SKKN Vận dụng bài thực hành: Tính xác suất xuất hiện các mặt của đồng kim loại, để giải bài tập phần di truyền học lớp 9

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Trong đề thi học sinh giỏi các cấp THCS hiện nay, dạng toán tính xác suất rất phổ biến và tương đối khó, trong khi học sinh cấp THCS chưa được học về toán xác suất trong môn toán. Kiến thức để các em vận dụng giải các bài toán xác suất trong môn sinh học đều xuất phát từ bài thực hành đầu tiên trong chương trình sinh học 9 đó là bài: “Tính xác suất xuất hiện các mặt của đồng kim loại”.
Tuy nhiên, bài thực hành này, nếu không tìm hiểu kỹ thì có vẻ rất đơn giản và ít liên quan đến môn sinh học, nên cả giáo viên, học sinh đều coi thường và thực hiện bài thực hành một cách đơn giản là: tung đồng kim loại; thống kê số lần xuất hiện các mặt sấp, ngửa; liên hệ đơn giản giữa việc xuất hiện các mặt của đồng kim loại với việc sinh giao tử và kết thúc bài học mà chưa vận dụng được xác suất này vào các bài toán di truyền. Đến khi gặp các bài toán tính xác suất, các thầy cô lại dùng nhiều phương pháp khác nhau như dùng khung pennet, hoặc đưa ra những công thức tính bằng tổ hợp, nhị thức niutơn với khá nhiều công thức phức tạp, yêu cầu học sinh phải nhớ mà chưa hiểu bản chất. Những cách này hoặc là mất quá nhiều thời gian hoặc không phù hợp với tư duy học sinh THCS, làm các em cảm thấy áp lực nặng nề và rất hay nhầm lẫn.
Sinh học là môn khoa học thực nghiệm, kiến thức sinh học chủ yếu được hình thành bằng phương pháp quan sát, tìm tòi thực nghiệm. Đúng như Lênin đã nói: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lí và nhận thức hiện thực khách quan”. 
Một trong những mục tiêu giáo dục xã hội đang đặt ra là: “Tiếp tục đổi mới nội dung giáo dục theo hướng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn” 
(Văn kiện đại hội Đảng lần thứ XII)
Xuất phát từ những lí do trên, để giúp học sinh học tập, tiết kiệm thời gian và nâng cao điểm thi trong các kì thi học sinh giỏi các cấp ở THCS, tôi chọn đề tài “Vận dụng bài thực hành: Tính xác suất xuất hiện các mặt của đồng kim loại, để giải bài tập phần di truyền học lớp 9”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích của vấn đề tôi nghiên cứu là: Làm thế nào để học sinh vận dụng được bài thực hành: “Tính xác suất xuất hiện các mặt của đồng kim loại” vào việc giải thích xác suất sinh ra các loại giao tử trong quá trình giảm phân, tạo giao tử ở sinh vật và vận dụng xác suất này vào việc giải các bài tập liên quan đến xác suất trong phần di truyền học. Thay thế cho cách tính cổ truyền là viết sơ đồ lai, lập khung pennét, liệt kê các phép lai, rất mất thời gian, dễ nhầm lẫn hoặc cách tính theo công thức tổ hợp vượt quá tầm tư duy của học sinh THCS. 
3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu ở đây là cách dạy tiết thực hành “Tính xác suất xuất hiện các mặt của đồng kim loại” và cách vận dụng kiến thức bài thực hành đó để giải các bài toán tính xác suất trong chương trình sinh học lớp 9.
Đối tượng nhận thức là học sinh khối 9 của trường THCS Hoằng Đại do tôi trực tiếp giảng dạy.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp thực nghiệm: Giáo viên làm thực nghiệm gieo đồng kim loại nhiều lần để rút kinh nghiệm sau đó yêu cầu học sinh làm để thống kê thực tế.
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Là phương pháp nghiên cứu và xem xét lại những thành quả trong quá khứ để rút ra kết luận cho thực tiễn bản thân và khoa học.
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết: Phân tích các tài liệu, lý luận khác nhau bằng cách phân tích chúng thành từng bộ phận để tìm hiểu sâu sắc về đối tượng. Tổng hợp từng mặt, từng bộ phận thông tin đã được phân tích tạo ra một hệ thông lý thuyết mới đầy đủ và sâu sắc về đối tượng.
PHẦN II: NỘI DUNG.
1.Cơ sở lí luận.
	- Thực hành là phương pháp quan trọng để tổ chức cho học sinh nghiên cứu, giải thích các hiện tượng sinh học, là cơ sở xuất phát cho quá trình nhận thức của học sinh. Là cầu nối giữa lí thuyết để đi đến thực tiễn, là cơ sở của tư duy kĩ thuật và tư duy trừu tượng.
	- Thực hành thực nghiệm: “Tính xác suất xuất hiện các mặt của đồng kim loại” là một thực nghiệm đơn giản, nhưng có ý nghĩa to lớn, nó giúp học sinh THCS có khái niệm đơn giản về lý thuyết xác suất và cách tính xác suất xảy ra 2 hay nhiều sự kiện độc lập một cách đơn giản mà không phải trải qua quá trình dẫn dắt và các công thức phức tạp của lý thuyết xác suất mà các em chỉ được học khi lên lớp 11. 
 Chính từ quá trình thực hành thí nghiệm lặp đi, lặp lại nhiều lần trong các phép lai trên đậu Hà lan và cách sử dụng toán thống kê và xác suất và mà nhà sinh vật học thiên tài Menđen đã tìm ra nhiều quy luật di truyền, đặt nền móng vững chắc cho môn di truyền học hiện đại ngày nay.
2. Thực trạng việc vận dụng tiết thực hành “Tính xác suất xuất hiện các mặt của đồng kim loại” ở trường THCS Hoằng Đại, TP Thanh Hóa.
Bài thực hành này khá đơn giản, dễ thực hiện. Học sinh có thể thực hiện bằng đồng kim loại chuẩn, có trong phòng thí nghiệm của nhà trường. Cũng có thể dùng đồng tiền xu mà các em tự có để làm. Nội dung thực hành có thể thực hiện ở phòng thí nghiệm, cũng có thể hướng dẫn cho học sinh tự làm ở nhà và tự thống kê kết quả, sau đó giáo viên giúp học sinh phân tích số liệu thu được để rút ra kết luận. 
Tuy nhiên do bài thực hành đơn giản, giáo viên dễ dẫn đến chủ quan không làm thử và hướng dẫn cụ thể nên học sinh hay mắc sai lầm, dẫn tới kết quả sai, làm học sinh mất phương hướng không vận dụng được vào việc liên hệ để giải thích sự hình thành các loại giao tử.
Mặt khác do thời lượng dành cho tiết thực hành chỉ có 45 phút và sau bài thực hành chỉ có 1 tiết bài tập để củng cố kiến thức của cả chương I, nên việc vận dụng để giải thích, liên hệ là việc rất khó khăn. Nếu giáo viên dạy không có sự sáng tạo, linh hoạt, sự chuẩn bị công phu và kinh nghiệm thì tiết thực hành sẽ trở thành một trò giải trí của học sinh.
3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:
a. Xác định rõ mục tiêu và thực hiện chính xác nội dung thực hành: 
Mục tiêu cơ bản về kiến thức của bài thực hành: Học sinh biết cách xác định xác suất của một hoặc hai sự kiện độc lập và đồng thời xẩy ra thông qua việc gieo các đồng kim loại; Biết vận dụng xác suất để giải thích tỷ lệ các loại giao tử và tỷ lệ các kiểu gen trong lai một cặp tính trạng.
Giáo viên hướng dẫn học sinh cách cầm đồng kim loại gieo xuống nền nhà sao cho xác suất rơi của đồng kim loại cân bằng, chính xác. Cần lưu ý : 
 - Phải để đồng kim loại theo phương thẳng đứng ở độ cao trên 1m, thả rơi tự do (Không cầm nghiêng hoặc tung)
 - Với 2 đồng kim loại:
 + Dùng mực đánh dấu đồng số 1 và số 2
 + Cầm mỗi tay một đồng và cùng thả ở độ cao như nhau ( nếu cầm bằng 1 tay xác suất 2 mặt bị ép vào nhau sẽ cao hơn)
- Gieo100 lần hoặc 200 lần cho mỗi nội dung để dễ tính xác suất.
- Tốt nhất là cho học sinh làm trước ở nhà, thống kê kết quả vào bảng 6.1 và 6.2 (Vở bài tập)
- Cho đại diện học sinh báo cáo kết quả, so sánh kết quả của các nhóm với nhau.
b. Thống kê kết quả và kết luận: 
	* Gieo 1 đồng kim loại: học sinh dễ dàng thống kê được tỷ lệ xấp xỉ 
50% S: 50% N 
 Hay P(S) = P(N) = = 50%
	* Gieo 2 đồng kim loại: Có thể xảy ra 4 trường hợp và xác suất cho mỗi trường hợp là: 
 + 2 đồng sấp: (SS) =
 + đồng 1 sấp, đồng 2 ngửa: (SN) = 
 + đồng 1 ngửa, đồng 2 sấp: (NS) = 
 + 2 đồng ngửa (NN) = 
 Hay: P(SS) = P(SN) = P(NS) = P(NN) = = 25%
c. Vận dụng kết quả vào việc giải thích sự hình thành các loại giao tử trong các phép lai của Menđen: 
Trước hết giáo viên nên nhấn mạnh:
H? Việc rơi sấp hay ngửa của đồng xu này có phụ thuộc đồng xu kia không?
Vậy:
- Việc xuất hiện mặt sấp hoặc ngửa của một trong 2 đồng kim loại trong bài thực hành như trên gọi là 2 sự kiện độc lập, (sự kiện này xảy ra không phụ thuộc sự kiện kia).
- Người ta nhận thấy xác suất để xảy ra đồng thời 2 sự kiện độc lập sẽ bằng tích xác suất của từng sự kiện đó với nhau. 
- Ngược lại: hai sự kiện A và B gọi là độc lập nếu xác suất xảy ra đồng thời 2 sự kiện đó bằng tích xác suất của từng sự kiện: 
 P(A,B) = P (A) . P (B)
Từ đó liên hệ để giải thích:
* Lai một cặp tính trạng:
 - Khi giảm phân: Cơ thể lai F1  có kiểu gen Aa cho 2 loại giao tử: A và a với xác suất ngang nhau có nghĩa là: P(A) = P(a) = hay A : a = 1A : 1 a 
(Tương tự P(S) = P(N) = = 50%)
- Khi thụ tinh do sự kết hợp ngẫu nhiên giữa các loại giao tử đực cái với nhau nên tỷ lệ các kiểu gen ở F2 là: 
 (A : a) (A : a) = AA : Aa : aa (*)
Tỷ lệ kiểu hình : 
 trội: lặn (**) 
* Lai hai cặp tính trạng:
- Vận dụng cách tính xác suất của 2 sự kiện độc lập để tính xác suất đồng thời xuất hiện hai mặt của 2 đồng kim loại ta được: 
P(SS) = S x S = 
P(SN) = S x N = 
P(NS) = N x S =
P(NN) = N x N =
- Liên hệ với việc xác định tỷ lệ các loại giao tử của F1 có kiểu gen: AaBb ta cũng được:
P(SS) = S x S = àP(AB) = P(A). P(B) = x = 
P(SN) = S x N = àP(Ab) = P(A). P(b) = x = 
P(NS) = N x S =àP(aB) = P(a). P(B) = x = 
P(NN) = N x N =à P(ab) = P(a). P(b) = x = 
d. Vận dụng để giải các bài toán xác suất trong phần di truyền học lớp 9:
* Vận dụng giải bài toán lai một cặp tính trạng: 
Ví dụ 1: Tìm xác suất để một cặp vợ chồng:
1) Sinh được 2 con gái.
2) Sinh được người con thứ nhất là trai, người con thứ 2 là gái.
3) Sinh được người con thứ nhất là trai, người con thứ 2 là gái, thứ 3 là trai.
4) Sinh được 3 con trong đó 2 gái, 1 trai.
5) Sinh được 3 con trong đó ít nhất 1 người con trai.
Giải
 Ở mỗi lần sinh: Xác suất sinh con trai = xác suất sinh con gái = 
 (tương tự xác suất bắt gặp mặt sấp hoặc ngửa của đồng kim loại)
1) Vì xác suất sinh ra con trai hay gái của 2 lần sinh là độc lập với nhau nên xác suất để sinh 2 gái bằng tích xác suất của mỗi lần sinh con gái. 
 Vậy: Xác suất sinh được hai con gái = x = 
 ( Tương tự xác suất bắt gặp 2 đồng kim loại cùng sấp hoặc cùng ngửa)
Suy luận tương tự ta sẽ tính được:
2) Xác suất để sinh được người con thứ nhất là trai, người con thứ 2 là gái:
 x =
3) Xác suất để sinh được con thứ nhất là trai, con thứ 2 là gái, con thứ 3 là trai: 
 x x = 
4) Sinh được 3 con trong đó 2 gái, 1 trai: 
 - Học sinh có thể nhầm lẫn chỉ tính xác suất của 2 gái và 1 trai: x x = 
Khi đó giáo viên sẽ chỉ cho học sinh thấy: với trường hợp này xảy ra nhiều khả năng:
+ Sinh con thứ nhất là gái, con thứ 2 là gái và con thứ 3 là trai.
+ Sinh con thứ nhất là trai, con thứ 2 là gái và con thứ 3 là gái.
+ Sinh con thứ nhất là gái, con thứ 2 là trai và con thứ 3 là gái.
 Ba khả năng trên không xảy ra đồng thời mà có trường hợp này thì không có trường kia. Với những bài toán này ta phải cộng xác suất của các trường hợp đó với nhau:
+ Xác suất sinh con thứ nhất là gái, thứ 2 là gái, thứ 3 là trai = x x = 
+ Xác suất sinh con thứ nhất là trai, thứ 2 là gái, thứ 3 là gái. = x x = 
+ Xác suất Sinh con thứ nhất là gái, thứ 2 là trai, thứ 3 là gái. = x x = 
Vậy: Xác suất để sinh được 3 con trong đó 2 gái, 1 trai là: 
 x x + x x + x x = + + = 
Sau đó giáo viên đưa ra lưu ý:
Nếu có nhiều sự kiện độc lập nhưng đồng thời xảy raà chúng ta dùng phương pháp nhân xác suất.
Nếu có nhiều sự kiện độc lập nhưng không đồng thời xảy ra ( Nếu trường hợp này xảy ra thì trường hợp kia không xảy ra) à chúng ta dùng phương pháp cộng xác suất.
5) Sinh được 3 con trong đó ít nhất 1 người con trai: Học sinh sẽ suy luận được từ cách tính của trường hợp (4)
 Một quy tắc rất đơn giản nhưng không phải lúc nào giáo viên dạy cũng áp dụng đúng, đó là phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Ví dụ ở bài toán trên, nếu chúng ta bắt đầu theo thứ tự từ 1 đến 5 thì vấn đề thật đơn giản:
Tuy nhiên nếu ngay từ đầu đã yêu cầu học sinh tính trường hợp (4) và (5) và đưa ra công thức tính tổ hợp thì sẽ là quá khó với học sinh. 
Ví dụ 2: Ở cà chua, gen A quy định quả đỏ là trội hoàn toàn so với gen a quy định quả vàng. Khi cho cà chua quả đỏ dị hợp tử tự thụ phấn F1. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cà chua màu đỏ F1. Tính:
 1) Xác suất để cả 3 quả đều đồng hợp?
 2) Xác suất để cả 3 quả đều dị hợp ? 
3) Xác suất để 2 quả có kiểu gen đồng hợp và 1 quả có kiểu gen dị hợp ?
Giải : 
 - F1 x F1 : Aa x Aa → F2 : AA : Aa : aa ( đỏ đồng hợp : đỏ dị hợp ) 
→ trong số quả đỏ thì : đồng hợp =  ; dị hợp = 
1) Xác suất để cả 3 quả đều đồng hợp : 
 Do xác suất mỗi quả có kiểu gen đồng hợp hay dị hợp là độc lập không phụ thuộc xác suất quả kia nên xác suất để có 3 quả đồng hợp bằng tích xác suất của 3 quả đó nhân với nhau : 
 x x = 
2) Tương tự xác suất để cả 3 quả đều dị hợp 
 x x = 
3) Trong 3 quả có 2 quả đồng hợp, 1 quả dị hợp thì xảy ra 3 trường hợp :
 + Quả 1 dị hợp, quả thứ 2 và 3 đồng hợp : x x = 
 + Quả thứ 2 dị hợp, quả 1 và 3 đồng hợp : x x = 
 + Quả thứ 3 dị hợp, quả 1 và 2 đồng hợp : x x = 
 Xác suất để 2 quả có kiểu gen đồng hợp và 1 quả có kiểu gen dị hợp là tổng của 3 trường hợp trên. 
 ()2. + ()2. + ()2. = = 
Ví dụ 3 : Ở đậu gen A quy định tính trạng hạt vàng là trội so với alen a: hạt xanh. Cho cây hạt vàng dị hợp tử tự thụ phấn thu F1. Trung bình mỗi quả đậu F1 có 5 hạt, tỷ lệ các quả đậu có tất cả các hạt đều vàng hoặc đều xanh là bao nhiêu? Tỷ lệ các quả có cả hạt vàng và hạt xanh là bao nhiêu?
(đề HSG tỉnh Thanh Hóa 2007-2008)
Giải: 
- Viết sơ đồ lai và xác định tỷ lệ con lai F1: vàng: xanh
- Vì các hạt đậu trong quả đậu trên cây F1 có cả vàng và xanh, xác suất để bắt gặp mỗi hạt là vàng hay xanh không phụ thuộc vào các hạt khác. Vì vậy xác suất để có được hạt thứ nhất vàng là , hạt thứ 2 vàng là , ... 
- Vậy tỉ lệ để cả 5 hạt đều vàng là: ()5 = 
- Tỷ lệ các quả có cả hạt vàng và hạt xanh ?
Lưu ý: ở ví dụ này trường hợp một quả có cả hạt vàng và hạt xanh sẽ xảy ra rất nhiều trường hợp: 1 hạt vàng,4 hạt xanh; 2 hạt vàng, 3 hạt xanh; 3 hạt vàng 2 hạt xanh...và ở mỗi trường hợp lại xảy ra nhiều khả năng: hạt vàng nằm ở vị trí thứ nhất, thứ 2... Như vậy nếu dùng cách liệt kê như ví dụ 1 thì qua phức tạp, nếu dùng công thức tính tổ hợp thì không phù hợp thì quá mức tư duy của học sinh THCS nên ta sẽ dùng phương pháp loại trừ 
 + Trước tiên tính tỷ lệ quả có tất cả các hạt đều xanh (tương tự như tính xác suất các quả có tất cả hạt đều vàng) là ()5 = 
 + Coi tỷ lệ tất cả các quả đậu thu được là 100% =1 trừ đi tỷ lệ số số hạt có tất cả các hạt đều vàng hoặc đều xanh ta sẽ được xác suất số quả có cả hạt vàng và xanh 1- (()5 +()5) =
Ví dụ 4:  Ở cừu, Gen A qui định màu lông trắng là trội hoàn toàn so với alen a qui định lông đen. Một cừu đực được lai với một cừu cái, cả hai đều dị hợp tử. Cừu non sinh ra là một cừu đực trắng. Nếu tiến hành lai trở lại với mẹ thì xác suất để sinh ra một con cừu cái lông đen là bao nhiêu?
Giải
- Cừu con trắng mang trong 2 kiểu gen: AA hoặc Aa với xác suất AA :Aa
- Để được cừu đen (aa) thì cừu con trắng phải có KG Aa()
- Phép lai : Cừu đực (Aa) x cừu cái (Aa) cho tỷ lệ cừu con đen là (aa)
- Xác suất để cừu đen nói trên là cừu cái là 
- Vậy xác suất để sinh được cừu cái lông đen là : x x = 
Ví dụ 5: Một bệnh di truyền hiếm gặp do một gen quy định nằm trên nhiễm sắc thể thường xuất hiện trong phả hệ dưới đây:
III
I
II
1
3
5
6
8
7
?
Nam bình thường
Nữ bị bệnh
Nữ bình thường
Nam bị bệnh
4
9
2
a.(....).
b. Xác suất để cặp vợ chồng II6 và II7 sinh ra người con mắc bệnh (tính theo %) là bao nhiêu? 
 (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2012-2013)
Giải: (chỉ xét ý b) 
b) Vì đã biết (ở ý a) gen gây bệnh là gen lặn và chồng II6 có kiểu gen Aa
- Để người con của cặp vợ chồng II6 và II7 sinh người con bị bệnh (aa) thì vợ số II7 phải có kiểu dị hợp (Aa); Xác suất để II7 có kiểu gen Aa là 2/3. 
- Xác suất để II6 và II7 sinh ra người con vị bệnh là = 16,67%
Ví dụ 6:Sơ đồ phả hệ dưới đây làsự di truyền tính trạng màu tóc ở một gia đình. Biết rằng gen A quy định tóc màu đen, alen a quy định tóc trắng (bạch tạng); giả thiết các cá thể II3 và II6 không mang alen lặn.
Nữ tóc màu đen 
Nữ tóc bạch tạng
Nam tóc màu đen
Nam tóc bạch tạng
III
I
II
1
3
7
8
4
2
6
5
a) (...).
b) Xác suất để II5 có kiểu gen dị hợp tử bằng bao nhiêu?
c) Nếu xảy ra sự kết hôn gần giữa III7 và III8 thì xác suất để cặp vợ chồng này sinh ra người con đầu lòng mắc bệnh bạch tạng (tính theo %) là bao nhiêu? Nêu cách tính..
Giải 
b) Xác suất để II5 có kiểu gen dị hợp tử:
- Vì II4 có kiểu gen aa nên I1 và I2 phải có kiểu gen dị hợp tử Aa. Do đó II5 có kiểu gen là AA hoặc Aa. Xác suất để II5 có kiểu gen dị hợp tử là .
c) Xác suất để một cá thể con nhất định từ phép lai III7 x III8 bị bạch tạng:
- Nhận thấy, III7 có kiểu gen dị hợp tử Aa; III8 có kiểu gen AA hoặc Aa. Xác suất để III8 có kiểu gen dị hợp tử là: = 
 Vậy xác suất để một cá thể con bị bạch tạng (aa) sinh ra từ 3 thế hệ là: . = .
* Vận dụng trong bài toán lai hai cặp tính trạng trở lên: 
- Nếu bài toán đã cho là hai cặp gen nằm trên 2 cặp NST khác nhau hoặc 2 cặp tính trạng di truyền độc lập, ta sẽ tính được ngay tỷ lệ các kiểu gen, kiểu hình mà không cần lập khung pennet. 
Ví dụ 1: Lai 2 cơ thể đều dị hợp 2 cặp gen, di tryền độc lập (AaBb). Tính tỷ lệ kiểu gen,kiểu hình ở con lai.
Nếu dùng cách truyền thống là lập khung pennet, sẽ rất mất thời gian. Đổi lại ta coi sự xuất hiện của mỗi cặp gen là một sự kiện độc lập, thì sự xuất hiện của hai cặp gen nào đó chính là tích xác suất bắt gặp của từng cặp đó với nhau nên ta chỉ cần nhân các tỉ lệ của từng gen với nhau:
 Cụ thể là: phép lai AaBb x AaBb
Phân tích riêng từng kết quả phân ly của từng cặp gen ở F1 theo (*) ta có:
 P: Aa x Aa à Tỷ lệ kiểu gen F1 : (AA + Aa + aa 
 P: Bb xBb à Tỷ lệ kiểu gen F1: (BB + Bb + bb) 
Tỉ lệ KG ở con lai (F1) : 
+ AABB =(AA). (BB) = 
+ AABb =(AA). (Bb) = 
+ Aabb =(AA). (bb) = 
+ AaBB =(Aa).(BB) = 
+ AaBb =(Aa). (Bb) = 
+ Aabb =(Aa). (bb) = 
+ aaBB =(aa). (BB) = 
+ aaBb =(aa). (Bb) = 
+ aabb.= (aa). (bb) = 
Tương tự như vậy tỷ lệ của mỗi kiểu hình theo (**) của từng cặp tính trạng là 
 P : Aa x Aa à Tỷ lệ kiểu hình F1 : A- : aa 
 P : Bb xBb à Tỷ lệ kiểu hình F1 : B- : bb 
 Vì sự xuất hiện 2 cặp tính trạng này là 2 sự kiện độc lập với nhau nên tỷ lệ mỗi loại kiểu hình sẽ là tích tỷ lệ của từng loại tính trạng hợp thành nó :
+ A-B- = (A-) . (B-) = 
 + A-bb = (A-) . (bb) = 
 + aaB- = (aa) . (B-) = 
 + aabb = (aa) . (bb) = 
Từ bài toán điển hình trên ta mở rộng cho nhiều cặp tính trạng di truyền độc lập:
Ví dụ 2 : Cho phép lai P: AABBDDee x aabbddee. 
 Không lập bảng, hãy xác định tỉ lệ mỗi loại kiểu hình: A-B-ddee, aaB-ddee và tỉ lệ mỗi loại kiểu gen: AabbDDee, AaBbddee ở F2. Biết các cặp gen phân li độc lập và mỗi gen quy định một tính trạng.
 Giải 
P : AABBDDEE x aabbddee à F1: AaBbDdEe
 F1 x F1: AaBbDdEe x AaBbDdEe à F2...
Thay bằng việc phải, viết sơ đồ lai, lập khung pennet để thống kê 81 kiểu gen, 16 kiểu hình rồi đếm các kiểu gen, kiểu hình theo yêu cầu của bài là việc làm quá khó và quá mất thời gian ta chỉ việc nhẩm:
 Cặp Aa x Aa à Tỷ lệ kiểu gen F1 : ( AA + Aa + aa 
Tỷ lệ kiểu hình F1 : A- : aa 
Cặp Bb x Bb à Tỷ lệ kiểu gen F1: ( BB + Bb + bb) 
 Tỷ lệ kiểu hình F1: B- : bb 
Cặp Dd x Dd à ....
 + Tỷ lệ mỗi loại kiểu gen bằng tích tỷ lệ của các cặp gen hợp thành nó:
 - AabbDDee =(Aa) x (bb) x (DD) x ( ee) = .
 - AaBbddee= (Aa) x (Bb) x (dd) x (ee) =
 + Tỷ lệ mỗi loại kiểu hình bằng tích tỷ lệ của các tính trạng hợp thành nó.
 - A-B-ddee = (A-) x ( B-) x (dd) x (ee) = .
 - aaB-ddee = ( aa) x (B-) x (dd) x (ee) = 
Ví dụ 3: Xét 4 cặp gen di truyền độc lập. Lai 1 cặp bố mẹ thuần chủng mang 4 cặp gen tương phản. Sau đó cho F1 tạp giao với nhau thu được F2 . Xác định công thức để tính tỷ lệ phân ly kiểu hình ở F2
Giải : Tỷ lệ phân ly kiểu hình ở F2 khi lai bố mẹ thuần chủng
 mang 1 cặp tính trạng tương phản là: (3:1)= (3:1)1
mang 2 cặp tính trạng tương phản là: (3:1)(3:1)= (3:1)2
mang 3 cặp tính trạng tương phản là: (3:1)(3:1)(3:1) = (3:1)3
mang 4 cặp tính trạng tương phản là: (3:1)(3:1)(3:1)(3:1)= (3:1)4
Ví dụ 4: Ở đậu Hà Lan. Gen A quy định hạt vàng trội hoàn toàn so với alen a quy định hạt xanh; gen B quy định hạt trơn trội hoàn toàn so với gen b quy định hạt nhăn. Các cặp gen nằm trên các cặp NST khác nhau. Cho lai hai cây thuần chủng hạt vàng, nhăn và hạt xanh, trơn giao