Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tối ưu

1. MỞ ĐẦU :
Lí do chọn đề tài
 Mục tiêu của giáo dục là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ ngày càng cao để phục vụ đất nước. Trong Luật giáo dục 2005 cũng khẳng định “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lí luận phải gắn liền với thực tiễn”. Như vậy việc đổi mới giáo dục hiện nay giúp nội dung học tập gắn với thực tế nhằm phù hợp yêu cầu của xã hội.
	Toán học là môn học ngoài việc cung cấp kiến thức cơ bản còn giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng tư duy logíc, tư duy trừu tượng và phương pháp nghiên cứu khoa học, kích thích tính sáng tạo. Ngoài ra Toán học còn có ứng dụng vào thực tế đời sống. Thế nhưng việc vận dụng thực tế đôi khi không được giáo viên và học sinh quan tâm.
 Mục tiêu đặt ra là giải quyết các bài toán tối ưu vào cuộc sống để giảm chi phí hoặc tăng lợi nhuận đang là một vấn đề cần thiết trong xã hội. Vấn đề này còn rất ít tài liệu hướng dẫn và phổ biến. Vì thế tôi đã chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tối ưu” này giúp các em phần nào giải quyết và vận dụng nó vào cuộc sống.
 Mục đích nghiên cứu 
 Mục đích của đề tài là nghiên cứu một số bài toán ứng dụng để giải quyết vấn đề tối ưu trong thực tế cuộc sống đó là bài toán tối ưu trong lĩnh vực kinh doanh, xây dựng, y tế ,... giúp nâng cao hiệu quả kinh tế.
 Đối tượng nghiên cứu 
 Các bài toán tối ưu về thể tích, tính diện tích, về khoảng cách, chi phí tồn kho, áp dụng vào chăn nuôi, y tế,...
 Từ các bài toán tổng quát hoặc cụ thể áp dụng vào thực tế
 Phương pháp nghiên cứu 
 Phân loại một số dạng toán tối ưu, cơ sở lí thuyết để giải quyết nó. Vận dụng vào thực tiễn các dạng bài tập ứng dụng
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
Bất đẳng thức trong tam giác xảy ra dấu bằng.
Bất đẳng thức cosi và bunhiacopxki.
Dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
Những năm gần đây tình hình dạy và học môn Toán ở trương THPT Vĩnh Lộc đã đạt được những kết quả nhất định. Tuy nhiên theo tôi việc vận dụng toán học vào thực tế còn hạn chế 
Thứ nhất: Học sinh không biết chuyển yếu tố hình học sẵn có về các biểu thức đại số và sử dụng các kiến thức trên để tìm Max, min của biểu thức
Thứ hai: Học sinh còn lúng túng trong việc xác định dạng bài toán để áp
dụng
 Từ thực trạng trên tôi xin đề xuất một số ví dụ cho từng loại, hệ thống và hướng dẫn cách vận dụng nhằm khắc phục tình trạng trên, nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn.
 2.3 Cách giải quyết vấn đề : Một số bài toán tối ưu 
 2.3.1 Bài toán liên quan đến thể tích 
 Bài toán 1: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình dưới để được cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.
 Bài giải
a
x
 Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt, điều kiện .
 Thể tích của khối hộp là 
Bài toán trở về việc tìm x sao cho V(x) đạt GTLN.
Ta có V’(x) = (a-2x)2 + x.2(a-2x)(-2) = (a-2x)(a-6x). V’(x) = 0 x = . 
Bảng biến thiên: 
x
V’(x)
 V(x)
 0
+
_
0 0 
0 
Từ bảng biến thiên 
 hàm số chỉ có một điểm cực trị là điểm CĐ x =. Nên tại đó hàm số V(x) đạt GTLN. Vậy cạnh của các hình vuông bị cắt là x = .
Bài toán 2: Cắt bỏ hình quạt tròn AOB (hình dưới) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (H1.3), 0 < x < 2.
a)Hãy biểu diễn bán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo R và x. Tính thể tích hình nón theo R và x.
	b)Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất, và tính giá trị lớn nhất đó.[2]
A,B
r
R
h
O
Bài giải
a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài cung AB của quạt tròn dùng làm phễu, nên ta có 2 = Rx r = . 
Do đó h = 
 Thể tích hình nón là 
b) Bài toán quy về tìm x (0; 2) sao cho tại đó V đạt GTLN
Ta có V’ = với x (0; 2) V’ = 0 x = 
 0 2 
x
V’(x)
 V(x)
 0
+
-
Bảng biến thiên :
Vậy hình nón có thể tích lớn nhất khi x = 1,63. MaxV = .
Từ đây có thể áp dụng vào giải một loạt các bài toán trắc nghiệm
Bài toán 3: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng (H.12). Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m.Gọi x (m) là độ dài cạnh BC. Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x. Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất, tìm giá trị đó. [2]
Bài giải: 
Ta có đáy ABC là tam giác có các cạnh là 5 ; 5 ; x 
 SABC = , x (0; 10)
Ta có thể tích lăng trụ V(x) = SABC.AA’ = 5x(m3)
Hình lăng trụ có thể tích lớn nhất hàm số f(x) = 5x đạt GTLN với x (0; 10). Ta có f’(x) = , 
 f’(x) = 0 100 - x2 = x2 x2 = 50 x = 5.
 0 5 10 
 f’(x) 
fx
x)
 f(x)
 0
 f(x)
+
-
x
250
Bảng biến thiên: 
Vậy V lăng trụ lớn nhất khi x = 5, khi đó V = 250 m3.
2.3.2 Bài toán liên quan đến diện tích
Bài toán 1: 
 x
 x
h
h
Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu (hình vẽ). Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x(cm), chiều cao h(cm) và có thể tích là 500cm3 Tìm x sao cho S(x) nhỏ nhất
	Bài giải:
Ta có thể tích của khối hộp là: 
Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là : 
Bài toán quy về tìm x sao cho tại đó S(x) đạt GTNN.
 Ta có: 
Suy ra bảng biến thiên sau:
x
0 10 + 
S’(x)
 S(x)
 0
-
+
+ + 
300
	Dựa vào bảng biến thiên ta thấy S(x) đạt GTNN tại x = 10. Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất ta lấy độ dài cạnh đáy của hình hộp là x = 10 cm.
Bài toán 2: Một nhà máy cần sản xuất một bể nước bằng tôn có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng không nắp, có thể tích m3. Hãy tính kích thước của bể sao cho tốn ít vật liệu nhất.
 Bài giải
Gọi x, h là chiều rộng đáy và chiều cao của khối hộp x, h (0; +). 
2x
h
x
Ta có chiều dài đáy là 2x ; Thể tích V = 2x.x.h = 2x2h=4/3 h = 
Diện tích vật liệu làm khối hộp là S = Sđ + Sxq = 2x.x + 6x.h 
 S(x) = 2x2 +. Xét hàm số S(x) = 2x2 + với x (0; +). 
S’(x) =4x - , S’(x) =4x - = 0 x = 1.
Bảng biến thiên:
 x
0 1 + 
S’(x)
 S(x)
 0
-
+
6
Từ bảng biến thiên suy ra MinS = 6 khi x = 1 h =2/3
Vậy để tốn ít vật liệu nhất thì bể cần làm có kích thước là: đáy có chiều rộng là 1 m, chiều dài là 2m, chiều cao của khối hộp là m 
Bài toán 3: Người ta muốn sản xuất những cái hộp hình trụ đứng tròn xoay kín hai đáy với thể tích cho trước bằng V. Hãy tìm kích thước của hộp sao cho tốn ít vật liệu nhất [1]
	Bài giải
Gọi bán kính đáy của hình trụ là x (x > 0), chiều cao là h, theo công thức tính thể tích khối trụ ta có :V = 
 Độ lớn của vật liệu làm hộp là diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao h bán kính đáy x, khi đó
h
x
Stp = 2xh + 2x2 = 2x2 + 
 Xét hàm số f(x) = 2x2 + , x > 0. 
Ta có: f’(x) = 4x - ; f’(x) = 0 x = .
Bảng biến thiên: 
 x
0 + 
S’(x)
 S(x)
 0
+
+ + 
Từ bảng biến thiên suy ra S(x) nhỏ nhất khi x = . Vậy để tốn ít vật liệu nhất thì hộp hình trụ phải có bán kính đáy x = , chiều cao h = 2x.[4]
Bài toán 4: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa hình tròn bán kính R, nếu 1 cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính hình tròn? 
HD: Gọi MQ = x là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính hình tròn. Độ dài cạnh còn lại: 
	PQ = suy ra diện tích hình chữ nhật : S = 
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số x2 , ta được : 
Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng R2 khi 
Cách 2: Khảo sát hàm S(x) = trên (0; R) ta cũng có kết quả như trên
Ví dụ áp dụng : Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R=3, người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn nhất. Diện tích lớn nhất có thể có của miếng tôn hình chữ nhật là 
A. 9.	 B. 7.	 C. 6.	 D. 6.
HD: Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x. Chiều dài hình chữ nhật là 
Diện tích hình chữ nhật là S = x. 
Dấu “=” xảy ra  MaxS = 9. Chọn A
Bài toán 5: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.
HD: Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là 
Cạnh hình vuông 	(1)
Ta có 
Lại có 
Thế vào 
Xét hàm số , với có 
Ta có 
Khi đó chính là giá trị thỏa mãn bài toán
Bài toán 6: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của khu đất rào được.
HD: Phân tích: ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ:
Từ đề bài ban đầu ta có mối quan hệ sau: Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có mối quan hệ: 
Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:
Đến đây ta có ba cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích:
Cách 1: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN:
Xét hàm số trên 
.Ta có BBT:
x
0 50 100
 + 0 -
 6250
Cách 2: Nhẩm nhanh như sau: Ta biết rằng với mọi x, nên ta có thể nhẩm nhanh được: 
Hoặc bấm máy tính phần giải phương trình bậc hai và ấn bằng nhiều lần máy sẽ hiện như sau:
Vậy ta có kết quả của bài toán
Cách 3: Áp dụng BĐT côsisuy ra :
 Vậy diện tích lớn nhất của khu đất rào được 6250(m2)
2.3.3 Bài toán liên quan đến quãng đường
 Ta xét các bài toán: 
Bài toán 1: Cho đường thẳng d, hai điểm A và B nằm về hai phía của d. Tìm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB là ngắn nhất.
Bài giải: Lấy một điểm M’ bất kì thuộc d, nối M’A, M’B. Trong tam giác M’AB ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, M’ thẳng hàng suy ra M’ trùng với M là giao điểm của AB và d
Bài toán 2: Cho đường thẳng d, hai điểm A và B nằm cùng một phía của d. Tìm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB là ngắn nhất.
Bài giải: 
Lấy một điểm A’ đối xứng với A qua d, M’ bất kì thuộc d, 
Khi đó : MA = MA’ , M’A = M’A’ 
Xét tam giác M’A’B ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : A’,M’, B thẳng hàng suy ra : M’ trùng M
Vậy MA+ MB = MA’+ MB =. Từ đây suy ra cách xác định vị trí điểm M.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, M’ thẳng hàng suy ra M’ trùng với M là giao điểm của AB và d.
 Vận dụng vào giải bài toán thực tế sau :
Bài 1: Hai nhà máy A và B nằm ở hai bên một con sông có chiều rộng bằng 2. Người ta xây cầu qua sông. Biết A và B lần lượt cách con sông một khoảng bằng 1 và 3. Khoảng cách giữa 2 nhà máy theo đường chim bay bằng 10. Hãy xác định vị trí xây cầu sao cho sao cho quãng đường đi từ A đến B qua con sông này là ngắn nhất.
HD:
Cách 1: Ta có hình vẽ : MN là vị trí xây cầu
Quãng đường đi từ A đến B qua con sông này ngắn nhất khi tổng AM + BN nhỏ nhất. Bỏ qua chiều rộng con sông, khi hai bờ sông nhập một (xem hình 2) ta có CD = 8. Áp dụng bài toán 1
điểm M cần tìm là giao điểm của AB và CD. Ta có: 
Cách 2: Đặt và , theo giả thiết ta có 
Xét các tam giác vuông AHE và BKF, ta được 
Vì độ dài cầu EF là không đổi nên để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất theo con đường AMNB thì ngắn nhất. Hay ngắn nhất.
Ta có với 
Hướng 1: Sử dụng bất đẳng thức với mọi 
Vì 
Sử dụng bất đẳng thức trên, ta được 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi suy ra 
Hướng 2: : Với , với 
Có 
Do đó . 
Bài 2: Cho hai vị trí , cách nhau , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ và từ đến bờ sông lần lượt là và .Một người đi từ đến bờ sông để lấy nước mang về . Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi 
HD: 
Cách 1: Ta có hình vẽ như “bài toán 2” 
Áp dụng “bài toán 2” điểm M cần tìm là giao điểm của A’B và EF. Ta có: 
Chúng ta có thể tham khảo thêm cách giải sau:
Cách 2: Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B dễ dàng tính được Ta đặt khi đó ta được:
Như vậy ta có hàm số được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:
 với 
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M. 
 Ta có : 
Hàm số liên tục trên đoạn .
So sánh các giá trị của , , 
Ta có giá trị nhỏ nhất là 
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m.
Bài toán 3: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Giá để xây đường ống trên bờ là 500000 triệu và 1300000 triệu mỗi km dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9 km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất . Khi đó C cách A một đoạn bằng bao nhiêu
Hướng dẫn: Đặt B’C = x, suy ra : BC = , AC = 9-x
Chi phí xây dựng đường ống là : C(x) = ( triệu)
Hàm C(x) xác định và liên tục trên [0 ; 9] và C’(x) = 
Vậy chi phí thấp nhất khi x = 2,5. Khi C cần cách A một khoảng 6,5 km
2.3.4 Một số bài toán ứng dụng thực tế khác
Bài toán 1: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ?
 HD: Gọi x là số ti vi mà cửa hàng đặt mỗi lần (, đơn vị cái)
Số lượng ti vi trung bình gửi trong kho là nên chi phí lưu kho tương ứng là 
Số lần đặt hàng mỗi năm là và chi phí đặt hàng là: 
Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là: 
Lập bảng biến thiên ta được: .
Kết luận: đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi.
Bài toán 2: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức : . Trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân
(x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó [1]
Bài giải: Ta có 
Lập bảng biến thiên, suy ra . Vậy liều lượng thuốc tiêm cần cho bệnh nhân để giảm huyết áp giảm nhiều nhất là 20mm. 
Khi đó độ giảm huyết áp là 100[4]
Bài toán 3: Một chất điểm chuyển động theo qui luật S(t) = . Tính thời điểm t ( giây) tại đó vận tốc (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất [3]
Bài giải : Theo giả thiết S(t) = , t 
 Vận tốc của chuyển động là v(t) = S’(t) = 
 v’(t) = 12 - 6t = 0 
Lập bảng biến thiên , dựa vào BBT, ta có v(t) = v(2) = 12. 
 Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t= 2(s)
Bài toán 4: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480-20n(gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất [1]
Bài giải: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một số vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng :
 f(n) = n P(n) = 480n - 20n2 (Gam)
 Xét hàm số f(x) = 480x - 20 x2 , x 
Biến số lấy các các giá trị nguyên dương được thay thế bởi biến số x lấy các giá trị trên khoảng 
Ta có f’(x) = 480x - 40 x = 0 x =12 , lập bảng biến thiên từ đó suy ra hàm số f(t) đạt giá trị lớn nhất tại x = 12. Hay f(n) đạt giá trị lớn nhất tại n =12. Tức là trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ thả 12 con cá thì năng suất cao nhất.[4]
Bài toán 5: Ông A có cái ao diện tích 50m2 để nuôi cá điêu hồng. Vụ vừa qua ông nuôi với mật độ 20 con/m2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, ông thấy cứ thả giảm đi 8 con/m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 Kg. Vậy vụ tới ông phải mua bao nhiêu cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất? và năng suất đó là bao nhiêu? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).
Bài giải: Số cá ông thả trong vụ vừa qua là: 50.20 = 1000 (con) 
	 Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phẩm vụ vừa qua là : 
 1500/1000 = 1,5 (Kg/con) 
	 Gọi x : là số cá ông cần thả ít đi cho vụ tới (con) ĐKXĐ x > 0
Với Giảm 8 con thì tăng 0,5Kg/con nên nếu giảm x con thì tăng 0,5xKg/con 
Phương trình tổng khối lượng cá thu được ở vụ tới là: 
dễ dàng có được p đạt giá trị lớn nhất khi x = 488 
Vậy vụ sau ông chỉ cần thả: 1000 - 488 = 512 con cá giống đống thời tổng năng suất kg cá thành phẩm.
2.3.5 Bài tập củng cố: 
Bài 1. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển BC = 5km. Trên bờ biển có một vị trí C cách kho B một khoảng 7 km. Một người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km/h. Vị trí của M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất. KQ: MB = 
Bài 2. Một nhà máy cần sản xuất một bể nước bằng tôn có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng không nắp, có thể tích m3. Hãy tính kích thước của bể sao cho tốn ít vật liệu nhất.
Bài 3. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại để được cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất. 
Bài 4: Trên một đoạn đường giao thông có 2 con đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ. Một địa danh 
lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí M cách đường OE 125m và cách đường Ox 1km. Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn đường thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá trị để làm 100m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của A và B để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu ? 
KQ: (tỷ đồng)
Bài 5 : Khi nuôi cá thử nghiệm trong hồ người ta thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu được khối lượng cá nhiều nhất?
	KQ: 20 con trên một đơn vị diện tích mặt hồ
Bài 6: Trong hội trại kỉ niệm ngày thành lập Đoàn thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh 26/3, ban tổ chức phát cho mỗi lớp 1 đoạn dây dài 18 m không co dãn để khoanh trên một khoảng đất trống một hình chữ nhật có các cạnh là các đoạn của sợi dây đó. Phần đất để dựng trại chính là hình chữ nhật được tạo thành. Hỏi, diện tích lớn nhất có thể của phần đất dựng trại là bao nhiêu mét vuông?
	KQ: 
Bài 7: Người ta muốn xây một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5 m, 1m, 2m (hình vẽ bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 5 cm. Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể )
KQ: 1180 viên; 8820 lít
Bài 8: Cho một tấm bìa hình vuông cạnh 5dm. Để làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ 4 tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên, ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình là bao nhiêu
KQ: 
Bài 9: Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm O, đường kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước nhất. KQ: 
Bài 10: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là bao nhiêu?
A
B
C
M
N
P
Q
KQ: 
Bài 11: Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là . Tìm .
KQ: 48 đvtt
Bài 12: Chiều dài bé nhất của cái thang AB