh giỏi và thi trung học phổ thông quốc gia, với đề tài này tôi hy vọng giúp học 
sinh có được kết quả tốt hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
 • Hệ thống các bài toán tính đơn điệu của hàm số.
 • Đưa ra các phương pháp giải toán phù hợp với đối tượng học sinh.
 • Rèn luyện kĩ năng đọc đồ thị, bảng biến thiên cho học sinh.
 • Hệ thống bài tập có phân loại phù hợp với trình độ của học sinh.
 • Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, óc tư duy cho học sinh.
 • Góp phần năng cao chất lượng dạy và học cho học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu:
 • Học sinh lớp 12.
 • Học sinh ôn thi học sinh giỏi.
 • Học sinh ôn thi THPT Quốc Gia.
4. Giới hạn phạm vi, nội dung nghiên cứu
 • Chương trình Giải Tích lớp 12.
 • Sách Giải Tích cơ bản và nâng cao lớp 12.
 • Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán.
 • Đề thi THPT Quốc Gia các năm của Bộ Giáo Giục và đề thi THPT Quốc Gia 
 của các sở và các trường nổi tiếng trên toàn quốc.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
 • Tính đơn điệu của hàm số, tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số, 
 bảng biến thiên của hàm số, tìm tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên 
 tập D  ¡ . tìm tham số để hàm số, đơn điệu thỏa mãn điều kiện cho trước.
 • Một số bài toán về thương gặp về tính đơn điệu của hàm số.
 • Vận dụng linh hoạt trong quá trình tính toán, giải bài tập. 
 1 NỘI DUNG
 KỸ THUẬT ĐỌC BẢNG BIÊN THIÊN, ĐỒ THỊ 
 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức chuẩn bị:
1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai 
 Cho tam thức bậc hai f  x  ax2  bx  c,a  0. Tính   b2  4ac hoặc 
   b2  ac. 
 1) Nếu   0  0 thì f  x luôn cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi 
 x¡ . 
 2) Nếu   0  0 thì f  x luôn cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi 
 b
 x   .
 2a
 3) Nếu   0  0 thì f  x có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . Giả sử 
 x1  x2 .Ta có f  x cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi x; x1    x2 ; 
và f  x trái dấu với dấu của hệ số a với mọi x x1; x2 .
2. Đaọ hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp của nó
 STT Hàm sơ cấp cơ bản Hàm hợp
 1 x 1. 
 2    1    1
  x    x . u   u u.
 3
  1  1  1  1
     2 ,x  0.     2 ,u  0.
  x  x  u  u
 4
 sin x  cos x. sinu  ucosu.
 5
 cos x  sin x cosu  usinu.
 6 1  u 
 tan x  ,x   k ,k ¢ . tanu  ,u   k ,k ¢ .
 cos2 x 2 cos2 u 2
 7 1 u
 cot x   ,x  k ,k ¢ . cotu   ,u  k ,k ¢ .
 sin2 x sin2 x
 9 1 1
 log x  ,x  0, a  0a 1. log u  ,u  0, a  0a 1.
 a xln a a uln a
 3 II. Bài tập áp dụng
Trong phần này tác giả đưa ra các dạng sau:
 DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐẠO HÀM
1. Bài tập tự luận
Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y  x3  3x2  2. 
 Giải
+ Tập xác định D  ¡ .
 2 x  0
+ y  3x  6x; y  0   
 x  2
+ Ta có bảng biến thiên
 x  0 2 
 0
 y   0 
 2 
 y
 2
 
+ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và 2;. Nghịch biến trên khoảng 
 0;2. 
Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y  x3  3x2  3x. 
 Giải
+ Tập xác định D  ¡ . 
 2
+ y  3x2  6x  3  3 x 1  0 với mọi x¡  hàm số nghịch biến trên ¡ . 
Bài 3. Xét tính đơn điệu của hàm sô y  x4  2x2  3. 
 Giải
+ Tập xác định D  ¡ .
 3  x  0
+ y  4x  4x; y  0   
 x  1
+ Ta có bảng biến thiên
 x ∞ 1 0 1 +∞
 y' 0 0 0
 +∞ +∞
 3
 y
 2 2
 5 2  m
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi y   0 với mọi 
  x 12
 x D  2  m  0  m  2. 
+ Vậy với m  2 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
 Nhận xét: Trong bài toán trên ta không sử dụng được hàm số nghịch biến trên 
 ;1  1; khi y  0 với mọi x;1  1; được vì ở đây nếu xẩy ra 
dầu bằng thì sẽ xẩy ra với mọi x D. 
 2x  m  6
Bài 8. Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số y 
 x  m
 1) Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
 2) Đồng biến trên khoảng ;6. 
 3) Nghịch biến trên khoảng 10;. 
 4) Nghịch biến trên khoảng 4;12. 
 Giải
+ Tập xác định D  ;m  m;.
 6  3m
+ y  . 
  x  m2
 6  3m
 1) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi y   0 
  x  m2
 6  3m
 x D. y   0 x D  6  3m  0  m  2. 
  x  m2
+ Vậy với m  2 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
 2) Hàm số đồng biến trên khoảng ;6 hàm số liên tục trên khoảng 
 ;6 và y  0 x;6. 
 m;6 m  6
      6  m  2. 
  6  3m  0  m  2
+ Vậy với m6;2 thì hàm số đồng biến trên khoảng ;6. 
 3) Hàm số nghịch biến trên khoảng 10; hàm số liên tục trên khoảng 
 10; và y  0 x10;. 
 m10; m 10
      2  m 10. 
  6  3m  0  m  2
+ Vậy với m2;10 thì hàm số nghịch biến trên khoảng ;6. 
 7 Để hàm số f t đồng biến trên 0;1 cần:
 f t  0 t 0;1  3t 2  6t  m  0 t 0;1  3t 2  6t  m t 0;1
Xét hàm số g t  3t 2  6t trên đoạn 0;1 
 gt  6t  6; gt  0  t  1. 
Bảng biến thiên
 t 0 1
 gt 
 9
 g t
 0
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với m  0 thì hàm số f t đồng biến trên 0;1 , hàm 
   
số f  x đồng biến trên đoạn 0; .
  2 
 Chú ý: Với cách đặt t  sin x ta có hàm số t  sin x đồng biến trên đoạn 
   
 0; do đó tìm m để hàm số y  sin3 x  3cos2 x  msin x 1 đồng biến trên đoạn 
  2 
   
. 0; trở thành bài toán tìm m để hàm sốf t  t3  3t 2  mt  4 đồng biến trên đoạn 
  2 
 0;1. 
 2cot x 1    
Bài 11. Tìm m để hàm số y  đồng biến trên khoảng  ;  ?
 cot x  m  4 2 
 Giải
   
Đặt t  cot x , x  ;  t 0;1 . 
  4 2 
 2t 1
Xét hàm số f t  trên khoảng 0; 1 ,t  m .
 t  m
 2m 1
Ta có f t  , t 0;1 ,t  m . 
 t  m2
    
Khi đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;  thì f t nghịch biến trên 
  4 2 
 1  
    
khoảng 0; 1 (vì t  2  0, x  ;   f t  0,  t 0; 1 ,t  m ).
 sin x  4 2 
  1  1
 m  m  m  1
 2m 1 0  2  2
Điều kiện:     .
   m  0  m  0 1
 m0;1   0  m 
    2
 m 1 m  1
 9 Bài 3. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau:
 Hàm số g  x  3 2 f  x đồng biến trên khoảng nào?
 Giải 
+ Từ bảng biến thiên của hàm số y  f  x  tập xác định của hàm số y  f  x là 
 D  ¡  tập xác định của hàm số g  x  3  2 f  x cũng là ¡ . 
  x  0
+ Ta có g x  2 f  x; g x  2 f  x  0  f  x  0    
 x  2
+ Bảng biến thiên của hàm số y  g  x như hình vẽ 
 x ∞ 2 0 2 +∞
 g' 0 + 0 0 +
 +∞ +∞
 5
 g
 -6 -6
+ Vậy hàm số g  x  3  2 f  x đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2;. 
Bài 4. Cho hàm số y  f  x liển tục trên ¡ và ta có bảng xét dấu của f  x
như sau:
 x  3 1 1 
 f  x  0  0  0 
Hàm số g  x  f 3  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
 Giải
+ Từ bảng xét dấu của f  x  tập xác định của hàm số y  f  x là D  ¡  tập 
xác định của hàm số g  x  f 3  2x cũng là ¡ . 
+ Ta có g x  2 f 3  2x; g x  2 f 3  2x  0  f 3  2x  0 
 11

Tài liệu đính kèm:

  • docsang_kien_kinh_nghiem_ky_thuat_doc_bang_bien_thien_do_thi_xe.doc