SKKN Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 9

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Trong giai đoạn hiện nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật, công nghệ thông tin thì giáo dục luôn được coi là quốc sách hàng đầu. Cùng với việc đổi mới chương trình giáo dục, đổi mới sách giáo khoa thì việc đổi mới phương pháp dạy học cũng là yêu cầu cấp thiết. Việc dạy học không chỉ là cung cấp kiến thức, kỹ năng cho học sinh mà còn phải tạo được phương pháp tự học, nâng cao tính chủ động, tích cực và sáng tạo cho người học.
Mục tiêu cao nhất của giáo dục nói chung và giáo dục Quảng Xương nói riêng là đào tạo ra những con người được phát triển toàn diện. Trong chương trình giáo dục THCS, bên cạnh việc đảm bảo chất lượng đại trà, giúp đỡ học sinh yếu kém thì việc bồi dưỡng học sinh giỏi cũng có vai trò hết sức quan trọng nhằm phát huy tối đa khả năng cá nhân của học sinh.
Toán học là một bộ phận khoa học có tầm hết sức quan trọng trong phát triển khoa học kỹ thuật và đời sống. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán để đào tạo ra những người giỏi toán là việc rất cần thiết.
Một trong các nội dung khó của phân môn hình học đó là các bài toán liên quan đến những điểm đặc biệt, các đường đặc biệt. Đây là loại toán được xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và thường là khó giải.
Trong các đường thẳng đặc biệt đó , đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner với nhiều tính chất hay, đẹp có nhiều ứng dụng không chỉ trong việc giải toán mà còn giúp giáo viên sáng tạo trong việc ra đề bài theo mức độ khó dễ khác nhau,giúp nâng cao năng lực tư duy cho học sinh không chỉ ở cấp THCS mà còn ở các cấp học cao hơn.
 Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tế ở trường học, tôi nhận thấy học sinh tiếp cận các bài toán dạng này chưa hiệu quả, thiếu định hướng . Các tài liệu về chủ đề này có nhiều nhưng chủ yếu dành cho học sinh Trung học phổ thông. 
Chính vì các lí do đó, tôi chọn đề tài “Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 9” để nghiên cứu.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu khái niệm, các tính chất hình học của đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner, mối liên hệ giữa các đường này với các điểm, đường đặc biệt khác và liên hệ với các tính chất hình học. Qua đó khảo sát ứng dụng của các đường thẳng này trong việc giải các dạng toán hình học lớp 9. Cụ thể là các chủ đề hình học về : quan hệ thẳng hàng, đồng quy, vuông góc, song song, các điểm và đường cố định, các đẳng thức hình học...
Thông qua việc nghiên cứu để góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy và học môn hình học trong nhà trường, giúp giáo viên và học sinh có thêm tài liệu tham khảo.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
- Phần kiến thức: Lý thuyết về đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner, bài tập ứng dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi hình học 9.
- Học sinh: Học sinh khá giỏi khối 9 tại trường THCS Nguyễn Du – Quảng Xương.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp quan sát: Thực trạng về công tác chỉ đạo, công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, quá trình học tập, chất lượng học tập của học sinh khá, giỏi.
Phương pháp nghiên cứu tài liệu như nghiên cứu sách, giáo trình có liên quan đến kiến thức, bài tập, các đề thi có liên quan các điểm và đường đặc biệt trong hình học. Nghiên cứu chất lượng học sinh. Nghiên cứu công tác chỉ đạo của nhà trường đối với công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh. Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết vô cùng quan trọng trong việc học toán.
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo toán học, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm hiểu cách giải, đồng thời người thầy giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lí nhất. Phát hiện ra những cách giải tương tự và khái quát đường lối chung. Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hóa bài toán thành bài toán tổng quát và xây dựng bài toán tương tự.
2.2. Thực trạng vấn đề:
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán ở trường THCS, rồi tham khảo các tài liệu, học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp và sự tích lũy trau dồi của bản thân, đặc biệt qua quá trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi bộ môn toán, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh. Tôi nhận thấy khả năng xử lí các bài toán hình học của học sinh còn hạn chế, các em thường lúng túng, thiếu định hướng và bế tắc khi gặp các bài hình học lạ.
 Kết quả khảo sát đánh giá học sinh
Trước khi viết đề tài , tôi đã khảo sát về chủ đề này ở 20 học sinh lớp 9 là học sinh giỏi cấp huyện, kết quả như sau
Điểm
Tổng số HS 20
0 ® 4,9
5 ® 6,4
6,5 ® 7 9
8 ® 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10
50
7
35
3
15
0
0
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện:
2.3.1Kế hoạch và thời gian nghiên cứu
Chủ đề này tôi áp dụng trong trường THCS Nguyễn Du trong thời gian từ đầu năm học 2017 - 2018 và tiếp trong những năm học sau với tinh thần rút ra những bài học kinh nghiệm và có sửa chữa, bổ sung cho phù hợp với các đối tượng và giai đoạn cụ thể:
* Năm 2016 – 2017 : Tìm hiểu, xây dựng khung chương trình, nghiên cứu tài liệu và xây dựng đề cương.
* Năm học 2017 – 2018 : Thực nghiệm và so sánh kết quả.
2.3.2 Giải pháp thực hiện
Phần 1: Lý thuyết về đường thẳng simson và đường thẳng steiner
1) Đường thẳng simson
Bài toán 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của điểm M trên BC, AC, AB. Khi đó: ba điểm A’, B’, C’ nằm trên một đường thẳng. (gọi là đường thẳng simson của điểm M đối với tam giác ABC, kí hiệu ) 
Chứng minh
Ta có A’BC’M là tứ giác nội tiếp
Do tứ giác ABMC nội tiếp nên
Do tứ giác A’B’CM nội tiếp nên
Từ (1), (2) và (3) ta có: 
Vì thế A’, B’, C’ cùng nằm trên một đường thẳng
 Xét định lý đảo của bài toán 1, ta có bài toán 2 như sau
Bài toán 2
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M là một điểm nằm trong góc . Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của điểm M trên BC, AC, AB . Khi đó nếu A’, B’, C’ thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng ) thì M nằm trên không chứa điểm A. 
Chứng minh 
Do tứ giác A’B’CM nội tiếp nên:
Do tứ giác A’BC’M nội tiếp nên
Ta có: 
Kết hợp với (1) và (2) thì: .
	(định lý tổng 3 góc của một tam giác)
Vì thế ABMC là tứ giác nội tiếp. Suy ra .
Kết luận: 
Người ta gọi là đường thẳng Simson của điểm M đối với đỉnh A của tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).
2) Đường thẳng steiner
Bài toán 3
Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Gọi M1, M2 , M3 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB. Khi đó ba điểm M1, M2 , M3 thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm M1, M2 , M3 được gọi là đường thẳng steiner 
Chứng minh
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của M trên BC,CA,AB , khi đó ta có đường thẳng simson dM đi qua các điểm A’, B’, C’.
Vì B’C’ là đường trung bình của nên (1)
Vì A’C’ là đường trung bình của nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng và đường thẳng đó song song với đường thẳng .
Khai thác thêm về đường thẳng simson ta có một số tính chất 
Tính chất 1. Cho điểm M thuộc đường tròn (ABC). Khi đó đường thẳng Steiner và đường thẳng Simson cuả M với tam giác ABC song song nhau	
Tính chất 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm M thuộc (O). Khi đó đường thẳng Steiner của M với tam giác ABC luôn đi qua một điểm cố định là trực tâm của tam giác ABC 
Chứng minh 
Giả sử tam giác ABC nội tiếp
 đường tròn tâm (O),
 các đường cao AD,BE,CFcắt nhau tại H
Gọi M1 và M2 là các điểm đối xứng với M Qua AC và AB. Khi đó M1M2 là đườngthẳng steiner của điểm M đối với tam giác ABC.
Ta có ( Tính chất đối xứng ) mà ( góc nội tiếp chắn cung AC ) nên 
Lại có => tứ giác AHCM1 nội tiếp
Chứng minh tương tự ta có tứ giác AHBM2 nội tiếp và 
Từ (1) và (2) ta có 
nên M1, H, M2 thẳng hàng hay đường thẳng M1M2 đi qua điểm H cố định
Từ các bài toán cơ bản trên ta có thể hướng dẫn học sinh giải nhiều dạng bài tập có liên quan đến các điểm và đường đặc biệt 
Phần 2. Một số ứng dụng của đường thẳng simson và đường thẳng steiner vào giải các dạng toán hình học 
1) Các bài toán về đẳng thức hình học và quan hệ hình học 
Bài 1. Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, M là một điểm thuộc cung BC không chứa A. Gọi E, F là hình chiếu của M lên các cạnh AC và AB. Xác định vị trí của M để EF lớn nhất. 
Phân tích 
 Từ việc khai thác, phân tích giả thiết và kết luận HS
có thể cễ dàng nhận ra EF là đường thẳng Simson
của điểm M đối với tam giác ABC.
Từ đó dẫn đến ý thưởng vẽ thêm điểm
 D là hình chiếu của M trên BC 
và tìm lời giải của bài toán 
Lời giải
Gọi D là hình chiếu của M trên BC, ta có D,E,F thẳng hàng 
 ( đường thẳng simson)
Bốn điểm F,D,B,M cùng thuộc một đường tròn nên 
Bốn điểm E,D,C,M cùng thuộc một đường tròn nên 
Từ đó ta có MBC đồng dạng với MFE (g.g) 
Đẳng thức xảy ra khi F trùng với B và E trùng với C, khi đó 
AM là đường kính của đường tròn tâm O => M là điểm đối xứng với A qua O.
Nếu khai thác thêm về quan hệ giữa đường thẳng simson và đường thẳng steiner thì có thể dễ dàng giải quyết thêm bài toán như sau
Bài toán 2: Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, M là một điểm thuộc cung BC không chứa A. Gọi M1, M2 là các điểm đối xứng của M qua AC và AB. Xác định vị trí của M để M1M2 lớn nhất 
Phân tích 
Từ việc nhận biết M1M2 là đường thẳng steiner
của M với tam giác ABC và vận dụng tính
chất đường thẳng Steiner song song với
đường thẳng Simson, học sinh có 
thể đưa bài toán này về bài toán 1 để
giải quyết 
Lời giải
Gọi D, E, F là hình chiếu của M trên BC,AC, AB ta có D,E,F thẳng hàng ( đường thẳng simson) và EF là đường trung bình của tam giác MM1M2 nên ta có 
M1M2 lớn nhất khi EF lớn nhất M là điểm đối xứng của A qua O (theo kết quả bài toán 1)
Bài toán 3
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, M là điểm thuộc cung BC không chứa A. Gọi H, K, I lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh BC, CA,AB. 
Chứng minh 
Phân tích
 Dễ dàng nhận thấy đường thẳng Simson là (IHK), theo kinh nghiệm giải toán thì các bài toán về tỉ số thường liên quan đến tỉ số đồng dạng, diện tích hoặc tỉ số lượng giác.
Từ việc phân tích bài toán, sử dụng tính chất các tứ giác nội tiếp để có các góc bằng nhau, có thể nghĩ đến việc chứng minh tam giác đồng dạng hoặc tỉ số lượng giác đều giải quyết được bài toán
Lời giải
Giả sử ta có 
Do (1)
Do 
Do 
Từ (1), (2), (3) suy ra 
Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng các đường thẳng đặc biệt để biến đổi về tam giác đồng dạng hoặc dùng tỉ số lượng giác sẽ giúp học sinh có định hướng dễ dàng hơn khi gặp các bài toán tương tự 
2) Các bài toán về quan hệ thẳng hàng và đồng quy
Bài toán 1
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), D là mọt điểm trên cung BC khong chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và ACE. Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của K trên BC, gọi I là giao điểm của EK và AC.
Chứng minh rằng ba điểm P, I, Q thẳng hàng
Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của KH 
Phân tích bài toán 
Từ quan sát hình vẽ và nghiên cứu giả thiết, có thể thấy được EK vuông góc với AC, vậy P,I, Q chính là các hình chiếu của K trên ba cạnh của tam giác ABC , từ đó liên tưởng đến đường thẳng simson. Vậy việc còn lại chỉ cần chứng minh K thuộc đường tròn (O) hay tứ giác ADCK nội tiếp. 
Để ý thấy nên tứ giác ADCK nội tiếp 
Từ tính chất đường thẳng Steiner song song với đường thẳng Simson và đi qua trực tâm của tam giác ABC có thể hình thành ý tưởng để giải quyết bài toán. Nếu gọi M và N lần lượt là điểm đối xứng của K qua AB và BC thì M,N,H thẳng hàng. Khi đó PQ là đường trung bình của tam giác KMN và từ đó suy ra PQ đi qua trung điểm của HK
Lời giải
 a) Trước hết ta chứng minh điểm K
 thuộc đường tròn (O)
Ta có K là trực tâm tam giác ACE nên tứ giác 
KJEF nội tiếp 
Lại có tứ giác ADCE là hình bình hành nên 
Tứ giác ADCK có 
Nên là tứ giác nội tiếp , suy ra điểm
K thuộc đường tròn (O)
Chứng minh I,P,Q thẳng hàng 
Do K là trực tâm của tam giác AEC nên KI vuông góc với AC, lại có P, Q là hình chiếu của K trên BC và AB nên suy ra I, P, Q thẳng hàng ( đường thẳng simson của điểm K với tam giác ABC )
b) Gọi M và N lần lượt là các điểm đối xứng của K qua AB và BC, khi đó MN là đường thẳng steiner của điểm K đối với tam giác ABC 
Áp dụng tính chất đường thẳng Steiner đi qua trực tâm tam giác ta có M,H,N thẳng hàng 
Xét tam giác KMN có PQ là đường trung bình nên QM=QK 
Tam giác MHK có QM=QK mà PQ // MH nên PQ đi qua trung điểm của HK
Bài toán 2
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao CE (E thuộc AB) nội tiếp đường tròn (O) 
có đường kính AD, Gọi F là hình chiếu vuông góc của C lên AD, M là trung điểm của BC. Chứng minh E, M, F thẳng hàng. 
Phân tích
 Vì có E,N,F là các hình chiếu của C
Trên các cạnh của tam giác ABC nên
Có thể dễ dàng nhận ra đường thẳng
Simson ở bài toán này .
Khi có E,N,F thẳng hàng thì 
chỉ cần chứng minh E,M,N thẳng hàng 
bài toán sẽ được giải quyết 
Lời giải
Xét tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) , C là điểm thuộc đường tròn (O) và E, F, N 
lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên trên đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác 
ABD, do đó E, F, N thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm C của tam giác ABD). 
Xét tứ giác BECN có 
nên tứ giác BECN là hình chữ nhật , suy ra hai đường chéo BC và EN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 
Vì M là trung điểm BC nên M cũng là trung điểm EN hay E, M, N thẳng hàng 
Vậy E, M, F thẳng hàng. 
Bài toán 3
 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) M là một điểm trên cung BC 
không chứa điểm A. Đường tròn () I ) đường kính MB và đường tròn (J) đường kính MC cắt nhau tại N. 
a) Chứng minh N thuộc đường thẳng BC. 
b) Đường tròn ( I ) cắt AB tại P (P khác B), đường tròn (J) cắt AC tại Q (Q khác C). Chứng minh P, N, Q thẳng hàng. 
c) Qua A vẽ đường thẳng d song song với PQ và d cắt (O) tại K. Chứng minh M, N, K thẳng hàng. 
 Phân tích
Câu a học sinh có thể dễ dàng sử dụng
tính chất của tứ giác nọi tiếp 
để chứng minh các điểm thẳng hàng
Câu b nhận thấy P và Q là hình chiếu 
của M trên AB và AC, vậy cần chứng minh
MN vuông góc với BC để có 
đường thẳng simson
Câu c, nếu trực tiếp chứng minh
Ba điểm thẳng hàng sẽ gặp khó khăn.
Tuy nhiên nếu vẽ giao điểm của MN với
(O) thì có thể sử dụng tính chất của tứ giác
Nội tiếp khá dễ dàng.
Vì thế có thể nghĩ đến việc chứng minh 
Giao điểm của MN với đường tròn
(O) trùng với điểm K
Lời giải
a) Chứng minh N thuộc đường thẳng BC. 
Vì N thuộc đường tròn đường kính MB nên 
 N thuộc đương tròn đường kính MC nên 
Ta có B,N,C thẳng hàng 
b) Chứng minh P,Q, N thẳng hàng 
Vì P thuộc đường tròn đường kính MB nên 
 Q thuộc đương tròn đường kính MC nên 
 Mà 
 Suy ra P,N, Q thẳng hàng ( đường thẳng simson của điểm M với tam giác ABC)
Chứng minh M, N , K thẳng hàng 
Gọi K’ là giao điểm của đường thẳng MN với đường tròn (O), ta chứng minh K trùng với K’
Ta có ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Tứ giác MNQC nội tiếp 
Mà AK//NQ và K thuộc (O) nên K trùng với K’ => ĐPCM
Bài toán 4
Cho hai đường tròn cùng bán kính (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B (O, O’ khác phía nhau đối với đường thẳng AB). Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) tại C, cắt (O’) tại D (C, D khác A và CD không vuông góc với AB). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên hai tiếp tuyến tại C của (O) và tại D của (O’). Chứng minh E, F đi qua trung điểm M của CD. 
Phân tích
Nhận thấy : điểm B nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD và có hình chiếu vuông góc lần lượt xuống các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác PCD là E, M, F nên ta có E, M, F thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm B của tam giác PCD). Từ đó dẫn đến yêu cầu cần chứng minh tứ giác PCBD nội tiếp. 
Lời giải
Vì (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau nên ta có cân tại B (đường trung tuyến cũng là đường cao). 
Gọi P là giao điểm của hai tiếp tuyến tại C và D của (O) và (O’). 
Vì PC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên 
Vì PD là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên 
Ta có ( tổng ba góc của tam giác PCD )
=> tứ giác PCBD nội tiếp. 
Điểm B nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD và có hình chiếu vuông góc lần lượt xuống các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác PCD là E, M, F nên ta có E, M, F thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm B của tam giác PCD). 
Bài toán 5
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, AD là đường phân giác trong góc A (D thuộc cạnh BC). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt trung tuyến AM của tam giác ABC tại N. Chứng minh P, N, Q thẳng hàng. 
Phân tích
 Ở bài toán này, việc nhận biết đường thẳng Simson
 hay đường thẳng steirner
không dễ dàng như các bài trên vì điểm M
nằm trên cạnh BC.
Dựa trên việc phân tích giả thiết có thể nhận 
thấy PQ có tính chất tương tự như đường thẳng 
simson, vì thế đưa đến việc chứng minh
PQ song song với đường thẳng simson kẻ từ M
Lời giải 
Gọi E là giao điểm của AD với (O) 
Vì AD là phân giác nên E là điểm chính giữa cung nhỏ BC 
Gọi U, V lần lượt là hình chiếu vuông góc của E lên AB, AC 
Khi đó ta có U, M, V thẳng hàng (đường thẳng simson của điểm E với tam giác ABC). 
Ta có 
 (1)
Lại có 
 (2)
Từ (1) và (2) và U,M,V thẳng hàng => P, N, Q thẳng hàng 
Bài 6. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), Sa, Sb, Sc, Sd lần lượt là các đường thẳng simson của A với tam giác BCD, B với tam giác ACD, C với tam giác ABD và D với tam giác ABC. Chứng minh Sa, Sb, Sc, Sd đồng quy 
Lời giải
 Gọi Ha; Hb; Hc; Hd lần lượt là trực 
tâm của tam giác BCD,ACD,ABD,
ABC, M là trung điểm của AB. 
Ta chứng minh được DHc = 2OM = CHd.
Mặt khác DHc // CHd nên tứ giác 
DCHdHc là hình bình hành 
nên các đường chéo DHd và CHc 
cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Tương tự ta có AHa; BHb; DHd và CHc
 cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
 mà Sa; Sb; Sc; Sd lần lượt đi qua 
trung điểm của AHa; BHb; DHd và CHc nên Sa; Sb; Sc; Sd đồng quy (ĐPCM)
3) Các bài toán về quan hệ song song và vuông góc 
Bài toán 1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Chứng minh rằng AP // .
Lời giải:
Do (hai góc nội tiếp cùng chắn )
Do tứ giác A’B’CM nội tiếp nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra AP // .
Khai thác kết quả bài toán 1 kết hợp với đường thẳng steiner ta có bài toán mới
Bài toán 2 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M là điểm trên cung BC không chứa điểm A. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Gọi lần lượt là 2 điểm đối xứng với điểm M qua AB và AC. Chứng minh rằng AP // .
Lời giải:
Dựng các hình chiếu của M trên BC, AC, BC 
ta có đường thẳng simson dM
Ta có đường thẳng là đường thẳng
 Steiner nên // .
Theo bài 1 thì // AP
Từ đó AP // .
Bài toán 3 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M là điểm nằm trên cung BC, N là điểm nằm trên cung AC sao cho MN đi qua O. Chứng minh: .
Lời giải: 
Do tứ giác ADNK nội tiếp
Do tứ giác BEMF nội tiếp
Ta có:
 . 
Như vậy .
Nhận xét: Đảo lại bài toán 3 ta có bài toán sau:
Bài 3.1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy điểm M trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm N trên cung AC không chứa điểm B sao cho . Chứng minh rằng MN là đường kính của (O).
Lời giải:
Do nên 
 MN là đường kính của (O).
Nhận xét: Phát triển bài 3 ta có bài toán sau:
Bài toán 3.2: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp (O). Lấy điểm M trên cung AC không chứa điểm B, kẻ đường kính MN. Gọi E, F là hình chiếu của điểm M trên AB, AC. Gọi điểm H, I lần lượt là hình chiếu của N trên AC, AB. Chứng minh .
Lời giải:
Do MN là đường kính, áp dụng kết 
quả của bài toán 3 thì .
Suy ra 
Xét tam giác EIH có
HA và EK là hai đường cao 
suy