Sáng kiến kinh nghiệm Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh

 MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu ...................................................................................................1
2. Tên sáng kiến...................................................................................................1
3. Tác giả sáng kiến ............................................................................................1
4. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến.............................................................................1
5. Ngày áp dụng sáng kiến .................................................................................1
6. Mô tả sáng kiến ...............................................................................................1
 A. Về nội dung sáng kiến: ..................................................................................1
I. Cơ sở lí luận .....................................................................................................2 
II. Thực trạng của vấn đề.....................................................................................3
III. Các phương pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề ....................................4
1.1. Bài toán 1......................................................................................................4
1.2. Các bài toán tương tự ...................................................................................8
2.1. Bài toán 2......................................................................................................9
2.2. Các bài toán tương tự ...................................................................................17
3.1. Phương pháp lượng giác hóa một số bài toán hệ hoán vị.............................18
3.2. Các bài toán tương tự ...................................................................................22
B. Về khả năng áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm...........................................22
8. Những thông tin cần bảo mật ..........................................................................22
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến..................................................22
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
theo ý kiến của tác giả .........................................................................................22
11. Danh sách những tổ chức /cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng 
sáng kiến lần đầu .................................................................................................23
 0 Nếu hai hàm số f và g cùng tăng trên tập A và  x1, x2 ..., xn  là nghiệm 
của hệ phương trình , trong đó xi  A, i  1,2,...,n thì x1  x2  ...  xn .
 Chứng minh : 
Không mất tính tổng quát giả sử : x1  minx1, x2 ..., xn . 
 Khi đó : x1  x2  f  x1   f  x2   g x2   g x3   x2  x3...  xn  x1 .
Từ đó suy ra: x1  x2  ....  xn  x1
 Vậy x1  x2  ...  xn .
2. Bài toán 2: 
 Xét hệ phương trình 
  f  x1   g x2 
 
 f g
   x2    x3 
 
  .... (I)
  f x  g x
   n1   n 
  f  xn   g x1 
 Nếu hàm số f giảm trên tập A , g tăng trên A và  x1, x2 ..., xn  là nghiệm của 
 hệ phương trình , trong đó xi  A, i  1,2,...,n . Khi đó
 1. Với n lẻ, ta có x1  x2  ...  xn
 x1  x3  ...  xn1
 2. Với n chẵn, ta có  (Khi đó hệ trở thành hệ đối xứng loại 2)
 x2  x4  ...  xn
 Chứng minh 
 1. Không mất tính tổng quát giả sử : x1  minx1, x2 ..., xn . 
Khi đó ta có :
 x1  x2  f  x1   f  x2   g x2   g x3   x2  x3...  xn  x1  f  xn   f  x1   x1  x2
.
  x1  x2 
Từ đó suy ra : x1  x2  ...  xn .
2. Không mất tính tổng quát giả sử : x1  minx1, x2 ..., xn . Lúc đó ta có 
 x 1  x 3  f x 1   f x 3   gx 2   gx 4   x 2  x 4
  f x 2   f x 4   gx 3   gx 5   x 3  x 5 .........
  f x n 2   f x n   gx n 1   gx 1   x n 1  x 1.........
  f  xn1   f  x1   g xn   g x2   xn  x2
 2 Từ đó suy ra: x1  x2  ....  xn  x1
 Vậy x1  x2  ...  xn .
 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau
 x3  3x2  3x  6  y
  3 2
 y  3y  3y  6  z
  3 2
 z  3z  3z  6  x
 Lời giải:
 + Xét hàm f (t)  t3  3t 2  3t  6, t  ¡ và hàm g(u)  u, u  ¡ . Ta được hệ 
 phương trình
  f (x)  g(y)
 
  f (y)  g(z) 
 
  f (z)  g(x)
 Dễ thấy f , g là các hàm đồng biến trên ¡ . 
+ Không mất tính tổng quát giả sử : x  minx, y, z. 
Khi đó ta có
 x  y  f (x)  f (y)  g(y)  g(z)  y  z  f (y)  f (z)  g(z)  g(x)  z  x  x  y  z
.
+ Từ đó ta có phương trình: 
 x3  3x2  3x  6  x  x3  3x2  2x  6  0  (x 1)(x2  4x  6)  0  x 1
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x  y  z 1
 Lời bình : 
 Bài hệ được xây dựng theo bài toán 1 và rất đơn giản để tạo ra các bài 
 toán dạng này, chỉ cần xuất phát từ 1 phương trình bậc 3 có nghiệm theo mong 
 muốn và tách ra làm 2 hàm đồng biến.
 Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau
 x3  3x2  2x  5  y
  3 2
 y  3y  2y  5  z 
  3 2
 z  3z  2z  5  x
Lời giải 1
 + Biến đổi hệ đã cho trở thành
 x3  3x2  3x 1  y  x  6 (x 1)3  y  x  6
  3 2  3
 y  3y  3y 1  z  y  6  (y 1)  z  y  6
  3 2  3
 z  3z  3z 1  x  z  6 (z 1)  x  z  6
 4 3 2
 y  6(x 1)  2 x 1
  3 2 
 z  6(y 1)  2  y 1
  3 2 z 1
 x  6(z 1)  2 
 + Xét hàm: f (t)  6t 2 12t  8, t 1 và hàm g(u)  u3, u 1, dễ thấy f và g là 
 hàm đồng biến trên D  (1;)
 g(y)  f (x)
 
 Ta có hệ: g(z)  f (y)
 
 g(x)  f (z)
 Dựa vào bài toán 1 ta có x  y  z (1) . Từ đó ta có phương trình
 x3  6x2 12x 8  0  (x  2)(x2  4x  4)  0  x  2
 Vậy hệ đã cho có nghiệm x  y  z  2
 Lời bình:
 + Ở bài này rất dễ dàng để nhìn thấy hàm đặc trưng, tuy nhiên cần chú ý dựa 
 vào hệ đã cho để hạn chế miền nghiệm, điều này rất có ích cho việc khảo sát 
 tính đơn điệu. Các bài toán về sau sẽ thường xuyên sử dụng đến kĩ thuật này. 
 + Bài này ta cũng có thể giải quyết theo hướng như sau:
Cách 2:
 Tương tự cách 1 ta cũng khẳng định được x, y, z 1
 Hệ đã cho tương đương với 
 (y  2)(y2  2y  4)  6x(x  2)
  2
 (z  2)(z  2z  4)  6y(y  2)
  2
 (x  2)(x  2x  4)  6z(z  2)
 . Ta thấy x  y  z  2 là nghiệm của hệ
 . Nếu tồn tại một biến bằng 2, giả sử x  2 ta cũng suy ra y  z  2
 . Nếu x, y, z  2 nhân 3 phương trình vế với vế ta được
 (x2  2x  4)(y2  2y  4)(z2  2z  4)  63 xyz (1)
 Mặt khác: x2  2x  4  6x  0, y2  2y  4  6y  0 , z2  2z  4  6z  0 nên (1) xảy 
 ra 
 khi x  y  z  2 . 
 Vậy hệ có nghiệm x  y  z  2
Lời bình:
 6 2.1. BÀI TOÁN 2: 
 Xét hệ phương trình 
  f  x1   g x2 
 
 f g
   x2    x3 
 
  .... (I)
  f x  g x
   n1   n 
  f  xn   g x1 
 Nếu hàm số f giảm trên tập A , g tăng trên A và  x1, x2 ..., xn  là nghiệm của 
 hệ phương trình , trong đó xi  A, i  1,2,...,n . Khi đó
 3. Với n lẻ, ta có x1  x2  ...  xn
 x1  x3  ...  xn1
 4. Với n chẵn, ta có  (Khi đó hệ trở thành hệ đối xứng loại 2)
 x2  x4  ...  xn
Chứng minh 
 1. Không mất tính tổng quát giả sử : x1  minx1, x2 ..., xn . 
 Khi đó ta có : 
 x1  x2  f  x1   f  x2   g x2   g x3   x2  x3...  xn  x1  f  xn   f  x1   x1  x2
.
  x1  x2 
Từ đó suy ra : x1  x2  ...  xn .
2. Không mất tính tổng quát giả sử : x1  minx1, x2 ..., xn . Lúc đó ta có 
 x 1  x 3  f x 1   f x 3   gx 2   gx 4   x 2  x 4
  f x 2   f x 4   gx 3   gx 5   x 3  x 5 .........
  f x n 2   f x n   gx n 1   gx 1   x n 1  x 1.........
  f  xn1   f  x1   g xn   g x2   xn  x2
 x1  x3  ...  x1 x1  x3  ...  xn1
Vậy :    
 x2  x4  ...  x2 x2  x4  ...  xn
 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 
  x2  2x  6.log (6  y)  x
  3
  2
  y  2y  6.log3 (6  z)  y (VMO 2006)
 
 z2  2z  6.log (6  x)  z
  3
 Lời giải
 + ĐK: x, y, z  6
 8 Việc còn lại là tìm cách chặn điều kiện của các biến trên các khoảng đơn 
 1 1
điệu, một điều may mắn là nếu x   thì x   , i 1,4 và ngược lại.
 i 2 i 2
Lời giải 1
+ Hệ đã cho tương đương với 
 2
 x1  x1 1  x2
  2
 x2  x2 1  x3
  2
 x3  x3 1  x4
  2
 x4  x4 1  x1
+ Xét hàm: f (t)  t 2  t 1, t  ¡ ta có hệ
  f (x1)  x2
 
  f (x2 )  x3
 
  f (x3 )  x4
 
  f (x4 )  x1
 1 5 5 5
 Vì f (t)  t 2  t 1  (t  )2   nên ta có x  , i 1,4
 2 4 4 i 4
  1 3 1
 x4  
 1 2 1 2 2 1 5
+ Giả sử x1    x4  x4 1     x4  (do x4   )
 2 2  1 3 2 4
 x4 
  2
 1
 Tương tự: x , x  
 2 3 2
 1
Khi đó hàm: f (t)  t 2  t 1 đồng biến với mọi t   . Theo bài toán 1 ta có: 
 2
 x1  x2  x3  x4
Thay vào hệ ta có nghiệm: x1  x2  x3  x4 1
 1 1
+ Trường hợp x   , nếu tồn tại i  2,3,4 để x   thì theo trường hợp trên 
 1 2 i 2
 1
 x  , i 1,4 (vô lý)
 i 2
 1 1
Suy ra: x  , i 1,4 . Khi đó f (t)  t 2  t 1 nghịch biến với mọi t   . Theo 
 i 2 2
 x1  x3
bài toán 2 với n chẵn ta có: 
 x2  x4
Hệ đã cho trở thành:
 10