Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số f(x)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ 
CỦA HÀM SỐ 
Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Đơn vị công tác: Trường THPT Thọ Xuân 5
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
1. Mở đầu
Trang 1
1.1. Lý do chọn đề tài
Trang 1
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trang 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trang 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trang 1
1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm
Trang 1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Trang 1
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trang 2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trang 2
2.3.Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Trang 2
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
 dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Trang 17
3. Kết luận, kiến nghị
Trang 18
1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong môn giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết nhiều bai toán. Giữa hàm số và đạo hàm của có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Điển hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng các công thức thì nó còn được biểu diễn dưới dạng đồ thị. Việc đưa vào đồ thị của để tìm ra tính chất của hàm số cho ta những bài toán hay.
Trong các đề thi hiện nay xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị của hàm số và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị và một số tính chất khác của hàm số . Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Các bài toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh học tốt hơn bài toán liên quan đến đồ thị của đạo hàm.
- Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 và đồng nghiệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5.
- Các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của đạo hàm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Tìm hiểu những khó khăn khi học sinh khi làm các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của đạo hàm.
- Trao đổi với đồng nghiệp.
- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan.
- Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4 trường THPT Thọ Xuân 5.
1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm.
- Dùng hình ảnh trực quan được vẽ từ phần mềm [10].
- Áp dụng trong các bài toán trong các đề thi thử THPT QUỐC GIA năm học 2017-2018 [3].
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo của người học. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động. 
Đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính chất hàm số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị. Để học sinh hiểu về các dạng bài toán đồ thị của . Tôi đã phân dạng và các bài tập minh họa, sau đó là bài toán thực tế trong các đề thi thử của các trường trong năm học 2017-2018.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Chủ đề đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trìnhtoán giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính chất hàm số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh(kể cả học sinh khá giỏi)thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Các bài toán đều liên quan đến cho đồ thị cùa hàm số từ đồ thị học sinh tìm ra các tính chất của hàm số hoặc các điểm cực trị, so sánh các giá trị hàm số, hay tìm số nghiệm phương trình....
- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” đểgiúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. 
- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu.
- Kiến thức đồ thị như: Các phép tịnh tiến, đối xứng học sinh còn chưa thành thạo.
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề.
Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số:
Bài1:Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số trên như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số trên .
A. B. 
C. D. 
Giải:
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị cắt trục tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị tiếp xúc với trục . Ta chọn đáp án B.
Nhận xét:
Xét một thực dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm ố cực trị của hàm số hoặc trên thì đáp án vẫn không thay đổi. Chú ý số cực trị của các hàm số , và là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị khác nhau.
b) Giả thiết ở thí dụ 1 và các thí dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau:
Hàm số liên tục trên khoảng và có đồ thị như hình vẽ. Biết là một nguyên hàm của hàm số . Tìm số cực trị của hàm số trên .
Bài 2:Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số trên như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số trên ?
A. 0.	B. 1.	C. 2.	D. 3.
Giải: 
Ta có có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm. Ta chọn đáp án B.
Bài 3:Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình vẽ. Khi đó trên , hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.B. 4.C. 3.D. 2.
Giải: 
Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành 1 điểm.Ta chọn đáp án A.
 Bài 4:Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số như hình vẽ . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.	B.2.	C. 3.	D.4.
Giải: 
Cách 1:
 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương lên trên 4 đơn vị.
Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A.
Cách 2:Số cực trị của hàm bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình 
Dựa vào đồ thị của hàm ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn.
Bài 5:Cho hàm số liên tục trên . Hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu cực trị?
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: 
Ta có . Suy ra đồ thị của hàm số là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương xuống dưới đơn 
vị.Ta có và dựa vào đồ thị của hàm số, ta suy rađồ thị của hàm 
số cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.
Bài 6:Cho hàm số . Biết có đạo hàm và hàm số có đồ thị như hình vẽ. Đặt . Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
D. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Giải: 
Cách 1:
Ta chọn đáp án C.
Cách 2:Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị.
Ta thấy trên khoảng đồ thị hàm số nằm bên dưới trục hoành nên hàm số nghịch biến trên khoảng , ta chọn đáp án C.
Bài7:Cho hàm số . Biết có đạo hàm và hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A.	B. 	C. 	D. 
Giải:
Cách 1 : 
Ta chọn đáp án B.
Cách 2 : đồ thị hàm số là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang phải 1 đơn vị.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ 
 và giá trị hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm
. Ta chọn đáp án B.
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hoặc so sánh các giá trị của hàm số dựa vào đồ thị hàm số .
Bài 1:Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn 
A. 	B. 
C. 	D. 
Giải: 
 và 
Ta chọn đáp án D.
Bài 2: Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn 
A. 	B. 
C. 	D. 
Giải:
Dựa vào BBT ta có , GTNN chỉ có thể là hoặc 
Ta lại có: 
Ta chọn đáp án A.
Bài 3:Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình bên. Biết . Phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
A. nghiệm. 	B. nghiệm.
C. nghiệm.	 D. nghiệm. 
Giải: 
 Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau
. Do nên
 PT vô nghiệm.
 PT có 1 nghiệm.
 PT có 2 nghiệm.
Chọn đáp án: A
Bài 4:Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số 
như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. và 
B. và 
C. và 
D. và 
Giải:
Ta chọn đáp án B.
Bài 5:  Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số như hình vẽ sau. Đặt . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 	B. 
C. 	D. 
Giải :
Ta có . Ta vẽ thêm đường thẳng 
Ta có: 
Ta chọn đáp án B.
Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số từ đồ thị hàm số 
Bài 1:Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng
	A.	B. 
	C.	D. 
Giải:
Ta có 
Chọn đáp án C.
Bài 2:Cho hàm số có đạo hàm trên thoả và đồ thị của hàm số có dạng như hình bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải:Ta có .
Ta có bảng biến thiên :
Xét 
Bảng xét dấu :
Chọn đáp án D.
Bài 3:Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .
B. .
C. .
D. .
Giải: 
Ta có: 
Ta vẽ đường thẳng .
Như vậy ta có: Ta chọn đáp án A.
Dạng 4: Một số bài toán tìm cực trị liên quan đồ thị hàm số 
Bài 1:Cho hàm số . Hàm số có bảng biến thiên như hình dưới. Bất 
phương trình nghiệm đúng với mọi khi 
A. .B. .C. .D. .
Giải: Ta có nghiệm đúng với mọi với mọi 
.Xét hàm số với mọi .Ta c
. Vì với mọi (dựa vào BBT) và với mọi nên với mọi đồng biến trên khoảng 
 với mọi .
Mà với mọi nên .
Chọn B.
Bài 2:Cho hàm số có đạo hàm .Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có đúng 5 điểm cực trị ? 
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải:Ta có :,trong đó là nghiệm kép.
Xét (*)
( Điểm cực trị của hàm số là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình ). Xét hàm số có đồ thị (C). 
Ta có bảng biến thiên
Để có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt khác .
Do đó mỗi đường thẳng và phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng luôn nằm trên đường thẳng .
Ta có: . Vậy có giá trị nguyên dương .
Bài3:Cho hàm số , hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số 
 có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải:
Ta có 
Đặt vì 
Khi đó : thành 
Với .
Với .
Với .
Với .
.
Vì là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số .
Vậy hàm số có điểm cực trị trên khoảng .
Chọn B
Bài 4:Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình dưới.
Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có nhiều điểm cực trị nhất?
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải:
Từ đồ thị suy ra .
Ta có .
Chú ý rằng, hàm số đạt cực trị tại vì tại đó không xác định và đổi dấu.
Hơn nữa nếu các phương trình ; ; đều có 2 nghiệm phân biệt thì các nghiệm đó luôn đôi một khác nhau và khác .
Hàm số có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi có nhiều nghiệm nhất 
; ; đều có 2 nghiệm phân biệt .
Kết hợp điều kiện , . Suy ra .
Khi đó, hàm số có đúng 7 điểm cực trị.
Chọn C
Bài 5:Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên . Biết rằng đồ thị hàm số
 như hình vẽ dưới đây. 
Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải:
Viết lại hàm số .
Ta tính đạo hàm .
Giải phương trình .
Tại thì không tồn tại.
Dễ thấy đạo hàm đổi dấu khi đi qua các điểm , ,, , .
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.
Chọn D
Bài 6:Cho hàm số là hàm đa thức có và đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.
Số cực trị của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải:Vì là hàm đa thức nên và (Dấu được xác định dựa 
vào BBT). Từ đồ thị hàm số và , ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có cực trị.
Chọn A 
Bài 7: Cho hàm số xác định trên có ; ; . Biết rằng 
hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số có bao 
nhiêu điểm cực trị?
A. 2.	B. 3.	C. 6.	D. 5.
Giải: Nhận xét: Số cực trị của hàm số bằng số cực trị của hàm số cộng với số 
giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành. Đặt 
và . 
Ta có: (*)
Dự vào đồ thị, nghiệm của phương trình (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng , ta có: 
Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Ta có: vì 
 vì 
 vì 
Suy ra có đúng hai nghiệm phân biệt và .
Suy ra có đúng 5 điểm cực trị.
Chọn D
Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số 
Bài 1:Cho hàm số có đồ thị được cho như hình vẽ. Hàm số 
 nghịch biến trên khoảng
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải: 
Đặt , trở thành 
Từ đồ thị hàm số và đồ thị hàm số . Trên hệ trục .
Xét .Trên hệ tọa độ ta thấy .
Suy ra hay .Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .Chọn A.
Bài 2:Cho hàm số 
có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ bên. Tính  ?
A. 24.	B. 28.	C. 26.	D. 21.
Giải: 
Ta có . Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số là parabol có trục đối xứng là trục tung nên 
Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm ta tìm được: .
Suy ra: , đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ độ nên Ta chọn đáp án D.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu “Các bài toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số ” đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khả quan. Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số . Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, cũng đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và dạy học. Từ đó các em học sinh rất thích thú và học tốt vấn đề này. Trong quá trình giảng dạy, tôi tiến hành thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A4 trong đó sử dụng các dạng bài tập này để hướng dẫn đối với lớp 12A1. Kết quả kiểm tra thử như sau:
Lớp 
Tổng số
Điểm 8 trở lên
Điểm 5 trở lên và < 8
Điểm dưới 5
SL
TL
SL
TL
SL
TL
12A1
42
15
35,7%
27
64,3%
0
0%
12A4
42
3
7,1%
34
81%
5
11,9%
 Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy số lượng giỏi, khá, trung bình đã có tăng lên mặc dù chưa nhiều, số lượng yếu, kém vẫn còn. Nhưng đối với tôi, điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào tiết học
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận
	Trên đây tôi đã trình bày sáng kiến kinh nghiệm của mình trong việc tìm các tính chất hoặc so sánh hay tìm số nghiệm phương trình từ đồ thị của hàm số . Với các dạng toán phân các loại khác nhau để học sinh dễ hiểu bài và các bài tập cập nhật trong các đề thi thử THPT QG của các trường trong cả nước. 
3.2. Kiến nghị
	Trên đây là sáng kiến tôi đã thực hiện đối với học sinh lớp 12 trường THPT Thọ Xuân 5 trong năm học vừa qua. Rất mong vấn đề này được xem xét, mở rộng hơn nữa để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có thêm tự tin và hứng thú khi học môn Toán./.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊThanh Hóa,ngày 25 tháng 5 năm 2019
 Tôi xin cam đoan SKKN này của Tôi 
không sao chép của người khác, của 
 chính mình những năm trước.
Người viết
 Lê Ngọc Hùng