SKKN Vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải và phát triển một số dạng toán Đại số 7

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học trong chương trình THCS nói chung được coi là một môn khoa học. Với vai trò là môn học công cụ, môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học sinh học tốt các bộ môn khoa học khác. Đặc biệt trong chương trình môn Toán lớp 7 các bài toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là một dạng toán cơ bản, các em không những gặp dạng toán này trong chương trình toán học THCS mà còn ở nhiều môn học khác Vật lí, Hóa hoc Trong thực tế khi giải loại toán này học sinh thường vấp phải nhiều sai sót.
Hệ thống các bài tập vừa đa dạng, vừa phong phú đòi hỏi học sinh phải có đầy đủ kiến thức cơ bản, phương pháp phân tích hợp lí để tìm được lời giải cho từng bài toán. Vì vậy việc hướng dẫn học sinh cách phân tích, khai thác hướng đi và tìm lời giải cho từng bài toán, từng dạng toán là hết sức quan trọng. Từ đó khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học tự tin, hào hứng, đạt kết quả tốt hơn.
Trong xu thế đổi mới giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học đòi hỏi người dạy toán không chỉ dạy các kiến thức cơ bản SGK, hướng dẫn cho HS giải các bài tập cụ thể mà phải hướng dẫn cho các em nắm được cách giải của từng dạng toán, cách phát triển bài toán từ những bài toán gốc hay phát triển dạng toán theo mảng kiến thúc cơ bản nào đó. Nếu làm tốt điều này chúng ta sẽ cho HS thấy việc học toán và giải toán trở nên thú vị hơn nhiều. Trong những năm học vừa qua bản thân được giao nhiệm vụ giảng dạy môn toán và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tại trường THCS Cẩm Vân. Tôi đã tích cực tự bồi dưỡng, xây dựng hướng dạy học cho các em học sinh cách vận dụng và khai thác bài toán, dạng toán để giải quyết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao và đã đem lại kết quả tốt
Vì các lí do đó mà tôi đã chọn đề tài “Vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải và phát triển một số dạng toán đại số 7”. Với mực đích chia sẻ và trao đổi kinh nghiệm cùng đồng nghiệp.
Mặc dù đã rất cố gắng song đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong hội đồng chuyên môn góp ý.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Bằng cách xây dựng hệ thống một số dạng toán cơ bản trong sách giáo khoa “Đại số 7” về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. Từ đó phát triển lên các bài toán khó nhằm phát triển tư duy, khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh tự tin, hào hứng, mong muốn đưa đề tài vào thực tế giảng dạy để góp phần phát triển năng lực học toán của học sinh để đạt kết quả tốt hơn trong học toán .
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu, tổng kết một số kinh nghiệm trong quá trình hướng dẫn học sinh Vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải và phát triển một số dạng toán đại số 7.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu phương pháp trình bầy lí thuyết SGK đại số 7 và xây dựng hệ thống bài tập SGK, SBT và các loại sách tham khảo, từ đó tổng hợp và phân loại các dạng bài tập ở nhiều mức độ khác nhau, có liên quan với nhau để xây dựng đề tài.
- Khảo sát chất lượng học sinh trước và sau triển khai đề tài dưới dạng bài kiểm tra kiến thức và trắc nghiệm tâm lí về đề tài để lấy kết quả phân tích, thu thập các thông tin trên các mức độ, từ đó thống kê, so sánh rút ra kết luận.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề
Hiện nay, chúng ta đang thực hiện chương trình cải cách giáo dục với nội dung và kiến thức ngày càng nâng cao. Đòi hỏi học sinh không những nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải vận dụng, khai thác và phát triển tốt các bài tập thực tiễn. Rèn luyện khả năng suy luận lôgic, khả năng quan sát và dự đoán, phát triển trí tưởng tượng, luyện kĩ năng sử dụng ngôn ngữ chính xác. Bồi dưỡng phẩm chất tư duy như: linh hoạt, độc lập sáng tạo.
Trong chương trình toán học THCS nói chung mỗi phân môn đều có những dạng toán riêng, đi kèm với nó là những phương pháp giải riêng. Chính vì vậy mà người dạy lẫn người học phải có phương pháp nghiên cứu một cách hợp lí thì mới có kết quả tốt. Khi giải các bài tập toán học không những đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng công thức mà phải đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức.
Để đạt được mục tiêu đó, mỗi thầy cô giáo chúng ta cần trang bị cho học sinh không chỉ có kiến thức, kĩ năng làm bài tập Toán mà còn phải khơi dậy ở các em lòng say mê, tính tích cực, tự giác trong học tập. Đây không phải là vấn đề mới. Nhưng làm thế nào để đạt được mục tiêu đó thì quả là không đẽ chút nào.
2.2Thực trạng của vấn đề:
Có một thực trạng dễ nhận thấy của các học sinh học toán hiện nay là phần lớn chỉ đầu tư vào việc giải hết các bài toán này đến bài toán khó khác mà chưa tìm cho minh phương pháp nâng cao năng lực học toán. Mặt khác trong các tiết bài tập thường chỉ có thầy và một số học sinh khá giỏi hoạt động tích cực còn số đông tham gia một cách thụ động, phải chăng các em còn thiếu các kiến thức và kỹ năng cơ bản khi học toán. 
Qua quan sát và theo dõi bản thân tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh chăm chỉ, lí thuyết thuộc lòng nhưng khi giải toán rất thụ động và thiếu niềm tin, bởi vậy bản thân nghĩ rằng yếu tố quyết định đến kết quả học của học sinh chính là phương pháp “ Phương pháp dạy của thầy và phương pháp học của trò” cần phải dạy cho học sinh phương pháp học toán trước khi dạy toán, cách vận dụng kiến thức, khai thác bài toán từ bài toán gốc..
Trong Toán học bao gồm nhiều nội dung, nhiều dạng toán khác nhau, các dạng toán có thể không liên quan với nhau, có thể ít liên quan, cũng có thể liện quan mật thiết với nhau song học sinh rất khó nhận ra điều này. Đặc biệt là các bài toán chứng minh, tính giá trị biểu thức.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề: 
A - CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Lý thuyết cơ bản học sinh cần nắm được:
1. Tính chất tỉ lệ thức: 
1.1 ad = bc (b; d 0)
1.2 Từ tỉ lệ thức ta suy ra tỉ lệ thức sau: 
 ; (với a; b; c; d khác 0) 
Như vậy với a; b; c; d khác 0 từ một trong năm đẳng thức nêu trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại
ad = bc
 2. Tính chất dãy tỷ số bằng nhau. 
Từ ta suy ra. 
 (b + d 0) (2 . 1) 
 (b – d 0) (2 . 2)
* Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra 
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
3.Tính chất cơ bản của phân số
 Với m 0 và với n là ước chung của a;b
4.Tính chất lũy thừa
 Nếu a = b => an = bn với n N
B. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Thông qua việc nghiên cứu và giảng dạy các bài toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong sách giáo khoa, sách tham khảo tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản trong đại số 7 và hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải và phát triển từng dạng toán . Sau đây là một số dạng toán được phát triển theo hướng trên:
DẠNG 1
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
* Bài toán cơ bản 
Bài toán 1 .	
 Cho . Chứng minh 
Phân tích: 
+ Ta thấy đẳng thức cần chứng minh xuất hiện tổng và hiệu của các số hạng trên và số hạng dưới
+ Dấu hiệu nhận thấy tính chất cần dùng ở đây là (1.2); (3.1) và (2.1)
Hướng giải
Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Ta có: 	= (1) 
 	= (2)
Từ (1) và (2) ta có = ( ĐPCM)
Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức để tính:
Đặt = k => a =kb; c = kd
 	Ta có: (3)
 = (4)	
 	Từ (3) và (4) ta có = ( ĐPCM)
Bài toán 2 
 Chứng minh rằng nếu a2 = bc (với a b và a c; a,b,c 0)
	Thì (*) 
	Giáo viên cần yêu cầu học sinh tìm ra các hướng giải bài toán. 
Hướng giải
Cách 1: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức:
Đặt 
	Ta có: ( ĐPCM)
Cách 2: Dùng cách biến đổi tương đương:
Từ a2 = bc 
	=> 2a2 = 2bc 
	=> a2 + a2 = bc + bc 
	=> a2 – bc = bc – a2 
	=> ac – ab + a2 – bc = ac – ab + bc – a2 
	=> (ac – cb) + (a2 – ab) = (ac – a2) + (bc – ab) 
	=> c (a-b) + a(a-b) = a (c-a) +b (c-a) 
	=> (a-b) (c+a) = (a+b) (c-a) 
	=> ( ĐPCM)
Bài toán 3
 Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức 
 Ta có thể suy ra tỉ lệ thức 
* Từ cách phân tích như trên GV có thể cho học sinh tự tìm lời giải
Hướng giải
Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Từ => (vì c; d 0)
 (vì c + d 0; c – d 0)
Từ ( ĐPCM)
Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức
 	Đặt 
 	Ta có: (k 1 vì a b) 
 	 (**)
	Từ (*) và (**) => ( ĐPCM)
Cách 3: Từ 
	=> bc – ad = ad - bc
	=> ac – bd + bc – ad = ac – bd + ad – bc 
	=> (ac + bc) – (bd + ad) = (ac – bc) – (bd – ad) 
	=> c (a + b) – d (a+b) = c (a-b) + d (a-b) 
	=> (a+b) (c-d) = (a-b) (c + d) 
	=> ( ĐPCM)
Bài toán 4
Cho . Chứng minh. 
Hướng giải
Phát triển từ cách giải của bài toán 2 và 3 ta chứng minh được:
Bài toán 5
 	 Cho . Chứng minh 
* Phân tích: 
+ Ta thấy dấu hiệu chứng minh giống các bài tập nêu trên , điểm khác là xuất hiện: 2a, 2b, 3c, 3d
+ Để đi đến kết luận ta suy nghĩ tìm cách làm xuất hiện các biểu thức
+ Để xuất hiện biểu thức trên cần áp dụng tính chất cơ bản của phân số
 với m0
Hướng giải
Cách 1. Từ = 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có 
= = (1)
= = (2)
Từ (1) và (2) suy ta ( ĐPCM)
Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức
 	Đặt = k. Thực hiện như cách 2 của bài toán 3
* Bài toán phát triển
 Cho . Chứng minh :
1. 2. 
3. 4. 
5. (b – d)c = (a – c)d 6. 2a + 3b)(4c – 3d) = (4a – 3b)(4c + 3d)
7. 8. 
 (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Bài toán 6
Cho . Chứng minh 
GV: Khi gặp bài toán dạng này tâm lí học sinh thường cảm thấy sợ, nếu giáo viên hướng dẫn học sinh cách quan sát, nhận định thì thực chất đây cũng là dạng bài tập nêu trên.
* Phân tích: 
+ Ta thấy đẳng thức cần chứng minh có dạng bài toán 1 và bài toán 2 nhưng xuất hiện thêm các bình phương bởi vậy ta phải làm gì để xuất hiện lũy thừa.
Hướng giải
Cách 1: 
Từ = 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có 
 Do đó: = ( ĐPCM)
* Lưu ý: Lỗi suy luận sai học sinh hay mắc phải
 Ta có: = ( Suy luận sai)
 Suy luận đúng : 
Cách 2: Đặt = k. Thực hiện như cách giải của các bài trên
* Giáo viên có thể mở rộng, phát triển các bài tập cùng dạng sau: 
Bài toán 7
Cho . Chứng minh 
Hướng giải
Tương tự cách giải: 
Cách 1: Từ = => 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có 
 Do đó: = ( ĐPCM)
Cách 2: Đặt = k => .
* Nhận xét: Qua cách phát triển của bài toán 4 và bài toán 5 thì có thể thấy việc chứng minh đẳng thức với lũy thừa bao nhiêu điều đó không còn quan trọng nữa. 
Bài toán phát triển
 Cho . Chứng minh 
1. 2. 
3. 4. 
5. 6. 
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Bài toán 8 
Cho . Chúng minh rằng: 
* Lưu ý ‎: Để giải bài toán này đòi hỏi học sinh có bước suy luận cao hơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tinh tế các bước biến đổi từ các tính chất của tỉ lệ thức để có cách giải phù hợp.
Hướng giải
Cách 1: Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế, biến đổi ta có lời giải sau:
 Từ: b2 = ac. Thay thế vào vế trái ta có:
 (đpcm)
 Cách 2: Vận dụng tính chất đơn điệu của phép nhân (lũy thừa) của đẳng thức đẳng thức ta có lời giả sau:
	(1)
Mà: (2)
	Từ (1) và (2) (đpcm)
GV: Tương tự như trên ta có thể phát triển cách giải các bài toán sau.
Bài toán 9 
Cho . Chứng minh 
Phân tích: 
+ Ta thấy đẳng thức cần chứng minh không những xuất hiện tổng các lũy thừa mà còn xuất hiện tích ac; bd, bởi vậy ta phải vận dụng linh hoạt tỉ lệ thức và dãy tỉ số bàng nhau.
+ Dấu hiệu nhận thấy tính chất cần dùng ở đây là (1.1);(2.1) và (3.1)
Hướng giải
Cách 1: Tính chất mở rộng của tỉ lệ thức
 Từ = 
 Do đó: = (1)
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 
 = (2)
 Từ (1) và (2) suy ra = ( ĐPCM)
Cách 2: Tính giá trị của biểu thức
Đặt = k thì a = kb, c = kd. 
 Ta có: = = (1)
 = = = 
Từ (1) và (2) suy ra = ( ĐPCM)
Cách 3: Biến đổi tương đương
 Xét tích ac( b2 + d2) và bd(a2 + c2)
 Ta có: 
 ac( b2 + d2) = ab2c + acd2 = ab.bc + ac.cd (1)
 bd(a2 + c2) = a2bd + bc2d = ab.bd + bc.cd (2)
 So sánh (1) và (2) và chú y‎ rằng ad = bc ( vì )
 Suy ra: ac( b2 + d2) = bd(a2 + c2). 
 Do đó: = ( ĐPCM)
Bài toán 10 
 Cho: . Chứng minh: .
Hướng giải
Ta có: (1) ; (2)
Từ (1) và (2) => .
* Bài toán phát triển
 	Cho . Chứng minh 
1. = 2. 
3. 4. 
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
 Bài toán 11: 
	Cho a, b, c thỏa mãn 
	Chứng minh rằng: 4(a – b) (b – c) = (c – a)2 (*) 
* Phân tích: 
 - Bài toán đã cho xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau. 
 - Dấu hiệu của kiến thức cần vận dụng là tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
 - Làm thế nào để xuất hiện các thành phần là a – b; b – c; c – a? 
 - Từ đó GV định hướng học sinh tìm lời giải
Hướng giải
Cách 1: 
	Từ giả thiết áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
	=> 
	=> 4 (a-b) (b-c) = (c-a)2 
Cách 2: Dùng cách tính giá trị biểu thức
 Đặt 
	=> a = 2008k ; b = 2009k ; c = 2010k 
	Ta có: 4(a – b) ( b- c) = 4 (2008k – 2009k) (2009k – 2010k) 
 	= 4.(-k). (-k) = 4k2.
	=> 4 ( a – b) (b – c) = 4k2 (1) 
	(c – a)2 = (2010k – 2008k)2 = (2k)2 = 4k2 (2)
	Từ (1) và (2) => 4( a – b) (b – c) = (c - a)2. 
	GV: Ta thấy 4 (a – b) (b – c) = (2a – 2b) (2b – 2c) 
	Để chứng minh (*) ta có thể biểu diễn 2b qua a + c như thế nào? 
Cách 3: Từ giả thiết ta có:
= 4 (a-b) (b-c) = (2a – 2b) (2b – 2c) 
= (2a – a – c) (a + c – 2c) 
= (a-c) (a –c) = (a – c)2 
* Nhận xét: Trong quá trình triển khai dạng toán 1 qua khảo sát cho thấy học sinh rất hứng thú học tập và mong đợi được làm các bài tập cùng dạng, kết quả mang lại rất khả quan.
* Kết luận: Thông qua các bài toán cơ bản trên thì có thể thấy việc giải và phát triển qua từng bài sẽ làm cho học sinh tự tin, chủ động và hứng thú hơn trong quá trình làm bài tập, từ đó cho thấy học toán, giải toán chứng minh đẳng thức khi sử dụng tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau với học sinh không còn là khó nữa
DẠNG 2
TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài toán cơ bản 
Bài toán 12 
Cho với a,b,c 0 và a + b + c . So sánh các số a, b, c
	 Phân tích
Dấu hiệu của bài toán cho là một dãy tỉ số bằng nhau. 
Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải
Hướng giải
Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có 
 	 (Do a + b + c )
 a = b; b = c; c = a a = b = c
*Lưu ý: 
Lỗi sai phần lớn là do kiến thúc khi chưa khẳng định được a + b + c 0
Cách 2: Đặt 
	=> a = k.b ; b = c.k ; c = a.k 
	=> a.b.c = (bk) . (c.k). (a.k) = abc . k3 => k3 = 1 (do a.b.c 0)
	=> k = 1; => a = b ; b = c ; c = a => a = b = c. 
Cách 3: Đặt => a=bk; b = ck; c = ak. 
	=> a=bk = (c.k).k = [(ak).(k)].k = ak3 => k3 = 1 (vì a 0)
	=> k = 1 => a = b = c. 
Cách 4: => k3 = (vì a.b.c 0)
k = 1 => a = b = c. 
Bài toán 13 
 	Cho , và x; y; z là những số khác 0 . 
 	Tính A = 
* Phân tích
- Dấu hiệu cho xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau và lũy thừa là:
 3333 + 6666 = 9999. Nếu chỉ ra x = y = z thi đi đến được kết quả
- Kiến thức vận dụng là gì ? Bài toán số 12 là hương giải quyết.
Hướng giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 	 (Do x + y + z )
 x = y; y = z; z = x x = y = z. Đặt 
 Khi đó: A = = = = 1
Ta có thể phát triển bài toán trên thành các bài toán sau:
Bài toán 14 
 	Cho xz = y; xy = z , và x; y; z là những số khác 0 . 
 	Tính giá trị biểu thức: P = 
Hướng giải
Ta có: xz = y (1) và xy = z (2)
Từ (1) và (2) . 
Áp dụng cách giải của bài toán số 13 ta có: x = y = z. Vậy: P = 1
Bài toán 15 
 Cho yz = x; xz = y; và x; y; z là những số khác 0 . 
 Tính giá trị biểu thức: B = 
Hướng giải
 	Áp dụng cách giải của bài toán số 12 ta có: x = y = z. Đặt 
Vậy: B = = = 3
* Bài toán phát triển
 	1.Cho 
	Chứng minh rằng: a1 = a2 = =an. 
Cho và a = 2008. Tính b; c? 
3. Cho; và a; b; c là những số khác 0 . 
 Tính A = 
4. Cho b2 = ac ; c2 = ab. 
	Chứng minh rằng (30a + 4b + 1975c)2008 = 20092008a2007. 
5. Cho 
	Tính giá trị biểu thức M = 
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Nhận xét: Thông qua các bài toán cơ bản trên thì có thể thấy việc giải và phát triển qua từng bài sẽ làm cho học sinh tự tin, chủ động và hứng thú hơn trong quá trình giải toán.
DẠNG 3
TÌM CÁC SỐ BIẾT TỔNG, HIỆU HOẶC TÍCH VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
* Bài toán cơ bản 
Bài toán 16: Tìm các số x ; y biết và x + y = 10 
Gợi ý: Giả thiết x + y = 10 và tỉ lệ thức ta áp dụng tính chất nào ở trên?	
Hướng giải
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
 = = 
=> x = 2.2 = 4 ; y = 2.3 = 6
* Để khắc sâu và phát huy tính sáng tạo của học sinh giáo viên phát triển các bài tập tương tự. 
Bài toán 17 
	Tìm x ; y ; z biết. 
	 và 5x + y – 2z = 28 
Gợi ý: Ở bài này, để áp dụng được cách giải của bài toán 16 ta làm thế nào ?
Hướng giải
Từ giả thiết: 
	=> x = 10.2 = 20 ; y = 6.2 = 12 ; z = 21.2 = 42
 * Từ đó giáo viên phát triển các bài tập sau: 
Bài toán 18 
Tìm x ; y ; z biết: 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32
Hướng giải
	Câu hỏi tình huống: Làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng ?
Từ
Từ
Từ đó sử dụng cách giải của bài toán 17
Bài toán 19
 Tìm các số x ; y biết và x2 + y2 = 100
Hướng giải
 Từ: => => = 
 => => x =; = 4.16 = 64 => y =8
+ Nếu x = 6 => y = 8
	+ Nếu x = -6 => y = -8
Bài toán 20
 Cho: và 5a – 3b – 4 c = 46 . Xác định a, b, c
Hướng giải
Cách 1
 =
a = -3 ; b = -11; c = -7.
Cách 2 : Dùng phương pháp thay thế
Đặt : = t ; Sau đó rút ra a, b, c theo t thay và biêu thức tìm được t = -2, từ đó timg được a, b, c
Bài toán 21 : Tìm x ; y ; z biết
 = 
Hướng giải
 Điều kiện : x ; y ; z ¹ 0
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có VT
 	= . Do 	
 	=> x + y = 0.5 – z; y + z = 0.5 – x; x + z = 0.5 – y
Thay các giá trị vào dãy tỉ số trên ta được
1. 0.5 – x + 1 = 2x x = 0.5
2. 0.5 – y + 2 = 2y y = 
3. 0.5 – z – 3 = 2z z = - 
 Vây: (x; y; z) = (0.5; ; - )
 * Theo tinh thần trên giáo viên tiếp tục thể phát triển lên các dạng bài tập
* Bài toán phát triển 
	Tìm x ; y ; z biết. 
1. và x + y + z = 49 
	2. và 2x + 3y – z = 50
	3. 4x = 5y và 3x – 2y = 30
	4. 3x = 2y và 
	5. 3x = 2y và (x+y)3 – (x-y)3 = 126
 6. = 
Bài toán 22 : Bài toán cơ bản
 Tìm x, y biết (1) và x.y = 90
GV: Từ làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số trong đó có thành phần là (xy)? Từ đó giúp học sinh định hướng cách giải. 
Hướng giải
Cách 1: Dùng phương pháp tính giá trị dãy số để tính ta có lời giải sau.
 	Đặt 
90 = xy = (2k) . (5k) = 10k2 => k2 = 90 : 10 = 9 => k = 3. 
	+ Nếu k = 3 => x = 2k = 6 => y = 5k = 15 
	+ Nếu k = -3 => x = 2k = -6 => y = 5k = -15 
Cách 2: Sử dụng tính chất của phép nhân ta có lời giải sau giải
Từ: xy = 90 => x 0. Nhân 2 vế của (1) với x ta có: 
	+ Nếu x = 6 => 
	+ Nếu x = -6 => 
Cách 3: Tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có lời giải sau:
 	=> 
	+ Nếu x = 6 => y = 15
	+ Nếu x = -6 => y = -15
*Lưu ý: Lỗi suy luận sai học sinh hay mắc phải
Ta có: = ( Suy luận sai) 
Cách 4: Sử dụng phương pháp thay thế ta có lời giải sau:
	Từ 
	=> 90 = xy = x.
	=> x2 = 
	+ Nếu x = 6 => y = 15
	+ Nếu x = -6 => y = -15
* Lưu ý: Ở bài toán trên nếu kết luận: x = 6 ; y = 15 là sai.
* Bài toán phát triển 
	Tìm x; y biết: 
 1. 2x = 3y và xy = 24 2. 5x = 2z; 5y = 3z và xyz = 810 
 3. và x.y2 = 96 4 . và x2.y = 96
* Nhận xét: Từ việc giải và phát triển các bài toán cơ bản trong SGK lên các bài tập nâng cao một cách rất tự nhiên đã làm cho học sinh quên mất rằng minh đang giải quyết các dạng toán mà trước đấy được coi là khó, bằng cách này đã nâng cao năng lực học toán của học sinh
DẠNG 4
CHIA MỘT SỐ THÀNH CÁC PHẦN TỈ LỆ VỚI CÁC SỐ CHO TRƯỚC
Bài toán 23: Bài toán cơ bản
 Chia số 30 thành ba phần tỉ lệ thuận với 4; 5; 6 Tính giá trị mỗi phần
* Phân tích
* Gợi ý: Để tìm lời giải cho bài toán này tôi đưa ra nhận xét xem liệu có cách nào đưa các giá trị cần tìm lập thành biểu thức để có thể xuất hiện và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không ? Suy nghỉ đến tính chất của các đại lượng tỉ lệ thuận.
Hướng giải
 	Gọi giá trị cỉa mỗi số phải tìm là x; y; z
Theo đề ra ta có: và 
Từ đó ta có: = = 2
 x = 8 ; y = 10; z = 12
Để khắc sâu và phát huy tính sáng tạo của học sinh giáo viên phát triển các bài tập tương tự sau: 
Bài toán 24 
Chia số 130 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 4; 3; 2 Tính giá trị mỗi phần
Gợi ý: Tương tự như trên ta nghĩ đến tính chất của các đại lượng tỉ lệ nghịch
Hướng giải
Gọi giá trị cỉa mỗi số phải tìm là x; y; z 0
Theo đề ra ta có: 4x = 3y = 2z và 
Từ: 4x = 3y = 2z => = 
 x = 30 ; y = 40; z = 60
Bài toán