SKKN Ứng dụng bảng biến thiên của hàm số bậc hai vào bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và phương trình

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
 TRƯỜNG THPT XUÂN HÒA
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến: 
 “ ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI 
VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
 CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”. 
Tác giả sáng kiến : MAI THỊ HỢI
Mã sáng kiến : 37.52.01
 1 - Email: - Email: maithihoi.gvxuanhoa@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Mai Thị Hợi.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: 
 Chuyên đề này trang bị cho học sinh một chuyên đề đầy đủ để ôn thi học 
sinh giỏi cấp tỉnh, luyện thi THPT Quốc Gia có hiệu quả cao.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử : 
 Năm học 2019-2020
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Về nội dung sáng kiến:
 Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ: 
Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, 
giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng 
giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán phức tạp đưa về dạng đơn giản thuộc 
dạng cơ bản và giải được một cách dễ dàng. Muốn vậy người giáo viên phải xây 
dựng phương pháp giải cụ thể cho từng dạng để học sinh dễ áp dụng và nhớ lâu. 
 Một số bài toán thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Sau đây là nội dung 
chi tiết:
 3 B - BÀI TẬP
DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM 
SỐ BẬC HAI TRÊN R.
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
 y  ax2  bx  c ( a  0) 
1. Phương pháp: 
- Dựa vào bảng biến thiên ta có ngay kết luận: 
 * Nếu a  0 thì hàm số bậc hai y  ax2  bx  c ( a  0) đạt giá trị nhỏ nhất 
  b
bằng  khi x   .
 4a 2a
 * Nếu a  0 thì hàm số bậc hai y  ax2  bx  c ( a  0) đạt giá trị lớn nhất 
  b
bằng  khi x   .
 4a 2a
2. Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
 a. y  x2  2x  3 b. y  2x2  2x 1
 Lời giải
a. Do hệ số a 1 0và đỉnh I(1; 2) nên ta có bảng biến thiên của hàm số 
 y  x2  2x  3
 x   1  
    
 y
 2
Dựa vào bảng biến thiên:
 Hàm số y  x2  2x  3đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x 1.
 1 3
b. Do hệ số a  2  0 và đỉnh I( ; ) nên ta có bảng biến thiên của hàm số 
 2 2
 y  2x2  2x 1
 x 1
    
 2
 3
 y 2
     
Dựa vào bảng biến thiên
 5 Vậy với m  3 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập tự luyện: Trắc nghiệm
Bài 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y = - 2x2 + 8x + 1 trên R là
 A. 2.B. 9. C. 6.D. 4.
Bài 2: Giá trị lớn nhất hàm số y = x2 + 4x - 6 đạt được tại 
 A. x  2 B. x  2 C. x  25.D. x  25
Bài 3: Hàm số y = mx2 + 4(m- 1)x - 6 đạt giá trị lớn nhất trên R khi 
 A. m  0 B. m  0 C. 0  m 1.D. m  0
Bài 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 4x + 1 trên R là
 A. 3 B. 1 C. 3.D. 13
Bài 5: Giá trị nhỏ nhất hàm số y = x2 + 2x + 3 đạt được tại 
 A. x 1 B. x  2 C. x  1.D. x  0
Bài 6: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để hàm số y = mx2 - 2mx - 3m- 2 có 
giá trị nhỏ nhất bằng -10.
A. m 1 B. m  2 C. m  1.D. m  2
 1
Bài 7: Cho hàm số f (x)  x2  2(m  )x  m. Đặt m  min f (x) và 
 m 1;1
 M  max f (x). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị tham số m sao cho M  m  8 . 
 1;1
Tính tổng bình phương các phần tử thuộc S .
A. 0 B. 1 C. 2 .D. 4
DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM 
SỐ BẬC HAI KHÔNG CHỨA THAM SỐ TRÊN ĐOẠN, KHOẢNG, NỬA 
KHOẢNG.
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số 
 y  ax2  bx  c ( a  0) trên đoạn ;  .
 Phương pháp: Tùy theo dấu hệ số a ta có bảng biến thiên:
 Nếu a  0 thì: 
 b
 * Trường hợp 1: Hoành độ đỉnh x     ta có bảng biến thiên
 o 2a
 x  
 f ( ) 
 y
 f () 
 7 2. Bài tập minh họa:
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x2  2x  2 trên 
đoạn 3; 2.
 (Trích Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019-2020) 
 Lời giải
 2
Hàm số y  x  2x  2 có hoành độ đỉnh xo 13;2 ta có bảng biến thiên
 x -3 1 2
 17 
 y
 2
 1 
Dựa vào bảng biến thiên: 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 17 đạt được khi x  3
 giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 1 đạt được khi x 1.
Bình luận: Bài 1 là trường hợp hoành độ đỉnh thuộc đoạn đang xét. 
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x2  4x  2 trên 
đoạn 1; 2.
 Lời giải
Hàm số đã cho có hoành độ đỉnh xo  21;2 ta có bảng biến thiên
 x 1 2
 8 
 y
 3 
Dựa vào bảng biến thiên: 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 8 đạt được khi x  2
 giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 3 đạt được khi x 1
Bình luận: Bài 2 là trường hợp hoành độ đỉnh không thuộc đoạn đang xét và 
nằm bên trái đoạn đang xét. Với hệ số a  0thì hàm số đồng biến trên đoạn 
1; 2.
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x2  4x  3 trên 
đoạn 1; 0
 Lời giải
Hàm số đã cho có hoành độ đỉnh xo  21;0 ta có bảng biến thiên
 9 Dựa vào bảng biến thiên: 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2m  3 đạt được khi x  2
Theo giả thiết ta có phương trình: 2m  3  3  m  0
Vậy m  0 là giá trị cần tìm.
Bình luận: Bài 5 chứa tham số nhưng hoành độ đỉnh xác định nên ta lập ngay 
bảng biến thiên. 
3. Bài tập tự luyện Trắc nghiệm
Bài 1: (Thi HK 1-THPT Nhữ Văn Lan – Hải Phòng 2018-2019). Tìm giá trị 
của tham số m để hàm số y = x2 - 2x + 2m + 3 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 
2; 5bằng -3.
A. m 1 B. m  3 C. m  9.D. m  0
Bài 2: Tìm số các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1 
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 1bằng 1.
A. 1 B. 3 C. 2.D. 0
Bài 3: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = 4x2 - 4mx + m2 - 3m + 2 
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 2bằng 3.
A. 1; 4  7 B. 4  7 C. 1.D. 1; 4  7
Bài 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất 
hàm số y = 4x2 - 4mx + m2 - 2m trên đoạn 2; 0 bằng 3. Tính tổng T các 
phần từ của S.
 1 9 3
A. T  3 B. T  C. T  . D. T  
 2 2 2
Bài 5: Cho hàm số y = x2 - (m + m2 - 4)x + 4m + 2 m2 - 4 (m ¹ 0) . Gọi 
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 1lần lượt là y1, y2 . Số giá trị của 
m đề y1  y2  8
A. 1 B. 4C. 2.D. 0
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số khác quy 
về hàm số bậc hai.
1. Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
Bước 2: Đặt t  P(x) , điều kiện của t.
Bước 3: Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm 
số bậc hai trên đoạn, nửa khoảng, khoảng. 
 Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
2. Bài tập minh họa:
 11 2
 g(t)  t  2t  4 trên miền t  2 . 
Hoành độ đỉnh to  1;2 2; ta có bảng biến thiên
 t  -2 -1 2  
  
 g(t)
 4
 -4 
Dựa vào bảng biến thiên: 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng -4 đạt được khi
 1 x  2  3
 x   4  x2  4x 1 0  
 x x  2  3
 1 1
b) Đặt t  x  , đk: t  R . Suy ra x2   t 2  2
 x x2
Hàm số trở thành: g(t)  t 2  2  t  2  g(t)  t 2  t
Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
 a. y  (x 1)(x  2)(x  3)(x  6) 
 b. y  (x 1)(x  2)(x  3)(x  6) trên đoạn 3; 0
 c. y  (2x 1)(x 1)(x  3)(2x  5) trên đoạn 1; 2
 Giải:
 a. y  (x 1)(x  2)(x  3)(x  6)
Tập xác định: D  R
Viết lại hàm số: y  (x2  4x  3)(x2  4x 12)
 x2  4x  3  t 1
Đặt t  x2  4x  4  (x  2)2 , đk: t  0. Suy ra 
  2
 x  4x 12  t 16
Hàm số trở thành: g(t)  (t 1)(t 16)  g(t)  t 2 17t 16
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
 2
 g(t)  t 17t 16 trên miềnt  0. 
 17
Hoành độ đỉnh t  0; ta có bảng biến thiên
 o 2
 13