Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác một số ứng dụng của vectơ trong giải toán sơ cấp

I.MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài.
 Như chúng ta đã biết chương trình cải cách giáo dục hiện nay cũng như chuyên đề bồi dưỡng thường xuyên chúng ta luôn muốn có một cải tiến phương pháp dạy học nhằm khích lệ hoạt động của học sinh và hướng học sinh vào hoạt động. Mục đích cũng là để phát huy trí lực của học sinh một cách tích cực nhất. Có nhiều phương pháp để làm được việc đó, song với mỗi loại bài toán có thể áp dụng những phương pháp hoạt động khác nhau. Trong chuyên đề này, tôi muốn trình bày một ý tưởng giúp học sinh vận dụng và khai thác các kiến thức cơ bản một cách linh hoạt vào các bài tập thường gặp. Đó là việc sử dụng vectơ trong giải toán sơ cấp.
 Trong chương trình toán ở bậc THPT, vectơ là một khái niệm quan trọng, nó có tính khái quát cao. Nó có thể sử dụng cho cả hình học phẳng lẫn hình học không gian và thậm chí cả đại số. Nhờ vectơ ta có thể đưa tọa độ vào bài toán hình học do đó tránh khỏi những sai lầm về mặt trực quan. Cũng nhờ vectơ nhiều bài toán hình học phẳng, hình học không gian, bất đẳng thức, bất phương trình...có cách giải đơn giản, ngắn gọn, đễ hiểu. Chính vì vậy, khai thác các ứng dụng của vectơ vào việc giải toán là một vấn đề thú vị và ý nghĩa. 
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Mục đích nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là khai thác một số ứng dụng của vectơ trong hình học và trong đại số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiêm là các bài toán giải được bằng phương pháp vectơ.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Đề tài này sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết dựa vào lí luận dạy học toán, phương pháp thu thập và xử lí thông tin.
 II.NỘI DUNG
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Đối với học sinh, một bài toán được giải càng ngắn gọn, hình vẽ càng đơn giản thì chắc chắn càng dễ hiểu, dễ tiếp thu. Việc giải một số bài toán bằng phương pháp vectơ giúp các em có một cách tư duy mới, không quá khó khăn, gò bó; tránh được những lối trình bày rườm rà hay hình vẽ phức tạp. Đồng thời nó còn có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy trừu tượng, năng lực phân tích của học sinh.
 Để có thể khai thác các ứng dụng của vectơ trước hết học sinh phải được trang bị các kiến thức cơ bản về vectơ. Dưới đây là một số quy tắc, tính chất thường xuyên được sử dụng trong quá trình giải toán mà học sinh cần phải nắm vững:
Quy tắc ba điểm: A, B, C là ba điểm bất kì trong không gian ta luôn có: . [1]
Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác OABC là hình bình hành thì ta có:
 .[1]
Tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì và ( với mọi điểm O).[1]
Tính chất trọng tâm tam giác: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì:
 và (với mọi điểm O).[1]
 5. Tích vô hướng của haivectơ: . [1] 	
 6. Điều kiện để hai vectơ cùng phương: 
 véctơ cùng phương với vectơ ().[1]
 7. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hànglà . [1] 
 8. Điều kiện để hai vectơ vuông góc: [1] 
 9. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng: Cho hai vectơ không 
cùng phương và một véc tơ bất kì. Khi đó điều kiện cần và đủ để ba vectơ 
 đồng phẳng là tồn tại các số thực m; n sao cho: (các số m, n 
là duy nhất)
 10. Một số tính chất của vectơ.
 Tính chất 1: . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 Tính chất 2: .[1] 
 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng hướng.
 Tính chất 3: .	
 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng phương
2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Từ thực tiễn của việc dạy học toán ở nước ta ngày nay có thể thấy rằng, năng lực giải toán của nhiều học sinh chưa tốt. Các em thường cảm thấy lúng túng khi đứng trước một bài toán hình học, một bài bất đẳng thức, thậm chí cả những bài dễ. Vì thế khi làm bài kiểm tra hoặc bài thi nhiều học sinh không hề đụng đến phần này. Ngay cả với những em học tốt, nhiều khi chỉ tìm được lời giải cho một bài toán chứ chưa tìm được lời giải hay nhất, ngắn gọn nhất. 
 Nhà toán học George Polya đã từng nói “Con đường duy nhất để học toán là làm toán”. Nhưng làm thế nào để giúp các em học sinh làm toán có kết quả cao? Điều này phụ thuộc một phần không nhỏ vào việc lựa chọn phương pháp khi giải toán. Do đó, nhiệm vụ của người thầy giáo khi dạy học sinh giải toán là hướng dẫn học sinh tìm và lựa chọn phương pháp phù hợp để giải đối với từng dạng toán.
 2.3.Các giải pháp.
 2.3.1. Khai thác một số ứng dụng của vectơ trong hình học.
 Ngoài việc nắm vững các kiến thức về vectơ, học sinh cần phải nắm được quy trình (hay thuật toán) giải bài toán hình học bằng phương pháp vectơ gồm ba bước sau đây:
 Bước 1: Lựa chọn một số vectơ mà ta gọi là “hệ vectơ gốc”; phiên dịch các giả thiết, kết luận của bài toán hình học đã cho sang “ngôn ngữ” vectơ.
Bước 2: Thực hiện yêu cầu bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức vectơ theo hệ vectơ gốc.
Bước 3: Chuyển các kết luận từ “ngôn ngữ” vectơ sang các tính chất hình học tương ứng.
 Trên cơ sở đó, sau đây tôi xin mạnh dạn khai thác một số dạng toán hình học giải bằng vectơ.
 2.3.1.1. Chứng minh một số định lí bằng phương pháp vectơ
 Ví dụ 1: Chứng minh định lí “Ba đường cao trong tam giác đồng quy”. (Bài tập 7, trang 52- sgk hình học Nâng cao 10)
 Nội dung bài tập 7, trang 52- sgk hình học Nâng cao 10 như sau:
Cho bốn điểm A,B,C, D bất kì. Chứng minh rằng:(*) 
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí “Ba đường cao trong tam giác đồng quy”
 Việc chứng minh đẳng thức (*) ở trên là không quá khó đối với học sinh. Tuy nhiên, từ kết quả đó để chứng minh định lí “Ba đường cao trong tam giác đồng quy” không phải là dễ đối với một số em. Có thể hướng dẫn các em chứng minh như sau:
 + Gọi H là giao điểm của hai đường cao AM và BN của yêu cầu bài toán được phát biểu lại là gì? (cần chứng minh CH AB hay chứng minh 
+ Từ giả thiết bài toán (AHBC; BHAC) suy ra các hệ thức véc tơ nào? ()
 + Đẳng thức (*) gợi cho em có mối liên hệ gì? ( từ các tích vô hướng và các tích vô hướng học sinh có thể thấy rằng nếu thay D bởi H thì chúng hoàn toàn giống nhau. Do đó có thể thay D bởi H để được đẳng thức )
+ Từ kết quả trên các em đã suy ra được điều phải chứng minh hay chưa?
Ví dụ 2[2] : Chứng minh định lí: Ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy.
A
B
E
G
N
C
M
 Lời giải.
Ta có: 
 (1) 
A, G, M thẳng hàng (2)
B, G, N thẳng hàng (3)
Thay (2), (3) vào (1) ta có 
 (4)
Nếu thì (4) A, G, B thẳng hàng
Với . Từ (4) 
Vì E là trung điểm của AB nên ta có:
Vậy . Do đó C, G, E thẳng hàng Điều phải chứng minh.
 Ngoài các định lí trên, học sinh có thể sử dụng phương pháp vectơ để chứng minh một số định lí khác mà các em đã được học như: định lí Ta-let, định lí ba đường phân giác trong tam giác đồng quy, định lí về mối liên hệ giữa độ dài đường trung tuyến và độ dài các cạnh trong tam giác
2.3.1.2. Giải một số bài toán hình học bằng phương pháp vectơ.
 Dạng 1: Chứng minh các điểm trùng nhau.
Bài toán [2]: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tuỳ ý. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là 
trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Quy trình giải bài toán này như sau:
 Bước 1: “Phiên dịch” các dữ kiện, điều kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ.
 Chọn “hệ vectơ gốc” là với gốc O tuỳ ý. Kí hiệu lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và NQS.
 là trọng tâm tam giác MPR (1)
 là trọng tâm tam giác NQS (2)
 M là trung điểm của AB (3)
 N là trung điểm của BC (4)
 P là trung điểm của CD (5)
 Q là trung điểm của DE (6)
 R là trung điểm của EF (7)
 S là trung điểm của FA (8)
 trùng với (9)
Bước 2: Thực hiện các yêu cầu bài toán: Chứng minh hệ thức (9) bằng cách biểu diễn các vectơ và theo hệ các vectơ gốc để so sánh các vectơ này.
Thay (3), (5), (7) vào (1) ta được: (10)
Thay (4), (4), (8) vào (2) ta được: (11)
Từ (10) và (11) 
 Bước 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tương ứng: 	
 Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh đẳng thức hình học hoặc đẳng thức vectơ.
Bài toán [2]: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của MN.
a/ Chứng minh rằng đường thẳng AG đi qua trọng tâm A’ của tam giác BCD. Phát biểu kết luận tương tự đối với các đường thẳng BG, CG và DG.
b/ Chứng minh GA = 3.GA’	
 Đây là một bài toán hình học không gian, nếu giải theo phương pháp thông thường học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn: họ phải kẻ thêm những đường phụ (mà ban đầu có thể chưa biết là phải kẻ như thế nào) dẫn đến hình vẽ phức tạp; phải phân tích và tổng hợp nhiều kiến thức khác nhau mới có thể có thể xây dựng được chương trình giải. Tuy nhiên nếu sử dụng phương pháp vectơ thì bài toán này không còn là quá khó với các em.
A
M
N
G
C
D
B
Lời giải bài toán này như sau: 
Chọn hệ làm cơ sở. Ta có: 	
M là trung điểm của AB 
N là trung điểm của CD 
G là trung điểm của MN (1)
A’ là trọng tâm tam giác BCD (2)	
AG đi qua A’ A; G; A’ thẳng hàng 
 Từ (1) và (2) suy ra: .
 A, G, A’ thẳng hàng và hay (đpcm)
 Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song
Bài toán [2] : Cho lăng trụ tam giác . Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm 
của các tam giác . Chứng minh NM // EF.
Lời giải.
Chọn hệ 	
M là trọng tam của tam giác 	
N là trọng tam của tam giác 	
E là trọng tam của tam giác 	
F là trọng tam của tam giác 	MN // EF để 
 Ta có: ; 
N
B1
A
C
B
A1
C1
M
E
F
 MN// EF
Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
 Bài toán [2] : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC; SB = SD. Chứng minh rằng:
a/ SOOA
b/ ACSD
Quy trình giải bài toán này như sau:
 Bước 1: “Phiên dịch” các dữ kiện, điều kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ. 
Chọn hệ vectơ cơ sở 
S
D
C
O
A
B
Ta có: ; 	
Theo bài ra SA = SC (1) 
 (2)	 
ACSD (3) 
Bước 2: Thực hiện yêu cầu bài toán: 
Chứng minh đẳng thức (2) bằng cách 
 biến đổi (1) để làm xuất hiện tích vô 
hướng . 
 Theo bài ra SA = SC 
(5)
Chứng minh đẳng thức (3) bằng cách 
biểu diễn qua hệ véc tơ cơ sở, sau đó tính tích vô hướng 
 Ta có 
Bước 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tương ứng: 	
Dạng 5: Giải một số bài toán cực trị.
Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, ví dụ: , với c là hằng số và I cố định.
Khi đó =c, đạt được khi MI=0M trùng I.[3] 
Ví dụ 1[3] : Cho ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ‎ý.
 CMR: , từ đó suy ravị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải. Ta có:
 Cộng vế theo vế ta dược:
	 (vì )
 Từ đó suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi 
Ví dụ 2[3] : Cho hình bình lhành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ‎ý.
a. CMR: 
b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
a. Ta có: 	
	(1)
Ta xét: 
	(2)
Thay (2) vào (1), ta được:
	đpcm.
b. Từ kết quả câu a) suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất	
	M là hình chiếu vuông góc của D lên (d).
 2.3.2. Khai thác một số ứng dụng của vectơ trong đại số.
Dạng 1: Giải phương trình 
Ví dụ : Giải phương trình: 
Lời giải
ĐK: 
Đặt 
Ta có: 
Theo tính chất của vectơ ta có: (*) 
Phương trình đã cho tương đương với 
Do đó phương trình tương đương với dấu “=” xảy ra ở (*)
Dạng 2: Giải bất phương trình
Ví dụ : Giải bất phương trình: 
 (1)
Lời giải: 
ĐK: 
Đặt 
Khi đó 
 . 
Bất phương trình tương đương với 
Mà . Nên bất phương trình tương đương với cùng hướng (ĐK: 0< x < 3)
 Với nghiệm < 0 không thỏa mãn đk. Do đó bất phương trình có hai nghiệm là 
Dạng 3: Giải hệ phương trình
Ví dụ [3] : Giải hệ phương trình
Lời giải.
Hệ đã cho tương đương với	
 Đặt 
Nếu 
Nếu cùng phương . Xét hai trường hợp ta có nghiệm của hệ 
Vậy hệ có hai nghiệm là
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 1[3] . Cho tam giác ABC, chứng minh rằng 
Lời giải.
 gọi O, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ta có:
 suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2[3] . Chứng minh rằng :
++ với x,y,z > 0.
 Lời giải. trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt:
từ tính chất ta có đpcm.
theo cáh này ta có thể chứng minh rất nhanh được các bài toán sau đây:
Ví dụ 3[3] : Chứng minh rằng với mọi x ta có:
Ví dụ 4[3] : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: 
 ++
 Như vậy sử dụng phương pháp vectơ cho phép học sinh giải được rất nhiều bài toán. Không chỉ dừng lại ở các bài toán trên, phương pháp vectơ còn khai thác để giải nhiều bài toán khác nữa như: tính góc giữa hai đường thẳng, bài toán quỹ tích, bài toán tìm cực trị, chứng minh bất đẳng thứcmà ở đây tôi chưa có điều kiện nhắc đến.
 Một số bài tập rèn luyện
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng 
SA = SC, SB =SD. 
Chứng minh rằng : (ABCD) ; 
2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA ,SD. 
 a). Chứng minh: mp(OMN)//(SBC). 
 b). Gọi P và Q là trung điểm của AB và ON . Chứng minh : PQ//mp(SBC).
3.Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a , AC=BD =b, AD =BC = c. 
 a). Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó. 
 b). Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD.
4. Giải hệ phương trình: 
5. Chứng minh bất dẳng thức: 
6. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có các trung tuyến ứng với cạnh AB và BC vuông góc thì ta có 
7. Cho a, b, c là ba số không âm và a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Với yêu cầu đòi hỏi ngày càng cao của quá trình nhận thức, vấn đề đặt ra là phải làm thế nào để phát triển năng lực giải quyết vấn đề của học sinh. Khai thác một số ứng dụng của vectơ để giải toán sẽ góp phần rèn luyện, phát triển tư duy, năng lực giải quyết vấn đề cho các em. Để tài này giúp tôi và đồng nghiệp góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học toán ở trường THPT nói chung và trường THPT Sầm Sơn nói riêng.
 Đề tài đạt được những kết quả sau: 
1. Đề tài đã khai thác một số ứng dụng của vectơ trong hình học và trong đại số. 
2. Đề tài này không những giúp tôi tích lũy kiến thức chuyên môn mà còn giúp tôi vận dụng dạy tốt môn toán hơn ở trường THPT.
3. Đề tài này là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh THPT, giúp các em học sinh THPT có thêm một công cụ để giải toán.
 Để đánh giá kết quả của việc thực hiện chuyên đề đối với công tác giảng dạy, tôi đã tiến hành cuộc kiểm tra thử nghiệm. Sau đây là kết quả kiểm tra:
Đề bài: 
1.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD la hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. I là trung điểm của AB.
a/ Chứng minh: SI (ABCD)
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
c/ Tính khoảng cách giữa SC và AB
2.Chứng minh rằng với mọi x ta có:
Bài toán được tiến hành kiểm tra trong thời gian 45 phút với đối tượng là 25 em học sinh ở hai lớp: 11A4 (được thực hiện giảng dạy theo chuyên đề đã nêu) và 11A5
Lớp 11 A5: 
Loại điểm
dưới 5
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Kết quả
0
0
3
12%
7
28%
15
60%
Líp 11A4:
Loại điểm
dưới 5
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Kết quả
2
8%
4
16%
9
36%
10
40%
III. KẾT LUẬN
 Trên cơ sở nắm vững các kiến thức về phương pháp vectơ, các em học sinh hoàn toàn có thể khai thác các ứng dụng của vectơ trong giải toán. Qua đó giúp cho các em phần nào thấy được vai trò của vectơ trong toán học, bớt lúng túng khi giải toán và thân thiện hơn đối với môn toán. 
 Vì điều kiện thời gian không cho phép nên trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chưa khai thác hết tất cả các ứng dụng của vectơ. Nếu có điều kiện tôi có thể đưa thêm các ứng dụng khác nữa để giúp các em học sinh được rèn luyện nhiều hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.”Hình học 10 nâng cao”, Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên)-Văn Như Cương (Chủ biên)-Phạm Vũ Khuê- Bùi Văn Nghị, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.
2. Đặng Thị Hằng, giáo viên trường THPT Sầm Sơn, thành phố Sầm Sơn, tỉnh Thanh Hóa. ”Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học bằng phương pháp vectơ”- SKKN năm học 2009-2010.
3. Tài liệu từ Internet.
4.”Tuyển chọn 400 bài toán 10”, Đậu Thế Cấp (hiệu đính)-Nguyễn Văn Quý- Nguyễn Việt Dũng, NXB Đại Học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh., 2006.
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Đặng Thị Hằng 
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Sầm Sơn 
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Phương pháp tọa độ hóa hình học không gian
Sở GD &ĐT tỉnh Thanh Hóa
B
2008-2009
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ:
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Đặng Thị Hằng