Sáng kiến kinh nghiệm Đường thẳng đối song

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐƯỜNG THẲNG ĐỐI SONG 
 Người viết: Nguyễn Văn Nhiệm
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực môn Toán 
Thanh Hóa, năm 2016
MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu
1
2. Nội dung
1
2.1 Cơ sở lý luận
1
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
2.3 Áp dụng 
4
2.4 Bài tập
19
3. Kết luận, kiến nghị 
21
Tài liệu tham khảo
21
Cam kết của tác giả
21
1. MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Trong các kì thi học sinh giỏi bài toán hình học phẳng luôn chiếm một vị trí trong đề thi, vì vậy để góp phần nâng cao kĩ năng giải toán hình học phẳng chúng ta cần phải nắm bắt được những phương pháp phát hiện vấn đề.
 Mục đích nghiên cứu
Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu phép biến đổi đối song là một trong những phương pháp để phát hiện ra tứ giác nội tiếp, quan hệ song song và vuông góc giữa các đường thẳng, đồng thời cũng là một phương pháp để sáng tạo ra những bài toán mới. 
Đối tượng nghiên cứu
Thông qua phép biến đổi đối song cung cấp thêm một phương pháp tư duy, tiếp cận để giải quyết các bài toán hình học phẳng. 
Xây dựng một hệ thống bài tập hay và khó đã từng xuất hiện trong các kì thi Ôlimpic, được giải quyết mới (một cách sắc sảo) bằng phương pháp phép biến đổi đối song.
Phương pháp nghiên cứu
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích, tổng hợp.
2. NỘI DUNG 
2.1 Cơ sở lý luận
Cho hai đường thẳng và , hai đường thẳng và gọi là đối song với nhau đối với hai đường thẳng và , nếu như ảnh của qua phép đối xứng qua đường thẳng m (đường phân giác của góc tạo bởi và ) là đường thẳng cùng phương với .
Nhận xét. Nếu ta chỉ để ý đến hai đường thẳng và thì và song song với nhau (đây là vấn đề hình học tĩnh). Nhưng phép biến đổi đối song biến một lớp các đường thẳng cùng phương với thành một lớp các đường thẳng cùng phương với (mỗi đường thẳng trong lớp đều đối song với một đường thẳng trong lớp ) (đây là vấn đề hình học động).
Ta có một số mối liên hệ sau đây về đường thẳng đối song trong tam giác
Cho tam giác ABC, hai điểm P, Q lần lượt thuộc hai đường thẳng AB, AB. Nếu đường thẳng PQ đối song với BC đối với hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC, thì ta còn nói PQ đối song với BC đối với đỉnh A trong tam giác ABC, hay còn nói QP đối song với BC trong tam giác ABC.
Trong một tam giác đường thẳng nối chân hai đường cao là đường đối song với đường thẳng chứa cạnh còn lại.
Tiếp tuyến tại mỗi đỉnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường đối song của đường thẳng chứa cạnh đối diện đỉnh đó.
Bán kính đi qua mỗi đỉnh của tam giác vuông góc với đường đối song của cạnh đối diện đỉnh đó.
Cho tam giác ABC, đường tròn đi qua hai đỉnh B, C cắt hai đường thẳng AB, AC tại hai điểm P, Q. Khi đó đường kính đi qua đỉnh A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với PQ và đường kính đi qua đỉnh A của đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ vuông góc với BC.
Trong một tam giác đường cao và đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác cùng đi qua một đỉnh thì đối song với nhau đối với hai cạnh đi qua đỉnh đó.
Trong tam giác đường đối trung và đường trung tuyến cùng đi qua một đỉnh thì đối song với nhau, đối với hai cạnh đi qua đỉnh đó.
Hệ quả: Đường tròn đi qua hai điểm B, C cắt hai đường thẳng AB, AC tại hai điểm B’, C’. Khi đó đường thẳng nối A với giao điểm của hai tiếp tuyến tại B’, C’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’ đi qua trung điểm BC.
A
B’
B
C
C’
N
T
M
Trong một tam giác hai đường đối song cùng đi qua một đỉnh thì đẳng giác với nhau. Như vậy hai đường đẳng giác là trường hợp đặc biệt của hai đường đối song.
Ta có mối liên hệ sau đây về đường thẳng đối song trong tứ giác nội tiếp
Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, cặp cạnh đối diện đối song với nhau đối với cặp cạnh còn lại.
Như vậy, nếu tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và đường tròn thay đổi đi qua hai đỉnh C, D cắt các đường thẳng AD, BC lần lượt tại M, N thì MN//AB.
N
A
B
C
D
M
Ta thường sử dụng điều kiện đối song dưới dạng sau:
Cho A, C thuộc Ox và B, D thuộc Oy . Khi đó AB đối song với CD khi và chỉ khi tứ giác ACBD nội tiếp.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong hình học vấn đề quan hệ song song và vuông góc giữa các đường thẳng là một trong những quan hệ cơ bản, và vấn đề tứ giác nội tiếp có liên hệ sâu sắc với số đo góc nên những vấn đề này thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi môn toán. 
Có những vấn đề về song song, vuông góc giữa các đường thẳng và tứ giác nội tiếp nếu nhìn dưới dạng hình học dạng tĩnh thì khó phát hiện ra vấn đề. Nhưng cũng cùng vấn đề đó được nhìn bằng phép biến đổi đối song (dạng hình học động) thì việc phát hiện ra vấn đề lại rất đơn giản.
Vì vậy việc nắm bắt được nội dung phép biến đổi đối song sẽ góp phần nâng cao kĩ năng giải toán hình học phẳng.
2.3 Áp dụng 
1. (VMO -2015) Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O), BC không là đường kính. Một điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E, F là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC. Cho (I) là đường tròn thay đổi đi qua E, F và có tâm là I. 
Giả sử (I) tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng 
E
A
B
C
D
K
L
F
I
Lời giải: 
Gọi K, L lần lượt là giao điểm thứ hai của (I) với AB, AC. 
Nếu tam giác ABC cân tại A, thì hiển nhiên bài toán đúng.
Giả sử Ta có BC, KL cùng đối song với EF, suy ra KL//BC.
Suy ra 
2.(VMO – 2014) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với Gọi I là trung điểm cung BC không chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho Đường thẳng BK cắt (O) tại và cắt đường thẳng AI tại E. Đường thẳng DI cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh rằng 
Lời giải: 
Theo giả thiết thì K thuộc đoạn AC. Do I là trung điểm cung BC nên nội tiếp.
Xét tam giác KAD, từ các tứ giác ADFE, ADCB nội tiếp suy ra EF, BC cùng đối song với AD, nên EF // BC (1)
Ta có cân tại I. Hơn nữa do ABIC nội tiếp, ta suy ra Ta lại có và , nên suy ra từ đó suy ra AI là trung trực của BK hay E là trung điểm BK (2). 
Từ (1) và (2) suy ra EF là đường trung bình của tam giác KBC hay 2EF = BC.
Cho tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua đỉnh A vuông góc với BC. O là điểm bất kỳ thuộc d, đường tròn tâm O bán kính OA cắt hai đường thẳng AB, AC tại P, Q. Gọi T là giao điểm của hai tiếp tuyến tại P, Q của đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Chứng minh rằng điểm T luôn thuộc một đường thẳng cố định khi O thay đổi trên d.
A
d
B
C
P
Q
T
O
H
D
HD: Cách 1: Ta có đồng viên, do đó PQ đối song với BC trong tam giác ABC. Áp dụng hệ quả trên suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Kẻ tiếp tuyến d tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ. 
Suy ra (d, AT, AP, AQ) là chùm điều hòa. Mà BC // d, suy ra AT đi qua trung điểm BC.
4. Cho tam giác ABC. AA’, BB’, CC’ là các đường cao của tam giác ABC. Đường tròn đường kính AA’ cắt AB, AC tại P, Q. Tiếp tuyến tại P, Q của đường tròn đường kính AA’ cắt nhau tại A’’. Các điểm B’’, C’’ được xác định tương tự. Chứng minh rằng AA’’, BB’’, CC’’ đồng qui.
5. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường trung trực của AC cắt CB tại N, đường trung trực của CB cắt CA tại M. 
Chứng minh bốn điểm A, B, M, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Cho A, B và (O) cố định. Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
HD: a) Gọi K, L lần lượt là trung điểm CA, CB suy ra KL song song AB. Ta có KL đối song với MN và AB//KL, suy ra AB đối song với MN trong tam giác CMN. Do đó bốn điểm A, B, M, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCO, suy ra P cố định. 
MN tiếp xúc với đường tròn tâm P, bán kính bằng nửa bán kính đường tròn (O).
6. (RUSSIA 1998) Tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn (S) ngoại tiếp tam giác BCO. OK là đường kính của (S); D, E lần lượt là giao điểm thứ hai của (S) với AB, AC. Chứng minh ADKE là hình bình hành. 
HD: Hệ quả của bài 3.
7. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường trung trực của AB cắt AC, CB lần lượt tại C1, C2; đường trung trực của AC cắt BA, BC lần lượt tại B1, B2. Chứng minh bốn điểm đồng viên.
HD: Gọi K,L lần lượt là trung điểm AB, AC. Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KLO là trung điểm AO và B1C1 đối song với KL trong tam giác KLO. 
P
A
B
C
O
B2
C2
C1
B1
Q
K
L
Mà đối song với trong tam giác , do đó đồng viên
Nhận xét: Nếu gọi P, Q là giao điểm của hai đường tròn thì O, P, Q , A thẳng hàng.
8. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, N, M; BI cắt MN tại E, CI cắt MN tại F. Chứng minh rằng tứ giác BFEC nội tiếp.
Giải: Gọi P là giao điểm thứ hai của AI với (O). Dễ chứng minh được P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI. Xét tam giác BCI có đối song với BC, suy ra BFEC nội tiếp.
9. Cho đường tròn (O) cố định và AB là một dây cung cố định khác đường kính của (O). I là trung điểm đoạn AB. P là điểm thay đổi trên cung lớn AB của (O). Gọi M, N lần lượt thuộc tia PA, PB sao cho Chứng minh:
a) Đường thẳng đi qua P vuông góc với MN đi qua một điểm cố định.
b) Đường thẳng Ơle của tam giác PMN đi qua một điểm cố định.
HD: a) Gọi (không mất tổng quát giả sử N thuộc đoạn AX, thì M thuộc đoạn AY)
Ta có cân tại Y, X.
Suy ra nội tiếp.
Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB, suy ra S cố định.
Ta có nội tiếp. Tương tự ISYA nội tiếp.
Suy ra là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác PXY. 
O
P
A
B
I
M
N
X
Y
S
Xét tam giác PXY: Từ tứ giác MNXY nội tiếp, suy ra MN đối song với XY. Suy ra PS vuông góc với MN. Vậy đường thẳng đi qua P vuông góc với MN luôn đi qua điểm S cố định.
b) Bổ đề: Cho tam giác ABC và một đường tròn đi qua hai đỉnh B, C cắt AB, AC lần lượt tại X, Y. Gọi H, H’ lần lượt là trực tâm các tam giác AMN, ABC. Gọi I là giao điểm của BY và CX. Khi đó H, H’, I thẳng hàng.
Thật vậy, dễ thấy H, H’, I thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính BX, CY.
Trở lại bài toán: Gọi H, H’ lần lượt là trực tâm của các tam giác PMN, PXY.
Từ cân tại Y, X suy ra H’ là tâm đường tròn (PMN).
Áp dụng bổ đề ta được đường thẳng Ơle của tam giác PMN luôn đi qua I cố định.
10. (IMO 1985) Đường tròn tâm O đi qua hai đỉnh B, C của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, BC tương ứng tại K, N. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và KBN cắt nhau tại M. Chứng minh rằng 
Lời giải: Cách 1: Gọi O’, O1 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, BKN.
Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứ hai của BO’, BO1 với các đường tròn (O’), (O1). Gọi O2 là trung điểm EF, suy ra BE // O1O2 và O’O2 // BF. 
Xét tam giác ABC, ta có KN là đường đối song của AC, suy ra 
Do đó , suy ra O2 thuộc trung trực của KN (1).
Dễ thấy E, F, M thẳng hàng vì ME và MF cùng vuông góc với BM.
Xét tam giác BKN, ta có AC là đường đối song của KN, nên . Do đó O2 thuộc trung trực của AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra Do đó O nằm trên đường thẳng EM, nên 
B
O
M
O’
O1
E
F
K
N
O2
A
C
Cách 2: Ta có KN là đối song của AC trong tam giác BAC, suy ra 
AC là đối song của KN trong tam giác BKN, suy ra 
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra là hình bình hành, suy ra BO cắt O’O1
tại I là trung điểm mỗi đường, suy ra 
là trung trực của BM, suy ra 
Từ (5) và (6) suy ra vuông tại M.
B
O
M
O’
O1
I
K
N
A
C
Nhận xét:- Bằng cách sử dụng đường thẳng đối song, ta có được một lời giải đẹp cho bài IMO. Không những thế lời giải vẫn đúng cho trường hợp K, N thuộc đường thẳng AB, AC. 
Bài toán này có nhiều ứng dụng vào chứng minh và sáng tác các bài toán khác. 
11. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn . Đường tròn thay đổi luôn đi qua B, C cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt lại đường tròn tại K () . KE, KF lần lượt cắt lại đường tròn tại Q, P (khác K). Gọi T là giao điểm của BQ và CP. Chứng minh rằng T thuộc một đường thẳng cố định khi đường tròn thay đổi.
 Lời giải 1: (vì E, F, A, K đồng viên và A, B, P, K đồng viên) (1).
Chứng minh tương tự, ta có (2).
Từ (1) và (2) suy ra là hình thang cân, suy ra OT vuông góc với BP, do đó OT vuông góc với EF. Dễ chứng minh được EF vuông góc AO. 
Từ đó suy ra A, O, T thẳng hàng.
Lời giải 2: Gọi 
Xét tam giác AKM, từ các bộ bốn điểm (A, K, E, F), (A, K, B, P) đồng viên, suy ra EF và BP cùng đối song với AK. Do đó BP // EF. Tương tự CQ // EF. Suy ra BPCQ là hình thang cân. (Giải tiếp như cách 1).
12. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. BE, CF là các đường cao, H là trưc tâm. M là trung điểm cạnh BC. Tia MH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Các đường thẳng DE, DF cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại P, Q tương ứng. Chứng minh rằng AO, BQ, CP đồng qui.
Lời giải: Không mất tổng quát giả sử D thuộc cung AB không chứa C. Gọi K là giao điểm của AF và DE. Dễ chứng minh được AEHFD nội tiếp.
Xét các tam giác AKD, ta có EF, BP cùng đối song với AD, suy ra EF//BP (1).
Tương tự gọi L là giao điểm điểm của DF và AE. Xét tam giác ALD, ta có EF, CQ cùng đối song với AD, suy ra EF//CQ (2).
Từ (1) (2) và 4 điểm B, P, Q, C nằm trên đường tròn suy ra BQCP là hình thang cân. Gọi S là giao điểm của BQ và CP, suy ra Mặt khác cũng từ tính chất đối song suy ra . Từ đó suy ra A, O, S thẳng hàng. Vậy AO, BQ, CP đồng qui tại S.
A
B
C
M
O
H
E
F
D
L
K
P
Q
S
Mở rộng: Cho tam giác ABC. Đường tròn đi qua hai điểm B, C cắt AB, AC tại E, F đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. DE, DF cắt lại đường tròn (ABC) tại P, Q . Chứng minh rằng PC, QB, AO đồng qui (O là tâm đường tròn (ABC).
13. (England – 2007) Gọi H là trực tâm tam giác ABC, P là điểm nằm trong mặt phẳng tam giác ABC khác A, B, C. Các điểm L, M, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H đến đường thẳng PA, PB, PC. Gọi X, Y, Z lần lượt là giao điểm của LH, MH, NH với BC, CA, AB. Chứng minh ba điểm X, Y, Z thảng hàng.
Lời giải: Cách 1. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân các đường cao hạ từ A, B, C đến các cạnh đối diện. Dễ thấy 
Ta có bốn điểm C, N, C’, Z đồng viên, suy ra Chứng minh tương tự ta cũng có và Từ đó suy ra các bộ 4 điểm (X, Y, L, M), (X, Z, L, N) đông viên.
A
B
C
H
P
Z
L
M
N
X
Y
A’
B’
Dễ thấy tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác HLM, HLN là trung điểm HP.
Xét tam giác HLM với đường tròn (XYLM) đi qua L, M suy ra XY đối song với LN, do đó Chứng minh tương tự ta có (2).
Từ (1) và (2) suy ra X, Y, Z thẳng hàng.
Cách 2. Để chứng minh X, Y, Z thẳng hàng ta chứng minh và . Ta có 
Cộng (1), (2), (3) và (4) vế theo vế ta được 
Chứng minh tương tự ta có . Từ (5) và (6), suy ra đpcm.
Cách 3. Đặt .
Xét phép nghịch đảo tâm H, phương tích r. 
Qua phép biến đổi : ; mà đường tròn (LMN) đi qua H, nên qua đường tròn (LMN) biến thành đường thẳng XYZ.
14. (HSG-THPT chuyên Lam Sơn 2015) Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cân, cố định. Đường tròn thay đổi luôn đi qua hai điểm B, C; cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại E, F. Gọi K là giao điểm của BE và CF, O là tâm đường tròn . Chứng minh rằng:
KO luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi.
 (trong đó là khoảng cách từ A đến đường thẳng OA và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
HD: Cách 1: Gọi M là giao điểm của EF và BC, thì AM là đường đối cực của K đối với đường tròn do đó Gọi và là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK, suy ra , (vì )
,(vì cân tại O)
, suy ra bốn điểm A, H, B, C cùng nằm trên một đường tròn. Từ đó suy ra KO luôn đi qua điểm D cố định, với AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cách 2: Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt lại 	 tại B’, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt lại tại C’. Gọi suy ra AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra D cố định.
Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm B, C, E, F, B’, C’ cùng nằm trên đường tròn , suy ra K, O, D thẳng hàng .	
A
O
H
D
K
M
F
E
B
C
b) Ta có Dấu bằng khi và chỉ khi khi và chỉ khi tâm O của là giao điểm đường thẳng vuông góc với AD tại D và trung trực của BC. 
Nhận xét: - Có thể chứng minh bằng định lý Brocard.
- Bài toán trên được sáng tác theo tính chất EF đối song với BC trong tam giác ABC.
I
O
B
A
P
H
O’
M
N
E
F
Q
K
15. (T5/436 - TH&TT) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ điểm I nằm ngoài đường tròn kẻ IH vuông góc với AB (H nằm giữa O và A). IA, IB cắt (O) lần lượt tại E, F; EF cắt AB tại P. EH cắt (O) tại điểm thứ hai là M, PM cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi K là trung điểm EF, O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN. Chứng minh rằng O’H // OK.
HD: BE, AF, IH đồng qui tại Q là trực tâm của tam giác ABI, suy ra IH là phân giác của đối xứng qua AB đối xứng nhau qua AB thẳng hàng. Mà EF là đường đối song của MN đối với tam giác HMN, suy ra O’H vuông góc với EF. Theo giả thiết ta có . Từ đó suy ra O’H//OK
16. (Shortlits IMO -2012) Cho tam giác ABC nhọn, các điểm D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, CA, và AB. Gọi I1, I2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AEF, BDF; O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACI1, BCI2. Chứng minh rằng I1I2 song song với O1O2.
HD:
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và I3 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CED. Dễ chứng minh được suy ra các tứ giác nội tiếp. Do đó đường tròn cắt nhau tại C, I3.Suy ra (1). 
Dễ thấy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB là trung điểm cung AB (không chứa C), nên thuộc CI. 
Ta lại có đối song với AB trong tam giác AIB, do đó (2).
Từ (1) và (2) suy ra I1I2 song song với O1O2.
17. Cho tam giác ABC, P là điểm bất kỳ. Đường tròn (M) bất kỳ đi qua B, C. BP, CP lần lượt cắt (M) tại K, L. KL cắt CA, AB tại E, F. G, H lần lượt đối xứng với E, F qua P. GH cắt PB, PC tại Y, Z. Giả sử B, C và (M) cố định, A, P thay đổi sao cho đường nối P và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC luôn đi qua một điểm cố định trên BC. Chứng minh rằng trung trực YZ luôn đi qua một điểm cố định.
HD: Gọi X là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC. Ta có LK đối song với BC trong tam giác BPC, suy ra Gọi J là trung điểm LK, suy ra 
Từ đó PX // JM. Ta lại có đoạn LK đối xứng với đoạn ZY qua P và PX đi qua điểm D cố định trên BC, nên trung trực của ZY đi qua điểm N (cố định) đối xứng với M qua D.
18. Cho đoạn BC và D thuộc BC cố định. Đường tròn (O) thay đổi đi qua B, C. M đối xứng với O qua BC. Đường thẳng qua O song song với MD cắt (O) tại A sao cho A và M khác phía với BC. Đường tròn (K) cố định đi qua B, C. MD cắt đường thẳng đi qua A vuông góc với BC tại H. HB, HC cắt (K) tại E, F khác B, C. Y, Z đối xứng với E, F qua H. Chứng minh rằng trung trực của YZ luôn đi qua một điểm cố định khi (O) di chuyển.
HD: 
H là trực tâm của tam giác ABC; M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.
 Ta có EF là đường đối song với BC trong tam giác BHC. Suy ra EF vuông góc với HM. Từ đó suy ra điểm cố định là điểm đối xứng với K qua điểm D.
19. Cho tam giác MKL. S đối xứng với K qua ML, T đối xứng với L qua MK. Y là tâm đường tròn Ơle của tam giác MLK. Chứng minh rằng MY đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MST.
HD: Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MST. 
Dễ thấy đường đẳng giác của MN trong tam giác MLK cũng là đường đẳng giác của MN trong tam giác MST.
Mà N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MST, nên theo tính chât đối song, đường đẳng giác của MN trong tam giác MST là đường thảng đi qua M vuông góc với ST.
Đường đẳng giác của đường thẳng MY trong tam giác MLK là đường thẳng đi qua M và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KOL (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MLK). Thật vậy, gọi O’ là điểm đối xứng với O qua KL và J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KOL. Dễ thấy OK là tiếp tuyễn của (KO’J), suy ra 
 (H là trực tâm tam giác MLK).
Z
O
J
O’
M
K
L
S
T
Y
H
N
Ta cần chứng minh Thật vây, Gọi Ta có: 
20. Cho tam giác ABC; AD, BE, CF là các đường cao; trung tuyến AM. S, T lần lượt là hình chiếu của B, C trên trung trực của AC, AB. Chứng minh rằng S, T, U, V thuộc một đường tròn.
HD: Gọi K, L lần lượt là trung điểm AC, AB; X, Y lần lượt là tâm đường tròn Ơle của các tam giác ABC, MLK. Ta có S đối xứng với K qua ML và T đối xứng