SKKN Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán hình học THCS tăng sự phát triển tư duy, sáng tạo, hứng thú cho học sinh học Toán lớp 9

I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, Đảng, Nhà nước đang rất quan tâm, chú trọng đặt nhiệm vụ giáo dục là nhiệm vụ cấp thiết hàng đầu, tập trung kinh phí, tạo điều kiện tốt nhất cho công tác giáo dục. Ngành giáo dục đã và đang trong công cuộc “đổi mới giáo dục”. Hoàn thiện chương trình SGK, đổi mới phương pháp dạy học, tuyên truyền hưởng ứng các cuộc vận động nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục nước nhà hiện nay.
Đào tạo học sinh phát triển toàn diện đó là mục tiêu cao nhất của giáo dục Việt Nam nói chung và giáo dục Quảng Xương nói riêng. Nâng cao chất lượng dạy và học ở trường THCS, chú trọng đến từng đối tượng học sinh. Bên cạnh vấn đề cấp thiết là giúp đỡ học sinh yếu kém, nâng cao chất lượng học sinh đại trà, chú trọng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Toán học là một bộ phận khoa học có tầm hết sức quan trọng trong phát triển khoa học kỹ thuật và đời sống. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán để đào tạo ra những người giỏi toán là việc rất cần thiết.
Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại những bài toán khó cho học sinh trung học cơ sở, kể cả học sinh giỏi lúng túng khi gặp dạng toán này. Thực sự đây là một phần rất quan trọng trong hình học, và những kiến thức về bất đẳng thức trong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của toán học.
2. Mục đích nghiên cứu
Qua thực tế những năm trực tiếp giảng dạy và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9, tôi nhận thấy việc vận dụng và khai thác bất đẳng thức Côsi trong quá trình giải các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học là một hướng tiếp cận hiệu quả, không chỉ bởi lẽ đối tượng của hình học (diện tích, độ dài đoạn thẳng, số đo góc,...) và đối tượng để áp dụng BĐT Côsi là tương đồng (đại lượng không âm), mà còn bởi tính đa dạng, đẹp của BĐT Côsi trong vận dụng. Sự khéo léo, linh hoạt trong việc vận dụng và khai thác BĐT Côsi là một yêu cầu đối với học sinh giỏi Toán. Mức độ khó, dễ của bài toán cũng có thể được điều chỉnh tùy theo chủ ý của người ra đề. Với những suy nghĩ đó, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài
“Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán hình học THCS tăng sự phát triển tư duy, sáng tạo, hứng thú cho học sinh học toán lớp 9”, mà cụ thể là các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học. Nội dung đề tài tạm chia làm ba phần. Phần một gồm một số bài toán điển hình và những nhận xét của tác giả. Phần hai là một vài suy nghĩ và những trao đổi xung quanh việc vận dụng một bài toán gốc của đại số để cho ra những bài toán với những mức độ khác nhau của hình học, thông qua những ví dụ cụ thể minh họa. Và phần ba là giới thiệu một số bài tập.
Mong đây là một tài liệu tham khảo bổ ích với các em học sinh giỏi toán lớp 9, và các thầy cô tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS cùng các độc giả yêu thích toán học.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Phần kiến thức: Lý thuyết bài tập về bất đẳng thức hình học, cực trị hình học. 
- Học sinh: Học sinh khá giỏi khối 9 tại trường THCS Nguyễn Du – Quảng Xương.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp quan sát: Thực trạng về công tác chỉ đạo, công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, quá trình học tập, chất lượng học tập của học sinh khá, giỏi.
Phương pháp nghiên cứu tài liệu như nghiên cứu sách, giáo trình có liên quan đến kiến thức, bài tập về bất đẳng thức hình học, cực trị hình học. Nghiên cứu chất lượng học sinh. Nghiên cứu công tác chỉ đạo của nhà trường đối với công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận:
Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh. Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết vô cùng quan trọng trong việc học toán.
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo toán học, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm hiểu cách giải, đồng thời người thầy giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lí nhất. Phát hiện ra những cách giải tương tự và khái quát đường lối chung. Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hóa bài toán thành bài toán tổng quát và xây dựng bài toán tương tự.
2. Thực trạng vấn đề:
2.1. Thực trạng vấn đề
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán ở trường THCS, rồi tham khảo các tài liệu, học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp và sự tích lũy trau dồi của bản thân, đặc biệt qua quá trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi bộ môn toán, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh. Tôi nhận thấy các bài toán về bất đẳng thức hình học nói chung và đặc biệt là các bài toán cực trị hình học nói riêng là những dạng bài mà học sinh vẫn còn lúng túng, còn tỏ ra không hứng thú khi gặp dạng toán này.
2.2. Kết quả khảo sát đánh giá học sinh
Trước khi viết đề tài “Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán hình học THCS tăng sự phát triển tư duy, sáng tạo, hứng thú cho học sinh học toán lớp 9”, và cũng chưa giảng dạy cho học sinh phương pháp giải loại toán này tôi đã khảo sát chất lượng 20 học sinh khá, giỏi lớp 9C1 trường THCS Nguyễn Du bằng cách làm một số bài kiểm tra về bài toán bất đẳng thức hình học và cực trị hình học của khối lớp 9 thì thấy kết quả như sau:
Điểm
Tổng số HS 20
0 ® 4,9
5 ® 6,4
6,5 ® 7,9
8 ® 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12
60
6
30
2
10
0
0
Từ thực tế đó tôi đã tìm hiểu, đưa ra bài viết “Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán hình học THCS tăng sự phát triển tư duy, sáng tạo, hứng thú cho học sinh học toán lớp 9”, nhằm đưa đến cho các em các phương pháp giải bài tập về bất đẳng thức hình học, cực trị hình học. Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã thu được kết quả đáng kể trong việc nâng cao chất lượng học sinh cũng như đạt kết quả cao các kỳ thi học sinh giỏi các cấp.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện:
Kế hoạch và thời gian nghiên cứu
Chủ đề này tôi áp dụng trong trường THCS Nguyễn Du trong thời gian từ đầu năm học 2017 - 2018 và tiếp trong những năm học sau với tinh thần rút ra những bài học kinh nghiệm và có sửa chữa, bổ sung cho phù hợp với các đối tượng và giai đoạn cụ thể:
* Năm 2016 – 2017 : Tìm hiểu, xây dựng khung chương trình, nghiên cứu tài liệu và xây dựng đề cương.
* Năm học 2017 – 2018 : Thực nghiệm và so sánh kết quả.
4. Nội dung nghiên cứu
Phần thứ nhất: Một số bài toán liên quan đến bất đẳng thức hình học sử dụng bất đẳng thức Côsi.
Phần thứ hai: Các bài toán gốc đại số vận dụng vào giải một số bài cực trị hình học sử dụng bất đẳng thức Côsi.
4.1. Định hướng chung
Bài tập về bất đẳng thức hình học, cực trị hình học rất đa dạng nhưng để làm các bài tập đó trước tiên học sinh phải nắm vững được kiến thức cơ bản.
1. Bất đẳng thức Côsi: cho hai số a; b là các số không âm
Ta luôn có: . Dấu “=” xảy ra khi 
2. Bất đẳng thức Côsi: cho ba số a; b; c là các số không âm
Ta luôn có: . Dấu “=” xảy ra khi 
3. Bất đẳng thức Côsi: Cho n số: là các số không âm
Ta luôn có: Dấu “=” xảy ra khi 
Cách phát biểu khác cho BĐT Côsi là: Với các số không âm, trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân. Trung bình cộng và trung bình nhân bằng nhau khi và chỉ khi các số đó bằng nhau.
Ý nghĩa của BĐT Côsi: + n số không âm có tổng không đổi, tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi các số đó bằng nhau.
n số dương có tích không đổi, tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi các số đó bằng nhau.
Phát triển bài toán hình học từ một bài toán gốc đại số.
4. Bài toán gốc: Chứng minh rằng nếu là các số dương, thì
Chứng minh: Theo bất đẳng thức Côsi, ta có:
 (1); 	 (2)
Do các vế của (1) và (2) đều là các số dương, nên nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên, ta được: 
Dấu “=” xảy ra khi 
Trong nhiều bài toán, người ta thường sử dụng ba trường hợp riêng sau đây:
1. Với mọi a, b > 0, ta có: 
2. Với mọi a, b, c > 0, ta có: 
3. Với mọi a, b, c > 0, ta có: 
Sau đây là ví dụ về việc sử dụng bài toán gốc đó trong một số bài toán cụ thể.
4.2. Một số bài toán điển hình
Bài 1: [7] Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:
Lời giải
Dễ thấy (g.g)ÞÞ (1)
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: (2)
Dấu “=” trong (2) xảy ra Û ; Từ (1) và (2) Þ (3)
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có:
 (4); (5); (6)
Dấu bằng trong (4), (5), (6) xảy ra tương ứng khi , , .
Cộng từng vế của (3), (4), (5), (6) ta được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi Û ABCD là hình chữ nhật.
Nhận xét: Trong bài toán trên, mặc dù dấu của bất đẳng thức cần chứng minh là , trong khi cả hai vế của bất đẳng thức đều ở dạng tổng của các hạng tử. Chìa khóa để giải quyết bài toán ở đây chính là việc chuyển đổi mỗi hạng tử của vế trái thành dạng căn bậc hai của một tích , từ đó áp dụng bất đẳng thức Côsi chứng minh được mỗi hạng tử đó của vế trái một nửa tổng hai hạng tử của vế phải. Vì vậy, việc linh hoạt biến đổi bài toán để áp dụng được bất đẳng thức Côsi trong những trường hợp cụ thể là rất cần thiết, đòi hỏi ở người làm toán sự tư duy, tìm tòi và sáng tạo.
Bài 2: [3] Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ba chiều cao , , ; ba trung tuyến , , . Giả sử , , . 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Áp dụng định lý Menelauyt trong tam giác với đường thẳng , 
Ta có: . Suy ra: (1)
Do là trung tuyến nên 
và vì nên ; Vậy từ (1) Þ.
Hoàn toàn tương tự, ta có: , 
Từ đó: 
Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi, thì: 
Vậy: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi thì tam giác ABC đều.
Bài 3: Cho M nằm trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có: 
Đặt: , , , Khi đó , 
Nên: 
Do a, b là hằng số nên nhỏ nhất Û lớn nhất.
Theo bất đẳng thức Côsi: 
Nên . Dấu bằng xảy ra khi Û
Như vậy . Điểm C, D được xác định thứ tự trên các tia Ax, By sao cho , .
Nhận xét: Điểm sáng tạo trong cách giải trên là ta đã chọn biến là các tỉ số lượng giác , .
Giữa , , có liên hệ bởi BĐT Côsi: .
Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm M di động trên cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D, E. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
Lời giải
Cách 1:
Ta thấy lớn nhất lớn nhất. Kẻ , cắt MD ở H. ()
, . Suy ra: 
Đặt , , ta có: , 
Do đó: (*)
Theo bất đẳng thức Côsi: (**)
Từ (*) và (**), ta được: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Như vậy , khi đó M là trung điểm của BC.
Cách 2:
Ký hiệu , , .
Rõ ràng lớn nhất nhỏ nhất nhỏ nhất.
Vì các tam giác DBM và EMC cùng đồng dạng với tam giác ABC nên:
, 
Suy ra: . Như vậy 
Nên . Xảy ra dấu bằng .
Kết luận: , khi đó M là trung điểm BC.
Nhận xét: Cách 1, ta đã xét một biểu thức trung gian, đó là tỉ số giữa diện tích hình bình hành ADME và diện tích tam giác ABC, bất đẳng thức Côsi dạng . Cách 2, ta cũng xét biểu thức trung gian đó là tỉ số giữa tổng diện tích của các , và diện tích , vì vậy lại áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng . Qua đây cho thấy, cùng một bài toán, nhưng với cách khai thác khác nhau thì việc vận dụng bất đẳng thức Côsi sẽ ở những dạng khác nhau. Vấn đề là đòi hỏi ở người làm toán khả năng vận dụng linh hoạt, hợp lý để đạt được mục đích cụ thể.
Dưới đây là hai bài toán, vẫn là bài toán cực trị hình học nhưng ta lại vận dụng bất đẳng thức Côsi ở khía cạnh khác. Với hai số dương x, y có tổng không đổi, thì tích xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi . Ngược lại nếu tích xy khoong đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi .
Bài 5: [4] Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a. Gọi D là trung điểm AB. Điểm E di chuyển trên cạnh AC. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D, E đến BC. Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH. Khi đó hình thang trở thành hình gì?
Lời giải
Ta có: 
Ta thấy tổng không đổi (bằng cho trước) 
Nên tích lớn nhất khi và chỉ khi .
Do đó: 
Khi đó hình thang DEKH có đường cao và nếu kẻ thì do tam giác ABC vuông cân tại A nên , nên 
Vậy 
Khi đó , . Hình thang DEKH là hình chữ nhật, E là trung điểm AC.
Nhận xét: Trong cách giải bài toán trên nếu ta biểu thị ; thì ta có: (không đổi) nên tích lớn nhất khi và chỉ khi 
Bài 6: [8] Cho đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Kẻ đường thẳng qua O cắt hai cạnh CA, CB của tam giác theo thứ tự ở M và N. Đường thẳng ở vị trí nào thì tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất?
Lời giải
Gọi S là diện tích, ta có 
Do đó: (1)
Theo bất đẳng thức Côsi: (2). Mặt khác: (3)
Kết hợp (1), (2), (3) suy ra: 
Hay . Vậy S nhỏ nhất bằng 2r2 khi . Tam giác CMN cân đỉnh C có CO là phân giác nên .
Kết luận: Đường thẳng tại O thì có diện tích nhỏ nhất.
Nhận xét: Có thể diễn đạt kết quả bài toán trên dưới dạng sau: Cho điểm O thuộc tia phân giác của góc C, một đường thẳng bất kì đi qua O cắt hai cạnh của góc C tại M và N. Tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi CO là đường cao của tam giác.
Cách khác: Cho điểm O thuộc tia phân giác của góc C, một đường thẳng bất kì đi qua O cắt hai cạnh của góc C tại M và N. có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi CO là trung tuyến của tam giác.
Ta còn có kết quả mạnh hơn bằng cách bỏ điều kiện O thuộc tia phân giác góc C: Cho điểm O nằm trong góc C, một đường thẳng bất kì đi qua O cắt hai cạnh của góc C tại M và N. Tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi CO là trung tuyến của tam giác. Dưới đây là hai cách giải bài toán này:
Cách 1: Xét nhận CO là trung tuyến và có DE đi qua O nhưng . Lấy I trên đoạn OE sao cho .
Ta có: (c.g.c) .
Cách 2: Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của góc C, tạo thành hình bình hành OHCK.
Theo kết quả Bài 4, ta có:.
Do góc C và điểm O cố định nên không đổi.
Vì vậy , khi O là trung điểm của MN.
Để dựng điểm M, ta chỉ cần lấy M sao cho H là trung điểm của CM
Nhận xét: Qua những bài toán điển hình tôi đã lựa chọn ở trên, một số bài toán sẽ còn có những cách giải khác. Tuy nhiên, với việc khai thác linh hoạt và hợp lý của bất đẳng thức Côsi, cùng những kết quả khác của hình học, lời giải qua các ví dụ đó đã ngắn gọn và đẹp hơn. Đối với người học (đối tượng là học sinh giỏi Toán 9), thì có thể coi đây là những gợi ý, định hướng suy nghĩ và tìm tòi lời giải cho một số bài toán cực trị hình học. Còn đối với người dạy (giáo viên), đây cũng có thể coi như những ý kiến tham khảo, trao đổi về việc khai thác bất đẳng thức Côsi trong việc đưa ra các bài toán cực trị hình học hay những bài toán giải quyết những vấn đề có ý nghĩa thực tiễn trong cuộc sống.
Bài 7: [7] Cho , O là điểm tùy ý trong tam giác. AO, BO, CO kéo dài cắt các cạnh đối diện thứ tự tại M, N, P. Chứng minh: .
Lời giải
Theo định lý Seva, ta có: (1)
Áp dụng kết quả bài toán gốc với trường hợp riêng thứ 2, ta có:
 (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , mà 
Nên M là trọng tâm .
Bài 8: [1] Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Ba trung tuyến AA’, BB’, CC’ lần lượt cắt (O) tại , , . Chứng minh rằng:
 (*)
Lời giải
Đặt , , .
Vì tứ giác nội tiếp (O), cắt BC tại A’ nên: 
Mà AA’ là trung tuyến của nên: 
Suy ra: 
Ta có: (1)
Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được:
 (2) và (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) thì: (*)
 (2*)
Rõ ràng (2*) đúng với bài toán gốc nêu ở trên. Do đó (*) đúng.
Dấu bằng trong (*) xảy ra khi và chỉ khi , tức là đều.
Nhận xét: Vận dụng bài toán gốc, nhưng được phát triển sâu hơn, cùng với học sinh phải biết được công thức trung tuyến (coi như một bài toán phụ): .
Cũng có thể học sinh dừng lại ở chỗ. Đây chính là nội dung của bất đẳng thức Nesbit (với ): . Bất đẳng thức Nesbit được chứng minh qua kết quả của bài toán gốc nêu ở trên.
Dưới đây là một bài toán nữa, được coi như là “minh họa hình học” cho bất đẳng thức Nesbit.
Bài 9: [5] Cho tam giác ABC. Vẽ ba phân giác AA’, BB’, CC’. Gọi , , tương ứng là các khoảng cách từ A’ đến AB, B’ đến BC, C’ đến CA. Gọi tương ứng là ba chiều cao của tam giác kẻ từ A, B, C. Chứng minh rằng: 
Lời giải
Kẻ và theo đó, , .
Trong có: (1)
Mặt khác, do AA’ phân giác của ,
Nên: (2)
Thay (2) vào (1) ta được: (3)
Hoàn toàn tương tự, ta có: (4) và (5)
Cộng từng vế của (3), (4), (5), ta được: 
Bài 10: [2] Gọi H là trực tâm của tam giác ABC có ba góc nhọn với ba đường . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Gọi diện tích các tam giác: ; ; ; lần lượt là Thì 
Ta có: (1); (2); (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra: 
Do đó: (theo BĐT Côsi)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , lúc đó H vừa là trực tâm, vừa là trọng tâm của tam giác ABC, nên tam giác ABC là tam giác đều.
Nhận xét: Từ ba bài toán bất đẳng thức đại số quen thuộc
1. Với mọi a, b > 0, ta có: 
2. Với mọi a, b, c > 0, ta có: 
3. Với mọi a, b, c > 0, ta có: 
Vận dụng vào giải và sáng tạo ra các bài toán bất đẳng thức hình học hoặc tìm cực trị hình học.
Dạng toán này lúc đầu các em còn lúng túng khi sử dụng tính chất bất đẳng thức, sau khi được làm các bài tập ví dụ và làm thêm các bài tập áp dụng thì đại đa số các em đã biết cách giải dạng toán này, không còn sai sót.
5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
5.1. Kiểm nghiệm
Sau khi phân loại bài tập về bất đẳng thức hình học, cực trị hình học tôi thấy có sự thay đổi rõ rệt qua các lần theo dõi cũng như kiểm tra học sinh. Việc nhận dạng các bài toán của học sinh nhanh hơn. Học sinh đưa ra hướng giải nhanh và chính xác hơn, kiến thức học sinh đã theo hệ thống chặt chẽ và logic hơn.
Thực tế cũng cho thấy, khi phân loại bài toán giúp bài giảng giáo viên trở nên hấp dẫn, cuốn hút học sinh hơn, giúp học sinh giải quyết vấn đề đặt ra một cách nhanh chóng và chính xác.
Sau đây là kết quả khảo sát học sinh sau khi tôi đã dạy cho học sinh dạng toán này:
Điểm
Tổng số HS 20
0 ® 4,9
5 ® 6,4
6,5 ® 7,9
8 ® 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
0
0
7
35
13
65
5.2. Giới thiệu một số bài toán
Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) với ba đường cao; ; lần lượt cắt đường tròn tâm (O) tại D; E; F. Xác định dạng của tam giác ABC sao cho.
1) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
2) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2: M là một điểm di động trên đoạn thẳng AB cố định. Vẽ các hình vuông AMCD, BMEF. Xác định vị trí của M để tổng các diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh tương ứng a, b, c; đường cao . Hãy nội tiếp trong tam giác đó hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất, với M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC.
Bài 4: Cho góc nhọn xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. M, N thứ tự là hai điểm trên các tia Ox, Oy sao cho . Tìm vị trí của M, N trên các tia đó sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I nằm trong tam giác kẻ , , . Xác định vị trí của điểm I sao cho nhỏ nhất.
Bài 6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau, cắt (O) và (O’) thứ tự tại B, C. Xác định vị trí của hai tia để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). G là trọng tâm của tam giác. Các trung tuyến xuất phát từ A, B, C lần lượt cắt (O) tại . Xác định dạng của tam giác ABC để tổng lớn nhất.
Bài 8: Cho đoạn thẳng và điểm M di động trên đoạn thẳng đó. Dựng về một phía của AB hai hình vuông AMCE và BMKQ.
1) Chứng minh AK, BC, QE đồng quy tại một điểm I.
2) Xác định M trên đoạn AB để có chu vi lớn nhất? Diện tích lớn nhất?
Bài 9: Cho đoạn thẳng AB song song với đường thẳng d. M là một điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa d (M không thuộc đoạn AB). Gọi C, D thứ tự là giao điểm của tia MA, MB với d. Tìm tập hợp các điểm M sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Bài 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 10cm trên các cạnh AB; BC; CD; DA lấy theo thứ tự các điểm M; N; P; Q sao cho . Tìm vị trí của điểm M sao cho tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận:
 Trên đây là những vấn đề mà bất kì học sinh hay giáo viên nào muốn nâng cao kiến thức cũng quan tâm. Việc n