SKKN Ứng dụng đạo hàm giải một số bài toán thực tế nhằm nâng cao năng lực thực tiễn cho học sinh lớp 12

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục phải được thức hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý thuyết phải gắn liền với thực tiễn...”
Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhà trường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết các vấn đề, tình huống trong thực tế, vì vậy việc tăng cường ứng dụng toán học trong giảng dạy toán ở trường Trung học phổ thông là một vấn đề có ý nghĩa lý luận và thực tiễn sâu sắc.
Từ năm học 2016 – 2017, sự thay đổi hình thức thi THPTQG môn Toán từ tự luận sang trắc nghiệm là một trong những bước ngoặt quan trọng trong cải cách giáo dục Việt Nam. Nội dung ma trận đề thi minh họa đã được xác định, kiến thức được đề cập đến tất cả các phần trong sách giáo khoa, vì vậy đòi hỏi học sinh phải nắm vững tất cả các phần kiến thức cơ bản trong chương trình, trong đó có toán ứng dụng thực tế. Đó là một lớp bài toán mang tính thực tiễn rất gần gũi và thiết thực trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta 
Bộ SGK môn Toán THPT hiện hành đã được tăng cường thêm các bài toán ứng dụng toán học cả về số lượng và chất lượng, song vẫn còn rất ít. Trong quá trình giảng dạy tại nhà trường nhận thấy học sinh còn ngại tiếp cận và thường gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội các bài toán về ứng dụng thực tế, đề bài loại toán này thường dài nên học sinh thường cảm thấy trừu tượng. Nhiều học sinh không hiểu được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của khái niệm Toán học và yếu về kiến thức liên môn từ đó dẫn đến việc khi làm các bài tập toán ứng dụng, cảm thấy lúng túng và không định hướng được phương pháp giải, không biết hướng vận dụng. 
Do đó cần phải có biện pháp thích hợp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học các bài toán ứng dụng thực tế, giúp học sinh thích nghi với sự thay đổi của việc cải cách trong giáo dục, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của sự nghiệp Giáo dục trong tình hình mới. Học sinh thấy được việc học Toán không chỉ là các kiến thức hàn lâm xa vời mà còn có rất nhiều ứng dụng khác nhau trong đời sống thực tế, từ đó các em có thêm động lực, niềm đam mê môn học để chinh phục các đỉnh cao trong các kỳ thi và ngược lại học Toán không phải chỉ để thi mà học để biết áp dụng vào thực tiễn cuộc sống hằng ngày. Trên tinh thần đó, cùng với một số kinh nghiệm của bản thân, tôi đưa ra sáng kiến “Ứng dụng đạo hàm giải một số bài toán thực tế nhằm nâng cao năng lực thực tiễn cho học sinh lớp 12” với mong muốn giúp học sinh nắm vững phương pháp, biết vận dụng tốt các kiến thức đã học, sẽ luôn tự tin với dạng toán ứng dụng thực tế và không còn cảm thấy khó khăn khi giải lớp các bài toán hay này!
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Đề xuất những ví dụ về toán ứng dụng thực tế để chuyển thành câu hỏi trắc nghiệm khách quan, nhằm cho học sinh tiếp cận với phương pháp đánh giá mới và phát triển năng lực tư duy giải toán và học được cách suy nghĩ tìm lời giải bài toán 
 - Giúp giáo viên hệ thống kiến thức và hướng dẫn học sinh cách tư duy giải các bài toán ứng dụng thực tế trong chương trình toán THPT
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh, tạo hứng thú học tập và giúp các em lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Lớp các bài toán có liên quan đến môn Toán học đó là Hình học, Vật lý, Hóa học, Sinh học, Tin học và các bài toán xuất phát từ nhu cầu của thực tiễn trong đời sống hàng ngày 
- Nội dung chương trình được giảng dạy trong trường THPT 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra khảo sát 
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Phương pháp tổng hợp, phân tích, đánh giá 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHỆM
2.1. Cơ sở lí luận
- Hiện nay Bộ Giáo dục và Đào tạo đang tiến hành lộ trình đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá ở các trường phổ thông theo định hướng phát triển năng lực của học sinh trên tinh thần Nghị quyết 29NQ/TƯ ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Xuất phát từ mục tiêu day học phát triển năng lực, đòi hỏi học sinh phải tăng cường vận dụng kiến thức vào giải quyết những vấn đề thực tiễn
- Việc hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán và vận dụng thực tế không chỉ mang lại cho học sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với một dạng toán nào đó mà còn giáo dục cho học sinh biết phân tích xem xét trong từng tình huống cụ thể. Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người học đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, kỹ năng phân tích, tổng hợp của một sự vật, hiện tượng
- Các vấn đề lý thuyết của Toán học từ đại số, giải tích, hình học đều xuất phát từ nhu cầu tự nhiên của thực tiễn cũng như các môn học khác. Người giáo viên nếu chịu khó tìm tòi, sáng tạo các ví dụ thực tế lồng ghép vào bài dạy hoặc tiết học tự chọn sẽ giúp học sinh hiểu được tầm quan trọng khi học về các khái niệm Toán học từ đó giúp các em tích cực chủ động và hứng thú đối với việc học tập 
2.2 Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nhiệm
- Các bài toán vận dụng kiến thức SGK để giải quyết vấn đề thực tế còn ít, nếu có chỉ mang tính tượng trưng 
- Các tài liệu về mảng toán ứng dụng còn rất hạn chế và không có sự phân loại rõ ràng
- Học sinh còn rất lúng túng khi giải các loại toán này 
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 
 2.3.1. Hệ thống, bổ sung những kiến thức cơ bản 
 - Khái niệm của đạo hàm, ý nghĩa của đạo hàm
- Các quy tắc tính đạo hàm, bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản
- Cách khảo sát sự biến thiên của một hàm số, quy tắc tìm cực trị, tìm min, max của hàm số trên một tập xác định K
2.3.2. Đổi mới phương pháp dạy học
- Sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh. 
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không thấy nhàm chán
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp thông qua các ví dụ
2.3.4. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
 Việc phân loại các dạng bài tập cùng với phương pháp giải là vô cùng cần thiết, sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán nó sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp giải các bài tập cơ bản, trên cơ sở đó học sinh sẽ biết cách khai thác các bài tập ở mức độ cao hơn. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
Các bài toán thực tế liên quan đến đạo hàm có thể chia thành hai phần:
Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học
Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học vì vậy để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì trước hết ta phải “ thiết lập được hàm số”. Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
Bước 1: Từ giả thiết và yếu tố của đề bài để diễn tả dưới dạng ngôn ngữ Toán học, biểu diễn dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tạị của biến số
Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,để thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2, lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa
Sau đây là các ví dụ minh họa:
2.3.4.1. Ứng dụng trong hình học
Bài toán 1. Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B. Hai thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông có chiều rộng là . Người ta cần xây một cây cầu bắc qua sông, biết rằng A cách con sông một khoảng bằng . B cách con sông một khoảng bằng như hình vẽ. Hãy xác định vị trí xây cầu EF (theo hình vẽ) để tổng khoảng cách giữa hai thành phố là nhỏ nhất?(Trích tài liệu của tác giả Hứa Lâm Phong)
B
D
E
F
C
A
 I
p
r
a
Sông
b
Phân tích: 
- Ta thấy rằng vị trí xây cầu để tổng khoảng cách giữa hai thành phố là nhỏ nhất tương đương với độ dài đường gấp khúc nhỏ nhất
- Đề bài đã gợi ý các số liệu a, b và r nên ta có thể giả thiết khoảng cách như hình vẽ với vuông góc với . Khi đó ta đặt 
- Tổng khoảng cách lúc này sẽ là: 
- Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với 
Hướng dẫn giải: 
Cách 1: Đặt và 
Khoảng cách giữa hai thành phố là 
- Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với 
Khi đó 
Mặt khác 
Do đó 
Vậy để khoảng cách giữa hai thành phố là ngắn nhất thì 
Chú ý: Ta có thể cho a, b, r các giá trị cụ thể để được các bài toán tương tự
Cách 2:
B
B’
I
K
E
F
D
C
A
F
p
r
a
Sông
b
Ta thấy rằng chiều dài r của cây cầu là đại lượng bất biến và vấn đề là chọn vị trí thuận lợi F hay vị trí thuận lợi E trong hình vẽ để tạo được quãng đường ngắn nhất. Dĩ nhiên ta cũng đặt ra câu hỏi liệu rằng còn có cách khác nữa không? Gọi là ảnh của qua phép tịnh tiến . Khi đó 
Với mọi vị trí đặt cây cầu ta luôn có
Dấu “=” xảy ra khi . Khi đó 
Bài toán tương tự: Hai thành phố A và B nằm ở hai phía khác nhau của một con sông thẳng, lòng sông rộng 800m, thành phố A bên phía phải cách bờ 6km và cách thành phố B theo đường chim bay 16km, thành phố B cách bờ trái 1500km. Người ta muốn xây một cây cầu CD vuông góc với bờ sông sao cho quãng đường đi bộ từ A đến B là ngắn nhất. Tính độ dài quãng đường đó?
(Trích đề thi HSG giải toán trên máy tính cầm tay, Quảng Ninh, 2012) 
D
l
r
r
Bài toán 2: Giả sử bạn là một Giám đốc công ty sản xuất bồn chứa nước, bạn vừa nhận được một đơn đặt hàng là thiết kế và sản xuất bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 1000lit. Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, thì bạn sẽ chọn giá trị nào cho độ cao bồn nước trong các giá trị dưới đây?
A. B. C. D. 
Phân tích:	
Để tốn ít nguyên vật liệu nhất thì diện tích xung quanh của phần vỏ bao bên ngoài bồn chứa nước cùng với diện tích đáy và nắp phải nhỏ nhất, ta phải tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất ứng với thể tích mà đề bài cho. Ta có (Với lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của bồn nước hình trụ). Đề bài lại cho sẵn dung tích của bồn chứa, tức là dạng cho mối liên hệ giữa bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, trong đó . Như vậy ta có thể tìm phụ thuộc theo 1 trong 2 biến hoặc .
Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi lần lượt là bán kính và chiều cao của khối trụ. Khi đó ta có . Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm r sao cho diện tích toàn phần của khối trụ nhỏ nhất.
 Ta có: 
Xét hàm số . Bài toán trở thành tìm 
Ta có . 
Lập bảng biến thiên, ta có . Khi đó . Chọn đáp án B
Cách 2: Ngoài cách sử dụng đạo hàm, ta có thể sử dụng BĐT Cauchy
Thay vào ta được . Chọn đáp án B
Tổng quát bài toán lên ta có: 
Bài toán 3: Một Công ty mỹ phẩm chuẩn bị cho ra một sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế là một khối cầu như viên ngọc trai khổng lồ, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là . Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất.
R
h
R
x
r
A. B. C. D. 
Phân tích:	
Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa quả cầu như hình vẽ bên. Gọi lần lượt là chiều cao và bán kính hình trụ, thể tích khối trụ là: (phụ thuộc theo hai biến và ), mối liên hệ giữa chúng là là hằng số. Để thuận tiện ta tính theo 
Hướng dẫn giải: Ta có . Lại có 
Suy ra . Xét . Bài toán trở thành tìm . Ta có 
Lập bảng biến thiên ta có: 
Khi đó ta có: .
Cách2: Ngoài cách giải trên ta có thể làm như sau
Đặt . 
Xét . Bài toán trở thành tìm .
 Đặt 
Khi đó . Lập bảng biến thiên ta suy ra 
Khi đó ta có 
Bài toán 4: Cho hai vị trí , cách nhau , cùng nằm về một phía bờ sông (d) như hình vẽ. Khoảng cách từ và từ đến bờ sông lần lượt là và . Một người đi từ đến bờ sông để lấy nước sau đó đi về vị trí . Đoạn đường ngắn nhất mà người đó đi từ A đến B (Có ghé qua bờ sông) là bao nhiêu? (đơn vị m)
(Trích đề thi HSG giải toán trên máy tính cầm tay, Tây Ninh)
Hướng dẫn giải:
Cách 1:Giả sử người đó đi từ đến để lấy nước và đi từ về dễ dàng tính được 
Ta đặt khi đó ta được:
Như vậy ta có hàm số được xác định bằng tổng quãng đường và :
 với 
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm . 
Hàm số liên tục trên đoạn . So sánh các giá trị của , , ta có giá trị nhỏ nhất là 
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m. 
Cách 2: Gọi lần lượt là điểm đối xứng của và qua . Gọi là điểm thuộc cạnh. Khi đó ta có . 
Do đó 
Bài toán 4: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính , người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.
Hướng dẫn giải: Giả sử là chiều cao hình trụ (xem hình vẽ)
Bán kính của khối trụ là . Thể tích khối trụ là: . Xét hàm số: ; 
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là ; .
2.3.4.2. Ứng dụng trong Vật lý 
Bài toán 5: Một chất điểm chuyển động theo quy luật . (s tính theo mét, t tính theo giây). Trong 10 giây đầu tiên, thời điểm t mà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. B. C. D. 
Phân tích: 
Với kiến thức Vật lý đã học, ta biết . Do đó để tìm giá trị lớn nhất trong 10 giây đầu tiên thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học
Hướng dẫn giải: 
Ta có 
Lập bảng biến thiên ta có . Chọn D
Chú ý: Ứng dụng của đạo hàm trong vật lý là rất đa dạng nhưng đặc biệt thể hiện rõ nhất chính là qua các bài toán chuyển động khi liên quan đến các đại lượng quãng đường, vận tốc của thời gian. Và không chỉ như vậy ta còn gặp ứng dụng đạo hàm trong Vật lý ở nhiều bài toán khác
Bài toán tương tự 1: Một chất điểm chuyển động theo quy luật . (s tính theo mét, t tính theo giây). Trong 15 giây đầu tiên, thời điểm t mà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. B. C. D. 
Bài toán tương tự 2: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là là hàm phụ thuộc theo biến (giây) tuân theo biểu thức sau: (km). Hỏi vận tốc tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu(biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?
A. B. C. D. 
Bài toán 6: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 7 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, Tàu A chạy về hướng Nam với 8 hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 9 hải lý/ giờ. Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách của hai tàu là nhỏ nhất ?
A. (giờ) B. (giờ) C. (giờ) D. (giờ)
Phân tích: 
 Giáo viên cần cho học sinh nhớ lại về khái niệm kinh tuyến và vĩ tuyến( Các em đã học ở môn Địa lý)
- Trên Trái đất hay các hành tinh hoặc thiên thể hình cầu, Vĩ tuyến là một vòng tròn tưởng tượng nối tất cả các điểm có cùng vĩ độ. Trên Trái đất, vòng tròn này có hướng từ Đông sang Tây. Vị trí trên vĩ tuyến được xác định bằng kinh độ. Một vĩ tuyến luôn vuông góc với một kinh tuyến tại giao điểm giữa chúng. Các vĩ tuyến ở gần cực trái đất có đường kính nhỏ hơn
- Kinh tuyến là một nửa đường tròn trên bề mặt Trái Đất, nối liền hai địa cực, có độ dài khoảng 20.000km, chỉ hướng Bắc – Nam và cắt thẳng góc đường xích đạo. Mặt phẳng của kinh tuyến (chạy qua đài quan sát thiên văn tại Greenwich thuộc Luân Đôn) và kinh tuyến , chia Trái Đất ra làm hai bán cầu - Bán cầu đông và Bán cầu tây (Nguồn Internet) 
Như vậy khi các tàu, thuyền đi trên biển chúng ta sẽ dùng một đơn vị đo khoảng cách khác là hải lý(1 hải lý = 1852m). Từ mô hình và mô tả của bài toán ta có thể gọi t là thời gian mà sau khi xuất phát hai tàu cách nhau một khoảng d 
Khi đó . Trong đó chính là quãng đường của tàu A đi được. Dựa vào gợi ý 2 tàu cách nhau ban đầu 7 hải lý theo đường Vĩ tuyến, nên ta có thể tính . Cuối cùng, ta vận dụng công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian là 
A
B
A1
B1
d
Hướng dẫn giải
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d. Khi đó tàu A đang ở vị trí và tàu đang ở vị trí như hình vẽ.
 Ta có .
Với là quãng đường tàu B đi được và là quãng đường tàu A đi được
Suy ra . Đặt 
Bài toán trở thành tìm . 
Cách 1: Ta có
Lập bảng biến thiên ta có: 
khi (giờ), khi đó ta có d4,65 (hải lý).
Cách 2: Học sinh có thể làm cách khác để tìm như sau: 
(Hoặc sử dụng cực trị của Parabol)
A
B
C
D
E
h
Bài toán tương tự: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đường sắt là và trên đường bộ là . Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất?
C
A
M
5km
7km
B
Bài toán 7: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h (xem hình vẽ dưới đây). Tính độ dài đoạn BM để người đó đến kho nhanh nhất?.
Hướng dẫn giải:
Trước tiên, ta xây dựng hàm số là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải đi. Đặt thì ta được: . 
Thời gian người canh hải đăng chèo đò từ A đến M là: 
Thời gian người canh hải đăng đi bộ từ M đến C là: 
Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là: 
Xét hàm số: với 
Bài toán trở thành tìm . Ta có: 
Hàm số liên tục trên đoạn và ta có: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của là tại. Khi đó thời gian đi là ít nhất và điểm M nằm cách B một đoạn (km)
Bài toán tương tự: Bạn Mai đi từ nhà ở vị trí A đế trường học ở vị trí C phải đi qua cầu từ A đế B tới trường. Trận lũ lụt vừa qua làm cây cầu bị ngập nước, do đó bạn Mai phải đi bằng thuyền từ nhà đến một vị trí D nào đó trên đoạn BC với vận tốc sau đó đi với vận tốc đến C. Biết độ dài , . Hỏi muộn nhất mấy giờ bạn Mai phải xuất phát từ nhà để có mặt ở trường lúc 7h30 phút để kịp vào học?
A. phút B. phút C. phút D. phút
Bài toán 8: Một nhà thám hiểm đang ở tại địa điểm A trên sa mạc, ông ta muốn đến địa điểm B cách A một đoạn là 90km. Trong sa mạc thì xe ông ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc 35km/h và phải đến được điểm B sau 2 giờ. Vì vậy, nếu ông ấy đi thẳng từ A đến B sẽ không thể đến đúng giờ. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối A và B và cách AB một đoạn 15km. Trên đường nhựa này thì xe của nhà thám hiểm này có thể di chuyển với vận tốc 60km/h. Làm thế nào để nhà thám hiểm đến sớm nhất (đảm bảo trong khung giờ cho phép) 
Phân tích: Ta có thể mô tả bài toán trên bằng hình vẽ 
Ta phải chia quãng đường đi được thành 3 giai đoạn 
Giai đoạn 1: Đi từ A đến C( Từ A đến đường nhựa song song)
Giai đoạn 2: Đi từ C đến D( một quãng đường nào đó trên đường nhựa)
Giai đoạn 3: Đi từ D đến B( Từ D đi đến B)
Hướng dẫn giải: 
Gọi H; K; C; D là các điểm như hình vẽ. Khi đó gọi và .
Ta có: 
Và . Vậy tổng thời gian mà nhà thám hiểm đi từ A đến B là: 
Đây là một biểu thức có dạng đối xứng hai biến x; y và ta cần tìm . 
Ta có: . Khi đó ta xét 
Xét . 
Lập bảng biến thiên ta có . Do đó ta có . 
Dấu “=” xảy ra khi 
Chú ý: Bài toán quãng đường, vận tốc, thời gian thì ta nhận thấy có 2 mối quan tâm lớn trong thực tế là đi làm sao để quãng đường là ngắn nhất hoặc thời gian là ít nhất. Trong thực tế đời sống hằng ngày, điều này không phải lúc nào cũng đúng bởi lẽ còn phải chịu sự tác dộng của nhiều yếu tố khác nhau như thời điểm, mật độ di chuyển, động cơ và nhiều thứ khác ta không lường trước được. Việc lý tưởng hóa các bài toán chỉ ở mức sai số chấp nhận được
2.3.4.3. Ứng dụng trong kinh tế
Bài toán 9: Thầy Hiệu trưởng dự định xây một bồn hoa có bề mặt là hình tròn có đường kính , để cho ấn tượng thầy thiết kế có hai hình tròn nhỏ trong hình tròn lớn bằng cách lấy điểm giữa A và B rồi dựng các đường tròn đường kính và như hình vẽ. Trong hai đường tròn nhỏ thầy định trồng loại hoa hồng đ