Sáng kiến kinh nghiệm Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai - Ứng dụng

HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI - ỨNG DỤNG
I.MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài:
Trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi của tỉnh Thanh Hóa năm 2017-2018 có phần hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai. Nhằm giúp các em học sinh có được một số kinh nghiệm và kĩ năng giải quyết một số bài toán có chứa yếu tố bậc nhất, bậc hai. Do đó, qua công tác giảng dạy lớp 10, đúc kết những kinh nghiệm nhiều năm của bản thân và việc học tập nghiên cứu khoa học, tôi mạnh dạn trao đổi cùng đồng nghiệp những kinh nghiệm của bản thân.
Tài liệu “Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai - ứng dụng” sẽ giúp các học sinh phần nào đó tìm hướng giải cho một số bài toán chứa yếu tố bậc nhất, bậc hai.
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu.
Trong đề tài này đối tượng nghiên cứu là học sinh khá, giỏi THPT Tĩnh Gia 2 đặc biệt là học sinh lớp 10 ôn thi học sinh giỏi. 
Mục tiêu nghiên cứu
Xây dựng được một cách giải bài toán thông qua kiến thức hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai.
Phương pháp làm đề tài:
+	Tham khảo tài liệu.
+	Trực tiếp áp dụng vào công tác giảng dạy để rút ra kinh nghiệm, rút ra kết luận chung và thực tiễn đề tài.
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận:
Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán ôn thi học sinh giỏi đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản thuật toán theo từng dạng toán trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi.
2.2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
Trong trường trung học phổ thông Tĩnh Gia 2 hiện nay có nhiều đối tượng học sinh. Số lượng học sinh giỏi chiếm tỉ lệ không cao; các em học sinh giỏi từng học hàm số bậc nhất, bậc hai nhưng chưa biết nhiều đến ứng dụng của chúng. Do đó công việc giảng dạy kĩ năng giải toán bằng hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai là rất cần thiết, giúp các em hiểu rõ của việc ứng dụng kiến thức cơ bản vào kiến thức nâng cao.
2.3.Nội dung nghiên cứu:
( Các kiến thức liên quan đến hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai ) 
2.3.1.Hàm số 
2.3.1.1. Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng , trong đó và là những hằng số với . 
Hàm số bậc nhất có tập xác định là 
+ Khi , hàm số đồng biến trên .
+ Khi , hàm số nghịch biến trên . 
2.3.1.2. Đồ thị hàm số () là một đường thẳng (hình 1) có đặc điểm sau:
+Hệ số góc bằng ; 
+Không song song và không trùng với các trục tọa độ;
+Cắt trục tung tại điểm và cắt trục hoành tại điểm ;
+ Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng (nếu )
(Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm ) 
2.3.1.3. Hàm số 
Đồ thị hàm số là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm . Đường thẳng này gọi là đường thẳng . (hình 2)
2.3.1.4. Tính chất sử dụng: Hàm số xác định trên . Khi đó 
2.3.2.Hàm số bậc hai. 
2.3.2.1. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng , trong đó là những hằng số với .
Tập xác định của hàm số bậc hai là 
+Khi , hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng và có giá trị nhỏ nhất là khi 
+Khi , hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng và có giá trị lớn nhất là khi 
2.3.2.2. Đồ thị của hàm số .
+Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh , nhận đường thẳng làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi , xuống dưới khi . (hình 3) 
2.3.2.3. Tính chất sử dụng: Hàm số xác định trên . Khi đó + với 
+ với 2.3.3. Ứng dụng
2.3.3.1.Viết phương trình khi biết một số yếu tố.
Câu 1. Tìm phương trình đường thẳng . Biết đường thẳng đi qua điểm và tạo với hai tia một tam giác cân.
Lời giải
Đường thẳng đi qua điểm , cắt hai tia t ại 
Tam giác vuông tại , vuông cân 
Với (loại)
Với . 
Câu 2 . Tìm phương trình đường thẳng . Biết đường thẳng đi qua điểm và tạo với hai tia một tam giác có diện tích bằng 4.
Lời giải
Đường thẳng đi qua điểm , cắt hai tia t ại 
Tam giác vuông tại , 
T ừ (1), (2) . 
Câu 3 . Tìm phương trình đường thẳng . Biết đường thẳng đi qua điểm và tạo với hai tia và cách gốc tọa độ một khoảng bằng .
Lời giải
Đường thẳng đi qua điểm , cắt hai tia t ại 
Tam giác vuông tại , gọi là hình chiếu của lên đường thẳng 
T ừ (1), (2) . 
 Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho Parabol cắt tại hai điểm phân biệt thỏa mãn . 
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 
 cắt tại hai điểm phân biệt l à nghi ệm
V ới 
V ới (loại)
V ậy 
Câu 5. Biết rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại và tổng lập phương các nghiệm của phương trình bằng 9. Tìm . 
L ời gi ải
hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại 
tổng lập phương các nghiệm của phương trình bằng 9 
T ừ (1), (2), (3) 
Câu 6. Cho Parabol và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị thực của để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác bằng .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: Gọi là hình chiếu của lên 
 (thỏa mãn OAB là tam giác).
2.3.3.2. Giải phương trình.
Câu 1. Cho phương trình: (1)
a.Giải phương trình (1) v ới 
b.Giải và biện luận theo số nghiệm của phương trình (1)
Lời giải
Đặt . Ta có đồ thị như hình vẽ
a.Phương trình có nghiệm 
b.Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: 
 phương trình vô nghiệm
 phương trình có nghiệm 
 phương trình có hai nghiệm
Câu 2. Biện luận theo số nghiệm của phương trình: 
Lời giải.
Số nghiệm của phương trình (2) chính là số nghiệm của đồ thị hàm số và đường thẳng 
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có
 phương trình vô nghiệm
 phương trình có nghiệm 
 phương trình có hai nghiệm
Câu 3. Cho phương trình: 
a.Tìm để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
b.Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 
c.Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn -1.
Lời giải
Số nghiệm của phương trình (3) chính là số nghiệm của đồ thị hàm số và đường thẳng 
Dựa vào đồ thị ta có: 
a.Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt 
b.Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 
c.phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn -1. 
Câu 4. Tìm để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . Dựa vào đồ thị: phương trình có 4 nghiệm phân biệt 
Câu 5. Tìm để phương trình sau có nghiệm dương: 
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . Để phương trình có nghiệm dương thì cắt tại ít nhất một điểm có hoành độ dương (điểm nằm bên phải trục ). Dựa vào đồ thị: 
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có duy nhất một nghiệm dương
Lời giải
có các nghiệm trong đó duy nhất một nghiệm dương
Tức là đường thẳng cắt đồ thị (C) : 
tại các điểm trong đó duy nhất một điểm có hoành độ dương.
Vẽ đồ thị (C) và đường thẳng d trên cùng hệ trục tọa độ
Nhìn vào đồ thị ta có kết quả: 
2.3.3.3. Bất phương trình
Câu 1. Giải bất phương trình
a. 
b.
a.Vẽ đồ thị hàm số như hình vẽ. Những giá trị thỏa mãn là hoành độ những điểm thuộc nằm phía dưới trục hoành. Nhìn vào đồ thị ta có kết quả: 
b.Vẽ đường thẳng trên cùng hệ trục với như hình vẽ. Những giá trị thỏa mãn là hoành độ những điểm thuộc nằm phía trên so với đường thẳng 
 Nhìn vào đồ thị ta có kết quả: 
Câu 2. Tìm để bất phương trình sau có nghiệm 
Lời giải
Vẽ . Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị ứng với phần của đường thẳng nằm phía dưới . Dựa vào đồ thị hàm số bất phương trình có nghiệm 
Câu 3. Định để bất phương trình sau có nghiệm: 
Lời giải
Đặt 
Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị ứng với phần của đường thẳng nằm phía dưới và nằm trên . Dựa vào đồ thị hàm số: Bất phương trình có nghiệm 
Câu 4. Tìm để bất phương trình sau có nghiệm: 
Lời giải
Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị ứng với phần của đường thẳng nằm phía dưới và nằm trên 
Dựa vào đồ thị: 
Bất phương trình có nghiệm khi 
Câu 5. Giải và biện luận bất phương trình theo : 
Lời giải
Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị ứng với phần đường thẳng nằm phía trên và .
Ta có hoành độ giao điểm của là nghiệm cảu phương trình:
Ta có hoành độ giao điểm của là nghiệm cảu phương trình:
Dựa vào đồ thị ta có: 
+: bất phương trình vô nghiệm
+: bất phương trình có nghiệm: 
+: bất phương trình có nghiệm: 
Câu 6. Cho bất phương trình: . Tìm để:
a. Bất phương trình có nghiệm
b. Bất phương trình có nghiệm âm.
c. Bất phương trình có nghiệm thỏa mãn với mọi 
Lời giải
Tập nghiệm của bất phương trình là tập các giá trị ứng với phần đường thẳng nằm phía trên và dưới 
Do đó:
a/Bất phương trình có nghiệm nằm giữa hai Parabol 
b/ Bất phương trình có nghiệm 
c/ Bất phương trình có nghiệm th ỏa m ãn 
Câu 7. Giải và biện luận bất phương trình theo 
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
Tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp các giá trị ứng với phần của đường thẳng nằm phía trên 
Hoành độ giao điểm của là nghiệm phương trình: 
Hoành độ giao điểm của là nghiệm phương trình: 
Hoành độ giao điểm của là nghiệm phương trình: 
Vậy
+: Bất phương trình vô nghiệm 
+: Bất phương trình nghiệm 
+: Bất phương trình có nghiệm 
+: Bất phương trình có nghiệm 
2.3.3.3.Bất đẳng thức-Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;0] bằng 3.
Lời giải: 
Parabol có hệ số nên bề lõm hướng lên trên. Hoành độ đỉnh 
Ta có bảng biến thiên
+ Nếu . Suy ra đồng biến trên [-2;0]. Do đó 
Theo yêu cầu bài toán: = 3 (vô nghiệm)
+ Nếu . Suy ra đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. Do đó . Theo yêu cầu bài toán: (thỏa mãn điều kiện ).
+ Nếu . Suy ra nghịch biến trên [-2;0]. Do đó . Theo yêu cầu bài toán: = 3 
Vậy những giá trị cần tìm của là 
Câu 2 . Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
Thay Xem đây là một tam thức bậc hai theo ẩn và là tham số, điều kiện tồn tại là
Vậy max 
Câu 3. Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Lời giải:
Thay 
Do tam thức ẩn có hệ sô 
Ta chỉ cần chứng minh: 
 vì =1
 vì 
 (Hiển nhiên vì 
Câu 4. Cho là các số thuộc đoạn [0;2]. Chứng minh rằng: 
Lời giải
(*) 
Đặt , Ta chứng minh 
+Nếu (1) luôn đúng vì 
+Nếu là hàm số bậc nhất 
vì vì 
Vậy 
Đẳng thức xảy ra đẳng thức xảy ra ở một trong 3 biến đổi ở (1), (2), (3)
Dấu bằng ở (1) 
Dấu bằng ở (2) 
Dấu bằng ở (3) 
Vậy đẳng thức xảy ra khi và tất cả các hoán vị vòng quanh của chúng.
Câu 5. Cho và . Chứng minh (*).
Lời giải: 
Đặt . 
Ta chứng minh . 
+Nếu 
+Nếu 
Vì >0 
Vậy hay (*). Dâu đẳng thức xảy ra khi 
Câu 6 . Cho . Chứng minh: 
Lời giải: 
Đặt f(a) = . Ta chứng minh: 
Vì nên là hàm bậc nhất ẩn nên 
Vì 
Vậy 
Đẳng thức (*) xảy ra đẳng thức xảy ra ở (1) hoặc (2)
Đẳng thức (1) xảy ra 
Đẳng thức (2) xảy ra 
Đẳng thức xảy ra 
Câu 7. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải: 
Vì không âm và nên ít nhất một trong 3 số thuộc đoạn 
Giả sử 
Ta có 
Ta có là hàm số bậc hai có 
Nên 
Do suy ra đồng biến trên đoạn , mà nên hàm số nghịch biến trên 
Do đó 
Vậy 
2.3.3.4.Một số bài toán khác
Câu 1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số xác định trên 
Lời giải
Hàm số xác định khi 
TH1: Nếu TXD: 
Khi đó hàm số xác định trên khi và chỉ khi (loại)
TH2: Nếu TXD: 
Khi đó hàm số xác định trên khi và chỉ khi Vậy 
Câu 2. Một hộ gia đình có ý định mua một cái máy bơm để phục vụ cho việc tưới tiêu vào mùa hạ. Khi đến cửa hàng thì được ông chủ giới thiệu về hai loại máy bơm có lưu lượng nước trong một giờ và chất lượng máy là như nhau. Máy thứ nhất giá 1.500.000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1,2kW. Máy thứ hai giá 2.00.000đ và trong một giờ tiêu thụ hết 1kW. Theo bạn người nông dân nên chọn mua loại máy nào để đạt hiệu quả kinh tế cao nhất.
Lời giải.
Giả sử giá tiền điện là 1.000 đ/1kW. Vậy trong giờ số tiền phải trả khi sử dụng máy thứ nhất là ; máy thứ hai là: 
Chi phí trả cho hai máy sử dụng là như nhau trong khoảng thời gian là nghiệm phương trình: 
Quan sát đồ thị ta thấy rằng: ngay sau khi sử dụng 2.500 giờ tức là nếu mỗi ngày dung 4 tiếng tức là không quá 2 năm thì máy thứ 2 chi phí sẽ thấp hơn rất nhiều nên chọn mua máy thứ 2 thì hiệu quả kinh tế sẽ cao hơn.
TH1: nếu thời gian sử dụng máy ít hơn 2 năm thì mua máy thứ nhất sẽ tiết kiệm hơn.
TH2: nếu thời gian sử dụng nhiều hơn hoặc bằng 2 năm thì nên mua máy thứ hai.
Nhưng trong thực tế một máy bơm có thể sử dụng được thời gian khá dài. Do đó trong trường hợp này người nông dân nên mua máy thứ hai.
Câu 3. Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên.
Vòm cổng có dạng là một parabol. Giá cửa sắt là . Hỏi ba Tí sử dụng bao nhiêu tiền (nghìn đồng) để có bộ cửa sắt đó. 
Lời giải
Chọn hệ trục như hình vẽ.
Giả sử vòm cổng là một Parabol có phương trình: .
Do đi qua các điểm nên ta có
.
Khi đó, diện tích cánh cửa sắt gấp hai lần diện tích hình thang cong 
Mà . Suy ra .
Do đó giá của cửa sắt là 
2.4.KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: 
 Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các học sinh giỏi giải quyết được một số bài toán liên quan đến hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai một cách linh hoạt hơn, nhớ kiến thức hơn. Vào những tiết luyện tập tôi đã đem vấn đề này hướng dẫn lồng ghép các bài học để giải quyết các bài tập giúp các em thêm kiến thức và kinh nghiệm để áp dụng vào kì thi học sinh giỏi.
III.KẾT LUẬN:
3.1.Nhận định chung
Sự thành công của mỗi giáo viên phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó phải nói đến lòng say mê nghề nghiệp, giúp trong công tác giảng dạy sự thành công của mỗi giáo viên phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó phải nói đến lòng say mê nghề nghiệp yêu nghề, giúp ta luôn trau dồi kiến thức và nâng cao chuyên môn nghiệp vụ .Có như vậy chúng ta mới tìm ra những cách thức hiệu quả nhất để làm tốt công tác giảng dạy. 
3.2.Kiến nghị 
Với đề tài này, tôi hy vọng sẽ đóng góp vào việc Đề nghị Sở Giáo dục & Đào tạo cần mở các lớp tập huấn chuyên đề thêm để giáo viên trong toàn Tỉnh được tiếp thu các thông tin mới cũng như đáp ứng được yêu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi
Tuy nhiên, để có những vụ mùa bội thu, ngoài vai trò của người thầy, ngoài những nỗ lực cố gắng của học sinh, đòi hỏi phải có sự quan tâm hỗ trợ của nhà trường để giáo viên có nhiều tài liệu tham khảo, có nhiều thời gian nghiên cứu, truy cập Internet và tổ chức bồi dưỡng. Đồng thời giáo viên cũng cần phải biết lắng nghe ý kiến đóng góp của đồng chí, đồng nghiệp, của phụ huynh học sinh.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi, bản thân tôi đã áp dụng và thu được những kết quả khả quan.	
Xin chân thành cảm ơn . !
TÀI LIỆU THAM KHẢO
+ Đại số 10 – 2010- Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn
+ Đại số 10 nâng cao 2010– Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan 
+ Tài liệu trên mạng internet
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG	Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình 
viết, không sao chép nội dung của người 
khác.
TRẦN NGỌC THẮNG