Khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán chủ đề giới hạn cho học sinh trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN
---------o0o--------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
KHẮC PHỤC NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Người thực hiện: Trần Thị Hà
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
Năm 2018
MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thể xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán.
Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm. 
 Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề sai lầm trong cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học. Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn, G. Polia đã phát biểu: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”, còn A. A. Stôliar thì nhấn mạnh rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” . Như vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh trong giải Toán là cần và có thể khắc phục được.
	Vì những lý do trên đây, tôi chọn đề tài là: “ Khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán chủ đề Giới hạn cho học sinh trung học phổ thông ”
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
Nghiên cứu một số khó khăn, sai lầm thường gặp ở học sinh THPT trong giải toán chủ đề Giới hạn và đề xuất một số biện pháp khắc phục góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học chủ đề Giới hạn , đặc biệt đối với những học sinh yếu kém.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ chọn nghiên cứu những khó khăn, sai lầm thường gặp ở học sinh THPT trong giải toán chủ đề Giới hạn và biện pháp khắc phục.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài.
1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều tra theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ, phỏng vấn và các biện pháp khác.
1.4.3 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình giảng dạy.
NỘI DUNG
 2.1. Cơ sở lý luận
Giải tích là nội dung mới và khó đối với lớp học sinh lớp 11. Trước đó học sinh đã học nhiều năm về Đại số; nhưng Giới hạn, Hàm số liên tục, Đạo hàm thì các em mới được làm quen từ đầu.
Tư duy các vấn đề thuộc về Giải tích và kỹ thuật giải quyết các bài toán Giải tích có phần khác với Đại số. Học sinh chuyển từ sự làm việc trên những đối tượng hữu hạn sang những đối tượng vô hạn, đòi hỏi trí tưởng tượng và tư duy trừu tượng phải phong phú và ở mức độ cao hơn.
Sự thay đổi chương trình và sách giáo khoa môn Toán trong thời gian qua đã tạo ra sự thiếu ổn định và gây nên những khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy trên lớp. Mặc dù đã có những đợt bồi dưỡng thường xuyên theo chu kỳ, những đợt tập huấn về chương trình mới, nhưng thực ra vẫn chưa đủ để làm cho giáo viên có những cái nhìn sâu sắc về bản chất vấn đề, hình dung rõ những điểm, lí do và mức độ thay đổi về chương trình và nội dung sách giáo khoa. Bản lĩnh, trình độ và tư duy phê phán của giáo viên nhiều lúc chưa thể giúp họ tự mình vượt qua, tìm lời giải đáp thoả đáng đối với những chỗ còn phân vân, cấn cái. 
Nhiều kiến thức đã thay đổi cách trình bày, nhưng khi giảng dạy, giáo viên vẫn chưa kịp cập nhật theo chương trình mới, vẫn có tình trạng cũ, mới xen kẽ.
Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng hoạt động hoá người học cần được tiến hành triển khai trong quá trình dạy về Giới hạn và Đạo hàm ở lớp 11 nhằm nâng cao khả năng lĩnh hội kiến thức một cách vững vàng, chủ động cho học sinh.
Thực trạng của vấn đề
Khi học chủ đề Giới hạn học sinh sẽ làm quen với đối tượng mới, kiểu tư duy mang tính biện chứng hơn. Do đó học sinh gặp phải rất nhiều khó khăn sai lầm không thể tránh khỏi. Bởi vì, sai lầm có tác dụng tích cực, sai lầm cũng có ích trong việc xây dựng tri thức, đặc biệt khi tạo nên sự xem xét lại các tri thức đã biết trước đây. Vì vậy trong quá trình dạy và học Toán ở trờng THPT, việc tìm hiểu những khó khăn, sai lầm và chướng ngại mà học sinh phải vượt qua để chiếm lĩnh một tri thức toán học được đưa ra giảng dạy là bước đầu không thể bỏ qua trong quá trình tìm kiếm những phương pháp dạy học hiệu quả nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức đó. Hơn nữa, việc phát triển và biết khai thác các tình huống sai lầm làm học sinh hay mắc phải trong học tập cũng chính là quá trình phát huy TTCNT của học sinh.
 + Ở mức độ tri thức khoa học, giáo viên cần hiểu được lý do phát sinh và bản chất của tri thức cần dạy, mặt khác là những trở ngại mà các nhà khoa học đã gặp phải trong quá trình xây dựng và phát triển tri thức này. Đây là cơ sở cho việc xác định nguồn gốc khoa học luận của những khó khăn mà học sinh phải vượt qua để nắm vững tri thức đó.
 + ở mức độ tri thức cần dạy, thông qua việc phân tích chương trình và SGK sẽ làm sáng tỏ những đặc trưng của việc dạy một tri thức trong quá trình chuyển hóa sư phạm. Nghiên cứu này sẽ giúp giáo viên xác định nguồn gốc sư phạm của những khó khăn mà học sinh thường gặp.
 Từ việc phát hiện những khó khăn và chướng ngại của từng tri thức Toán học, giáo viên có thể dự đoán được những sai lầm thường gặp ở học sinh khi lĩnh hội tri thức này.
 + Ta nói rằng có một chướng ngại nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi ta đã cấu trúc lại những quan niệm hay thay đổi quan điểm lý thuyết.
 + Ta nói rằng có một khó khăn nếu vấn đề được giải quyết mà không cần phải xem xét lại những quan điểm của lý thuyết đang xét hay thay đổi quan niệm hiện hành.
 Như ta đã biết, sai lầm không phải là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia nhưng lại là sai lầm hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, chúng sẽ được tạo nên từ những chướng ngại.
 Những sai lầm sinh ra từ một chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và có thể tái xuất hiện ngay cả sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì vậy giúp học sinh tìm ra các sai lầm, phân tích nguyên nhân dẫn đến các sai lầm và tìm cách khắc phục những khó khăn sai lầm đó trong quá trình lĩnh hội khái niệm là việc làm mang nhiều ý nghĩa quan trọng trong quá trình dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức của học sinh góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
 Thực tiễn cho thấy trong quá trình học tập học sinh thường gặp phải các khó khăn sai lầm:
2.3.1. Khó khăn sai lầm về kiến thức, bao gồm:
 a) Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm bản chất của khái niệm, định lý 
 Nếu xét Giải tích ở trờng THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng rất khó hình thành cho học sinh vì học sinh chưa nhận thức hết tầm quan trọng cũng như các khía cạnh tinh vi trong lập luận xung quanh vấn đề này, nếu như muốn nắm vững được bản chất đích thực vấn đề này. Còn bấy lâu nay khi tìm Giới hạn hay xét tính liên tục, học sinh vẫn đang còn nặng về thuật toán, nói cách khác là thiên về cú pháp mà còn coi nhẹ ngữ nghĩa, chẳng hạn ngay sau khi học xong khái niệm giới hạn hàm số (mà chưa học đến các định lý về giới hạn và hàm số f(x) liên tục) thì học sinh cho rằng việc tìm giới hạn của f(x) khi xa rất đơn giản: chỉ việc thay x = a và tính f(a). Khi đó f(x) =f(a) điều này phản ánh rằng học sinh chưa hiểu bản chất kí hiệu: lim. 
 VÝ dô1: Tính với cách nghĩ như vậy nên việc tìm giới hạn chỉ là thay x = 9 vào để cho kết quả, suy nghĩ kiểu như vậy dẫn đến cho rằng không tồn tại. 
 Để cho học sinh xem xét đồng thời những đối tượng thõa mãn các định nghĩa khái niệm và định lí (qua các ví dụ) và các đối tượng không thõa mãn một trong các khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ ) qua đó làm sáng tỏ cho học sinh hiểu và nắm vững bản chất của một khái niệm hay định lí, chẳng hạn:
 Ví dụ2: Tính 
(?): Học sinh cho rằng: = f(9) = = 0
 vậy = 0
(!): Thực ra thì hàm số f(x) = không có giới hạn tại x = 9
vì tập xác của hàm số f(x): , tức tập xác định là K =.
 Do đó không thể áp dụng định nghĩa f(x) được không thể lấy bất kỳ dãy nào cả để thõa mãn điều kiện của định nghĩa đó là: xn K, xn 9 mà 
 9, nên hàm số đã cho không có giới hạn tại x = 9.
	b) Khó khăn sai lầm về hình thức (như hiểu sai công thức, kí hiệu...)
 Với SGK ở phổ thông của nước ta là chỉ sử dụng có kí hiệu là để viết Giới hạn vô cực của dãy số. Nên tùy vào từng trường hợp mà kí hiệu này, có thể được hiểu theo các cách khác nhau như + hoặc - hay hỗn hợp cả hai + và - , chẳng hạn xét:
 Ví dụ 3: - Với lim n2 = , kí hiệu được hiểu là +.
 - Với lim (-n) = , kí hiệu này được hiểu là -.
 - Với lim (-1)nn = , kí hiệu ở đây được hiểu là cả - và +.
 Vì vậy, nên khi xét giới hạn vô cực của dãy số phải xét cụ thể chỉ rõ ràng, giới hạn + hay giới hạn - tức là un = + hoặc
un = - . Do R là một tập hợp sắp thứ tự nên không thể kết luận chung chung giới hạn là hay viếtun= . Cụ thể, xét giới hạn vô cực của dãy un = (-1)n theo như phân tích này thì: (-1)nn không tồn tại.
 Bản chất của + và - không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra nói đến lân cận của + tức là khoảng ( a, +) và lân cận của - là khoảng (-; a) với R, do đó không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số trên chúng.
 Chẳng hạn: nếu = L và = + 
Nhưng không thể viết: .
 Nhưng kết quả giới hạn ( nếu có) của dãy số un có thể là: Giới hạn hữu hạn ( 0, hằng số L0 ) hoặc Giới hạn vô cực (), nên ta có thể xem kí hiệu + và - như là giới hạn của dãy số. Như  vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, giữa hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô hạn vô cực'', trong việc biến đổi các phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm trong kí hiệu như: 
 ( +) - ( + ) = 0 ?; 0. = 0 ?... 
Ví dụ 4: Tính 
Học sinh A: = ;
Học sinh B: = ;
Học sinh C:
= .
c) Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
 Học sinh hay sai lầm khi nghiễm nhiên áp dụng một công thức, một khái niệm cho trường hợp suy biến. Trong lịch sử điển hình về sai lầm khi vận dụng phép tương tự: 
 Ví dụ 5: Tính tổng: S = 1- 1 + 1 – 1 +...
 Cách 1: S = (1 - 1) + (1 - 1) +  = 0
 Cách 2: S = 1 – (-1 + 1) – (1 - 1) +  = 1
 Cách 3: S = - 1 + 1 – 1 + 1 - 1... = -1 + (1 -1) + (1 -1) +... = -1
 Cách 4: Nhà Toán học Gơviđơ - Gơzanđi người Italia nêu ra cách tính tổng như sau: 
 S = 1 - 1 + 1 – 1 +... S – 1 = -1 + 1 – 1 +... - S = S - 1 S = Bình luận: Với ba cách giải đầu đã áp dụng tính chất kết hợp của tổng hữu hạn các số hạng cho tổng vô hạn của các số hạng. Một tổng hữu hạn các số hạng không phụ thuộc vào thứ tự các số hạng. 
 2.3.2. Khó khăn sai lầm về kĩ năng, bao gồm:
 Hiện nay ở trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sáng tạo, của học sinh còn yếu. Học sinh ở các trường chuyên lớp chọn còn có ý thức tự học tự độc lập suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tòi lời giải cho các bài toán, tự mình giải quyết các nhiệm vụ học tập, còn đại đa số học sinh thì ỷ lại thầy cô, sách giải bài tập, thiếu tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác các định lý dạng bài tập cơ bản, dẫn đến học tập một cách máy móc, rập khuôn, không phát huy kỹ năng sáng tạo và không rèn được kỹ năng kỹ xảo giải bài toán cho nên khi giải toán thường gặp các khó khăn sai lầm.
 a) Khó khăn sai lầm khi vận dụng: định nghĩa, định lý, công thức 
 	 Ví dụ 6: Tính 
 (?): Học sinh cho ngay kết quả: = 
 (!): Nhưng đúng ra kết quả này không tồn tại mà lúc này ta phải phân biệt ra: = - và = +, vậy không tồn tại. ở ví dụ này thì ta thấy:
 + Điểm a = 1 là điểm “giáp ranh’’ cho nên khi x tức là các dãy (xn – 1) mang giá trị âm; còn khi x tức là các dãy ( xn -1) mang giá trị dương.
 + Điểm a 1 các dãy xna, (a 1) thì ta thấy rằng dù cho xa+ hay xa- thì các dãy (xn -1) không đổi dấu.
 Ví dụ 7: Tính 
(?): = = 0+0+... +0 = 0 
(!): Các định lý về phép toán Giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng. Trong lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn đến sai lầm. Lời giải đúng là:
 Ta có: 1+2+.+n = do đó:
 = = = = 
(!): Nhận xét: Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0 (tức là các phép toán giới hạn tổng, hiệu, tích, thương chỉ phát biểu và được sử dụng cho hữu hạn các số hạng ). 
 Vì vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa và phép biến đổi phân tích để tính toán các tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0. 
 Ví dụ 8: Tính 
(?): Không tồn tại Giới hạn vì dãy số đang xét có: u1 = 1, u2 = , u3 = , 
không tăng cũng không giảm.
 (!): Lời giải đưa ra không đúng, vì định lý về dãy đơn điệu bị chặn thì có giới hạn chỉ là nêu lên điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần để dãy số có giới hạn. 
 Mặt khác cũng cần lưu ý rằng: Những số hạng đầu tiên của dãy số không ảnh hưởng tới sự tồn tại giới hạn của dãy số. Chẳng hạn, kể từ số hạng thứ dãy số bắt đầu tiến và bị chặn trên thì dãy số vẫn có giới hạn, còn các số hạng từ (-1) trở về trước không cần quan tâm. Sự quan tâm tới những số hạng đầu tiên của dãy chỉ giúp cho sự phán đoán mà thôi, lời giải đúng như  sau: 
Vì và = 0 nên = 0. 
 Ví dụ 9: Tính 
(?): Học sinh đã áp dụng sai, nhầm lẫn tính chất: 
 Nếuun= L và vn= thì 
Tức: Với un = (-1)n, vn = thì .
(!): Kết quả thì vẫn đúng nhưng nhầm lẫn ở đây là (-1)n không có giới hạn, do un = (-1)n là dãy bị chặn nhưng không có giới hạn.
Vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa hai đại lượng có cùng giới hạn đó là: 
do = = 0 nên = 0.
 Bình luận: Khái niệm giới hạn của hàm số là một khái niệm khó hiểu đối với học sinh (thậm chí đối với cả giáo viên), khi dạy khái niệm giới hạn giáo viên không quan tâm tới giải thích tập xác định của hàm số có vai trò trong tính giới hạn như thế nào?
 Ví dụ 10: Tính 
 Có học sinh lập luận: Ta có và . 
 Vậy theo định lí về giới hạn của tổng hai hàm số thì: 
 = 0. 
 Thực ra những hàm số f(x) = không có giới hạn tại x = 1 bởi lẽ biểu thức chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x = 1 nên tập xác định của f(x) là K=. Do đó không thể định nghĩa được, vì không thể lấy bất kì dãy nào với , mà dần tới 1 được.
Học sinh áp dụng định lí nhưng không hiểu rõ phạm vi áp dụng của định lí.
 Ví dụ 11: Tìm giới hạn
 I =
 (?): Ta có ,...,.
 Nên I = 0 + 0 +...+ 0 = 0
 (!): Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát biểu cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh đã áp dụng cho tổng vô hạn. 
 Lời giải đúng là: Đặt ,
 ta có: 
 2nAn= 
 = 2sin
 Nên ,
chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh. 
Nhiều ví dụ khác xung quanh chủ đề giới hạn, xét tính liên tục, khả vi của hàm số cho bởi nhiều công thức, tập xác định chia thành nhiều khoảng, 
 Ví dụ 12: Tìm giới hạn của hàm số f(x) = 
 Rất nhiều học sinh suy nghĩ rằng do do đó . Thực ra lời giải đúng phải xét giới hạn bên phải, bên trái tại x = a. 
 b) Khó khăn sai lầm về kĩ năng biến đổi 
 Ví dụ 13: Tìm 
(?): Học sinh giải: 
 = x+1 = = 2, 
Kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất = x+1 dấu bằng không thể xảy ra, vì chúng có tập xác định hoàn toàn khác nhau. 
(!): Ta hiểu bản chất là chọn dãy xn 1, xn1 = xn+1
Khi đó = = 2.	
 Ví dụ 14: Tìm 	
 (?): Học sinh biến đổi là:
 = = = 
(!): Thực ra ở đây học sinh thường hay nhầm lẫn khi đưa biểu thức ra khỏi dấu căn dạng , kết quả trên chỉ đúng khi x + nên phải biến đổi, 
Ta có: và 
Khiđó: = = 
 Bình luận: Một sai lầm mà học sinh hay mắc phải là khi đã định hướng phân chia ra hai trường hợp x và x rồi nhưng khi biến đổi chỉ xét có một trong hai trường hợp thường là với x ra đến kết quả, lấy kết quả này thay đổi dấu và kết luận là của trường hợp x , nhưng qua ví dụ này kết quả lại không như vậy. Mặt khác nếu không dùng kí hiệu dạng chung chung mà phân ra hai loại rõ ràng x hoặc x thì chắc chắn học sinh sẽ đỡ gặp những khó khăn sai lầm nh ư trên.
c) Khó khăn sai lầm về định hướng kĩ năng tính toán
 Ví dụ 15: Tính 
(?): 
Thực hiện:==
đến đây gặp dạng vô định và học sinh tính toán tiếp để khử dạng vô định này bằng cách cùng nhân và chia cả tử và mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng phân thức và sẽ rất phức tạp, khó khăn trong tính toán, khi đó dễ gì đi đến kết quả đúng.
(!): Khi tìm giới hạn, một số học sinh không có thói quen định hướng và xác định dạng, trước khi biến đổi tính toán đại số, nếu ngay từ đầu xác định được khi n thì tử số và mẫu số đều có dạng vô định (-) thì ta phải khử dạng vô định này trước, cụ thể: 
 Tính: = =
 Bình luận: Khi tìm giới hạn, một số học sinh không có thói quen xác định đúng dạng thuộc lọai vô định nào trước khi định hướng biến đổi tính toán đại số, do đó xem các dạng: (-) + (-), (+) + (+), (+) - (-), (-) - (+) đều thuộc dạng vô định là () - (), nên hay áp dụng các kỹ thuật tính toán khử dạng vô định này để giải. Đôi khi việc áp dụng cho phép tính được kết quả giới hạn, nhưng đa số các trường hợp khác chỉ dẫn tới các dạng vô định loại khác nữa, chẳng hạn: 
 Ví dụ 16: Tìm (x2 – x) = = = +;
 Ví dụ 17: Tìm nếu cứ thực hiện biến đổi
(dạng)
 Nên đối với những dạng đó nếu hiểu được bản chất và kết hợp với các bảng kết quả phép toán vô cực đã lập thì sẽ có ngay đáp số:
 Ví dụ 18: (x2 – x) = x2 - x = +
 Ví dụ 19: = x = +
Hoặc có thể xét như sau, cụ thể:
 Ví dụ 20: (x2 – x) = 
 Ví dụ 21 = 
d) Sai lầm trong giải tích do quen với tính hữu hạn trong đại số: 
Các đối tượng trong môn đại số gắn liền với quá trình hữu hạn, trong khi đó các vấn đề trong giải tích thường liền với quá trình vô hạn. Vì vậy, tính hữu hạn của đại số có thể khiến học sinh gặp khó khăn trong nhận thức hay sai sót khi xem xét các vấn đề trong giải tích.
 Ví dụ 22: Đối với bài toán: tính lim (Đại số và giải tích 11- sách chỉnh lí hợp nhất 2000) 
	Học sinh có thể giải như sau:
lim= lim+ lim +... + lim= 0.
Do đó, khi dạy định lí phép toán về giới hạn giáo viên cần lưu ý “tính hữu hạn” nêu trong định lí, định lí không áp dụng được cho các biểu thức có số phép toán là vô hạn.
e)Sai lầm do vận dụng máy móc các phép toán trong đại số vào giải tích:
Ví dụ 23: Khi tính lim
Có học sinh giải như sau:
Vì lim= lim + lim (1)
Ngoài ra, ta có: với n và lim=lim= 0 nên
lim = 0 tương tự, ta có lim= 0
Kết luận: lim= 0+0 = 0
Bình luận: phải chứng tỏ lim và lim tồn tại trước rồi ta mới có (1).
Khi dạy các định lí phép toán về giới hạn giáo viên cần lưu ý học sinh “tính tồn tại” nêu trong định lí.
2.4. Kiểm nghiệm
2.4.1 Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng toán tìm giới hạn như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tìm giới hạn để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các