SKKN Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
 ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ 
NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH
 Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA, NĂM 2019
MỤC LỤC
Nội dung Trang
Tài liệu tham khảo 18
1.Mở đầu
1.1.Lý do chọn đề tài
 	 Kể từ năm 2017 kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, môn toán thi theo hình thức trắc nghiệm.Trong số 50 câu trắc nghiệm sẽ có các bài toán áp dụng kiến thức toán học để giải các bài toán thực tế hoặc các bài toán liên quan đến các môn học khác. Một thực tế đáng buồn là nhiều học sinh vẫn còn rất lúng túng thậm chí không biết cách giải khi gặp các câu hỏi liên quan đến các bài toán vận dụng toán học vào thực tế và vào giải các bài toán liên quan đến môn học khác.
Để đáp ứng với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri thức để tạo ra những con người lao động, tự chủ, năng động sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được những yêu cầu phát triển của đất nước và cũng là nguồn lực thúc đẩy cho mục tiêu kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế dạy học toán ở trường trung học phổ thông phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông nhìn chung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. 
Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông nói chung cũng như trong chương trình toán 12 nói riêng.
Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì vậy tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh’’.Với mục đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về tích phân để giải các bài toán thực tế, các bài toán liên môn. Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia . 
	1.2. Mục đích nghiên cứu 
 Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng cường vận dụng kiến thức về tích phân để giải các bài toán có nội dung thực tiễn .
 - Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể hiện về mối liên hệ giữa toán học với các môn học khác và thực tiễn, các bài toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông. Qua đó thấy được ý nghĩa: “Học đi đôi với hành”. 
 - Biết vận dụng toán vào giải các bài tập thực tế và các bài tập môn học khác. 
 - Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT.
 - Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia.
	1.3. Đối tượng nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tài là:
- Nghiên cứu về tính thực tiễn, tính ứng dụng của tích phân.
- Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong một số nội dung của chương trình toán lớp 12.
- Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán 12 và vấn đề tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn hoặc các bài tập môn học khác vào giảng dạy.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:
 - Phương pháp nghiên cứu lý luận.
 - Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn, thu thập thông tin. 
 - Thực nghiệm sư phạm.
2. Nội dung nghiên cứu
 2.1. Cơ sở lý luận
 Theo nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013- nghị quyết hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực.
 Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Ta đã biết Unesco đã đề ra 4 trụ cột của giáo dục trong thế kỉ 21 là: “ học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình” (Learning to know, Learning to do, Learning to live together and learning to be) [6]. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung liên quan đến môn học khác hoặc nội dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến. 
 Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ mật thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên, một số ngành khoa học luôn cần toán học phát triển trước và toán học là công cụ để lĩnh vực đó phát triển .
 Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh lớp 12 vận dụng kiến thức về tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh. Giúp học sinh chuẩn bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia.
 Để vận dụng tốt tích phân vào giải một số bài toán thực tế cần nắm vững kiến thức ở chương III trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản nhà xuất bản giáo dục Việt Nam năm 2009 như sau:
 2.1.1. Kiến thức cơ bản về tích phân
+ Các định nghĩa: Cho hàm số là hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn .
Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là 
Vậy .
 Các tính chất của tích phân
Tính chất 1
 với k là hằng số.
Tính chất 2
Tính chất 3
 với .
 [5]
 2.1.2. Ứng dụng hình học của tích phân
Diện tích hình phẳng 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục, trục hoành và hai đường thẳng được tính theo công thức
o
a
y = f(x)
x
y
b
S
Chú ý: Trong trường hợp dấu của thay đổi trên đoạn thì ta phải chia đoạn thành một số đoạn con để trên đó dấu của không đổi, do đó ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đó.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Cho hai hàm số và liên tục trên đoạn . Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là . 
Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu của không đổi.
 Chú ý:
Khi áp dụng công thức này cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy ta phải giải phương trình trên đoạn .
Giả sử phương trình có hai nghiệm . Khi đó không đổi dấu trên các đoạn . Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn thì ta có
 [5]
Thể tích vật thể 
 Cho vật thể (T) giới hạn bởi 2 mp song song (P), (Q). Xét hệ tọa độ Oxy sao cho Ox vuông góc với (P), (Q). Gọi giao điểm của (P), (Q) với Ox là a, b (a<b). Một mp( g) vuông góc với Ox tại x và cắt (T) theo một thiết diện có diện tích S(x).
 Giả sử S(x) là hàm liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích của (T) là :
 V = 
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox
 [5] 
2.2. Thực trạng của đề tài
- Trong sách giáo khoa Toán 12 hiện nay các bài tập về vận dụng kiến thức về tích phân để giải các bài toán thực tế, các bài toán liên quan đến vật lý có số lượng rất hạn chế. Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này.
 - “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh’’ cho ta phương pháp giải các bài toán liên quan đến thực tế một cách dễ hiểu hơn đối với các đối tượng học sinh có học lực trung bình trở lên.
- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh’’ kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá của học sinh.
- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh’’ giúp học sinh yêu thích học tập môn toán hơn, thấy được “vẻ đẹp’’ và tính thực tiễn của toán học.
- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh’’ có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học, tự bồi dưỡng tri thức – một con đường tiết kiệm, kinh tế nhất để học tập tốt.
2.3. Các biện pháp giải quyết vấn đề
 2.3.1. Ứng dụng tích phân trong thực tiễn liên quan đến vật lý và sinh học
Bài 1. Một chất điểm A xuất phát từ 0, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm cũng xuất phát từ 0, chuyển động thẳng cùng hướng với A, nhưng chậm 5 giây so với A và có gia tốc bằng a ( m/s2 )( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng:
 A. 22 (m/s). B. 15 (m/s) C. 10 (m/s) D. 7 (m/s) 
[7] 
Lời giải 
Quãng đường điểm A đi được cho đến khi hai điểm gặp nhau là:
Vận tốc của điểm B tại thời điểm t (giây) tính từ lúc B xuất phát là: 
Quãng đường điểm B đi được cho đến khi hai điểm gặp nhau là:
 Suy ra 50 a =75 
Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là 10a =15 (m/s)
Do đó ta chọn đáp án B
Bài 2. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
	A. 0,2 m 	B. 2 m 	C. 10 m 	D. 20 m 
[1]
Lời giải
Nguyên hàm của hàm vận tốc chính là quãng đường mà ô tô đi được sau quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe.
Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với .
Thời điểm ô tô dừng lại ứng với , khi đó .
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là:
 Do đó ta chọn đáp án C.
Ghi nhớ: Hàm số thể hiện quãng đường vật đi được tính theo thời gian là biểu thức nguyên hàm của hàm số vận tốc.
Bài 3. Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc (m/s). Giả sử tại thời điểm thì . Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ô tô đi được là
	A. (m) 	B. (m)	C. (m) 	D. (m)
 [1] 
Lời giải
Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có (m)
Do đó ta chọn đáp án A
Bài 4. Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, và có gia tốc (m/s2). Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.
	A. 12000m	B. 240 m 	C. 864000 m 	D. 3200 m 
[1]
Phân tích
Nhận thấy bài toán này khác với hai bài 3, và bài 4 trên ở chỗ bài toán cho biểu thức gia tốc mà không cho biểu thức vận tốc, ở đây ta có thêm một kiến thức như sau:
Biểu thức gia tốc là đạo hàm của biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với 2 ví dụ đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng đường”. Từ đây ta có lời giải:
Lời giải
Ta có (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0).
Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:
 (m) . Do đó ta chọn đáp án C
Ghi nhớ : Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng đường.
Bài 5. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
A. (km)	B. (km)
C. (km)	D. (km)
 [1]
Lời giải
Ta tìm được phương trình của parabol là
.
Khi thì (km/h).
Vậy 
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:
Do đó ta chọn đáp án B
Bài 6. Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu? 
[2]
Lời giải
Ta có (*)
Vì lúc đầu đám vi trùng có 250000 con nên N(0) = 250000 suy ra C = 250000
Thay vào (*) ta có: 
Sau 10 ngày số lượng vi trùng là:
2.3.2. Ứng dụng tích phân trong thực tiễn liên quan đến hình học
 Bài 1. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)
	A. 7.862.000 đồng 	B. 7.653.000 đồng.
	C. 7.128.000 đồng.	D. 7.826.000 đồng. 
 [1]
Lời giải
Nhận thấy đây là bài toán áp dụng ứng dụng của tích phân vào tính diện tích hình phẳng. Ta có hình vẽ bên:
Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo.
Ta có phương trình đường elip đã cho là . Xét trên nên thì . Khi đó . Vậy diện tích trồng hoa của ông An trên mảnh đất là (m2). Khi đó số kinh phí phải trả của ông An là đồng.
 Do đó ta chọn đáp án B.
Bài 2. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên). Cho biết là hình chữ nhật có; cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?
A
B
C
D
F
I
E
N
M
4 m
12 m
6 m
20.400.000 đồng
 B. 20.600.000 đồng	
 C. 20.800.000 đồng 
 D. 21.200.000 đồng. 
[3] 
Lời giải
- Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN thì parabol có phương trình là . 
- Khi đó diện tích của khung tranh là 
- Suy ra số tiền là: đồng. Do đó ta chọn đáp án C
 Bài 3. Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a. 
	A. 	B. 	C. 	D. 
 [3]
Lời giải
Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể V giới hạn bởi hai mặt trụ: và ().
Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox) tại x là một hình vuông có cạnh (chính là phần gạch chéo trong hình ). Do đó diện tích thiết diện sẽ là:
 , .
Khi đó áp dụng công thức : thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:
Do đó ta chọn đáp án A
 Bài 4. Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa 
cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ)
A. B. C. D. 
 [4]
Lời gải
Chọn hệ trục như hình vẽ.
Ta có
Gọi là Parabol đi qua hai điểm 
Nên ta có hệ phương trình sau:
 Do đó ta chọn đáp án C
 Bài 5. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày và bề rộng của nhịp cầu không đổi là 20 cm (mặt cắt của một nhịp cầu được mô phỏng như hình vẽ). Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị).
 A. 20m 3 B. 50m3 C. 40m3 D. 100m3
[3]
Lời giải
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O (0;0) là chân cầu( điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I( 25;2), điểm A (50; 0) ( điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)
Gọi Parabol trên có phương trình: 
 là phương trình parabol có I, A 
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là với là phần giới hạn bởi trong khoảng (0;25)
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày số lượng bê tông cần cho mỗi nhịp cầu 
 Vậy 10 nhịp cầu hai bên cần 
 Do đó ta chọn đáp án C.
Nhận xét. Qua bài trên ta thấy rằng: Tùy theo hình dáng của hình cần tính diện tích hoặc thể tích mà ta thiết lập phương trình của đường giới hạn các hình đó dựa vào giả thiết cho trước. Bước này rất quan trọng, nó ảnh hưởng trực tiếp đến sự thành công hoặc thất bại của việc giải các bài toán thực tế.
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
Sáng kiến này tôi thực hiện từ năm học 2017-2018 và tiếp tục hoàn thiện vào năm học 2018-2019. Kết quả thu được là rất khả quan. Sau đây là kết quả kiểm nghiệm:
Năm học 2017-2018 (kiểm nghiệm ở lớp 12C2)
Kết quả
Tổng số học sinh
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Trước khi áp dụng SK
44
01
2.2
07
15.9
17
38.6
19
43.3
Sau khi áp dụng SK
44
09
20.5
20
45.5
9
25.5
6
13.5
Năm học 2018 -2019 (kiểm nghiệm ở lớp 12A3)
Kết quả
Tổng số học sinh
Kết quả 
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Trước khi áp dụng SK
41
2
4.9
8
19.5
21
51.2
10
24.4
Sau khi áp dụng SK
41
13
31.7
23
56.1
3
7.3
2
4.9
 Qua hai bảng thống kê trên, tôi nhận thấy ở các lớp có vận dụng những kinh nghiệm nêu trong bản sáng kiến, số học sinh đạt điểm khá, giỏi cao hơn, số học sinh điểm trung bình, yếu ít hơn so với các lớp chưa vận dụng những kinh nghiệm trên. Điều đó chứng tỏ “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh’’ đã nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3.
 Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi thấy rằng đa số học sinh rất hào hứng với các bài toán thực tế mà tôi đã trình bày ở trên. Các em cảm thấy tự tin hơn khi giải các bài toán thực tế ở trong các đề thi khảo sát của trường và của Sở giáo dục và Đào tạo. Ngoài ra các em không ngừng sưu tầm các bài toán thực tế khác trên Internet để làm phong phú thêm kiếm thức của mình để tự tin khi dự thi THPT quốc gia và tự tin bước vào thị trường lao động sản xuất sau khi các em tốt nghiệp THPT.
 Sáng kiến kinh nghiệm này của tôi đã được giáo viên trong tổ đánh giá cao và các đồng nghiệp hưởng ứng cùng áp dụng trong phạm vi tổ. Qua đó đã đóng góp một phần nho nhỏ vào công tác nâng cao hiệu quả giáo dục của trường THPT Tĩnh Gia 3.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Việc vận dụng kiến thức về tích phân để giải một số bài toán thực tế đã thể hiện được cho học sinh thấy khả năng ứng dụng toán học vào cuộc sống thực tiễn và cũng là một mục tiêu xuyên suốt, một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông. Dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông rất cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp toán học vào những môn học khác trong nhà trường. Thông qua môn toán để hiểu rõ bài học môn học khác và ngược lại thông qua môn khác để yêu thích và hứng thú học toán hơn.
Ngoài ra còn được vận dụng giải thích các sự việc trong cuộc sống thông qua những hoạt động thực hành toán học trong nhà trường và ngoài nhà trường như nhà máy ngoài ruộng