SKKN Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải một số bài toán đại số trong trường THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG TRƯỜNG THPT
Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
 Nội dung
Trang
Mục lục ............................................................................................ .
1.MỞ ĐẦU.........................................................................................
 1.1 Lý do chọn đề tài..................................................................
 1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................
 1.3. Đối tượng nghiên cứu................................................................
 1.4. Phương pháp nghiên cứu...........................................................
2. NỘI DUNG....................................................................................
 2.1. Cơ sở lí luận................................................................................
 2.1.1. Các hàm số cơ bản..................................
2.1.2. Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá tri..........
2.1.3. Phép đổi biến số.................................................
2.2. Cơ sở thực tiễn............................................................................
2.3. Nội dung nghiên cứu...................................................................
 2.3.1. Dạng 1 .............................................................................. 
 2.3.2 Dạng 2................................................................................
 2.3.3 Dạng 3................................................................................
 2.3.4 Dạng 4................................................................................
2.4. Kết quả nghiên cứu của SKKN...................................................
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ...
Tài liệu kham khảo.............................................................................
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
5
5
5
9
11
13
15
16
18
 1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lý do chọn đề tài
	Là giáo viên dạy nhiều năm ở bộ môn toán THPT, tôi đã gặp không ít những trắc trở trong việc giảng dạy ở nhiều bài toán như giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ, tích phân, số phức.... Vì mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải thể hiện được khái niệm toán học của nó. Trong các cách giải khác nhau đó, có cách giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính sáng tạo của toán học. Phương pháp lượng giác hóa mang lại tính sáng tạo, ngắn gọn, dễ hiểu cho học sinh khi xử lí một số bài toán khó. Chính vì vậy tôi chọn đề tài của sáng kiến kinh nghiệm là:”Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại số trong trường THPT”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu 
 Trong đề tài này tôi muốn hướng dẫn học sinh giải một số bài toán bằng “ con mắt” của lượng giác. Từ những bài toán không chứa những yếu tố lượng giác, bằng phép đổi biến ta chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hoá. Qua phương pháp này giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, tư duy logic và tổng quát hóa bài toán. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
 	Đề tài được áp dụng trong phần giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ, số phức. Phương pháp này dành cho học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi THPT Quốc gia.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu:
 	Ở đây tôi nêu ra phương pháp xây dựng cơ sở lí thuyết thông qua một số bài toán cụ thể về phương trình, có hệ phương trình, số phức. Trong mỗi ví dụ tôi đã cố gắng phân tích để dẫn dắt người đọc hiểu và áp dụng được phương pháp lượng giác hóa để giải. Bên cạnh đó tôi còn nêu ra một số bài tập để người đọc có thể rèn luyện thêm kiến thức.
 2. NỘI DUNG
 2.1. Cơ sở lí luận
	Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượng giác hoá, đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hoá.
	Những kiến thức liên quan:
2.1.1. Các hàm số cơ bản:
*) Hàm số: , .
Miền xác định: .
Miền giá trị: .
Chu kì: .
*) Hàm số: .
Miền xác định: .
Miền giá trị: .
Chu kì: .
*) Hàm số: .
Miền xác định: .
Miền giá trị: .
Chu kì: .
2.1.2. Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giái trị:
*) Nếu thì ta có .
*) Nếu thì ta có .
*) Nếu thì ta có .
2.1.3. Phép đổi biến số:
*) Nếu thì ta đặt hoặc .
*) Nếu thì ta đặt .
*) Nếu thoả mãn điều kiện thì ta đặt , .
*) Nếu thoả mãn hoặc thì ta có thể đặt , với .
*) Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp:
Biểu thức
Cách đặt
Miền giá trị của biến
(hoặc )
(hoặc )
(hoặc )
(hoặc )
hoặc 
hoặc 
 hoặc 
 hoặc 
2.2. Cơ sở thực tiễn
	Trong trường THPT hiện nay có rất nhiều đối tượng học sinh, do đó công việc giảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng giải toán không phải là công việc đơn giản của mỗi giáo viên.
	Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh, tôi đã thực hiện nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó không thể thiếu phương pháp giảng dạy khoa học lôgic, tạo động lực để học sinh say mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên cơ sở khoa học mà người thầy đã gieo. Trong các biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà tôi đang trình bày và đề tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi, nó không phải là để dạy ở một lớp có nhiều đối tượng học sinh. Tuỳ thuộc vào yêu cầu rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải quyết.
2.3. Nội dung nghiên cứu
2.3.1. DẠNG 1: Trong bài có chứa biểu thức dạng .
Phương pháp: Ta đặt , với (hoặc , với).
Ví dụ 1: Giải phương trình: .
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu với .
Giải:
Điều kiện: . (*)
Với điều kiện (*) ta đặt . (**)
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
.
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
Lưu ý: Ta cũng có thể đặt .
Ví dụ 2: Giải phương trình: .
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu với .
Giải:
Điều kiện: . (*)
Với điều kiện (*) ta đặt . 
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Lưu ý: Ta cũng có thể đặt .
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: .
Giải:
ĐK: .
Ta đặt . (**)
Khi đó BPT được chuyển về dạng:
.
Vậy tập nghiệm của BPT là .
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình .
Giải: 
ĐK: .
Ta đặt với .
Khi đó hệ được đưa về dạng:
.
Vậy hệ có 2 nghiệm .
Ví dụ 5: Tìm để hệ sau có nghiệm: . (1)
Giải: 
ĐK: .
Ta đặt .
Khi đó từ (1) có dạng:
 (2)
Để hệ (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn 
.
Vậy .
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Giải các PT, BPT, Hệ PT sau:
1) .
ĐS: PT có 2 nghiệm: ; .
2) .
ĐS: PT có 1 nghiệm: .
3) .
4) .
5) .
6) .
2.3.2. DẠNG 2: Trong bài có chứa biểu thức dạng .
Phương pháp: Ta đặt , với 
(hoặc , với ).
Ví dụ 6: Giải phương trình .
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu với .
Giải:
Điều kiện: . (*)
Với điều kiện (*) ta đặt . 
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
.
Đặt (điều kiện ), ta có .
Kho đó phương trình có dạng:
.
Vậy phương trình có 1 nghiệm: .
Lưu ý: Ta cũng có thể đặt .
Ví dụ 7: Giải bất phương trình .
HD: 
Điều kiện: . (*)
Với điều kiện (*) ta đặt . 
Bất phương trình trở thành. (2)
Xét hai trường hợp:
TH1: .
Phương trình (2) có dạng:
. (2’)
Đặt .
BPT (2’) trở thành:
TH2: .
Ví dụ 8: Giải bất phương trình .
HD: ĐK: .
Ta đặt . (**)	
Khi đó BPT có dạng:
.
Xét hai trường hợp:
TH1: .
TH2: .	
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình: .
ĐS: Phương trình có 2 nghiệm: ; .
2) Giải bất phương trình: .
2.2.3. DẠNG 3: Trong bài có chứa biểu thức dạng .
Phương pháp: Ta đặt , với 
 (hoặc , với ).
Ví dụ 9: Giải phương trình .
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu với .
Giải:
ĐK: .
Đặt , với .
Phương trình đã cho trở thành: 
.
Với .
Vậy phương trình có 1 nghiệm .
Ví dụ 10: Giải bất phương trình .
Giải:
ĐK: .
Đặt , với .
Bất phương trình đã cho trở thành: 
 luôn đúng.
Vậy BPT có nghiệm đúng .
Ví dụ 11: Với , giải bất phương trình .
Nhận xét: Có dạng của ví dụ 10.
Giải:
ĐK: .
Đặt , với .
Bất phương trình đã cho trở thành: 
 .
Vậy BPT có nghiệm đứng .
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình: .
ĐS: .
2) Giải bất phương trình: .
2.2.4. DẠNG 4: Nếu x,y thỏa mãn điều kiện thì ta đặt , .
Ví dụ 12: Cho phương trình (với là tham số) (1) 
a) Tìm điều kiện của để phương trình (1) có nghiệm.
b) Giải phương trình khi .
Giải:
ĐK: .
Ta thấy rằng , nên ta đặt , với .
Khi đó phương trình trở thành: (1’)
a) Điện để (1) có nghiệm (1’) có nghiệm .
b) Khi , phương trình đã cho trot thành: 
 (do )
*) Với .
*) Với .
Vậy khi phương trình (1) có 2 nghiệm , .
Lưu ý: Bài toán trên ta có thể giải bằng phương pháp khác.
Ví dụ : Giải bất phương trình .
ĐK: . (*)
Với điều kiện (*) ta đặt , với .
Khi đó bất phương trình được chuyển về dạng:
.
Vậy bất phương trình có nghiệm .
Ví dụ 13 : Tìm để bất phương trình sau có nghiệm: .
Giải:
ĐK: . (*)
Với điều kiện (*) ta đặt , với . (**)
Khi đó bất phương trình được chuyển về dạng:
Từ (**) ta được: .
Vậy để bất phương trình có nghiệm thì điều kiện là: .
Ví dụ 14: Cho số phức thỏa mãn .
 Tìm môđun lớn nhất của số phức 
A. B. C. D. 
 Giải:
Gọi . Ta có: .
Đặt 
Chọn đáp án A.
 Ví dụ 15: 
Cho số phức thoả mãn . Gọi và là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính môđun của số phức 
A. .	B. . C. . D. .
 Giải
Đặt . Ta có .
Mặt khác .
Đặt , 
Suy ra .
Ta có .
Do đó , . Chọn B
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải bất phương trình: .
ĐS: .
2) Tìm để BPT sau có nghiệm: .
ĐS: .
3) Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức 
ĐS: 2
2.3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Qua quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh đã giải quyết các bài toán thuộc các dạng trên một cách nhanh hơn, linh hoạt hơn bằng phương pháp lượng giác hóa. Thực tế, trong nhiều năm liền tôi may mắn được giảng dạy ở các lớp nâng cao có nhiều đối tượng học sinh khá, giỏi. Vào các tiết luyện tập tôi đã có việc lồng ghép phương pháp lượng giác háo để học sinh giải được các bài tập nâng cao nhằm các em thu thập thên kiến thức và kinh nghiệm để áp dụng trong các kì thi đại học, cao đẳng.
 Năm học 2018 – 2019 tôi được phân dạy môn toán lớp 12C6, 12C7 trường THPT Hàm Rồng (là lớp chọn theo khối A1 của nhà trường). Kết quả kiểm tra 2 nhóm học sinh (có học lực từ TB khá trở lên) cuối năm lớp 12 về chủ đề: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức... thu được kết quả như sau:
Nhóm
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
Nhóm1
20
7
35,0%
10
50,0%
2
10,0%
1
5,0%
Nhóm 2
20
2
10,0%
9
45,0%
7
35,0%
2
10,0%
Nhóm 1(Được dạy phương pháp lượng giác hóa): là các học sinh của lớp 12C6
Nhóm 2(không được dạy phương pháp lượng giác hóa): là học sinh của lớp 12C7
3. KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Với kết quả nghiên cứu đã đạt được, tôi đã rất thành công trong việc hướng dẫn, bồi dưỡng đối tượng hoc sinh khá, giỏi. Tuy nhiên , để giải quyết các bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa thì các en học sinh cần phải nắm vững công thức LG cũng như giải phương trình, BPT lượng giác.
3.2. Kiến nghị:
Trong thời gian tới, nếu có điều kiện tôi sẽ mở rộng nghiên cứ đề tài này.
Trên đây là một phương pháp giải phương trình, BPT, hệ phương trình vô tỉ, tìm GTLN, GTNN của mô-đun số phức bằng phương pháp lượng giác hóa trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Tuy nhiên, đề tài trên không tránh khỏi những thiếu sót cần bổ sung. Tôi rất mong được sự góp ý quý đồng nghiệp để SKKN của tôi hoàn thiện hơn.
Xin trân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019.
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình 
 viết, không sao chép nội dung của người khác
 Người viết
 Trịnh Đình Chiến 
 TÀI LỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp giải toán – Lê Hồng Đức (chủ biên).
2. Phương trình và bất phương trình – Phan Huy Khải.
3. Giải tích hiện đại – Vũ Tuấn (3 tập).
4. Một số số báo “ Toán học và tuổi trẻ”.
 DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
Họ và tên tác giả: Trịnh Đình Chiến
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá
xếp loại
Kết quả
đánh giá xếp loại (A, B, C)
Năm học đánh giá xếp loại
1
 Phát hiện và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải bài toán tổ hợp
Sở giáo dục và đào tạo thanh hóa
C
2013-2014
2
Một số phương pháp giải toán hình học không gian ở trường THPT
Sở giáo dục và đào tạo thanh hóa
B
2015-2016