SKKN Xây dựng và sử dụng một số dạng phương tiện dạy học trực quan với mục đích vạch ra sai lầm và sửa chữa thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần hàm số mũ, hàm số logarít

MỤC LỤC
Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài 
	Thực hiện chủ trương của Đảng, của Bộ giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu phát triển mới của xã hội, quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng đã có nhiều sự thay đổi. Nghị quyết TW “đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho học sinh, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến hiện đại vào quá trình dạy học”.
Một trong những hướng quan trọng của sự phát triển phương pháp hiện đại trong dạy học toán là xây dựng các phương tiện dạy học và chỉ dẫn phương pháp sử dụng chúng trong các giờ toán, nhằm hình thành ở học sinh các hình ảnh cảm tính của đối tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh các tình huống có vấn đề, tạo nên sự hứng thú trong các giờ học toán.
Trong thời gian gần đây dưới ảnh hướng của sự tiến bộ khoa học kỹ thuật và sự phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phương tiện dạy học đã xuất hiện ở trường phổ thông. Nó không chỉ là nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà còn là phương tiện tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức của học sinh, là phương tiện tổ chức khoa học lao động sư phạm của giáo viên và học sinh.
Thực tế dạy học ở nhà trường Trung học phổ thông nước ta cho thấy học sinh thường gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm số logarít, nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức, học thuộc khái niệm, nhưng không giải thích được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn tới việc vận dụng một cách máy móc, hoặc không biết hướng vận dụng. Do vậy việc sử dụng các phương tiện trực quan vào quá trình dạy học là việc làm cần thiết và phù hợp với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường phổ thông.
Từ nhận thức ấy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình với tiêu đề: Xây dựng và sử dụng một số dạng phương tiện dạy học trực quan với mục đích vạch ra sai lầm và sửa chữa thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần hàm số mũ, hàm số logarít.
II. Mục đích nghiên cứu
	Sáng kiến xác định một số dạng phương tiện dạy học trực quan cần thiết và chỉ dẫn phương pháp sử dụng chúng trong dạy học khái niệm - Định lý - Giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Hệ thống hóa cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học hàm số mũ và hàm số logarít, trong mối liên hệ với vai trò và chức năng của phương tiện trực quan trong dạy học toán.
2. Hình thành các yêu cầu sư phạm của các dạng phương tiện trực quan trong dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít và thể hiện cụ thể qua một số dạng phương tiện trực quan tương ứng với các hoạt động chủ yếu trong dạy học toán.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận 
Nghiên cứu các tài liệu, phương pháp dạy học toán và sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến đề tài nghiên cứu.
 2. Quan sát 
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh về hàm số mũ, hàm số logarít có sử dụng các phương tiện dạy học trực quan.
Phân tích những khó khăn và sai lầm của học sinh khi học phần hàm số mũ, hàm số logarít theo sách giáo khoa 
V. Đóng góp của Sáng kiến
1. Về mặt lý luận 
Xác định các cơ sở khoa học để xây dựng và sử dụng phương tiện trực quan trong quá trình dạy học.
Xác định được các biện pháp áp dụng phương tiện trực quan nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít.
2. Về mặt thực tiễn
Thể hiện được các yêu cầu sư phạm đã chỉ ra vào việc xây dựng và sử dụng các phương tiện trực quan để dạy học một phần quan trọng của chương 
 Giáo viên toán ở trường THPT có thể sử dụng Sáng kiến làm tài liệu tham khảo khi dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít. 
Chương I
I. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Vai trò và chức năng của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học
Trong thực tiễn dạy học, học sinh thường gặp khó khăn có khi tưởng chừng không vượt qua nổi khi chuyển từ cụ thể lên trừu tượng và khi đi từ cái trừu tượng lên cái cụ thể trong tư duy. Khó khăn đó nằm chủ yếu ở chỗ: Khi tri giác cái cụ thể hiện thực học sinh không biết phát hiện ra cái chung bản chất và chủ yếu ẩn nấp hoặc bị che lấp trong muôn vàn cái riêng không bản chất và thứ yếu của cái cụ thể; ngược lại, khi vận dụng khái niệm, định luật vào những trường hợp cụ thể thì học sinh lại lúng túng trong việc tìm ra cái riêng biệt đơn nhất, độc đáo của chúng mặc dù chúng đều có cùng một cái chung bản chất [18].
1. 2. Vai trò của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học
	Trong dạy học toán việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan đóng một vai trò rất quan trọng. Phương tiện trực quan không chỉ giúp cho việc minh họa và tập trung sự chú ý của học sinh vào những thuộc tính và đặc điểm bên ngoài của đối tượng và hơn thế phương tiện trực quan còn giúp học sinh nhanh chóng phát hiện những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ bản chất của đối tượng và cho phép nhận ra nó như một cái toàn bộ thống nhất [4].
Phương tiện trực quan không chỉ tham gia vào quá trình hình thành khái niệm mà còn hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giải bài tập toán phương tiện trực quan là cầu nối, là khâu trung gian trong giai đoạn trừu tượng hóa (từ cụ thể trừu tượng lên khái niệm lý thuyết) và cả trong giai đoạn cụ thể hóa (tái tạo ra cái cụ thể trong tư duy) 
Mối quan hệ đó được thể hiện ở sơ đồ sau:
Phương tiện
trực quan
Cái cụ thể hiện thực 
Cái trừu tượng lý thuyết
Trừu tượng hoá
Cụ thể hoá
Khẳng định của V.I. Lênin về mối quan hệ biện chứng của nhận thức là rất sâu sắc khi cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động lẫn nhau của ba yếu tố: Trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn. Mỗi yếu tố đó đều cần thiết và mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được. Sự tác động lẫn nhau đó quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức từ đầu chí cuối “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ trừu tượng đến thực tiễn. Đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, của sự nhận thức hiện thực khách quan” 
Nhà toán học nổi tiếng A.N. Kôlmôgorôv lưu ý giáo viên “đừng để hứng thú đến mặt lôgíc của giáo trình làm lu mờ việc giáo dục tư duy trực quan cho học sinh”, một khi chương trình và sách giáo khoa đã được hiện đại hóa 
Vai trò của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học là rất quan trọng. Do đặc điểm của toán học, hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất, có ý nghĩa nhất trong môn toán là trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức, kí hiệu). Phương tiện trực quan tượng trưng là một hệ thống ký hiệu quy ước nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu tách rời khỏi tất cả các tính chất khác của đối tượng và hiện tượng 
1.3. Chức năng của phương tiện trực quan trong quá trình dạy học
Quan niệm mới về thành phần và chức năng của phương tiện trực quan dẫn đến xu hướng sử dụng ngày càng nhiều các mô hình trong dạy học. Khi mức độ trừu tượng của các đối tượng nhận thức đối với việc học trong môn toán được nâng cao thì các phương tiện trực quan trở thành phương tiện nhận thức có hiệu quả, giúp học sinh tìm thấy được các mối liên hệ và quan hệ giữa các yếu tố thành phần trong sự vật hiện tượng hoặc giữa các sự vật hiện tượng với nhau.
a. Chức năng truyền thụ tri thức:
+) Khi nhận thức chuyển từ cụ thể đến trừu tượng phương tiện trực quan giúp tạo ra các hình ảnh ban đầu các biểu tượng về đối tượng nghiên cứu.
+) Khi nhận thức chuyển từ trừu tượng đến cụ thể phương tiện trực quan minh họa bằng hình ảnh cho các khái niệm trừu tượng đã biết từ trước.
+) Phương tiện trực quan thiết lập cho học sinh mẫu của sự biểu thị khoa học chính xác của khái niệm trừu tượng.
b. Chức năng hình thành kỹ năng học sinh:
+) Phương tiện trực quan cho học sinh làm quen với sự sử dụng để tìm các kiến thức cần thiết và áp dụng nó.
+) Làm cho học sinh làm quen với các phương pháp nghiên cứu toán học.
c. Chức năng phát triển hứng thú học tập:
+) Tạo cho học sinh cảm hứng thẩm mỹ, các tình huống có vấn đề, tạo ra sự hứng thú toán học.
+) Tái tạo cho học sinh nội dung các vấn đề nghiên cứu trong dạng gắn gọn, nhằm củng cố, ghi nhớ, áp dụng kiến thức.
d. Chức năng điều khiển quá trình dạy học:
+) Hướng dẫn phương pháp trình bày chủ đề nghiên cứu cho giáo viên. 
+) Nhanh chóng làm xuất hiện và ngừng truyền thông tin học tập trong hoạt động nhận thức, khi kiểm tra và đánh giá kết quả dạy học.
+) Bảo đảm thực hiện các hình thức học tập cá biệt và phân nhóm.
Trong dạy học toán vai trò và chức năng của phương tiện trực quan là rất quan trọng, ảnh hưởng rất nhiều đến sự nhận thức, tư duy của học sinh trong quá trình học tập.	
1.4. Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan
Khi xây dựng và sử dụng đúng đắn các phương tiện trực quan phục vụ cho việc dạy học theo một chủ đề thì vừa đạt được mục đích dạy học nói chung, vừa đạt được mục đích dạy học một chủ đề nói riêng, đồng thời phải góp phần nâng cao hiệu quả của quá trình dạy học. Việc phân tích đánh giá hiệu quả của quá trình dạy học theo một chủ đề, không chỉ thể hiện ở việc đánh giá kết quả học tập nhất thời của học sinh mà còn phải xem xét việc lựa chọn phương tiện và cả quá trình sử dụng phương tiện của thầy cô và trò ở lớp. Nếu đã lựa chọn phương tiện dạy một cách thích hợp thì khi sử dụng nó có thể khai thác được các chức năng của phương tiện nhằm đạt được yêu cầu đặt ra cho nó và như thế sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học [2].
1.5. Hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan
	Kết quả của việc giảng dạy khi sử dụng phương tiện trực quan phụ thuộc vào việc lựa chọn đúng đắn các phương tiện trực quan và việc sử dụng đúng đắn các phương tiện đó trong quá trình dạy học toán 
	Thực tiễn dạy học cho thấy rằng nếu có ý thức và kỹ năng sử dụng các phương tiện trực quan một cách hợp lý thì sẽ góp phần: 
- Tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động dạy học.
- Cung cấp cho học sinh những kiến thức bền vững, chính xác trong dạng ngắn gọn, rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo cần thiết cho lao động sản xuất và đời sống.
Có thể nói rằng: Giảng dạy trực quan có nghĩa là giảng dạy dựa trên các hình tượng hiểu biết của học sinh.
1.6. Đặc điểm, yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trường phổ thông
Về phương diện mục đích dạy học:
Dự thảo chương trình cải cách môn toán đã chỉ rõ: Cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kỹ năng phương pháp toán phổ thông, cơ bản, hiện đại, tương đối hoàn chỉnh, thiết thực, sát thực tế Việt Nam, theo tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp [17].
- Làm cho học sinh nắm vững chắc những khái niệm về hàm số mũ, hàm số logarít, các tính chất, định lý, các dạng đồ thị, các phương trình, bất phương trình mũ, logarít.
- Giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa hàm số mũ với hàm số logarít, chỉ ra các ứng dụng thực tế của hàm số mũ và hàm số logarít (trong các ngành kỹ thuật, trong hóa học, trong âm nhạc) và giải các bài toán thích hợp . 
b) Về phương diện nội dung dạy học:	
* Về mặt lý thuyết: 
Xây dựng khái niệm hàm số mũ y = ax (a > 0) với tập xác định là toàn bộ R, đó là một hàm số liên tục, đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1 và luôn luôn có giá trị dương...
	Việc học hàm số mũ có tác dụng quan trọng là chuẩn bị cho việc học hàm số logarít, để dẫn tới logarít là một vấn đề có ý nghĩa về mặt thực tiễn.
	Bằng việc sử dụng các phương tiện trực quan hợp lý khi giảng dạy giáo viên phải làm cho học sinh thấy được ý nghĩa lý thuyết và thực tế, tác dụng giáo dục của toàn chương, nắm vững khái niệm, tính chất, các định lý về logarít và ý nghĩa của định lý đó. Trên cơ sở đó học sinh mới có ý thức trong việc rèn luyện kỹ năng sử dụng logarít vào việc giải các bài toán và thực tiễn.
* Về phương diện bài tập:
	Bằng các hình ảnh minh họa trực quan cần rèn luyện cho học sinh đạt được những kỹ năng sau đây: Giúp học sinh biết lập luận có căn cứ, trình bày lời giải một cách mạch lạc, biết vận dụng công thức một cách sáng tạo khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarít.
	Biết khai thác các ứng dụng của hàm mũ và hàm số logarít vào thực tiễn, đồng thời rèn luyện các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tự kiểm tra đánh giá...
1.7. Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trường Trung học phổ thông
	Việc phân tích thực tế dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít là việc làm rất cần thiết. Điều đó cho chúng tôi có thêm cơ sở xác định đúng đắn các yêu cầu sư phạm đối với các phương tiện dạy học trực quan [2].
	Thực tiễn dạy học ở trường Trung học phổ thông cho thấy chất lượng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít chưa cao, học sinh nắm kiến thức một cách hình thức, lẫn lộn giữa đẳng thức định nghĩa với định lý. Chẳng hạn cho rằng lý luận dẫn đến định nghĩa số mũ 0, a0 = 1(a) là một chứng minh.
Nhiều học sinh còn mơ hồ hoặc là không nắm được các tính chất, không hiểu được bản chất của các định lý về hàm số mũ, hàm số logarít.
 Chẳng hạn: “4nghĩa là gì” thì câu trả lời của đa số học sinh còn thiếu chính xác. Bên cạnh đó, do việc không nắm chắc các giả thiết, định lý, các công thức nhiều học sinh còn phạm phải sai lầm.
	Ví dụ như cho rằng:
	+) logaA.B = log+aaa aâ
aA.logbB (A,B > 0 và a,b )
	+) loga(A+B) = logaA + logaB
	+) log2-8 = -3 (họ lý giải rằng (-2)3 = - 8)
	+) logaxa = alogax; = .
Trước hết phải thấy rằng do học sinh nắm kiến thức thiếu vững chắc dẫn tới việc vận dụng vào các bài toán cụ thể thường mắc sai lầm. Điều đó có lẽ một phần là do nội dung cấu trúc chương trình và sách giáo khoa chưa thật hợp lý, phương pháp dạy học của giáo viên lại có chỗ cần được điều chỉnh, chẳng hạn hầu như các tính chất hàm số mũ, hàm số logarít không được chứng minh, giáo viên lại không có biện pháp thích hợp để khắc phục; mặt khác, hệ thống bài tập và câu hỏi trong sách giáo khoa chỉ đòi hỏi học sinh ở mức độ rất đơn giản, áp dụng đơn thuần (việc phân loại các sai lầm và khắc phục các sai lầm của học sinh khi học phần hàm số mũ, hàm số logarít ). Thực tế đó giúp ta hiểu rằng càng phải chuẩn bị cho giáo viên những điều kiện cần thiết, trong đó có việc hướng dẫn giáo viên tạo ra và sử dụng các phương tiện dạy học một cách thích hợp, để họ có thể dạy tốt phần hàm số mũ, hàm số logarít theo yêu cầu của chương trình sách giáo khoa.
1. 8. Kết luận chương I
Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học toán ở trường phổ thông đối chiếu với những quan điểm đổi mới phương pháp dạy toán trong giai đoạn hiện nay, chúng tôi cho rằng:
1. Để giáo dục toán cho học sinh ở trường Trung học phổ thông qua dạy học toán cần quan tâm tới phương pháp dạy học trực quan, để từ đó thông qua việc tổ chức hoạt động toán học, học sinh tự giác tìm tòi kiến thức mới.
2. Do đặc điểm tính chất phần hàm số mũ, hàm số logarít không chứng minh nên việc tăng cường sử dụng phương tiện dạy học trực quan là cách thức hợp lý trong việc cung cấp những kiến thức bền vững, chính xác và có hiệu quả cho học sinh, tạo điều kiện cho học sinh luyện tập, vận dụng kiến thức vào giải toán và các ứng dụng thực tiễn đa dạng.
Chương II: 
II. Sử dụng phương tiện trực quan với mục đích vạch ra sai lầm và sửa chữa thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần hàm số mũ, hàm số logarít.
	2.1. Những sai lầm do việc không nắm vững các định nghĩa, định lý, quy tắc... vận dụng chúng một cách máy móc không chú ý đến điều kiện áp dụng:
	Có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến sai lầm. Việc không nắm vững định nghĩa, định lý, giả thiết của định lý, vận dụng một cách mơ hồ, chẳng hạn nhiều học sinh cho rằng:
	* log3(-4)(-8) = log3-4 + log3 (-8)
	* log2 (x2 -1) = log 2 (x-1) (x+1) = log2 (x-1) + log2(x+1) ( |x| > 1)
	* loga(-7)2 = 2loga-7
	* logax2 = 2logax (0 < a ¹ 1)
Đây là loại sai lầm do học sinh không nắm vững khái niệm, tính chất, giả thiết của định lý.
Để tránh những sai lầm kiểu này giáo viên cần phân tích một cách rõ ràng trực quan cho học sinh hiểu vấn đề.
	* Hàm số y = logax xác định khi dẫn tới log3(-4), log3(-8), loga(-7) không tồn tại.
	* logaxa = alogax với điều kiện như vậy logax2 xác định ) nên logax2 = 2loga|x| thế thì mới đảm bảo giả thiết của định lý.
Ngoài ra, không ít học sinh mắc phải sai lầm kiểu:
	* loga(x1 ) = logax1logax2
	* loga(x1.x2) = logax1logax2 	(x1, x2 > 0; 0 < a ¹1)
Để sửa chữa những sai lầm này trong khi dạy, người giáo viên cần phải làm rõ cho học sinh thấy được bản chất của định lý, giả thiết định lý... cụ thể giáo viên có thể cho học sinh làm bài toán sau:
 Bài toán 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng đinh sau:
A. Cơ số của lôgarit là một số thực.
B. Cơ số của lôgarit là một số nguyên.
C. Cơ số của lôgarit là một số nguyên dương.
D. Cơ số của lôgarit là một số nguyên dương và khác 1..
Bài toán 2. Giải phương trình: 
Đa số học sinh lập luận bài toán như sau:
Điều kiện:
Đây là một sai lầm tầm thường nhưng cần phải vạch ra cho học sinh hiểu bởi vì khi giải phương trình ta phải đi tìm tập nghiệm, thế thì sau khi tìm ra được những x rồi thì lại phải đối chiếu xem những x đó có thuộc tập nghiệm hay không ? Một lẽ tất nhiên (x+2)2 > 0 điều kiện của phương trình là 
Tuy nhiên, có nhiều học sinh không mắc phải sai lầm ấy, nhưng khi bắt tay vào giải thì không ít học sinh cả học sinh khá cũng lập luận bài toán như sau:
	Phương trình 
loại vì -6 < x < 2
Vậy phương trình có một nghiệm x = 2 thực tế phương trình này có 2 nghiệm tại sao phương trình lại mất một nghiệm ?
Để học sinh khắc phục được những sai lầm này thầy giáo có thể nêu lên một hệ thống logíc giữa các kiến thức sau. Để giúp học sinh nhận ra vấn đề một cách trực quan hơn, ta có bảng tổng kết sau:
1. Nếu x< 0; y< 0 thì x.y và đều lớn hơn 0 và logax.y, loga có nghĩa 
 nhưng logax; logay không tồn tại
	Trong trường hợp này: logax.y = loga|x| + loga|y|
	 loga = loga|x| - loga|y| (0 < a ¹ 1)
2. Biểu thức logaN2n ( n là số nguyên) có nghĩa với N ¹ 0 là số thực bất kỳ 
 logaN2n = 2nloga|N| = 	
Có thể giải bài toán như sau: 
Phương trình Û 
 x = 2 thỏa mãn -2 < x < 4
 thỏa mãn -6 < x < -2
	 Þ 
Vậy nghiệm của phương trình là: 
2.2. Dùng phương tiện trực quan để vạch ra những sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít.
	Việc sử dụng phương tiện trực quan để minh họa một cách dễ hiểu về những sai lầm của học sinh trong quá trình học là rất cần thiết, bởi trong quá trình học, học sinh thường mắc những sai lầm mà bản thân các em không nhận ra [2].
	Để hiểu rõ hơn vấn đề này có thể bắt đầu bằng ví dụ sau:
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
	y = 
Đối với bài toán trên có rất nhiều phương pháp giải, nhưng không ít em mắc phải sai lầm kiểu:
Vậy maxy = 8 và miny = 2.
	Nguyên nhân dẫn đến sai lầm và thiếu sót của lời giải là do việc học sinh không nắm vững khái niệm giá trị lớn nhất và bé nhất, mặt khác do học sinh ngộ nhận rằng y ³ c thì chắc chắn y nhỏ nhất bằng c, học sinh không hiểu được rằng có thể tồn tại một số m nào đó thỏa mãn y ³ m (mà m £ c).
	Cần phải làm cho học sinh thấy rõ: Một biểu thức y luôn có giá trị ³ c (hoặc y £ c) với mọi giá trị thích hợp của biến thì không nhất thiết rằng tồn tại bộ giá trị thích hợp để y = c dù cho y > c, thì cách viết y ³ c vẫn hoàn toàn đúng về mặt logic.
A
B
g(x)
	Mặt khác do không ý thức được điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức khi maxy = 8 dấu bằng xảy ra vô nghiệm.
y = f(x)
 Tương tự khi miny = 2 thì dấu ằng không xảy ra.
	Để vạch ra những sai lầm này thầy giáo có thể vẽ lên bảng hai đồ thị: 
Nhìn vào hình vẽ rõ ràng là f(x) ³ g(x) và f(xB) = g(xB) nhưng minf(x) = miny = f(xA) < f(xB). 
Có thể nói một nguyên nhân khác nữa dẫn đến sai lầm trên là do học sinh đã áp dụng mệnh đề "nếu f(x) ³ g(x) và xảy ra f(x) = g(x) = C (hằng số) thì min f(x) = C". 
Có thể giải bài toán như sau:
	áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 
dấu bằng xảy ra khi 
ta lại có (1) , 
 (2) nhân (1) và (2)
	 dấu bằng xảy ra khi sinx = 0 hoặc cosx = 0
Vậy maxy = 5; miny = 4.
	* Tất cả các tính chất của hàm số mũ đều được suy từ các tính chất của lũy thừa với số mũ thực. Theo chương trình sách giáo khoa. những tính chất đó không chứng minh vì phép chứng minh phần lớn vượt ra ngoà