Sáng kiến kinh nghiệm Kĩ thuật tính tích phân của "hàm ẩn"

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN CỦA " HÀM ẨN "
Người thực hiện:Trần Ngọc Tiến
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC 
Mục lục...1
Mục lục
1.Mở đầu...1
1.1.Lí do chọn đề tài.1
1.2.Mục đích nghiên cứu..2
1.3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu..2
1.4.Phương pháp nghiên cứu3
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm...3
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm3
2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.4
2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề4
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.20
3.Kết luận, kiến nghị21
3.1.Kết luận..21
3.2.Kiến nghị22
Tài liệu tham khảo22
1.Mở đầu
1.1.Lí do chọn đề tài
 Trong chương trình bậc THPT thì bộ môn Toán học luôn là môn học quan trọng nhất. Để đạt được kết quả cao trong môn học này đòi hỏi người học kiên trì, chịu khó, nỗ lực phấn đấu, luôn tìm tòi sáng tạo trong học tập. Và để giúp học sinh học tập tốt đòi hỏi người dạy phải luôn tự học tập, nghiên cứu, trau dồi kiến thức, phải tâm huyết, đam mê, tỉ mỉ, kiên nhẫn trong giảng dạy và nghiên cứu. Qua nhiều năm giảng dạy tôi thấy có rất nhiều học yêu thích và đam mê môn toán nhưng kết quả đạt được lại chưa cao. Bên cạnh đó thì trong các kì thi học sinh giỏi, kì thi tốt nghiệp quốc gia luôn có nhiều cách khai thác kiến thức trong chương trình ở nhiều khía cạnh khác nhau để tạo ra nhiều dạng toán khó. Kì thi mà được cả xã hội quan tâm hiện nay là kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia.
 Kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia là kì thi quan trọng nhất đối với bậc trung học phổ thông. Để chuẩn bị tốt cho kì thi và để đạt được kết quả cao trong kì thi thì học sinh ngoài việc học đều tất cả các môn học còn phải đặc biệt hóa các môn xét điểm vào các trường Đại học, nhất là các trường danh tiếng. Bộ môn toán học là bộ môn cần đạt được kết quả cao nhất để hoàn thành mục tiêu tốt nghiệp quốc gia và xét tuyển vào các trường chuyên nghiệp. Muốn làm tốt nhiệm vụ này, học sinh ngoài việc đầu tư nhiều thời gian còn phải tìm tòi các phương pháp học hiệu quả sáng tạo để thu được kết quả cao. Bộ môn toán học trong trường THPT là môn học tương đối khó nhưng chứa đựng nhiều nép đẹp quyễn rũ và đầy tính sáng tạo. Để chuẩn bị tốt cho kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia Bộ giáo dục và đào tạo đã chỉ đạo học sinh ôn tập và đưa ra đề thi minh họa, bên cạch đó các trường THPT trong cả nước cũng ra đề kiểm tra chất lượng ôn tập tốt nghiệp quốc gia, trong các đề thi này chứa đựng nhiều dạng toán mới nhất là những câu hỏi để phân loại học sinh ở phần vận dụng cao, chẳng hặn như các dạng toán mới về tích phân
VD: Câu 50-Đề minh họa TNQG năm 2018- lần 1.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạnthỏa mãn điều kiện:
và. Tích phân bằng:
A. B. C. D.
 Khi gặp các dạng toán mới này tôi bắt gặp sự lúng túng, mất phương hướng trong việc tìm ra cách giải của học sinh và nếu chỉ vận dụng các kiến thức cơ bản thì thực sự rất khó để tìm ra lời giải cho bài toán này, trong khi đó các tài liệu, các chuyên đề về vấn đề này còn chưa nhiều. Và còn nhiều câu hỏi về đồ thị của hàm ẩn, bài toán thực tếvv.
 Trước thực trạng của vấn đề tồn tại tôi thiết nghĩ mình chọn và nghiên cứu một trong những chủ đề nóng của kì thi đó là: " Kĩ thuật tính tích phân của hàm ẩn" nhằm giúp các em ôn tập tốt hơn và đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia sắp tới.
1.2. Mục đích nghiên cứu 
-Các vấn đề trình bày trong sáng kiến này nhằm mục đích cung cấp cho học sinh lớp 12 các phương pháp tính tích phân của "hàm ẩn" trên cơ sở sử dụng các kĩ thuật tính tích phân cơ bản được trình bày trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 
-Giúp học sinh nhận dạng và phân loại các bài toán về tích phân của "hàm ẩn"
-Hình thành các phương pháp tính tích phân của "hàm ẩn" dựa trên các phương pháp tính tích phân cơ bản qua đó bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kĩ năng giải toán, khả năng vận sáng tạo các phương pháp tính. Qua đó giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và niềm đam mê đối với toán học.
-Nâng cao khả năng tư duy độc lập, sáng tạo, tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải quyết những dạng toán mới trong kì thi, để từ đó thu được kết quả cao nhất trong kì thi tốt nghiệp quốc gia sắp tới .
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 
a. Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về tính tích phân của hàm ẩn
b. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này thuộc chương trình Giải tích của bậc trung học phổ thông
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Nghiên cứu lí luận: Dựa trên việc tìm đọc, nghiên cứu, phân tích các tài liệu liên quan. Rút kinh nghiệm trong thực tiễn giáo dục. Từ đó xây dựng cơ sở lý luận của đề tài.
- Kết hợp với điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin, trò chuyện, điều tra phỏng vấn học sinh, đồng nghiệp.
- Thống kê, xử lí số liệu: So sánh, phân tích, rút kinh nghiệm.
Hệ thống lại cho học sinh những kiến thức cơ bản về các phương pháp tính tích phân: phương pháp đặt ẩn phụ và phương phương pháp tích phân từng phần. Thông qua các ví dụ và cách giải cơ bản dẫn dắt học sinh đến các bài toán về tích phân hàm ẩn một cách tự nhiên, nhẹ nhàng. Bằng các cách giải đơn giản, sáng tạo dựa trên sự khai thác các phương pháp đã biết, phân dạng và hình thành phương pháp giải cho một dạng toán mới để cho học sinh thấy sự vận dụng linh hoạt trong việc giải quyết dạng toán mới và khó hơn rất nhiều, và thường rơi và mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao trong các đề thi thử tốt nghiệp quốc gia của các trương THPT trên cả nước. Các ví dụ minh họa trong các đề tài này được chọn lọc từ nhiều tài liệu tham khảo và các đề thi thử tốt nghiệp quốc gia trong những năm gần đây, đặc biệt là trong năm học 2017-2018, và được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó. Trong các giờ học trên lớp tôi đã lồng ghép các ví dụ một cách tự nhiên để xem xét phản ứng từ phía học sinh, khơi gợi cho các em sự tò mò và từ đó dẫn dắt các em đi tìm tòi, suy luận sáng tạo cách giải từ những phương pháp cơ bản để từ đó rút ra được các phương pháp giải bài toán tích phân của hàm ẩn. Qua đó cho các em thấy sự hiệu quả trong việc sử dụng "kĩ thuật tính tích phân của hàm ẩn"
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
2.1. Cơ sở lí luận.
a. Lí luận chung:
Chủ trương của ngành giáo dục phổ thông là phát huy tính tích cực, tự giác , chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh.
b. Kiến thức vận dụng: 
* Định nghĩa tích phân, các tính chất, các phương pháp tính tích phân, quy tắc tính đạo hàm, đặc biệt là quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.
* Để giải các bài toán về tích phân của hàm số ẩn ta cần nắm vững cách tính đạo hàm của hàm số hợp, các phương pháp tính tích phân cơ bản:
 - Đạo hàm của hàm số hợp:
 + Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm và hàm số có đạo hàm tại điểm thì hàm số hợp có đạo hàm tại điểm , và
 + Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm thì hàm số hợp có đạo hàm trên , và 
 - Phương pháp đặt ẩn phụ:
 Trong đó hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số liên tục và sao cho hàm hợp xác định trên K; a và b là hai số thực thuộc K
 - Phương pháp tích phân từng phần:
 Trong đó các hàm số u,v có đạo hàm liên tục trên K, và a,b là hai số thực thuộc K
2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong qua trình học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy các bài toán về tính tích phân trong các đề thi tốt nghiệp quốc gia là rất đa dạng và phong phú, đặc biệt trong đề minh họa môn toán năm học 2017-2018 của Bộ giáo dục và các trương THPT trên cả nước khai thác rất sâu về phương pháp tính tích phân và xuất hiện dạng toán mới : tính tích phân của" hàm số ẩn". Đứng trước các bài toán dạng này học sinh thường lúng túng, bế tắc trong việc đi tìm phương pháp giải nhanh và hiệu quả vì:
- Học sinh thường quen với cách tính tích phân của các hàm số cụ thể, và thường có cách giải tổng quát như: tích phân của hàm số phân thức hữu tỷ, tích phân của hàm số lượng giác, tích phân hàm số chưa ẩn dưới dấu căn thứcvv. Trong khi đó lần đầu tiên học sinh bắt gặp các bài toán về tích phân của " hàm số ẩn".
- Số lượng các bài toán về tích phân của " hàm số ẩn" xuất hiện phổ biến trong các đề minh họa tốt nghiệp của các trường THPT trên cả nước và trong cả các đề thi thử tốt nghiệp của các sở giáo dục trên khắp các tỉnh thành trong cả nước.
- Trong khi đó các tài liệu và chuyên đề viết về vấn đề này còn chưa nhiều, chưa phổ biến và chưa cập nhật cùng với các chuyên động của mùa thi.
2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 Đầu tiên tôi hệ thống lại cho học sinh những kiến thức cơ bản về các phương pháp tính tích phân: phương pháp đặt ẩn phụ và phương phương pháp tích phân từng phần. Thông qua các ví dụ và cách giải cơ bản dẫn dắt học sinh đến các bài toán về tích phân hàm ẩn một cách tự nhiên, nhẹ nhàng. 
 Sau đó bằng các cách giải đơn giản, sáng tạo dựa trên sự khai thác các phương pháp đã biết, phân dạng và hình thành phương pháp giải cho một dạng toán mới để cho học sinh thấy sự vận dụng linh hoạt trong việc giải quyết dạng toán mới và khó hơn rất nhiều, và thường rơi và mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao trong các đề thi thử tốt nghiệp quốc gia của các trương THPT trên cả nước. Các ví dụ minh họa trong các đề tài này được chọn lọc từ nhiều tài liệu tham khảo và các đề thi thử tốt nghiệp quốc gia trong những năm gần đây, đặc biệt là trong năm học 2017-2018, và được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó. Trong các giờ học trên lớp tôi đã lồng ghép các ví dụ một cách tự nhiên để xem xét phản ứng từ phía học sinh, khơi gợi cho các em sự tò mò và từ đó dẫn dắt các em đi tìm tòi, suy luận sáng tạo cách giải từ những phương pháp cơ bản để từ đó rút ra được các phương pháp giải bài toán tích phân của hàm ẩn. Qua đó cho các em thấy sự hiệu quả trong việc sử dụng "kĩ thuật tính tích phân của hàm ẩn"
Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả đã hướng dẫn cho học sinh nhận dạng, phân loại bài toán và dẫn dắt học sinh tìm ra cách giải bài toán từ những cách giải cơ bản trong sách giao khoa theo hệ thống ví dụ bài tập được sắp xếp theo trình tự logic và được biên soạn công phu như sau
a.Phương pháp giải chung
Các bài toán về tích phân của hàm số ẩn được khai thác rất sâu và được cho ở nhiều dạng khá phong phú, nhưng dạng toán thường bắt gặp trong các đề thi là: 
Cho hàm số f(x) xác định và hàm liên tục trên đoạn, hoặc khoảng K nào đó và thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài toán yêu cầu tính 
Chẳng hặn: Câu 50-Đề minh họa TNQG năm 2018- lần 1 của Bộ giáo dục và đào tạo là. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạnthỏa mãn điều kiện :
và Tích phânbằng:
A. B. C. D.
Một dạng khác nữa cũng khá phổ biến là:
Cho hàm số f(x) xác định và hàm liên tục trên đoạn, hoặc khoảng K nào đó và thỏa mãn điều kiện cho trước là một phương trình hàm và khai thác thành một phương trình chứa tích phân cần tìm. Bài toán yêu cầu tính 
Ví dụ : Câu 46 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Lam Sơn lần 3 năm 2018
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên thỏa mãn điều kiện
đồng thời . Tích phânbằng:
A. B. C. D.
Đứng trước các bài toán khó như thế này ta thường tư duy theo các bước như sau để tìm ra lời giải một cách nhanh nhất:
Bước 1: Khai thác điều kiện cho trước của giả thiết để định hướng cách giải 
+ Nếu giả thiết cho dưới dạng một phương trình tích phân với các biến khác nhau thì ta sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm ta cách giải
+ Nếu giả thiết cho dưới dạng tích phân của hàm số chứa đạo hàm cấp 1, cấp 2, thì ta thường vận dụng phương pháp tích phân từng phần để làm xuất hiện tích phân của hàm số cần tìm. Lưu ý vận dụng các hệ thức đặc biệt từ điều kiện của giải thiết.
+ Đặc biệt có các bài toán mà giải thiết cần sử dụng sáng tạo cả hai phương pháp mới tìm ra cách giải
Bước 2: Tiến hành giải quyết bài toán dựa vào hai phương pháp tính tích phân cơ bản là : phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phân hoặc phối hợp cả hai phương pháp
Bước 3: Sử dụng các hệ thức và tính chất đặc biệt của tích phân từ đó tìm ra kết quả
Lưu ý: 
+ Kiến thức về đạo hàm của hàm số hợp
+ Tính chất về tích phân
+ 
b.Phân loại theo phương pháp giải:
b.1 Sử dụng kĩ thuật đổi biến số để tính tích phân của" hàm ẩn":
Phương pháp đổi biến số là một trong hai phương pháp cơ bản để tính tích phân và được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa giải tích lớp 12 và được lấy các ví dụ minh họa rất phong phú, đa dạng. Qua quá trình giảng dạy nhiều năm tôi thấy học sinh nắm rất tốt phần kiến thức này, thông thạo ở cả 2 phương pháp đổi biến số trên từng loại hàm số cụ thể như: hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác, hàm số chưa ẩn dưới dấu căn thức , hàm số siêu việtTuy nhiên khi bắt gặp các dạng toán về tích phân của hàm ẩn thì gần như không có một phản ứng gì về ý tưởng giải bài toán. Đứng trước thực trạng của vấn đề tôi đã đi tìm tòi, nghiên cứu và sáng tạo cách giải quyết các bài toán dạng này trên cơ sở những phương pháp cơ bản trong sách giáo khoa một cách sáng tạo và khéo léo. Xin trình bày bài giải ấn tượng đầu tiên 
Ví dụ 1: Câu 50 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Thái Bình lần 5 năm 2018
Giả sử hàm số đồng biến trên khoảng , liên tục và nhận giá trị dương trên khoảng và thỏa mãn: và 
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. B. 
C. D. 
Trong yêu cầu của bài toán là tính giá trị của hàm số chưa biết, mặt khác giải thiết lại cho nhiều điều kiện phức tạp liên quan đến đạo hàm của hàm số. Câu hỏi lớn đặt ra là tận dụng giả thiết như thế nào để tìm ra lời giải? Có liên quan gì đến tích phân hay không? Câu hỏi này thật khó tìm được câu trả lời. Sau một thời gian suy ngẫm, tìm đọc các tài liệu có liên quan và vận dụng vào bài toán cụ thể thì cuối cùng tôi cũng tìm ra câu trả lời bằng cách khai thác triệt để giải thiết.
Sử dụng điều kiện giả thiết 
Đến lúc này thì bài toán đã có hướng giải rõ ràng bằng cách lấy tích phân hai vế và sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân
Để tính tích phân ta đặt: 
Vậy ta chọn đáp án : A 
Bài giải ấn tượng thứ 2 mà tôi thành công theo lối phân tích giả thiết bằng cách giải phương trình hàm từ giả thiết của bài toán và thu được kết quả như sau.
Ví dụ 2: Câu 41 đề thi thử TNQG trường THPT Chu Văn An (Hà nội) lần 3 năm 2018. Cho hàm số liên tục trên , và thỏa mãn điều kiện:
 và .Tích phân bằng:
A. B. C. D.
Đọc giả thiết bài toán ta thấy đây là một phương trình rất phức tạp và rất khó để tìm ra ý tưởng giải bài toán. Thế nhưng với cảm hứng trong việc chinh phục được ví dụ 1 thì ta định hướng bài toán bằng cách lấy căn bậc 3 hai vế của phương trình để suy ra 
Và từ đây ta tìm được cách giải theo hướng của ví dụ1 
Đặt: . Từ đây suy ra
Đối chiếu với các đáp án của bài ta chọn : Đáp án B
Một ví dụ được ra theo cùng xu hướng trên nhưng mang tính vận dụng cao hơn
Ví dụ 3: Câu 50 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp lần 1 năm 2018. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn điều kiện .Tìm giá trị lớn nhất của 
A. B. C. D.
Giả thiết của bài này là một bất phương trình của đạo hàm nên việc tìm ý tưởng giải còn khó hơn nhiều so với ví dụ 1. Tuy nhiên khi ta đã giải quyết trọn vẹn 2 ví dụ trên thì trong ví dụ 3 này ta chỉ cần sử dụng khéo léo một tính chất của tích phân đó là: thì sẽ cho ta lời giải hay. Thật vậy, từ điều kiện giả thiết ta suy luận như sau.
Nếu : nghịch biến vô lí 
Nếu : 
Do đó ta được:
Suy ra: Vậy ta chọn đáp án :B
Một bài toán cũng rất ấn tượng nữa là khi giải thiết cho một phương trình của đạo hàm và hàm số dưới dạng một phương trình mũ đó là
Ví dụ 4: Câu 41 đề thi thử TNQG trường THPTChuyên Lê Quý Đôn Hà nội lần 2 năm 2018. Giả sử hàm số liên tục và có đạo hàm trên khoảng và thỏa mãn: . Tích phân bằng
A. B. C. D. 
Cũng với cách giải trong ví dụ1 ta đi biến đổi phương trình :
Do đó :
Vậy ta chọn đáp án : B
Bài toán còn khai thác sâu về phương trình hàm nhưng cách giải cũng theo phong cách như các ví dụ trên dựa vào kĩ thuật biến đổi.
Ví dụ 5: Câu 46 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Lam Sơn lần 3 năm 2018
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên thỏa mãn điều kiệnđồng thời . Tích phânbằng:
A. B. C. D.
Giả thiết là một phương trình khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng rất khó nhận ra để có thể khai thác giả thiết theo cách giải ở các ví dụ trên, vì đây là một tổng bình phương phức tạp: . Mới đầu nhìn vào giả thiết này ta dễ bị choáng ngợp vì quá phức tạp, nhưng sau đó ta lại thấy có nét gì đó liên quan đến một hằng đẳng thức quen thuộc, từ ý tưởng này tôi biến đổi được như sau
Lúc này ta cần để ý rằng và bài toán lại được chinh phục theo phong cách như ở các ví dụ trên 
Vậy ta chọn đáp án : B
Thêm một bài toán hay nữa cũng giải theo phong cách này
Ví dụ 6: Đề thi thử TNQG trường THPT QuảngXương I –ThanhHóa- lần 3
Cho hàm số f(x) dương, xác định và hàm liên tục trên đoạnthỏa mãn điều kiện.Tính
A. B. C. D.
Bài toán này rất phức tạp, từ cách khai thác giả thiết cho đến tìm mối liên hệ với tích phân cần tính là tương đối khó. Bài toán này đòi hỏi rất cao ở tính sáng tạo trong cách khai thác giả thiết. Ta giải quyết bài toán này như sau:
Đầu tiên ta áp dụng tính chất của nguyên hàm: 
Sau đó ta lấy tích phân hai vế theo biến t
Vậy ta chọn đáp án : A
Bây giờ ta lại khai thác gỉa thiết dưới dạng một phương trình tích phân, học sinh phải khai thác tối đa giả thiết thì sẽ cho ta cách giải một bài toán tích phân dưới dạng phương trình bậc nhất.
Ví dụ 7: Câu 42 đề thi thử TNQG trường THPT Chu Văn An TP Hà nội lần 1 năm 2018.Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạnthỏa mãn điều kiện :. Tích phân bằng:
A. B. C. D. 
Từ giải thiết: , bằng cách đổi biến số ta sẽ đưa về một phương trình của I và suy ra I bằng cách giải phương trình bậc nhất
Ta có : 
Đặt: Đổi cận: 
Do đó:
Đặt: Đổi cận: 
Suy ra: 
Như vậy ta thiết lập được phương trình bậc nhất là:
Vậy ta chọn đáp án : C
Ví dụ tương tự nhưng yêu cầu cao hơn
Ví dụ 8: Đề thi thử tốt nghiệp quốc gia của Sở GD&ĐT Bình Phước- lần 1 năm 2018. Cho số thực a>0.Giả sử hàm số f(x) dương, xác định và hàm liên tục trên đoạn. Thỏa mãn điều kiện:Tính
A. B. C. D.
Ta có :
Mặt khác, nếu đặt
Vậy ta chọn đáp án: B
Một dạng toán khác đơn giản hơn cũng được các tác giả khai thác theo phương pháp đổi biến số: 
Ví dụ 9: Câu 28 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh (Tỉnh Đồng Nai) lần 1 năm 2018. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn điều kiện.Tính 
A. B. C. D.
Đối với bài toán này thì rất nhiều học sinh có ý tưởng giải theo hướng tìm mối liên hệ giữa tích phân K và I. Đây là ý tưởng hoàn toàn chính xác, vấn đề của chúng ta là dẫn dắt các em sử dụng phương pháp đổi biến cho hợp với giả thiết thì sẽ cho lời giải hay để từ đó kích thích trí sáng tạo của học sinh và hình thành niềm đam mê đối với môn toán. Xin được trình bày ý tưởng như sau:
Đặt: Đổi cận: 
Suy ra: 
Lúc này ta sẽ liên hệ K và I theo cách đặt:
Đặt: Đổi cận: 
Do đó:
Vậy ta chọn đáp án: C
b.2 Sử dụng kĩ thuật tích phân từng phần để tính tích phân hàm ẩn.
Phương pháp tính tích phân từng phần được trình bày khá là dễ hiểu trong sách giáo khoa, học sinh nắm phương pháp này cũng tương đối tốt. Các bài toán cơ bản cho phương pháp này dược phân chia đến từng loại hàm số và thậm trí nhiều loại hàm ta còn có cách đặt tổng quát, nhưng đối với hàm ẩn thì không. Vận dụng phương pháp này trong bài toán tích phân của hàm ẩn là tương đối khó, nó đòi hỏi sự ước lượng tốt, sự nhạy bén, sự sáng tạo và cả kinh nghiệm nữa. Và sau đây, tôi xin trình bày bài giải ấn tượng trong sự vận dụng một cách linh hoạt phương pháp tích phân từng phần
Ví dụ 1: Câu 50-Đề minh họa TNQG năm 2018- lần 1 của Bộ giáo dục và đào tạo.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạnthỏ