Sáng kiến kinh nghiệm Đề xuất giải pháp để chinh phục bài toán tìm môđun lớn nhất, môđun nhỏ nhất trong số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT NGÔ LÊ TÂN
œ&
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN
ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP ĐỂ CHINH PHỤC BÀI TOÁN TÌM MÔĐUN LỚN NHẤT, MÔĐUN NHỎ NHẤT TRONG SỐ PHỨC
GIÁO VIÊN	: HUỲNH THỊ TRANG
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC	: TRƯỜNG THPT NGÔ LÊ TÂN
	NĂM HỌC: 2019-2020
MỤC LỤC
Đề mục	Trang
	MỤC LỤC	 1
1. Đặt vấn đề	2
	1.1. Lý do chọn đề tài: lý luận, thực tiễn	2
	1.2. Xác định mục đích nghiên cứu	2
	1.3. Đối tượng nghiên cứu	3
	1.4. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm	3
	1.5. Phương pháp nghiên cứu	3
	1.6. Phạm vi và thời gian nghiên cứu	3
2. Nội dung	4
	2.1. Những nội dung lí luận có liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu	4
	2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu	4
	2.3. Mô tả, phân tích các giải pháp	5
	2.4. Kết quả thực hiện	31
3. Kết luận và khuyến nghị	33
	3.1. Những kết luận đánh giá cơ bản về sáng kiến	33
	3.2. Các đề xuất khuyến nghị	34
	TÀI LIỆU THAM KHẢO	35
	1. Đặt vấn đề
	1.1. Lý do chọn đề tài: lý luận, thực tiễn
	Trong chương trình Toán THPT, phần đại số ở chương trình lớp 12, học sinh được hoàn thiện hiểu biết của mình về các tập hợp số thông qua việc cung cấp một tập hợp số, gọi là Số phức. Trong chương này, học sinh đã bước đầu làm quen với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lấy môđun, ... các số phức. Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức với mỗi điểm trên mặt phẳng tọa độ , ta thấy giữa đại số và hình học có mối liên hệ khá “gần gũi”. Hơn nữa, nhiều bài toán Đại số bên Số phức, khi chuyển sang hình học, từ những con số khá trừu tượng, bài toán đã được minh họa một cách rấ trực quan, sinh động và cũng giải được bằng Hình học với phương pháp rất đẹp. Đặc biệt, trong các kì thi THPT Quốc gia trong những năm gần đây, việc sử dụng phương pháp hình học để giải quyết các bài toán về số phức là một trong những phương pháp khá hay và hiệu quả. Đặc biệt là bài toán tìm môđun lớn nhất, môđun nhỏ nhất của số phức. Hơn nữa nếu ta biểu diễn bằng phương pháp hình học được trên giấy đối với những bài toán môđun số phức thì ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng.
	Mặt khác, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất - cụm từ ấy hàm chứa một mảng kiến thức rất rộng, trọng tâm trong chương trình toán học ở phổ thông mà phần lớn thí sinh rất “e ngại” khi đối diện với nó. Đặc biệt việc áp dụng phương pháp hình học vào bài toán số phức giúp người học có cái nhìn mới lạ, hấp dẫn, thú vị và lôi cuốn khơi tạo sự đam mê, hang say Toán học, giúp bạn học và bạn đọc thấy sự đa dạng của phương pháp hình học trong các mảng Toán hơn, thấy được việc giải quyết các bài toán cực trị trong số phức trở nên đơn giản, nhẹ nhàng hơn. 
	Sáng kiến được trình bày theo hướng giải quyết những câu hỏi:
	- Phải bắt đầu từ đâu?
	- Khai thác, khám phá, phát hiện và kiến tạo vấn đề ra sao? 
	- Thực hiện giải pháp như thế nào? ...
	Từ đó hình thành ý tưởng giúp tìm ra phương pháp xử lí hiệu quả cho bài toán. 
	1.2. Xác định mục đích nghiên cứu
	Trong đề tài này, tác giả sẽ tìm hiểu cực trị hình học và áp dụng nó trong việc giải bài toán cực trị trong số phức: Tìm mô đun lớn nhất, mô đun nhỏ nhất của một số phức hay xuất hiện trong chương trình toán ở phổ thông.
Nhà toán học nổi tiếng Polia cho rằng: ‘ Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản...”. Viết đề tài này tác giả mong ước bản thân tiến bộ hơn, góp một chút suy nghĩ, một chút ý tưởng, một chút đề xuất giải pháp chinh phục đến với những dòng suối nhỏ kia.
	1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Đối tượng nghiên cứu của tác giả trong đề tài này chủ yếu là bài toán tìm mô đun, mô đun lớn nhất, mô đun nhỏ nhất của một số phức thường hay xuất hiện trong các đề thi học kì, thi THPT Quốc gia.
	1.4. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm
	Đề tài này được triển khai nghiên cứu, thực hiện cho các lớp ban khoa học tự nhiên và học sinh khá, giỏi bộ môn toán thuộc trường trung học phổ thông Ngô Lê Tân; các thầy cô giáo trong nhóm Toán của trường.
	1.5. Phương pháp nghiên cứu
	Tác giả coi mình là thí sinh đi thi kì thi học kì, thi trung học phổ thông Quốc gia, đối diện trực tiếp với bài toán, tác giả tự mình giải quyết những câu hỏi: Phải bắt đầu như thế nào? Khai thác vấn đề ra sao? Làm thế nào để tìm ra giải pháp? Giải pháp nào mới khả thi, dễ áp dụng?... Từ đó, tác gải làm rõ những đặc điểm, tính chất đặc trưng của các đại lượng ẩn dấu trong bài toán, bắt được nhịp cầu gắn kết giữa điều đã biết và điều cần tìm, nhìn được bài toán từ phía bên trong, lột tả bản chất của bài toán, tạo ra ý tưởng khác lạ có tính đột phá. Từ những phát hiện mới, tác giả chọn lọc, hình thành phương pháp, biểu đạt ngôn ngữ và tường minh nội dung.
	1.6. Phạm vi và thời gian nghiên cứu
	Đề tài được tác giả nghiên cứu và áp dụng giảng dạy trong các tiết dạy tự chọn ở lớp 12 trong phạm vi toán trung học phổ thông, thời gian nghiên cứu bốn năm học: 2015- 2016, 2016-2017, 2017-2018,2018-2019.
	Đề tài chắc chắn còn nhiều thiếu sót, vì vậy mong quý thầy cô, các bạn đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện hơn.
	Xin chân thành cảm ơn!
	2. Nội dung
	2.1. Những nội dung lý luận có liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu.
	Bài toán tìm mô đun lớn nhất, mô đun nhỏ nhất trong số phức có một vị trí xứng đáng trong phần toán học số phức nói riêng và trong chương trình toán phổ thông nói chung. Hầu hết các bài toán này rất phông phú, đa dạng, yêu cầu cao về tư duy, kỹ năng và thường không thể giải quyết bằng phương pháp cơ bản trực tiếp. Chính vì thế việc tìm tòi những ý tưởng có lý, có căn cứ nhằm tiếp cận và giải quyết được bài toán là vô cùng cần thiết. Những ý tưởng tự tìm tòi được sẽ giúp người học nâng cao khả năng quan sát, linh cảm, trực giác toán học ngày càng tinh tế. Với cách tự nghiên cứu sẽ chỉ ra cho học sinh cách giải toán chứ không đơn thuần chỉ là giải toán cho học sinh. Điều này mang đậm tính đổi mới về phương pháp. 
	Ngoài ra, những ý tưởng đó còn tạo được tâm lý tự tin, lòng đam mê cho người học khi đối diện với bài toán khó.
	2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu.
	Thực tế dạy và học cho thấy rằng hầu hết thí sinh đều thiếu tự tin khi đối diện với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức. Bên cạnh đó có rất ít tài liệu về số phức để giáo viên và học sinh tham khảo, lượng bài tập về số phức trong sách giáo khoa còn nhiều hạn chế. Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh gặp không ít khó khăn. Bài toán tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất có quan hệ mật thiết với nhau. Trong quá trình giảng dạy phần nội dung này, tôi nhận thấy vẫn còn một số học sinh chưa giải quyết được bài toán tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức dù tập hợp các điệm cần tìm thông thường là đường thẳng, đường tròn, đường elip, ... Nhiều học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của mô đun của một số phức. Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìm được tập hợp các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bất đẳng thức, lượng giác, hình học phẳng, ... để từ đó tìm ra được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cần tìm. 
	Hơn nữa, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức mô đun trong số phức là các bài toán hay và khó thường xuất hiện trong các kì thi học kì, kì thi THPT Quốc gia. Bài toán này rất được sự quan tâm của các bạn học sinh yêu toán, các thầy cô giáo dạy bộ môn toán. Trong quá trình dạy học cho học sinh, tôi thường hướng dẫn học sinh tập phát triển, mở rộng, đào sâu từ những bài toán cơ bản, quen thuộc để tạo ra những bài toán mới lạ, cũng chính từ đó mà hình thành cho các em kỹ năng quy từ các bài toán lạ về vận dụng các bài toán quen thuộc. Với kinh nghiệm giảng dạy của mình cũng như qua trao đổi học tập, nghiên cứu cùng với các đồng nghiệp tôi đã mạnh dạn đưa ra một số kỹ năng nhằm hình thành và phát triển, nâng cao khả năng giải quyết các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun trong số phức. Từ đó, tôi đã viết chuyên đề sáng kiến “Đề xuất giải pháp chinh phục bài toán tìm mô đun lớn nhất, mô đun nhỏ nhất trong số phức” nhằm giúp học sinh có thể chủ động, tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của mô đun trong số phức.
	Một vấn đề nữa không kém phần quan trọng là sự trải nghiệm, va chạm qua cả một quấ trình để tích lũy, đúc kết kinh nghiệm. Từ đó, tạo ra những ý nghĩ mới mang tính bước ngoặt, độc lập và hữu dụng.
	2.3. Mô tả, phân tích các giải pháp
	Việc hình thành, mô tả, phân tích các giải pháp được tác giả trình bày tường minh, chi tiết thông qua nghiên cứu từng bài toán từ các đề thi học kì, các đề thi thử THPT Quốc gia và đề thi THPT Quốc gia.
	2.3.1. Kiến thức cơ bản, thiết yếu
	* Một số định nghĩa và kí hiệu cần thiết.
	• Số : Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng , kí hiệu: . Như vậy: .
	•Số phức: Mỗi biểu thức dạng trong đó được gọi là một số phức. : phần thực; : phần ảo.
	•Mô đun của số phức: Với mỗi số phức , giá trị biểu thức gọi là mô đun của . Kí hiệu là . Như vậy: .
	•Cho số phức . Ta gọi là số phức liên hợp của và kí hiệu là .
	•Với mỗi số phức , xác định điểm trên mặt phẳng tọa độ . Điểm gọi là biểu diễn hình học của số phức .
	•Cho hai số phức , , 
	+ Phép cộng: 
	+Phép trừ: 
	+ Phép nhân: 
	+ Phép chia: với 
	* Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ .
	•Với là điểm biểu diễn số phức thì .
	•Với và lần lượt là điểm biểu diễn các số phức , thì .
	•Cho hai số phức có điểm biểu diễn là . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn hệ thức là đường trung trực của đoạn .
	• là điểm biểu diễn của số phức , , tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn hệ thức là đường tròn tâm , bán kính . 
	2.3.2. Phương pháp hình học trong một số bài toán tìm mô đun, mô đun lớn nhất, mô đun nhỏ nhất trong số phức.
	Bài toán 1.Xét các số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	Cách 1. (Dùng phương pháp hình học)
	Phân tích và tìm lời giải.
	Quan sát biểu thức ta thấy có thể biến đổi với , là điểm biểu diễn của số phức . Vậy việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đưa về tìm điểm vị trí điểm để ngắn nhất với tập hợp điểm thỏa điều kiện cho trước là một đường thẳng có phương trình . 
	Lời giải. 
	Đặt và là điểm biểu diễn số phức 
	Từ tập hợp điểm là đường thẳng 
	Ta có với 
	Dựa vào hình vẽ ta thấy 
	Cách 2 (Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki).
	Đặt và là điểm biểu diễn số phức 
	Từ tập hợp điểm là đường thẳng 
	Ta có 
	Từ 
	. 
	Cách 3. (Dùng tính chất hàm số bậc hai).
	Đặt và là điểm biểu diễn số phức 
	Từ tập hợp điểm là đường thẳng 
	Ta có 
	 là hàm số bậc hai có hệ số nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng . Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng . Do đó, 
	Lấy ý tưởng từ bài toán trên ta có bài toán tương tự sau
	Bài toán 2.Xét các số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	Lời giải.
	Cách 1 (Dùng phương pháp hình học)
	Đặt và là điểm biểu diễn số phức 
	Từ tập hợp điểm là đường thẳng 
	Ta có với 
	Dựa vào hình vẽ ta thấy 	
	Cách 2 (Dùng tính chất hàm số bậc hai).
	Từ . 
	Khi đó, là hàm số bậc hai có nên đạt giá trị nhỏ nhất bằng . 
	Vậy 
	Bài toán 3. Xét các số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , với .
	Phân tích và tìm lời giải.
	Đây là bài toán biến thể từ hai bài toán trên khi lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất, là điểm biểu diễn của số phức với tâp hợp điểm thỏa điều kiện cho trước là một đường thẳng có phương trình .
	Lời giải.
	Cách 1. (Dùng phương pháp hình học)
	Đặt và là điểm biểu diễn số phức 
	Từ tập hợp điểm là đường thẳng 
	Ta có với 
	Dựa vào hình vẽ ta thấy 	
	Cách 2. (Dùng tính chất hàm số bậc hai)
	lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
	Ta có là hàm số bậc hai có hệ số nên đạt giá trị nhỏ nhất bằng suy ra . 
	Vậy . 
	Bài toán4.Xét cácsố phức thỏa mãn 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	Lời giải. Ta có 
	=TH 1.Với Khi đó 
	=TH 2.Với 
	Đặt và là điểm biểu diễn số phức 
	Từ 
	tập hợp điểm là đường thẳng 
	Ta có với 
	Dựa vào hình vẽ ta thấy 
	So sánh hai trường hợp ta thấy 
	Bài toán 5.Xét các số phức thoã mãn Gọi là số phức thoã mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	Lời giải.
	Đặt và là điểm biểu diễn số phức 
	Từ tập hợp điểm là đường thẳng 
	Ta có với 
	Dựa vào hình vẽ ta thấy 	
	Bài toán 6.Xét các số phức thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 
	Lời giải. Gọi và 
	=tập hợp điểmbiểu diễn số phức là phần gạch chéo như trên đồ thị có tính biên .
	=tập hợp điểm biểu diễn số phức là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên .
	Dựa vào hình vẽ ta thấy 
	Dấu xảy ra khi và chỉ khi , và .
	Nhận xét: Bài toán này phức tạp hơn, khiến học sinh cảm thấy lúng túng hơn các bài toán trên ở chỗ xuất hiện bất đẳng thức và và điều khác biệt nữa là xuất hiện tới hai số phức và . Nhưng nếu để ý một chút thì ở biểu thức chính là độ dài với là điểm biểu diễn của và . Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất khi và chỉ khi .
	Bài toán 7.Xét các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
	Phân tích và tìm lời giải.
	Biến đổi đẳng thức như sau .Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức là một đường tròn nên bài toán trên được giải quyết đơn giản như sau. 
	Lời giải.
	Cách 1. (Dùng phương pháp hình học)
	Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính .
	Khi đó 
	Cách 2. (Dùng phương pháp lượng giác)
	Từ suy ra luôn tồn tại số sao cho: . 
	Khi đó, 
	Do nên 
	Vậy .
	Cách 3. (Dùng bất đẳng thức tam giác).
	Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
.
	Vậy . 
	Bài toán 8.Xét các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	Phân tích và tìm lời giải.
	Điểm khác biệt với bài toán 11 là ở biểu thức chứa , ta có thể biến đổi và đưa về dạng quen thuộc như sau: . Khi đó, bài toán dễ dàng được giải quyết như sau.
	Lời giải.
	Cách 1. (Dùng phương pháp hình học)
	Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính 
s
	Ta có với 
	Vậy 
	Cách 2 (Dùng phương pháp lượng giác).
	Từ nên tồn tại số sao cho:
	Khi đó
	Do 
	Vậy . 
	Cách 3 (Dùng bất đẳng thức tam giác).
	Ta có 
	Vậy . 
	Tương tự bài toán trên, ta có bài toán sau.
	Bài toán 9.Xét các số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 
	Lời giải.
	Cách 1. (Dùng phương pháp hình học)
	Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính .
	Khi đó 
	Cách 2. (Dùng phương pháp lượng giác)
	Từ suy ra luôn tồn tại số sao cho: . 
	Khi đó, 
	Do nên 
	Vậy .
	Cách 3. (Dùng bất đẳng thức tam giác).
	Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
.
	Vậy . 
	Bài toán 10.Xét các số phức thỏa mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
	Phân tích và tìm lời giải.
Từ biểu thức với nên đưa về yêu cầu quen thuộc.
	Lời giải. 
	Cách 1. (Dùng phương pháp hình học).
	Từ tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm bán kính 
	Theo giả thiết với 
	Dựa vào hình vẽ ta thấy 
	Cách 2. (Dùng phương pháp lượng giác)
	Từ suy ra luôn tồn tại số sao cho: . 
	Khi đó, 
	Do nên 
	Vậy .
	Cách 3. (Dùng bất đẳng thức tam giác).
	Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
.
	Vậy . 
	Cùng ý tưởng như bài toán 14, ta có bài toán 15 sau đây.
	Bài toán 11.Xét các số phức thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
	Lời giải.
	Cách 1. (Dùng phương pháp hình học).
	Từ tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm bán kính 
	Theo giả thiết ta có với 
	Dựa vào hình vẽ ta thấy 
	Cách 2. (Dùng phương pháp lượng giác)
	Từ suy ra luôn tồn tại số sao cho: . 
	Khi đó, 
	Do 
	nên 
	Vậy .
	Cách 3. (Dùng bất đẳng thức tam giác).
	Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
.
	Vậy . 
	Bài toán 12.Xét các số phức thỏa mãn không phải là số thực và là số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
	Lời giải. 
	Vì không phải là số thực nên .
	Ta có 
	Vì là số thực nên 
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán kính .
Ta có với Vậy 
	Nhận xét.
	Tư duy bài này cũng giống như những bài trên nhưng khá phức tạp hơn một chút ở giả thiết.
	Bài toán 13.Xét các số phức thỏa mãn . Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất lần lượt tại và . Tìm phần ảo của số phức 
	Lời giải.
	Biến đổi .
	Đặt , khi đó 
	= tập hợp các số phức là hình tròn tâm , bán kính (trừ tâm ).
	= Xét Đặt với là điểm biểu diễn của số phức .
	Dựa vào hình vẽ, ta thấy 
	Nhận xét.
	Bài toán này thoạt đầu đễ đánh lừa người làm lẩn quẩn đi tìm phần ảo của số phức theo phương pháp đại số thông thường. Điều này sẽ vô cùng khó khăn và có thể đi vào ngõ cụt nhưng nếu để ý kĩ thì biểu thức phân tích được thành như sau với 
	Bài toán 14.Xét các số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
	Phân tích và tìm lời giải.
	Điều kiện tập hợp điểm biểu diễn của là đường tròn tâm , bán kính . Khó khăn của bài toán này là việc biến đổi biểu thức . Dễ đưa người độc nhầm lẫn và cứ bám víu vào là đường tròn và sẽ phụ thuộc đường tròn này sẽ đi đến ngõ cụt. Để ý biểu thức là phép chia hai số phức, nếu dùng số phức phụ thì khi đó và dựa vào nên . Từ đây tìm ra được tập điểm biểu diễn số phức là đường tròn và bài toán trở nên dễ dàng hơn khi đánh giá được giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . 
	Lời giải.
	Đặt 
	Theo giả thiết 
	Gọi Khi đó từ 
tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm bán kính 
	Do đó 
	Bài toán 15.Xét hai số phức thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
	Phân tích và tìm lời giải.
	Bài toán này lạ hơn các bài toán trên là có tới hai số phức . Quan sát biểu thức đó chính là đoạn , với là các điểm biểu diễn số phức .
	Quan sát biểu thức ta có biến đổi sau:
 (với là trung