Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán xác suất lớp 11 ở trường Trung học phổ thông Hà Văn Mao

1. MỞ ĐẦU
1. 1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy Toán không ngừng được bổ sung, đổi mới để đáp ứng với sự đòi hỏi của xã hội. Vì vậy, mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra.
Trong đề thi Trung học phổ thông ( THPT) Quốc Gia của các năm bài toán về tổ hợp, xác suất hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán tổ hợp, xác suất là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính và dễ gây nhầm lẫn. Trong thực tế, lý thuyết xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ, kinh tế...Chính vì lẽ đó lí thuyết xác suất đã được đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này để có thể áp dụng vào các bài toán thực tế.
 Việc giảng dạy xác suất có thuận lợi là dễ gây hứng thú cho học sinh vì các bài toán về xác suất nói chung gần gũi, thiết thực với đời sống. Tuy nhiên qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh ngại phải làm bài tập phần này, đặc biệt là học sinh các lớp thuộc ban cơ bản vì khi làm xong một bài nào đó, các em hay có những đáp số khác nhau. Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất, học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng không giám chắc chắn mình đã làm đúng. Để có thể học tốt bài toán về xác suất yêu cầu học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụ thể. Tuy nhiên, đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc. Vì vậy, việc dạy và học xác suất cũng cần có một tư duy mới, cần có thời gian để tổng kết, để hệ thống cả lý thuyết và bài tập.
	Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức và phương pháp cơ bản về xác suất, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán xác suất lớp 11 ở trường Trung học phổ thông Hà Văn Mao”.
1. 2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nêu trên, nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụ thể. Từ đó đạt được kết quả cao hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri trức, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp dạy phần này hiệu quả hơn.
 	Nghiên cứu đề tài để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học nội 
dung này trong việc phụ đạo học sinh yếu kém, bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán.
 	Qua nội dung của đề tài tôi mong muốn sẽ tìm được một phương pháp tối ưu để giải quyết vấn đề và cung cấp cho học sinh một số kĩ năng cơ bản trong việc giải các bài toán xác suất.
1. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Khách thể: Học sinh lớp 11A4, 11A5 Trường THPT Hà Văn Mao. 
- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất, các bài toán xác suất. 
- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình sách giáo khoa cơ bản môn Toán lớp 11.
1. 4. Phương pháp nghiên cứu
- Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản về xác suất. Lựa chọn các ví dụ cụ thể, phân tích tỉ mỉ, phân dạng bài tập và phương pháp giải, từ đó đưa ra các bài tập tương tự.
- Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh, tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyết các bài toán ở những lớp trước.
1. 5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
- Cung cấp cho học sinh hệ thống các kiến thức cơ bản của xác suất, phân loại và cách giải cho từng dạng bài tập cụ thể. 
- Giúp học sinh hạn chế những sai lầm, nhầm lẫn thường gặp khi giải toán xác suất. 
- Rèn luyện kĩ năng giải toán xác suất nhanh, chính xác giúp các em đạt kết quả cao trong nội dung này, đặc biệt với các bài tập trắc nghiệm khách quan.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2. 1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nghị quyết số 29/NQ- TW ngày 4/ 11/ 2013 của Hội nghị Trung ương 8 khóa XI đã đưa ra các quan điểm chỉ đạo coi “ Giáo dục đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của toàn dân”; “ Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Để thực hiện được mục tiêu đó thì mỗi cán bộ, giáo viên phải không ngừng nổ lực tìm các giải pháp phù hợp với đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giáo dục ở đơn vị mình công tác. Bên cạnh việc đầu tư nâng cao chất lượng mũi nhọn thì việc đầu tư củng cố, phụ đạo nâng cao chất lượng học sinh đại trà trong các lớp ban cơ bản là vấn đề cần thiết. 
Chương trình toán Trung học phổ thông đã cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ những kiến thức căn bản về xác suất. Tuy nhiên, đây là phần kiến thức khá mới mẻ đối với học sinh, mặt khác theo chủ chương giảm tải, SGK và SBT chỉ cung cấp một số lượng ít các ví dụ, bài tập về xác suất, chưa được phân dạng cụ thể, thời gian luyện tập theo phân phối chương trình không nhiều trong khi đó các dạng bài tập về xác suất trong các đề thi lại rất phong phú, đa dạng. Do đó, học sinh thường rất lo lắng, lúng túng khi gặp các bài toán về xác suất.. Khi giải toán xác suất đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức và phương pháp cơ bản về xác suất, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết các tình huống cụ thể. “ Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán xác suất lớp 11 ở trường THPT Hà Văn Mao” cung cấp cho học sinh một số kĩ năng cơ bản trong việc giải các bài toán xác suất. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh.
2. 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trong chương trình THPT các bài toán về xác suất là một dạng toán hay và khó thường gặp nhiều trong các kì thi. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này còn chưa hệ thống, phân loại được các dạng cũng như cách giải các bài toán 
trong các tình huống cụ thể. Do đó, gây nhiều khó khăn trong việc học tập của 
học sinh, cũng như trong công tác phụ đạo, bồi dưỡng của giáo viên.
 Học sinh trường THPT Hà Văn Mao là học sinh khu vực miền núi đa số nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức, chất lượng đầu vào của học sinh thấp, điều kiện đi học của học sinh còn vất vả, nhà xa trường, nhiều học sinh phải trọ học thiếu sự quan tâm, giám sát của gia đình, nhiều học sinh phải nghỉ học trong mùa mưa lũ vì đường bị ngập lụt không thể đến trường dẫn đến kết quả học tập chưa tốt . Vì vậy, khi gặp các bài toán về xác suất chưa phân loại và định hình được cách giải, còn lúng túng trong việc lựa chọn phương pháp biến đổi và tính toán. Đa số, học sinh ở các lớp học theo chương trình chuẩn thì học lực của học sinh chỉ đạt ở mức trung bình khá vì thế đứng trước một bài toán tính xác suất của biến cố các em thường gặp những khó khăn:
- Không mô tả đúng hoặc không xác định đúng các phần tử của không gian mẫu.
- Không xác định đúng số các kết quả thuận lợi cho biến cố.
- Không thể áp dụng được các quy tắc tính xác suất vì chưa phân biệt rõ các biến cố trong bài có mối quan hệ với nhau như thế nào. 
	Vì vậy, hướng dẫn học sinh phân loại và giải các bài toán về xác suất của biến cố là rất thiết thực, nhằm tìm ra phương pháp truyền đạt thích hợp và sắp xếp nội dung ôn tập củng cố theo một trình tự hợp lí giúp giáo viên và học sinh giảng dạy và học tập phần này đạt hiệu quả hơn, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán.
2. 3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
- Hệ thống lại kiến thức phần xác suất và kiến thức phần tổ hợp có liên quan.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng cho mỗi dạng.
- Hướng dẫn học sinh cách trình bày lời giải cho từng dạng.
- Ra bài tập tương tự cho từng dạng.
- Hướng dẫn học sinh vận dụng giải một số bài tập trắc nghiệm.
- Thực hiện trong các tiết dạy tự chọn và phụ đạo về chủ đề xác suất của 
biến cố và các tính chất cơ bản của xác suất.
 2. 3.1. Kiến thức cơ bản
 2. 3.1.1. Các quy tắc đếm
 a. Quy tắc cộng: Giả sử đối tượng X có m cách chọn khác nhau, đối tượng Y có n cách chọn khác nhau và không có cách chọn đối tượng X nào trùng với mỗi cách chọn đối tượng Y. Khi đó có cách chọn một trong hai đối tượng ấy.
Chú ý: - Giả sử A và B là các tập hữu hạn, không giao nhau. Khi đó
- Nếu A và B là hai tập hữu hạn bất kì thì 
- Nếu là các tập hữu hạn tùy ý, đôi một không giao nhau thì 
 b. Quy tắc nhân: Giả sử có hai hành động được thực hiện liên tiếp. Hành động thứ nhất có m kết quả, ứng với mỗi kết quả của hành động thứ nhất, hành động thứ hai có n kết quả. Khi đó có kết quả của hai hành động liên tiếp đó.
Chú ý: Quy tắc trên có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp. 
 2. 3.1.2. Các công thức tính số các hoán vị , số các chỉnh hợp, số các tổ hợp
 ; 
 ; Đặc biệt : 
 2. 3.1.3. Các kiến thức cơ bản của xác suất
 a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
- Phép thử là 1 thí nghiệm , 1 phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó.
- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
- Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử và kí hiệu là Ω.
 b. Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu
- Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra 
của A tùy thuộc vào kết quả của T.
- Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
- Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
 + Tập được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không), nó là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được thực hiện.
 + Tập được gọi là biến cố chắc chắn, nó là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T.
Phép toán trên các biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến một phép thử và các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
- Biến cố đối: Tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A và A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
- Biến cố hợp: Cho hai biến cố và . Biến cố “ hoặc xảy ra” kí hiệu là được gọi là hợp của các biến cố A và B.
Tổng quát: Cho k biến cố . Biến cố “ Có ít nhất 1 trong các biến cố xảy ra”, kí hiệu được gọi là hợp của k biến cố đó.
- Biến cố giao: Cho hai biến cố và . Biến cố “cả và cùng xảy ra” kí hiệu là hay được gọi là giao của hai biến cố và . 
Tổng quát: Cho k biến cố . Biến cố “ Tất cả k biến cố đều xảy ra” , kí hiệu là hay được gọi là giao của k biến cố đó.
- Biến cố độc lập: Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
Tổng quát: Cho k biến cố . Khi đó k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh 
hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại.
- Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố và . Hai biến cố và được gọi là 
xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
 d. Định nghĩa cổ điển của xác suất:
	Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu 
chỉ có một số hữu hạn kết quả xảy ra và đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố A, kí hiệu là . Vậy: 
	Trong đó: n(A) là số phần tử của A ( hay là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A); n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
 e. Tính chất của xác suất
* Tính chất cơ bản:
 , với mọi biến cố A
 , với là biến cố đối của biến cố A
* Quy tắc cộng xác suất: Nếu và là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử thì xác suất để hoặc xảy ra là: 
Chú ý: Cho k biến cố đôi một xung khắc. Khi đó 
- Nếu thì 
- Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử, ta có:
* Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố và độc lập với nhau khi và chỉ khi 
Chú ý: Nếu k biến cố đôi một độc lập với nhau thì 
 2. 3.2. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
 2. 3.2.1. Dạng 1: Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển
	Theo định nghĩa cổ điển của xác suất thì nếu một phép thử có một số hữu 
hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện thì xác suất của một biến cố A liên quan đến phép thử là tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho A và số kết quả có thể của phép thử đó. Như vậy, việc giải một bài toán tính xác suất của một biến cố A theo định nghĩa cổ điển sẽ được quy về một bài toán tổ hợp: Đếm số kết quả có thể của phép thử và đếm số kết quả thuận lợi cho A. Cụ thể để tính xác suất của 
biến cố A theo định nghĩa có 3 bước sau:
- Bước 1: Xác định không gian mẫu rồi tính số phần tử nó là n(W)
- Bước 2: Xác định biến cố A rồi tính số phần tử của biến cố A là n(A)
- Bước 3: Tính xác suất của biến cố A: 
Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối, đồng chất hai lần và quan sát mặt xuất hiện của đồng tiền. Gọi A là biến cố : " Kết quả của hai lần gieo là như nhau" và B là biến cố: " Mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần". 
Mô tả không gian mẫu.
Viết các biến cố A, B dưới dạng tập con của không gian mẫu.
Tính xác suất của các biến cố A, B.
Phân tích: Đây là một ví dụ dễ, mục đích để học sinh mô tả không gian mẫu, chỉ ra các kết quả thuận lợi của các biến cố bằng cách liệt kê các phần tử và tính xác suất theo các bước nêu trên.
Giải: a. Không gian mẫu
b. Ta có: A={SS, NN} ; B={SN, NS, NN}
c. n(A)=2
 n(B)=3
Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 20.
Mô tả không gian mẫu
Gọi A là biến cố “ Số được chọn là số nguyên tố”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính xác suất của biến cố A.
Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn 4.
Phân tích: Đây là ví dụ đơn giản chủ yếu để học sinh mô tả không gian mẫu và
chỉ ra các kết quả thuận lợi cho biến cố bằng cách liệt kê các phần tử và áp dụng công thức theo các bước trên.
Giải: a. Không gian mẫu gồm tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn 20. Bằng cách liệt kê, ta có không gian mẫu là tập hợp: 
 Số phần tử của không gian mẫu: ( phần tử)
b. Ta có các số nguyên tố từ 1 đến 20 là: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Suy ra: n(A) = 9. Xác suất của A là: 
c. Gọi B là biến cố: “ Số được chọn nhỏ hơn 4”. 
Các kết quả thuận lợi cho B gồm: 1, 2, 3. Suy ra: n(B) = 3
Ví dụ 3: Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối, đồng chất hai lần và quan sát 
mặt có số chấm xuất hiện. Tính xác suất của các biến cố sau:
A: “ Số chấm ở hai lần gieo bằng nhau”
B: “ Tổng số chấm bằng 6”
Phân tích: Thực tế đây cũng là một ví dụ đơn giản. Tuy nhiên, ví dụ này được 
đưa ra nhằm mục đích để học sinh xác định rõ phép thử và trình bày không gian mẫu dưới hình thức chỉ ra tính chất đặc trưng của một tập hợp.
Giải: Xét phép thử T: ‘‘Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần’’. Ta có:
Nhìn vào bảng mô tả ta thấy tập các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Ví dụ 4: Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:
Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau.
Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Phân tích: Đây tuy là một bài toán xác suất nhưng thực chất nó lại liên quan đến bài toán đếm quen thuộc trong tổ hợp như sau:
 (1) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang
( Đáp số: 6!= 720 cách)
 (2) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang biết rằng nam nữ ngồi cạnh nhau ( Đáp số: 3!.3!+3!.3!=72 cách)
 (3) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang biết rằng 3 bạn nam ngồi cạnh nhau (Đáp số: 4.3!.3!= 144 cách)
Do đó, bài toán trên được giải như sau:
Giải: Gọi A : “ Xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ ngồi xen kẻ nhau”
 Gọi B : “ Xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”.
Khi đó: 
Suy ra: 
Ví dụ 5: Một hộp đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu đó có cả quả màu đỏ và màu xanh.
Phân tích: Ví dụ này đưa ra cũng nhằm mục đích để học sinh xác định số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố đang xét rồi tính xác suất. Nhưng trong trường hợp này, các kết quả đó lớn nên việc trình bày không giống như các ví dụ trên nữa mà ở đây để đưa ra được các kết quả đó ta cần sử dụng bài toán đếm trong tổ hợp.
Giải: Xét phép thử T: “ Chọn 4 quả cầu trong một hộp có 10 quả cầu”
Ta có: 
Gọi biến cố A: “ Bốn quả cầu được chọn có cả quả màu đỏ và màu xanh”.
Khi đó, ta có các trường hợp sau:
TH1: Chọn được 1 quả màu đỏ và 3 quả màu xanh có ( cách)
TH2: Chọn được 2 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh có ( cách)
TH3: Chọn được 3 quả màu đỏ và 1 quả màu xanh có ( cách)
Từ đó suy ra : ( cách). Vậy 
Chú ý: Ta có thể trình bày lời giải ví dụ này bằng cách gọn hơn như sau:
Số cách chọn toàn quả màu đỏ là 1 cách
Số cách chọn toàn quả màu xanh là cách
Suy ra, số cách chọn 4 quả cầu có cả quả màu đỏ và màu xanh là:
210-(1+15)=194. Vậy 
Ví dụ 6: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc cả sáu lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.
Mô tả không gian mẫu.
Tính xác suất của các biến cố: A: “ Số lần gieo không vượt quá ba”;
B: “ Số lần gieo là sáu”.
Phân tích: Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần gieo. Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh bằng các câu hỏi như sau:
(1) Nếu không có giả thiết : “ Cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải 
gieo đồng tiền bao nhiêu lần?
( 2) Nếu kết hợp với giả thiết “ Cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta 
phải reo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?
 Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể
vì nếu reo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên. Với câu hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học sinh có thể xác định được không gian mẫu.
Giải: a. Không gian mẫu 
b. và . Suy ra: 
* Nhận xét: Như vậy, phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài toán sử dụng công thức và kĩ năng của toán tổ hợp. Đối với các bài toán như vậy thì học sinh chỉ cần phải nắm vững công thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất. Bên cạnh đó, có những bài toán chỉ cần dùng phương pháp liệt kê.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để số 
chấm xuất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2.
Bài 2: Có 10 người gồm 6 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác suất để có 4 nam và 2 nữ được chọn.
Bài 3: Một bình đựng 6 viên bi chỉ khác nhau về màu, 2 xanh, 2 vàng và 2 đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để được:
2 viên bi xanh. b. 2 viên bi khác màu.
2. 3.2.2. Dạng 2: Tính xác suất bằng cách sử dụng quy tắc cộng xác suất và 
quy tắc nhân xác suất
Phương pháp: Sử dụng một số kiến thức
Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì 
Nếu là các biến có đôi một xung khắc thì 
 3. Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì 
 4. Nếu là các biến cố đôi một độc lập với nhau thì 
Ví dụ 1: Một hộp đựng 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu cùng màu.
Phân tích: Đối với ví dụ này các em hoàn toàn có thể tính trực tiếp xác suất của biến cố bằng cách chia thành các trường hợp xảy ra rồi sử dụng quy tắc cộng trong tổ hợp, cụ thể như sau: 
Giải: Xét phép thử T: “ Chọn 2 quả cầu trong một hộp đựng 9 quả cầu”. 
Ta có: 
Gọi A: “ Hai quả cầu được chọn cùng màu”
 : “ Hai quả cầu được c