Phân tích một số sai lầm của học sinh khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số hướng khắc phục

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT CẦM BÁ THƯỚC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH
KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. HƯỚNG KHẮC PHỤC.
Người thực hiện: Lê Thị Chuyên 
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Cầm Bá Thước
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có trong chương trình. Là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán liên quan đến khảo sát hàm số.
Trong quá trình giảng dạy năm học 2018-2019 tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của người thầy.
Chẳng hạn, với bài tập 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đạt cực đại tại .
	Đa số các em khi giải thường mắc sai lầm sau:
+) Tập xác định: 
+) Ta có: và 
+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại là: 
+) Vậy để hàm số đạt cực đại tại thì .
	Sai lầm ở đây là : nếu thì hàm số đạt cực đại tại . Điều ngược lại nói chung không đúng. Vì vậy kết luận trên chưa hẳn đã chính xác.
	Đây chỉ là một sai lầm trong số rất nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc phải, việc khắc phục những sai lầm này trong kỳ ôn thi tốt nghiệp năm học 2018-2019 diễn ra mất rất nhiều thời gian. Sang năm học 2019-2020 này, nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi đã đầu tư thời gian để phân tích kỹ những sai lầm mà học sinh thường gặp và trong kỳ ôn thi tốt nghiệp vừa qua những vấn đề tồn tại của năm học trước được khắc phục một cách có hiệu quả. Vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm " PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỐ THỊ HÀM SỐ. HƯỚNG KHẮC PHỤC" với hy vọng giúp các em học sinh học tập tốt hơn và các giáo viên dạy môn toán có một kinh nghiệm bổ ích.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
	1. Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.
	2. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
	1. Về nhiệm vụ:
	 Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác.
	2. Về phương pháp:
	- Phương pháp điều tra.
	- Phương pháp đối chứng.
	- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
	- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 .
PHẦN 2: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
 Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)
	1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
	2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến.
	3. Công thức tính đạo hàm.
	4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số .
	5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số.
	6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D.
	7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x).
II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 Trong thực tế, khi học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị thường gặp phải những khó khăn sau:
	1. Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
	2. Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
	3. Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
	4. Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D.
	5. Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
 	Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
	1.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
	- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được 
bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
	- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
	- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng.
	- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 
	1.2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp.
	- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
	- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. 
	- Phương pháp: phương pháp giải toán.
	1.3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
	- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. 
	- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
	- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
2. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ.
2.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
Ø Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ minh họa 1: 	Xét tính đơn điệu của hàm số
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: 
+) Ta có: 
+) Bảng biến thiên:
+) Hàm số đồng biến trên 
Phân tích: 
	Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán. Chú ý rằng: nếu hàm số đồng biến trên tập thì với mọi ta có . 
	Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy và thì nhưng và 
Lời giải đúng:
	Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng và .
Ø Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ minh họa 2:	Xét tính đơn điệu của hàm số 
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: 
+) Ta có: 
	Cho 
+) Bảng biến thiên
+) Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
Phân tích: 
	Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? . Thực ra ở đây - không phải là điểm tới hạn của hàm số.
	Mặt khác , đạo hàm không xác định tại 
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định: 
+) Ta có: 
	Đạo hàm không xác định tại 
	Cho 
+) Bảng biến thiên
+) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng và nghịch biến trên nửa khoảng 
2.2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
Ø Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản). Chứng minh rằng: , với 
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Xét hàm số , với . 
+) Ta có: , suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . 
+) Từ hay 
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau khi kết luận đồng biến trên khoảng thì vì sao từ ?
Sai lầm ở đây là .
Nhớ rằng: nếu đồng biến trên đoạn (tức là liên tục trên và ) thì 
Lời giải đúng là:
+) Xét hàm số , với . 
+) Ta có: , dấu “=” chỉ sảy ra tại 
suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . 
+) Khi đó thì hay 
Ø Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ minh họa 4: Chứng minh rằng nếu với thì .
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số và là các hàm đồng biến trên . Suy ra hàm số là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên . Vì vậy , từ hay . 
Phân tích: 
 Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!). 
Lời giải đúng là:
+) Xét hàm số trên 
+) Ta có , dấu "=" xảy ra chỉ tại . Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng . 
+) Từ hay . 
2.3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
Ø Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
Ví dụ minh họa 5: Tính đạo hàm của hàm số .
Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có .
Phân tích: 
Lời giải trên đã vận dụng công thức . Vận dụng như vậy là sai, vì 
công thức này chỉ áp dụng cho số mũ là một hằng số. 
Lời giải đúng là:
+) Điều kiện: khi đó 
+) Ta có 
+) Do đó 
Ø Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
	Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức , R, nhưng quên rằng nếu như không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi nhận giá trị dương.
Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ .
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Với thì 
+) Ta có 
+) Hệ số góc của tiếp tuyến là 
+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết và là không đúng (!). 
Lời giải đúng là:
+) Với thì 
+) Ta có 
+) Hệ số góc của tiếp tuyến là 
+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
2.4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
Ø Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ hàm số đồng biến trên khoảng .
 Ÿ hàm số nghịch biến trên khoảng .
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
 đồng biến trên R.
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: D = R.
+) Ta có : . 
+) Hàm số đồng biến trên R hay 
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số đồng biến trên , nhưng , dấu "=" xảy ra chỉ tại . 
	Nhớ rằng: nếu hàm số xác định trên khoảng , và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng . 
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định:D = R
+) Ta có : . 
+) Hàm số đồng biến trên R hay 
Ø Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ là điểm cực tiểu
 Ÿ là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại ?
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Ta có: và 
+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại là: hệ vô nghiệm
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại .
Phân tích: 
Chẳng hạn, với , hàm số có dạng .
Ta có: 
Bảng biến thiên:
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
Nhớ rằng, nếu thỏa mãn là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu là điểm cực đại thì vẫn có thể Lí do là điều kiện chỉ là điều kiện đủ để hàm số nghịch biến trong lân cận , khi đó: là điểm cực đại của hàm số.
Lời giải đúng là:
+) Ta có: 
+) Nếu thì . Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng nên không cực trị.
+) Nếu thì 
	v Với ta có bảng biến thiên:
	v Với ta có bảng biến thiên:
+) Vậy với thì hàm số đạt cực đại tại 
Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của 
 tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại .
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: D =R
+) Ta có: và 
+) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: hệ trên vô nghiệm m.
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại .
Phân tích: 
Chẳng hạn , với , hàm số có dạng 
Ta có 
Bảng biến thiên:
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại .
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định: D = R
+) Ta có: 
+) Cho trong đó là nghiệm bội bậc chẵn
	v Nếu thì trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến thiên:
	v Với thì nên ta có bảng biến thiên:
	v Với thì nên ta có bảng biến thiên:
+) Vậy với thì hàm số đạt cực tiểu tại 
2.5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Ø Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
.
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Đặt .
+) Ta được hàm số: 
 +) Vậy khi hay khi 
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của hàm không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm .
Có thể thấy ngay khi thì không tồn tại giá trị của để (!)
Nhớ rằng, số 
Lời giải đúng là: 
+) Đặt với 
+) Ta có . 
	Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
+) Mặt khác 
+) Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với 
+) Ta có 
+) Bảng biến thiên: 
+) Vậy khi hay khi 
2.6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số , có đồ thị (C). 
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm 
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Ta có: .
+) Vì điểm nên suy ra phương 
trình tiếp tuyến là: 
 hay .
Phân tích: 
Phương trình tiếp tuyến là 
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể 
có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà 
không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
+) Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc là: 
+) Điều kiện để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
+) Giải hệ bằng phương pháp thế ta được : và 
+) Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: và 
Ø Trên đây là một số ví dụ minh họa cho sáng kiến của mình. Còn rất nhiều bài tập nữa mà qua đó học sinh luyện tập để khắc phục những sai lầm đáng tiếc, nhưng trong khuôn khổ của sáng kiến này tôi không chỉ hết ra được. Vì vậy, phần dưới này tôi đưa ra một số dạng bài tập để các em học sinh có thể luyện tập và giáo viên có thể làm tài liệu dạy học
2.7. Bài tập tương tự
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
	a. 	b. 	c. 
Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị: 
Bài tập 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
	a. 	b. 	c. 
Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại :
Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau luôn đồng biến trên :
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
	a. 	trên đoạn 
	b. 	trên đoạn 
Bài tập 7: Cho hàm số , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến 	của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm .
Bài tập 8: Cho hàm số (m là tham số). Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt.
Bài tập 9: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình: 	có 4 nghiệm thực phân biệt.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi khảo sát tình hình giải bài tập toán ở 3 lớp 12C1, 12B2, 12A3 năm học 2018-2019 như sau:
Lớp
Loại bài kiểm tra
Số bài kiểm tra
Số bài đạt
Tỉ lệ
12B2
Thực nghiệm
15phút
38
35
97,2%
45phút
38
33
86,8%
12A3
Thực nghiệm
15phút
36
29
80,5%
45phút
36
27
75%
12C1
Đối chứng
15phút
38
25
65,7%
45phút
38
28
73.7%
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm.
PHẦN 3: KẾT LUẬN 
Polya đã viết "con người phải biết học những sai lầm và những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự.
 Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình ; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài toán ; hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đẹp hơn.
Trong khuôn khổ của bài viết này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Cầm Bá Thước, của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác.
Người viết sáng kiến
Lê Thị Chuyên
 MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
01
 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
02
 III. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 1. Về nhiệm vụ
 2. Về phương pháp
02
02
 IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
02
PHẦN 2: NỘI DUNG
 I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
03
 II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
03
 III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
 1. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
 1.1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
 1.2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp.
 1.3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
03
04
04
 2. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ.
 2.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
 2.2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
 2.3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
 2.4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
 2.5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm 
 số
 2.6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
 2.7. Bài tập tương tự
04
06
08
09
13
14
15
 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
 Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2018-2019 ở 
 ba lớp 12C1, 12A3 và 12B2
17
PHẦN 3: KẾT LUẬN
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giải tích 12 (chương trình chuẩn), nhóm tác giả Trần Văn Hạo, NXB GD.
Giải tích 12 (chương trình nâng cao), nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, NXB GD.
Bài tập giải tích 12 (chương trình chuẩn), nhóm tác giả Vũ Tuấn, NXB GD.
Bài tập giải tích 12 (chương trình nâng cao), nhóm tác giả Nguyễn Huy Doan, NXB GD.
Sai lầm phổ biến khi giải toán, Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang, NXB GD, 2008