SKKN Xây dựng phương án nhiễu trong trắc nghiệm khách quan (Hình học 12 cơ bản)

MỤC LỤC
I. Mở đầu
 1. Lí do chọn đề tài .Trang 2 
 2. Mục đích nghiên cứu ..Trang 3 
 3. Đối tượng nghiên cứu..Trang 3 
 4. Phương pháp nghiên cứuTrang 3
 5. Những điểm mới của SKKN. Trang 3
II. Nội dung
 1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm...Trang 4 
 1.1. Cấu trúc của câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn...Trang 4
 1.2. Phân loại câu hỏi trắc nghiệm theo cấp độ nhận thức............Trang 4
 1.3. Mục tiêu của chương trình Hình học lớp 12 cơ bản ..Trang 5
 2. Thực trạng của vấn đề .Trang 5 
 3. Nội dung Trang 6
 3.1. Một số lưu ý khi biên soạn câu hỏi trắc nghiệm môn Toán..Trang 6
 3.2. Kĩ thuật xây dựng các phương án nhiễu trong câu TNKQTrang 6
 3.2.1. Xây dựng phương án nhiễu trên cơ sở phân tích sai 
 lầm trong các bước tìm ra đáp án của học sinh.Trang 7
 3.2.2. Xây dựng phương án nhiễu trong trường hợp học 
 sinh thử đáp án vào đề bài.Trang 13
 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm..Trang 15
III. Kết luận và đề xuất
 1. Kết luận Trang 17
 2. Đề xuất ..Trang 17
Tài liệu tham khảo...Trang 18
Phụ lục ..
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sau hai năm học (2016 – 2017 và 2017 – 2018) Bộ giáo dục và đào tạo sử dụng hình thức thi trắc nghiệm (thuộc loại ‘‘ 4 lựa chọn, 1 lựa chọn đúng’’) đối với môn Toán trong kỳ thi Trung Học Phổ Thông (THPT) Quốc gia, giáo viên và học sinh đã phần nào làm quen cũng như đã rèn luyện được một số kĩ năng nhất định trong việc giải các bài toán trắc nghiệm. Trên mạng internet cũng như các loại sách báo đã có nhiều tài liệu tham khảo về việc xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) phục vụ cho việc học tập của học sinh cũng như việc ra đề thi, đề kiểm tra cho giáo viên. Tuy nhiên thực tế cho thấy, có rất nhiều tài liệu chưa chất lượng, các câu hỏi trắc nghiệm khách quan chưa tốt, chưa đáp ứng được yêu cầu phát huy tính sáng tạo và khả năng suy luận của học sinh, cũng như chưa phân loại được học sinh. Nguyên nhân chủ yếu là do nhiều giáo viên trong quá trình ra đề kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm khách quan chưa chú ý hay đầu tư chưa đúng mức đến chất lượng các phương án nhiễu. Nhiều phương án nhiễu nhưng không thực sự ‘‘nhiễu’’ đối với học sinh, nó chỉ mang tính chất tượng trưng trong vai trò hiện diện trong một câu hỏi TNKQ nhiều lựa chọn.
Đặc biệt, đối với môn Toán (cụ thể là Hình học), là môn học mà nhiều học sinh chưa thấy hứng thú, còn cảm thấy ‘‘ngại học’’ nên học sinh thường bỏ qua ngay cả những kiến thức cơ bản và đơn giản nhất. Do vậy, khi giáo viên xây dựng các câu hỏi TNKQ đối với môn Hình học, cần chú trọng đến các phương án nhiễu sao cho có thể giúp học sinh củng cố được kiến thức, liên hệ được nhiều kiến thức về hình học với nhau, giúp học sinh hiểu đúng, hiểu sâu hơn và từ đó không còn cảm thấy nhiều khó khăn khi học môn Hình học nữa. 
Do đó, để tiếp nối Sáng kiến kinh nghiệm của bản thân năm 2018 là ‘‘Xây dựng phương án nhiễu trong trắc nghiệm khách quan (Giải tích 12 cơ bản) ’’ cũng như để góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy Hình học nói chung và kiểm tra đánh giá bằng TNKQ nói riêng, tôi tiếp tục mạnh dạn đưa ra sáng kiến : “XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN NHIỄU TRONG TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (HÌNH HỌC 12 CƠ BẢN).
2. Mục đích nghiên cứu
Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra phương pháp, cách thức biên soạn câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn có chất lượng , nhằm giúp giáo viên tháo gỡ những vướng mắc trong quá trình ra đề kiểm tra, đánh giá chính xác chất lượng học sinh trong quá trình dạy học môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng, qua đó phát hiện những nhầm lẫn và sai sót trong quá trình lĩnh hội cũng như hướng tư duy giải bài tập của học sinh, tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến nhiều học sinh chưa hứng thú với môn Hình học để có những phương pháp điều chỉnh, giảng dạy phù hợp và kịp thời.
3.Đối tượng nghiên cứu.
Các bài toán trắc nghiệm trong chương trình Hình học cơ bản lớp 12.
4.Phương pháp nghiên cứu.
Để thực hiện mục đích chọn đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
 - Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
Phương pháp quan sát ( quan sát hoạt động dạy và học của học sinh).
Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế (khảo sát thực tế học sinh).
Phân tích, tổng hợp.
 - Phương pháp thực nghiệm.
5. Những điểm mới của SKKN.
 Năm học 2017 – 2018 tôi đã làm SKKN ‘‘Xây dựng phương án nhiễu trong trắc nghiệm khách quan (Giải tích 12 cơ bản) ’’ , trên cơ sở kế thừa kết quả đạt được, năm học này tôi tiếp tục áp dụng vào chương trình Hình học 12 cơ bản. Tuy nhiên, SKKN ‘‘Xây dựng phương án nhiễu trong trắc nghiệm khách quan (Hình học 12 cơ bản) ’’ của năm học 2018 – 2019 có những điểm mới, khác biệt như sau :
- Hệ thống các ví dụ chủ yếu là các đề thi minh họa và các đề thi chính thức của các kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 và 2018 của Bộ GD và ĐT. Ngoài ra, còn có các ví dụ trong đề thi tham khảo kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019 (được Bộ GD công bố ngày 06/12/2018) nhằm giúp học sinh làm quen với mức độ cũng như các dạng toán có trong đề thi phục vụ đắc lực cho kì thi THPT Quốc gia năm 2019.
- Sau mỗi ví dụ được giải và phân tích các phương án nhiễu một cách tỉ mỉ, phần nhận xét là cách sử dụng các dữ liệu của đề bài để đưa ra các bài toán hoặc là cùng mức độ (nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao) nhưng khác dạng, hoặc bài toán mở rộng hơn, hoặc các bài toán cùng nội dung nhưng thay đổi hình thức câu từ của đề bài, để giúp học sinh tiếp cận với nhiều dạng toán hơn, cũng như làm tăng khả năng tư duy, sáng tạo của các em.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Để có thể xây dựng được các phương án nhiễu trong các câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn một cách khoa học, chính xác, gần với đáp án và phản ánh được các hướng tư duy của học sinh thì giáo viên cần nắm vững các kiến thức sau : 
1.1. Cấu trúc của câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn gồm có 2 phần : 
- Phần gốc là một câu hỏi hay một câu bỏ lửng giúp người làm bài có thể hiểu rõ câu hỏi TNKQ đó muốn hỏi điều gì để lựa chọn phương án trả lời thích hợp.
- Phần lựa chọn gồm có nhiều lời giải đáp, trong đó có một lựa chọn được dự định cho là đúng hay là đúng nhất, còn những lời giải đáp còn lại là phương án nhiễu. Điều quan trọng là làm sao cho những phương án nhiễu đều hấp dẫn ngang nhau đối với học sinh chưa học kĩ hay chưa hiểu kĩ bài học.
 (Theo Kĩ thuật biên soạn phương án nhiễu trong trắc nghiệm khách quan (phần kim loại – Hóa học 12 nâng cao), khóa luận tốt nghiệp năm 2012 của SV Nguyễn Ngọc Trung , Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh). 
1.2. Phân loại câu hỏi trắc nghiệm theo cấp độ nhận thức
Trong các đề kiểm tra, đề thi môn Toán, mỗi bài tập tự luận hay mỗi câu hỏi trắc nghiệm ( sau đây gọi chung là câu hỏi) đều được xây dựng nhằm một mục đích nhất định trong việc thử thách, kiểm tra, đánh giá nhận thức, hiểu biết, kĩ năng, năng lực Toán học của người làm bài ở một mức độ xác định nào đó, mức độ ấy được coi là cấp độ nhận thức ( hay cấp độ tư duy) của câu hỏi.
Hiện nay, theo Bộ Giáo dục và Đào tạo thì mỗi đề kiểm tra, đề thi chỉ gồm các câu hỏi thuộc 4 cấp độ nhận thức : Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng (còn gọi là Vận dụng thấp) và Vận dụng cao.
Với môn Toán, có thể mô tả các cấp độ nhận thức nêu trên như sau : 
	- Câu hỏi thuộc cấp độ Nhận biết : Là câu hỏi nhằm kiểm tra việc thuộc, hiểu đúng, nhớ các khái niệm, các kết quả lý thuyết ( các công thức, tính chất, định lí, quy tắc,) đã được học; kiểm tra khả năng nhận ra, nêu hoặc tái hiện các khái niệm, kết quả đó trong các tình huống cụ thể.
	- Câu hỏi thuộc cấp độ Thông hiểu : Là câu hỏi nhằm kiểm tra việc sử dụng các kiến thức lý thuyết ( các khái niệm, kết quả) đã được học để giải quyết các tình huống Toán học không phức tạp, giống hoặc tương tự các tình huống học sinh đã được luyện tập trên lớp, cũng như đã có trong Sách giáo khoa (SGK), Sách bài tập môn Toán. Nói một cách dễ hiểu, các câu hỏi thuộc cấp độ Thông hiểu là các câu hỏi nhằm kiểm tra khả năng áp dụng “thô” các kiến thức lý thuyết (khái niệm, kết quả) đã được học. 
	-Câu hỏi thuộc cấp độ Vận dụng (thấp) : Là câu hỏi nhằm kiểm tra việc hiểu rõ, hiểu sâu (ở mức nhất định) các kiến thức lý thuyết đã được học và biết tạo ra sự liên kết logic giữa các kiến thức đó với nhau để giải quyết tình huống Toán học không đơn giản, gần giống hoặc tương tự các tình huống có trong SGK, sách bài tập môn Toán; kiểm tra khă năng vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các tình huống không phức tạp có liên quan trong thực tiễn cuộc sống hoặc trong các môn học khác.
	- Câu hỏi thuộc cấp độ Vận dụng cao : là câu hỏi nhằm kiểm tra khả năng vận dụng tổng hợp các kiến thức lý thuyết đã được học để giải quyết các tình huống Toán học mới, không quen thuộc (theo nghĩa : có thể chưa được đề cập trong SGK, sách bài tập môn Toán) và không quá phức tạp, trong khoa học cũng như trong thực tiễn cuộc sống. 
Trong số các câu hỏi thuộc cấp độ vận dụng thấp và vận dụng cao, ngoài các loại câu hỏi như mô tả ở trên, còn có các câu hỏi nhằm kiểm tra việc hiểu rõ, hiểu sâu các kiến thức lý thuyết đã được học và khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đó để tìm ra cách xử lí nhanh (trong khoảng thời gian ngắn cho phép) các tình huống Toán học không quá phức tạp và không “lạ” về hình thức so với các tình huống đã được đề cập trong SGK hay sách bài tập môn Toán.
(Theo Trắc nghiệm toán 12, Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Nguyễn Khắc Minh, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam năm 2016).
1.3. Mục tiêu của chương trình Hình học 12 cơ bản
 	Khi học chương trình Hình học 12 cơ bản, học sinh cần :
- Nhận biết được thế nào là một hình đa diện, một khối đa diện, khối đa diện lồi, khối đa diện đều. Hiểu, nhớ, vận dụng công thức tính thể tích của một số khối đa diện quen thuộc như khối hộp, khối lăng trụ, khối chóp.
- Hiểu được khái niệm mặt tròn xoay, sự tạo thành mặt tròn xoay và các yếu tố của mặt tròn xoay như : đường sinh, trục, bán kính đường tròn đáy. Nhận biết được một số đồ vật là những mặt tròn xoay; phân biệt được ba khái niệm: mặt tròn xoay, hình tròn xoay và khối tròn xoay. Biết tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón, hình trụ và diện tích mặt cầu; tính được thể tích khối nón, khối trụ và khối cầu.
- Hiểu được cách xây dựng không gian tọa độ Oxyz, biết xác định tọa độ của điểm trong không gian và biết thực hiện các phép toán về vecto thông qua tọa dộ của các vecto đó. Biết viết phương trình của mặt phẳng, đường thẳng, của mặt cầu. Biết xét vị trí tương đối của chúng bằng phương pháp tọa độ đồng thời biết thực hiện các bài toán khoảng cách, biết ứng dụng các phép toán về vecto và tọa độ trong việc nghiên cứu hình học không gian.
(Theo Sách giáo viên Hình Học 12, Bộ giáo dục và đào tạo, Nhà xuất bản Giáo dục).
2. Thực trạng của vấn đề :
Qua quá trình tham khảo các đề kiểm tra, đề thi Toán ( cụ thể là Hình Học) dưới hình thức trắc nghiệm khách quan (dạng câu hỏi nhiều lựa chọn) trong các tài liệu, sách vở và trên mạng internet, tôi thấy rất nhiều đề kiểm tra, đề thi còn có một số hạn chế khi xây dựng các phương án nhiễu của câu hỏi, như sau :
- Có phương án nhiễu không có học sinh nào lựa chọn khi làm bài.
- Có đáp án đúng mà học sinh nhìn vào là chọn được ngay (vì quá dễ), hoặc phương án nhiễu mà học sinh nhìn vào là biết sai ngay.
- Các phương án nhiễu có cấu trúc và nội dung khác với phương án trả lời đúng.
- Các phương án nhiễu chưa phản ánh được các hướng tư duy sai lầm khác nhau của học sinh.
..
 	Vì vậy, có những phương án nhiễu chưa thật sự “nhiễu” đối với học sinh, chỉ mang tính chất tượng trưng trong vai trò hiện diện trong câu hỏi TNKQ nhiều lựa chọn, dẫn đến học sinh không bao giờ giải ra phương án sai.
3. Nội dung : 
3.1. Một số lưu ý khi biên soạn câu hỏi trắc nghiệm môn Toán
Một câu hỏi trắc nghiệm được coi là đạt yêu cầu nếu đáp ứng đầy đủ các điều sau đây:
 * Đối với câu dẫn :
	- Câu dẫn được trình bày rõ ràng, mạch lạc, dễ hiểu, phù hợp khả năng nhận thức của người làm bài.
- Nội dung câu dẫn phải đảm bảo chính xác khoa học (tránh nêu những vấn đề còn đang tranh cãi hay chưa thống nhất), có nội dung kiến thức nằm trong phạm vi nội dung đã được quy định, bám sát chuẩn kiến thức và kĩ năng mà người làm bài phải đạt được theo quy định của các cấp có thẩm quyền.
 * Đối với các phương án nhiễu :
	- Phương án nhiễu phải có mối liên hệ với câu dẫn và tạo nên một nội dung hoàn chỉnh, có nghĩa. Phương án nhiễu phải có cấu trúc và nội dung tương tự như câu trả lời đúng .
	- Các phương án nhiễu phải có độ hấp dẫn gần như ngang nhau, phải có sức thu hút học sinh kém và làm băn khoăn học sinh khá, giỏi. Mỗi phương án nhiễu phải thể hiện được cụ thể những khiếm khuyết trong việc nhớ, hiểu các kiến thức có liên quan tới tình huống đặt ra trong câu hỏi, hoặc khiếm khuyết về khả năng, kĩ năng sử dụng các kiến thức đó để giải quyết tình huống ấy, của người đã chọn phương án đó làm câu trả lời.
 (Theo Trắc nghiệm toán 12, Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Nguyễn Khắc Minh, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam năm 2016).
3.2. Kĩ thuật xây dựng các phương án nhiễu trong câu TNKQ 
3.2.1. Xây dựng phương án nhiễu trên sở sở phân tích sai lầm trong các bước tìm ra đáp án của học sinh
Ví dụ 1 :(Đề minh họa lần 1 kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD& ĐT)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 
 (S) : 
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
A. I(-1; 2; 1) và R = 3.	B. I(1; -2; -1) và R = 3.
C. I(-1; 2; 1) và R = 9.	D. I(1; -2; -1) và R = 9.
Lời giải : Mặt cầu có phương trình thì tâm mặt cầu có tọa độ (a; b; c) và bán kính là R.
Vậy mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 1) và bán kính R = 3. Đáp án đúng là A.
Xây dựng phương án nhiễu : Học sinh có thể mắc một số sai lầm sau:
- Học sinh nhớ nhầm công thức: nếu phương trình mặt cầu có dạng là thì mặt cầu có tâm I(a; b: c) và bán kính R nên dẫn tới chọn đáp án B.
- Học sinh nhớ đúng công thức của tâm mặt cầu nhưng lại nhớ nhầm cách xác định bán kính mặt cầu trong công thức trên là R2 nên chọn đáp án C.
- Học sinh nhớ nhầm công thức là phương trình của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính là R2 nên dẫn tới chọn đáp án D.
Nhận xét: Đối với nội dung về mặt cầu và ở mức độ nhận biết, ta có thể củng cố kiến thức cho học sinh bằng cách xây dựng câu hỏi khác như sau:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu tâm I(-1; 2; 1) và có bán kính là R = 3.
A. . 	B. .
C. .	D. .
Ví dụ 2 : (Đề minh họa lần 1 kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD& ĐT)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 
A. .	B. .	C. .	D. .	
Lời giải :
Diện tích hình vuông ABCD là : và chiều cao 
Thể tích khối chóp là : . Đáp án đúng là D.
 Xây dựng phương án nhiễu : Học sinh có thể mắc một số sai lầm sau:
- Nhớ nhầm công thức tính diện tích hình 
vuông đáy là : nên tính 
thể tích khối chóp là : 
. Chọn đáp án A.
- Nhớ nhầm công thức diện tích hình 
vuông đáy là , và nhớ nhầm 
công thức tính thể tích khối chóp nên tính : 
.Chọn đáp án B.
- Học sinh tính đúng diện tích hình vuông đáy nhưng nhớ sai công thức tính thể tích khối chóp : . Chọn đáp án C.
Nhận xét: Đối với nội dung về nhận biết công thức thể tích khối chóp, để học sinh ghi nhớ các công thức, ta còn có thể xây dựng câu hỏi khác cũng với các số liệu trên, như sau:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích V của khối chóp là . Tính chiều cao h của khối chóp S.ABCD.
A. .	B..	C. .	D. .
Ví dụ 3: (Đề minh họa lần 1 kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019 của Bộ GD& ĐT)
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng và bán kính đáy bằng . Thể tích khối nón đã cho bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải: 
Chiều cao của khối chóp là :
Thể tích khối nón bằng :
. 
Đáp án đúng là A.
Xây dựng phương án nhiễu : Học sinh có thể mắc một số sai lầm sau:
- Học sinh tính đúng chiều cao của khối nón nhưng nhớ nhầm công thức tính thể tích thành : . Chọn đáp án B.
- Học sinh nhầm công thức tính thể tích khối nón thành nên tính thể tích khối nón đã cho là : . Chọn đáp án C.
- Học sinh nhớ nhầm công thức Pitago để tính chiều cao khối nón là :
 . 
Nên tinh thể tích khối nón là .Chọn đáp án D.
Nhận xét : Đối với dạng toán về hình nón tròn xoay, cũng với mức độ thông hiểu và các dữ liệu như trên,ta có thể để xây dựng bài toán khác như sau:
Tính diện tích toàn phần của hình nón có độ dài đường sinh bằng và chiều cao bằng 
A. .	B. .	C. .	D. . 
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; 2; 1); B(2; 1; 0) mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là:
A. 3x – y – z – 6 = 0.	B. 3x – y – z + 6 = 0.
C. x + 3y + z + 6 = 0.	D. x + 3y + z – 6 = 0.
Lời giải:
Mặt phẳng qua A(-1; 2; 1) và vuông góc với AB nên có một vecto pháp tuyến là , phương trình mặt phẳng là :
 hay 3x – y – z + 6 = 0. Đáp án đúng là B.
Xây dựng phương án nhiễu : 
- Học sinh nhớ nhầm công thức viết phương trình mặt phẳng qua M0(x0; y0; z0) và có vecto pháp tuyến là : nên viết phương trình mặt phẳng thành : 
 hay 3x – y – z – 6 = 0. Chọn đáp án A.
- Học sinh nhớ nhầm công thức tính tọa độ vecto khi biết và là nên tính ra 
Suy ra phương trình mặt phẳng là : 
hay x + 3y + z – 6 = 0. Chọn đáp án D.
- Học sinh tính nhầm tọa độ vecto thành và nhớ nhầm công thức viết phương trình mặt phẳng nên viết phương trình là :
 hay x + 3y + z + 6 = 0. Chọn đáp án C.
Nhận xét : Cũng với dạng toán về viết phương trình đường thẳng và mặt phẳng ở mức độ thông hiểu, để học sinh phân biệt rõ hai dạng toán cũng như nắm rõ phương pháp giải thì với các dữ liệu như trên ta có thể xây dựng bài toán khác như sau:
Viết phương trình tham số của đường thẳng D đi qua điểm M(2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : 3x – y – z + 6 = 0.
A. .	B. .	C. .	D. . 
Ví dụ 5: (Đề minh họa kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018 của Bộ GD& ĐT)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các 
cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SD (tham
khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường 
thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) bằng 
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, N là giao 
điểm của SO và BM. 
Ta có : 
Trong tam giác vuông SBO, có :
 . 
Gọi a là góc giữa BM và mặt phẳng (ABCD). 
Ta có : . 
Đáp án đúng là D.
Xây dựng phương án nhiễu : Học sinh có thể mắc một số sai lầm sau:
- Học sinh xét trong tam giác MBD nhưng nhầm công thức tính như sau:
 . Chọn đáp án A.
- Học sinh nhầm BM ^ SD nên DSMB vuông tại M, khi đó sẽ tính như sau:
Và vì coi BM ^ SD nên DBMD vuông tại M 
 . Chọn đáp án B.
- Học sinh tính nhầm . 
Khi đó : . Chọn đáp án C.
Nhận xét : Các dạng toán về góc luôn gây khó khăn đối với học sinh, do vậy để ghi nhớ rõ phương pháp giải và phân biệt hai dạng toán về góc thì với các dữ liệu của bài toán trên ta có thể xây dựng bài toán khác như sau :
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các 
cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
của SD và SA (tham khảo hình vẽ bên). 
Tính tang của góc tạo bởi mặt phẳng (SMN) 
và mặt phẳng (ABCD).
A. 	B. 	
C. 	D. 
Ví dụ 6 : 
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: . Gọi D là đường thẳng đi qua điểm A(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và D có phương trình là
A. 	B. 	 C. 	D. 
Lời giải: Vì hai đường thẳng d và D đều đi qua điểm A(1; 1; 1) nên đường phân giác d’ của góc tạo bởi hai đường thẳng trên cũng đi qua điểm A.
Ta có : D có một vecto chỉ phương là 
 d có một vecto chỉ phương là 
 là góc tù.
Chọn là vecto chỉ phương của D
 là vecto chỉ phương của d .
Từ đó suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng d’ cần lập là cùng phương với .
Phương trình đường thẳng d’ là : . 
Đáp án đúng là B.
Xây dựng phương án nhiễu : Học sinh có thể mắc một số sai lầm sau:
- Học sinh không để ý đến góc là góc tù nên nhầm vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là cùng phương với . Nên viết phương trình đường phân giác là : . Chọn đáp án A.
- Học sinh tính đúng góc là góc tù nhưng lại suy ra một vecto chỉ phương của d’ là cùng phương với nên viết phương trình đườ