Chuyên đề Ôn thi Đại học, Cao đẳng

 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
 TRƢỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
 2012 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC 
GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
 Trần Ngọc Thắng – Tổ Toán – Tin học.
Phần I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng.
 1.1 Vector chỉ phƣơng của đƣờng thẳng: vector u khác 0 , có giá song song hoặc trùng với 
đƣờng thẳng  đƣợc gọi là vector chỉ phƣơng của  .
 1.2 Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng: nếu đƣờng thẳng  đi qua điểm M0  x0; y0  và
 x  x0  at
có vector chỉ phƣơng thì  có phƣơng trình tham số:  
 u  a;b y  y  bt
 0
2. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
2.1. Vector pháp tuyến của đƣờng thẳng: vector n khác 0 , có giá vuông góc với đƣờng thẳng 
đƣợc gọi là vector pháp tuyến của  .
2.2. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng: nếu đƣờng thẳng  đi qua điểm M0  x0; y0  và có
vector pháp tuyến n  a;b thì  có phƣơng trình:
 a  x  x0   b y  y0 
2.3. Nhận xét. Nếu đƣờng thẳng  có vector pháp tuyến n  a;b thì nó có một vector chỉ
phƣơng là u  b; a và ngƣợc lại nếu đƣờng thẳng  có vector chỉ phƣơng u  a;b thì nó có
một vector pháp tuyến là n  b; a
3. Góc giữa hai đƣờng thẳng
3.1. Góc giữa hai đƣờng thẳng: nếu hai đƣờng thẳng song song hoặc trùng nhau ta quy ƣớc góc 
bằng 00 , nếu hai đƣờng thẳng cắt nhau thì góc giữa hai đƣờng thẳng là góc nhỏ nhất trong bốn 
góc tạo thành.
 Từ đó suy ra góc giữa hai đƣờng thẳng có giá trị từ 00 đến 900 .
3.2. Công thức xác định góc: cho hai đƣờng thẳng , ' lần lƣợt có vector pháp tuyến là n, n '
và gọi  là góc tạo bởi hai đƣờng thẳng này. Khi đó:
 n.n '
 cos 
 n. n '.
4. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng
 2 EB AB AB 
(2)   EB  .EC
 EC AC AC
(3) Với mỗi điểm M nằm trên đƣờng thẳng AB (hoặc AC), khi đó điểm đối xứng của M qua 
phân giác trong hoặc ngoài sẽ nằm trên đƣờng thẳng AC (hoặc AB).
Nhận xét. Tính chất (1), (2) thƣờng dùng để xác định chân đƣờng phân giác trong, ngoài và 
phƣơng trình đƣờng phân giác trong và ngoài. Còn tính chất (3) thƣờng sử dụng trong các bài 
toán đã biết phƣơng trình đƣờng phân giác trong hoặc ngoài.
 Trong bài viết này chúng tôi chỉ đề cập đến các dạng bài tập đã biết phƣơng trình của 
phân giác.
1.2. Đƣờng trung tuyến
 Cho tam giác ABC và đƣờng trung tuyến AM. Khi đó nếu bài toán cho biết phƣơng trình 
đƣờng trung tuyến thì ta thƣờng dùng tính chất M là trung điểm BC và theo công thức trung điểm 
ta có:
 xB  xC y  y
 x ; y  B C
 M 2 M 2
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A1;3 , đƣờng cao BH nằm trên đƣờng thẳng có phƣờng trình
 y  x , phân giác trong góc C nằm trên đƣờng thẳng x  3y  2  0 . Viết phƣơng trình đƣờng
thẳng BC.
Lời giải. Do AC vuông góc với đƣờng thẳng BH nên AC có vtpt nAC  uBH  1;1 suy ra pt
 AC :1. x 1 1. y  3  0  x  y  2  0 .
Tọa độ giao điểm C thỏa mãn hpt:
 x  y  2  0  x  4
 x  3y  2  0  y  2  C 4; 2
  
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua phân giác trong của góc C và K là giao điểm của AA’ với 
phân giác trong đó. Khi đó K là trung điểm AA’ và A’ nằm trên đƣờng thẳng BC.
Do AA’ vuông góc phân giác trong góc C nên nAA'  3; 1 suy ra:
 AA' : 3 x 1 1. y  3  0  3x  y  6  0
Tọa độ K là nghiệm của hệ pt:
 x  3y  2  0 x  2 x  2x  x  3 
   K 2; 0  A ' K A  A'3; 3
   
 3x  y  6  0  y  0  yA '  2 yK  yA  3
Đƣờng thẳng BC có vtcp CA'  7; 1 suy ra vtpt 1; 7
 4 x  y  5  0  x  0 
 x  y  5  0  y  5 K 0;5
  
Do K là trung điểm của CC’ nên ta có:
  4 
  xC '  2xK  xC  C '4;9
 y 2 y  y  9
  C 'KC
Do A nằm trên đƣờng thẳng AD nên At;5  t   AC.AC '  0  t2 16  0  t  4 . Do A có
hoành độ dƣơng nên ta đƣợc A4;1.
Đƣờng AB có vtpt CA  8;0  81;0  AB : x  4  0  B 4; m
Theo giả thiết
 2 m  4
 m 1 .8  24  m 1  3  
 S  ABC   24  AB.AC  48    
 m  2
+) Nếu m  4  B 4; 4 thỏa mãn B, C nằm về hai phía của AD.
+) Nếu m  4  B 4; 2 không thỏa mãn vì B, C nằm về cùng một phía AD.
Nhận xét. Bài này có thể giải dựa theo góc AD và AC bằng 450 nên ta lập đƣợc đƣờng thẳng AC
suy ra điểm A và giải tƣơng tự nhƣ cách trên.
Bài tập tƣơng tự
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M 1; 2 , N 2; 4 lần lƣợt
là chân đƣờng phân giác trong và ngoài của góc A. Phƣơng trình đƣờng thẳng AC : x  y  4  0 .
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A2; 1, phƣơng trình
đƣờng phân giác trong của các góc B, C lần lƣợt là x  2y 1  0; x  y  3  0 . Viết phƣơng trình
đƣờng thẳng BC.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, lập phƣơng trình đƣờng phân giác của góc nhọn 
tạo bởi hai đƣờng thẳng d : x  y  4  0 và d ' : x  7 y 12  0 .
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, lập phƣơng trình đƣờng phân giác của góc tù tạo 
bởi hai đƣờng thẳng d : x  2y  5  0 và d ' : 2x  y  2  0 .
Bài 5. (Dự bị KA-2008) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đƣờng 
cao kẻ từ đỉnh B và đƣờng phân giác trong của góc A lần lƣợt có phƣơng trình là 3x  4y 10  0
và x  y 1  0 ; điểm M 0; 2 thuộc cạnh AB đồng thời cách điểm C một khoảng bằng. 2
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
 6 Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A2;5 , B 5;1 . Lập phƣơng trình
đƣờng thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B đến đƣờng thẳng đó bằng 3.
 2 2
Lời giải. Gọi đƣờng thẳng cần lập là  và có vtpt n  a;b;a  b  0 . Khi đó
  : a x  2  b y  5  0 . Theo giả thiết ta có:
 b  0
 d B;   3 3a  4b  3  7b2  24ab  0  
   
 a2  b2 7b  24a
+) Nếu b  0 chọn a 1 : x  2  0 .
+) Nếu 7b  24a chọn
 b  24; a  7   : 7x  2  24 y  5  0   : 7x  24 y 134  0 .
Kết luận. Vậy  có phƣơng trình nhƣ hai trƣờng hợp trên.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (O푥y), cho hình chữ nhật ABCD có tâm 
là điểm ( ; ). Giả sử đƣờng thẳng AB đi qua điểm M(2; 2), đƣờng thẳng BC đi qua điểm
 2 2
 (4; 2). Hãy viết phƣơng trình đƣờng thẳng CD, biết rằng diện tích của hình chữ nhật ABCD
bằng 12.
Lời giải. Gọi , lần lƣợt là điểm đối xứng của M, qua suy ra (5; −1), (3; −1). Gọi vector 
 2 2
pháp tuyến của đƣờng thẳng CD là n⃗→CD = (a; b), a + b G 0. Khi đó ta đƣợc n⃗→BC = (b; 
−a) nên CD và BC có phƣơng trình:
 CD: a(푥 − 5) + b(y + 1) = 0; BC: b(푥 − 4) − a(y − 2) = 0.
Do ABCD là hình chữ nhật ta có: (M; CD) ( ; BC) = 12 - | 3a+3b| | b+3a| = 12
 √a2+b2 √a2+b2
 2 2 2 2
  2 2 3a − 4ab + b = 4a + 4b
 |a − b||3a − b| = 4(a + b ) - [ - * a = −b
 3a2 − 4ab + b2 = −4a2 − 4b2 a = −3b
+) Nếu a = −b thì ta chọn a = 1, b = −1 ta có CD: 푥 − y − = 0
+) Nếu a = −3b thì chọn a = 3; b = −1 ta có CD: 3푥 − y − 1 = 0
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (O푥y), cho hình bình hành ABCD có 
tâm là điểm (2; 0). Giả sử đƣờng thẳng AB đi qua điểm M(−1; −2), trung điểm của cạnh CD là 
điểm (2; −1). Hãy viết phƣơng trình đƣờng thẳng AC, biết rằng diện tích của hình bình hành 
ABCD bằng 8.
Lời giải. Gọi là điểm đối xứng với M qua tâm suy ra (5; 2). Từ đó phƣơng trình đƣờng 
thẳng CD: 푥 − y − 3 = 0
Gọi C(t + 3; t) kết hợp với là trung điểm của cạnh CD ta đƣợc: D(1 − t; −2 − t) suy ra
CD = |2t + 2|√2.
 8 Gọi (T) là đƣờng tròn tiếp xúc với d1  tại A và cắt d2  tại hai điểm B và C sao cho tam giác
 3
ABC vuông tại B. Viết phƣơng trình (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có
 2
hoành độ dƣơng.
3. Các bài toán liên quan đến trục đẳng phƣơng của hai đƣờng tròn
Cho hai đƣờng tròn C1 ,C2  không đồng tâm lần lƣợt có phƣơng trình:
 C  : x2  y2  2a x  2b y  c  0;C  : x2  y2  2a x  2b y  c  0
 1 1 1 1 2 2 2 2
Giả sử hai đƣờng tròn C1 ,C2 cắt nhau tại hai điểm phân biết A, B. Khi đó phƣơng trình 
đƣờng thẳng AB:
 2a1  a2  x  2b1  b2  y  c1  c2  0
Chứng minh.
Do A là điểm chung của C1 ,C2  nên ta có:
 x2  y2  2a x  2b y  c  0; x2  y2  2a x  2b y  c  0
 A A 1 A 1 A 1 A A 2 A 2 A 2
Từ hai phƣơng trình này suy ra: 2a1  a2  xA  2b1  b2  yA  c1  c2  0
Nên A thuộc đƣờng thẳng 2a1  a2  x  2b1  b2  y  c1  c2  0 . 
Chứng minh tƣơng tự ta đƣợc B cũng thuộc đƣờng thẳng:
 2a1  a2  x  2b1  b2  y  c1  c2  0
Từ đó suy ra phƣơng trình đƣờng thẳng AB là: 2a1  a2  x  2b1  b2  y  c1  c2  0
Ví dụ 1. (Khối B-2006) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho đƣờng
 2 2
tròn (C): x  y  2x  6y  6  0 và điểm M 3;1 . Gọi T1,T2 là các tiếp điểm của các tiếp
tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phƣơng trình đƣờng thẳng T1T2 .
Lời giải. Đƣờng tròn (C) có tâm I 1;3, R  2 . Ta có T1,T2 nằm trên đƣờng tròn đƣờng kính IM.
 J 1; 2 , JM  5
Gọi J là trung điểm IM nên   suy ra phƣơng trình đƣờng tròn đƣờng kính IM
là:  x 12   y  22  5  x2  y2  2x  4y  0
Do đó theo kết quả đã trình bày ở trên thì: T 1T2 : 4x  2y  6  0  2x  y  3  0
Ví dụ 2. (Dự bị KD-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đƣờng tròn
 C  :  x  42  y2  4 và điểm E 4;1 . Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ đƣợc
 10