SKKN Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh lớp 12 hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia năm 2018

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Phần hình học không gian là phần học khó với học sinh, ngoài việc tổng quan được hình vẽ của bài tập, học sinh còn vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lôgic, các phương pháp luận để hình thành nên cách giải của mỗi bài toán.
Trong phần kiến thức trong các đề thi THPT quốc gia, trong phần hình học không gian tổng hợp thì phần khoảng cách là phần học khó hơn cả. Để tính được khoảng cách bằng phương pháp tổng hợp thuần túy, học sinh phải dựng và chứng minh khoảng cách, sau đó dùng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác, thể tích để tính độ dài khoảng cách. Với những bài tập khoảng cách đơn giản (ở mức độ 1, mức độ 2) thì không gây khó khăn nhiều cho học sinh, nhưng ở những bài tập của những mức độ cao hơn thì đó quả là một vấn đề khó, đặc biệt là trong bài thi trắc nghiệm, khi thời gian là áp lực lớn cho học sinh.
Trong khi đó, Phương pháp tọa độ trong không gian lại có những ưu điểm bổ trợ, khắc phục được những vấn đề khó khăn mà nếu sử dụng phương pháp hình học tổng hợp thuần túy học sinh gặp phải. Để tính được khoảng cách, học sinh không phải dựng khoảng cách mà chỉ cần xác định nhanh tọa độ của những điểm cần thiết và sử dụng công thức, không cần phải suy luận nhiều. Do vậy, phương pháp tọa độ thích hợp với mọi đối tượng học sinh, đặc biệt là những học sinh có học lực trung bình. Điểm gây khó khăn cho học sinh của phương pháp tọa độ trong không gian là việc tính toán, nhiều công thức tương tự. Vấn đề này sẽ được khắc phục nhanh bằng việc sử dụng thành thạo máy tính cầm tay.
Chương Phương pháp tọa độ trong không gian ở chương trình 12 lại chủ yếu vào các bài tập về tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn , không có bài học riêng thể hiện sự ứng dụng của phương pháp tọa độ giải các bài toán hình học không gian. Vì vậy, nếu giáo viên không thu xếp dành một khoảng thời gian nhất định truyền đạt đến các em học sinh thì hầu như học sinh không biết, do đó có rất nhiều bài tập học sinh không thể làm được hoặc không đủ thời gian nếu sử dụng phương pháp tổng hợp.
Trước yêu cầu ngặt về thời gian của đề trắc nghiệm, yêu cầu cần được tiếp thu của học sinh, qua thời gian giảng dạy và tìm hiểu tôi đã lựa chọn đề tài này để hoàn thiện hơn kinh nghiệm của mình, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia.
Trong khuôn khổ của đề tài Sáng kiến kinh nghiệm, tôi chọn đề tài: “Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh lớp 12 hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia năm 2018”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Như đã nói ở trên, mục đích nghiên cứu của đề nhằm hoàn thiện hơn kinh nghiệm của mình, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia. 
Từ đây, có thể hình thành cho học sinh tư duy liên môn, thấy được các mối quan hệ liên môn giữa các môn học mà lâu nay học sinh không để ý tới, từ đó giúp học sinh có kỹ năng tốt hơn để giải quyết tốt các bài toán ở môn khác, ở thực tiễn đời sống sau này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh hình thành các kỹ năng vận dụng, chuyển các bài toán tính khoảng cách theo yêu cầu của phương pháp tổng hợp thành các bài toán tính khoảng cách mà sử dụng phương pháp tọa độ.
Cụ thể: 
+ Các công thức tính khoảng cách bằng tọa độ
+ Các dạng bài toán có thể áp dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách.
+ Các bài tập minh họa và các bài tập củng cố.
1.4. Các phương pháp nghiên cứu của đề tài:
+ Phương pháp thống kê, thu thập số liệu: 
+ Phương pháp nghiên cứu, xây dựng cơ sở lý thuyết: Vì chưa có một đề tài nghiên cứu hoàn chỉnh, chuẩn kiến thức nên tôi đã tìm hiểu qua nội dung của các bài toán, tham khảo ở một số ý tưởng của một số tác giả và bằng sự hiểu biết của mình để hình thành nên phương pháp luận, xây dựng thành cơ sở lý thuyết để học sinh học tập.
+ Phương pháp điều tra thực tế: Bằng việc quan sát học sinh làm bài tập tại lớp, bằng việc thống kê số lượng học sinh có sử dụng tọa độ trong các bài toán tính khoảng cách và một số bài toán khác trong các đề thi, các bài kiểm tra, để từ đó mình điều chỉnh các dạy, định hướng cho học sinh có thể sử dụng kết hợp linh hoạt cả 2 phương pháp: Phương pháp tổng hợp và phương pháp tọa độ.
1.5. Những điểm mới của đề tài:
Các bài toán có sử dụng phương pháp tọa độ để giải ở sách giáo khoa, các tài liệu luyện thi đại học,  chủ yếu ở dạng bài tập, ở đó chỉ có lời giải chi tiết mà chưa có sự giải thích, chưa có sự sắp xếp, tổng hợp. Trong khi đó chưa có một đề tài hoàn chỉnh, chưa có sự phân tích, sắp xếp các nội dung kiến thức để từ đó học sinh tự học, tự nghiên cứu, tự lĩnh hội được tri thức. Và đề tài này sẽ giải quyết được những vấn đề trên.
PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Chương học: Phương pháp tọa độ trong không gian ở Hình học lớp 12 chiếm gần như toàn bộ lượng thời gian (cho phần hình học) ở học kỳ 2, từ đó ta thấy lượng kiến thức rất nhiều. Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tôi chỉ trình bày những kiến thức liên quan đến đối tượng nghiên cứu của đề tài.
2.1.1. Xác định tọa độ điểm trên hệ trục tọa độ.
Khi đã thiết lập được hệ trục tọa độ, việc xác định tọa độ các điểm liên quan trong hình vẽ rất quan trọng. Học sinh cần phải nhớ các kiến thức sau:
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M. Để xác định tọa độ điểm M ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Dựng M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng (Oxy) (MM’ // Oz)
Bước 2. Dựng M1 là hình chiếu của M’ lên trục Ox (M’M1 // Oy)
 Þ là hoành độ của điểm M
Bước 3. Dựng M2 là hình chiếu của M’ lên trục Oy (M’M2 // Ox)
 Þ là tung độ của điểm M
Bước 4. Dựng M3 là hình chiếu của M lên trục Oz (MM3 // M’O)
 Þ là cao độ của điểm M
Vậy M
2.1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Bài toán: Cho đường thẳng D đi qua điểm M và có véc tơ chỉ phương . 
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng D là:
d(A/D) = 
Cụ thể: Ứng dụng tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là:
d(A/BC) = 
2.1.3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Bài toán: Cho điểm A(x0; y0; z0) và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0.
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là:
d(A/(P)) = 
Cụ thể:
Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
Để tích khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ta có thể tính bằng các cách sau:
Cách 1:
+ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) đi qua 3 điểm B, C, D
+ Dùng công thức, tính d(A/(BCD))
Cách 2:
+Tính thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 
+ Tính diện tích của tam giác BCD: SBCD = 
Khi đó: 
2.1.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Bài toán: Cho hai đường thẳng chéo nhau D1 và D2, biết:
D1 đi qua điểm M1 và có véc tơ chỉ phương 
D2 đi qua điểm M2 và có véc tơ chỉ phương 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2 là:
d(D1,D2) = 
Cụ thể:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD là:
d(AB,CD) = 
Như vậy, để tính các khoảng cách, ta không cần sử dụng các kiến thức tổng hợp như dựng khoảng cách, sử dụng các kiến thức hệ thức lượng trong tam giác để tính khoảng cách mà chỉ cần thiết lập hệ trục tọa độ vào hình vẽ, tìm tọa độ các điểm và áp dụng một trong các công thức trên.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Như đã nói ở trên, Hình học không gian tổng hợp là một môn học khó, đặc biệt là phần tính các loại khoảng cách. Chính vì vậy mà trong các đề thi đại học của những năm trước đây, câu phần hình học không gian gồm 2 ý, một ý thường là tính thể tích khối đa diện, phần này ở mức độ 2 (thông hiểu), ý còn lại là tính khoảng cách, phần này ở mức độ 3 (vận dụng thấp - cao). Những học sinh có học lực trung bình, hoặc trung bình – khá thường bỏ qua phần này hoặc rất vất vả nhưng không chắc chắn đúng hay sai. Điều này dẫn đến việc học sinh không dành thời gian thích đáng để ôn tập phần này, đã kém phần này lại càng học kém hơn.
Tuy nhiên, khi được triển khai ứng dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian, đặc biệt là phần tính khoảng cách, học sinh có hứng thú học tập hơn hẳn, thậm chí một số học sinh còn dành thời gian rất nhiều để nghiên cứu phần kiến thức này như là để bù lại sự thiếu sót trong hệ thống kiến thức ôn luyện thi. Có những học sinh, mỗi khi giải các bài toán hình học không gian là nghĩ ngay đến phương pháp tọa độ, thậm chí vẫn dùng phương pháp tọa độ để giải những bài toán đơn gian, rất đơn giản khi áp dụng phương pháp tổng hợp thuần túy.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Trước thực trạng trên của học sinh trong quá trình học hình học không gian dẫn đến sự cần thiết phải truyền thụ kiến thức cho học sinh về ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình học không gian theo yêu cầu của phương pháp tổng hợp thuần túy. Bên cạnh đó, phân phối chương trình không dàng thời lượng cho việc triển khai này nên việc triển khai phải thực hiện lồng ghép, thường xuyên trong mỗi tiết dạy lý thuyết, mỗi tiết dạy bài tập. Cụ thể :
2.3.1. Trong bài 1. Hệ trục tọa độ trong không gian: Ta có thể lồng ghép, bắt đầu truyền thụ dần kiến thức về ứng dụng phương pháp tọa độ giải bài toán hình học không gian cho học sinh như:
2.3.1.1. Các dấu hiệu nhận biết bài toán hình học không gian có thể giải được bằng phương pháp tọa độ.
+ Tại một đỉnh có 3 cạnh đôi một vuông góc với nhau.
+ Hình lập phương; hình hộp chữ nhật; hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi, hình thang vuông, tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều 
+ Hình chóp có đáy là tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều; hình vuông; hình chữ nhật  và có cạnh bên, mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
+ Một vài hình chưa có sẵn 3 đường thẳng đôi một vuông góc với nhau nhưng có thể tạo ra được 3 đường thẳng vuông góc với nhau như: có 2 đường thẳng vuông góc với nhau hoặc 2 mặt phẳng vuông góc với nhau.
2.3.1.2. Thiết lập hệ trục tọa độ.
Vấn đề quan trọng nhất trong việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ là thiết lập hệ trục tọa độ phù hợp. Sau đây là một số gợi ý để thiết lập hệ trục tọa độ:
+ Với hình có sẵn 3 đường thẳng đôi một vuông góc với nhau: Việc thiết lập hệ trục tọa độ thực rất đơn giản, gốc tọa độ là điểm đồng quy, các trục tọa độ lần lượt trùng với các đường thẳng đôi một vuông góc với nhau.
+ Hình chóp đều: Hệ trục tọa độ được thiết lập dựa trên gốc tọa độ trùng với tâm của đa giác đáy và trục Oz trùng với đường cao của hình chóp.
+ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy: Thường chọn trục Oz trùng (hoặc song song) với cạnh bên vuông góc với mặt đáy và gốc tọa độ O thường trùng với chân đường vuông góc.
+ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương: Chọn gốc tọa độ là một đỉnh, các trục tọa độ lần lượt trùng với ba cạnh kích thước của hình hoặc chọn gốc tọa độ là tâm của đáy, các trục tọa độ song song với ba cạnh kích thước.
+ Hình lăng trục đứng: Chọn gốc tọa độ là một đỉnh của đáy, trục Oz trùng với cạnh bên. Tùy thuộc vào tính chất của đa giác đáy, chọn các trục Ox, Oy phù hợp.
+ Hình lăng trục xiên: Dựa vào đường cao và tính chất của đa giác đáy để thiết lập hệ trục tọa độ.
2.3.1.3. Xác định tọa độ các điểm liên quan:
Để thuận lợi và giúp học sinh hình thành kỹ năng xác định tọa độ điểm khi đã thiết lập được hệ trục tọa độ cần hình thành cho học sinh mạch tư duy, tiến trình thực hiện như sau:
+ Xác định tọa độ các điểm nằm trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
+ Xác định tọa độ các điểm nằm trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
+ Xác định tọa độ các điểm dựa vào tính chất của hình, tọa độ của véc tơ, ...
2.3.1.4. Các bước giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.
+ Bước 1. Chọn gán hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp và tìm tọa độ các điểm liên quan tới bài toán.
+ Bước 2. Chuyển yêu cầu bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích.
+ Bước 3. Tiến hành giải bài toán hình học giải tích trên.
+ Bước 4. Chuyển kết luận của bài toán hình học giải tích sang tính chất hình học tương ứng.
2.3.2. Trong bài 2. Phương trình mặt phẳng:
Trong bài này, học sinh được học về công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta sẽ lồng ghép, giới thiệu vè yêu cầu học sinh giải các bài toán về tính khoảng từ một điểm đến mặt phẳng ở hình học tổng hợp thuần túy bằng phương pháp tọa độ.
Với những bài toán tính khoảng cách dễ dàng thực hiện được bằng phương pháp tổng hợp thuần túy sẽ có nhiều những học sinh có học lực khá – giỏi làm rất nhanh ra kết quả. Tuy nhiên ta vẫn yêu cầu học sinh giải toán bằng phương pháp tọa độ để những học sinh có học lực yếu hơn tiếp thu tốt. Sau đó, cần có những bài tập mà việc tính khoảng cách bằng phương pháp tổng hợp thuần túy sẽ gặp khó khăn nhưng lại được giải quyết dễ dàng bằng phương pháp tọa độ. Vấn đề này được triển khai sẽ gây được sự thích thú nhất định đối với tất cả các đối tượng học sinh, học sinh khá giỏi sẽ thấy được cái hay, cái ích của phương pháp tọa độ; học sinh trung bình sẽ tìm được "phao" để giải toán.
Trong khuôn khổ của đề tài, không thể triển khai hết các bài tập minh họa cho ý kiến trên, chỉ xin gới thiệu một ví dụ sau:
Ví dụ 1 . Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 3a, AA’ = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, BB’; P là điểm thuộc cạnh B’C’ sao cho B’P = 2P’C. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (MNP).
Bài giải
* Phân tích: 
Việc tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (MNP) bằng phương pháp tổng hợp rất khó khăn.
Tuy nhiên, giả thiết cho ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật, các điểm M, N, P được xác định cụ thể trên các cạnh của hình hộp nên việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán này dễ dàng và là hợp lý nhất.
* Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho A là gốc tọa độ, B thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay và A’ thuộc tia Az.
Khi đó: 
B’(a; 0; 0), A(0; 0; 2a), B(a; 0; 2a), D(0;3a; 2a), C(a; 3a; 2a), M(0;;2a), N(a; 0; a), P(a; 2a; 0)
Þ , 
Þ 
Þ (MNP) đi qua N(a; 0; a), có VTPT là = 
Þ (MNP) có phương trình: 7x + 2y + 4z – 11a = 0
Þ 
2.3.3. Trong bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian:
Trong bài này, học sinh đã được tiếp thu về công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Vẫn với ý tưởng như trên, tôi sẽ lồng ghép để giới thiệu một số ví dụ nhằm củng cố, kích thích thêm sự thích thú, ham tìm hiểu của học sinh với việc ứng dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong cá bài toán hình học không gian tổng hợp bằng một số ví dụ như sau:
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi M thuộc cạnh SD sao cho MD = 3SM, N là trung điểm của BC. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng MN.
Bài giải
* Phân tích:
+ Với bài toán này, bằng phương pháp tổng hợp, muốn tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng MN ta phải dựng H là hình chiếu của A lên MN và tính độ dài đoạn thẳng AH. Vì tam giác AMN không có tính chất đặc biệt nên vị trí của điểm H không đặc biệt, việc tính AH phải dựa vào diện tích tam giác AMN, khi đó AH = . Nhưng tính độ dài đoạn thẳng MN, diện tích tam giác AMN không phải việc dễ dàng, không phải học sinh nào cũng làm được.
+ Tuy nhiên, tại đỉnh A có 3 đường thẳng đôi một vuông góc với nhau, đây là dấu hiệu đầu tiên, dễ nhận thấy để thiết lập hệ trục tọa độ. Việc tìm các tọa độ S, D, B, C, N rất đơn giản, sử dụng tìm tọa độ điểm M cũng không có gì là khó khăn.
* Vì vậy, cách giải như sau:
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho A là gốc tọa độ, B thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay và S thuộc tia Az.
Khi đó, ta có :
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2a; 0), 
S(0; 0; a), C(a; 2a; 0)
N là trung điểm của BC Þ N(a; a; 0)
Gọi M(x; y; z)
Þ , 
Theo giả thiết Þ 
 Û Û Þ
Khi đó:
 , Þ 
Þ d(A/MN) = 
Vậy d(A/MN) = .
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
(Đề thi Đại học khối B năm 2007)
* Nhận xét :
Với bài toán trên, nếu ta sử dụng phương pháp tổng hợp ta phải tiến hành dựng mặt phẳng chứa MN và song song với AC hoặc dựng mặt phẳng chứa AC và song song với MN. Sau đó sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính, thường quy các khoảng cách cần tính này về tính khoảng cách từ điểm O là chân đường cao của hình chóp. Từ hình vẽ, ta có thể nhận thấy, nếu sử dụng phương pháp này thì việc tính khoảng cách gặp rất nhiều khó khăn.
Tuy nhiên, nếu sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian, việc tính khoảng cách giữa MN và AC rất đơn giản, cụ thể:
* Bài giải
Dựng hệ trục tọa độ Oxyz có O là gốc tọa độ, C thuộc tia Ox, D thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz, khi đó:
OC = Þ , , , .
Gọi SO = h Þ 
Khi đó ta tìm được: 
 là trung điểm của SA 
Vì I là trung điểm của DE Þ 
Vì M là trung điểm của AE Þ 
Vì N là trung điểm của BC Þ 
Þ , , 
Khi đó d(MN,AC) = 
Như vậy, qua 3 ví dụ trên ta nhận thấy rằng phương pháp tọa độ trong không gian có rất nhiều ưu việt mà ta có thể sử dụng trong rất nhiều bài tập khó. Đặc biệt, với những học sinh có học lực trung bình – khá, thường rất sợ và học không tốt về hình học không gian nên không tự tin, và vì thế càng không dành nhiều thời gian cho hình học không gian. Khi đó Phương pháp tọa độ là một "phao" cứu.
Sau đây là một số ví dụ trong các đề thi thử THPT Quốc gia ở một số trường THPT trên toàn quốc trong năm học 2017 – 2018.
Ví dụ 4. Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại vuông góc với mặt phẳng đáy và Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
(Đề thi thử trường THPT Chuyên Thái Bình năm 2018 – lần 2)
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ Bxyz sao cho B là gốc tọa độ, C thuộc tia Bx, A thuộc tia By và trục Bz như hình vẽ :
Khi đó: 
B(0; 0; 0), A(0; y ; 0), C(2a; 0; 0), S(0; y; 2a) 
Þ M(a; ; 0)
Þ , ,
Khi đó: d(AB,SM) = Þ chọn đáp án A.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. K là điểm trên cạnh AD sao cho. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK. 
A. 	B. 	C. 	D. 
(Đề thi thử THPT quốc gia năm 2018 – trường THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình – lần 1)
Bài giải
Gọi O = AC Ç BD. Theo giả thiết 
Þ SO ^ (ABCD)
Ta có: 
 Þ 
Þ 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Khi đó: 
, , ,
Þ , , 
Þ d(MN,SK) = Þ Chọn đáp án D
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Góc giữa mặt phẳng và bằng Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, I là hình chiếu của G lên AB 
 Þ 
Ta có Þ 
Þ 
Vì Þ tam giác ABD là tam giác đều cạnh a
Þ BD = a, AC = 2AO = 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có:
 , , ,
Þ , 
Þ 
Þ (SCD) có phương trình: 
Þ d(B;(SCD)) = Þ Chọn đáp an C.
Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. 	B. 	C. 	D. 
(Đề thi thử THPT quốc gia năm 2018 – trường THPT Ba Đình – Thanh Hóa – lần 1)
Bài giải
Từ giải thiết, ta dễ dàng chứng minh được ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.
Khi đó:
, ,, , , , 
Þ , 
Þ , , 
Þ 
Sau đây là một số bài tập tự luyện từ các đề thi có thể giải được bằng sử dụng phương pháp tọa độ thay cho phương pháp tổng hợp thuần túy.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng . Gọi M, H, N lần lượt là trung điểm của AO, AB, BC.
a) Chứng minh rằng: 
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DN và SC.
(Đề thi KTBD học kỳ 2 – khối 11 – trường THPT Hậu Lộc 1, năm học 2017 - 2018)
Bài 2. Cho hình h