SKKN Một số giải pháp giúp học sinh khá, giỏi ở lớp 10 trường THPT Thường Xuân 3 giải các bài toán hình học tọa độ Oxy

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài 
+ Môn toán là một trong những môn học quan trọng nhất ở chương trình giáo dục phổ thông. Nó là chìa khóa để mở ra các môn học khác. Đồng thời nó có khả năng phát triển tư duy lôgic, phát triển trí tuệ cần thiết giúp con người vận dụng vào cuộc sống hằng ngày. Phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy lại thể hiện khá rõ nét những đặc tính đó. 
+ Ở lớp 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Thế nhưng các bài toán mà sách giáo khoa đưa ra chỉ nhằm mục đích giúp học sinh bước đầu biết được phương pháp tọa độ và áp dụng phương pháp này vào các bài toán đơn giản như: lập phương trình đường thẳng, đường elip, đường tròn,... và các bài toán về khoảng cách và góc. Do đó, học sinh vẫn còn rất lúng túng khi gặp những bài toán khó trong các đề thi THPT quốc gia và đề thi học sinh giỏi.
+ Khi gặp các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy sử dụng đến các tính chất hình học thuần túy các em không biết bắt đầu từ đâu, dựa vào đâu để suy luận tìm lời giải. Nguyên nhân của vấn đề trên một phần vì học sinh ngại hình học phẳng vì cứ nghĩ hình học phẳng là khó nên “ lười’’ tư duy, một phần vì giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh, chưa phân tích kĩ tìm lời giải cho các bài toán, các bài tập minh họa cũng đơn điệu, rời rạc, thiếu sức lôi cuốn, điều này không gây được hứng thú học tập và sự sáng tạo cho các em và dẫn đến kết quả học tập của học sinh còn nhiều hạn chế.
+ Giải các bài toán hình phẳng trong các kỳ thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi thường phù hợp hơn với những học sinh khá, giỏi, những học sinh có kiến thức vững vàng về hình học phẳng ở THCS.
+ Ngoài ra, học sinh trường THPT Thường Xuân 3 là học sinh miền núi, đa số là con em dân tộc thiểu số. Với điều kiện kinh tế khó khăn và trình độ dân trí còn thấp nên số lượng học sinh có lực học khá giỏi ở môn toán còn ít. 
Vì vậy tìm ra một cách tiếp cận để giải quyết các vấn đề trên giúp học sinh học một cách tự nhiên, dễ hiểu là sự trăn trở của tác giả, để học sinh không còn sợ môn học này nữa và đặc biệt là có hứng thú khi gặp các bài toán dạng này. 
 Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh khá, giỏi ở lớp 10 trường THPT Thường Xuân 3 giải các bài toán hình học tọa độ Oxy.”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung chương trình hình học lớp 10 THPT, các bài toán dành cho học sinh khá, giỏi từ đó xây dựng các thao tác cần thiết để giúp học sinh sử dụng tốt phương pháp tọa độ vào giải các bài toán tổng hợp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:
- Xây dựng nguyên tắc xác định hệ trục tọa độ Đề các tương ứng với mỗi loại hình.
- Hình thành cô đọng lượng kiến thức thiết yếu, nền tảng làm cơ sở cho giải pháp sử dụng công cụ tọa độ.
- Phân dạng được các bài tập và hướng dẫn từng cách giải.
- Khám phá, phân tích nhiều lời giải trên một bài toán, làm rõ quan hệ hữu cơ, sự hỗ trợ bổ sung cho nhau giữa các cách giải, từ đó hoàn thiện kiến thức và nắm bắt bài toán một cách thấu đáo và có chiều sâu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 + Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, các đề thi THPT quốc gia, đề thi HSG các cấp, sách tham khảo liên quan đến vấn đề sử dụng phương pháp tọa độ Oxy, nghiên cứu chương trình giáo khoa của bộ môn.
+ Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy và học phân môn Hình học lớp 10 ở THPT rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp tọa độ hóa.
+ Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy và kiểm tra khả năng ứng dụng của học sinh nhằm minh chứng bước đầu cho khả năng giải quyết mạnh mẽ của phương pháp tọa độ hóa và việc áp dụng phương pháp tọa độ hóa vào giải toán.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
 Mục đích của dạy học toán là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và nhân sinh quan đúng đắn cho các em.
Các bài toán hình học phẳng là phần kiến thức rất đa dạng đòi hỏi kiến thức logic tổng hợp. Để học tốt được phần này học sinh phải nắm chắc các kiến thức, kĩ năng về hình học phẳng ở cấp THCS. Học sinh phải thường xuyên sưu tầm các bài tập mới lạ, thường xuyên làm bài tập để học hỏi, trau dồi phương pháp, kĩ năng khi biến đổi. Thế nhưng làm được điều này thật không đơn giản bởi một số nguyên nhân sau:
 - Các bài tập trong SGK Hình học 10 ở phần này ở mức độ nhận biết, thông hiểu hoặc ở vận dụng thấp, trong khi đó ở các đề thi nằm ở mức độ vận dụng cao. 
 - Có quá nhiều dạng toán và đi kèm với đó là nhiều phương pháp, dẫn tới việc các em cảm thấy lúng túng khi gặp dạng toán lạ. Kĩ năng nhận biết, biến đổi quy lạ về quen còn hạn chế.
Số tiết theo PPCT ở chương III – Hình học 10 còn ít.
 Do đó tôi luôn luôn có ý định tìm ra một phương pháp mới để truyền dạy cho học sinh, một phương pháp đơn giản dễ làm, một phương pháp mà học sinh cảm thấy phấn chấn khi học, một phương pháp giải quyết được nhiều dạng toán khó mà các em gặp phải trong quá trình ôn luyện.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 - Bài toán hình học tọa độ Oxy là phần khó. Lượng kiến thức khai thác là rất nhiều và đa dạng, nếu không khéo truyền đạt sẽ làm cho các em thấy lan man, mất phương hướng chứ chưa nói đến sau khi học xong các em nắm được những phương pháp nào, kĩ năng gì. Do vậy ở phần này người giáo viên cần phải có hệ thống bài tập minh hoạ cho các phương pháp trọng tâm, các dạng toán quan trọng. Đặc biệt làm cho các em phải cảm thấy tự tin.
Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp 10, tôi thấy rằng khi dạy học sinh theo sách giáo khoa rồi mở rộng ra những bài tập lấy ở đề thi THPT Quốc gia những năm trước, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thì tỉ lệ học sinh giải được là thấp, thậm chí là “bỏ qua” trong khi bản thân chưa có sự đào sâu suy nghĩ, cộng thêm nguyên nhân khách quan là phần kiến thức khó, đòi hỏi tư duy cao. Cụ thể năm học 2017-2018 khi chưa áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy. Tôi cho học sinh lớp 10A1, 10A2 (2 lớp tập trung nhiều học sinh khá, giỏi nhất khối10) giải thử một số câu lấy từ nguồn tài liệu trên. Kết quả như sau:
Lớp
Tổng số HS
Giỏi
Khá 
Trung bình
Yếu,kém
SL
TL %
SL
TL %
SL
TL %
SL
TL %
10A1
45
0
0%
13
28,9% 
22
48,9%
10
22,2%
10A2
40
0
0%
15
37,5%
14
35%
11
27,5%
 Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2018-2019 tôi đã tiến hành đổi mới dạy nội dung này tại lớp 10A1 và 10A2 (lớp 10A1 có chất lượng tương đương với lớp 10A1, lớp 10A2 có chất lượng tương đương với lớp 10A2 trong năm học trước) 
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2. 3. 1. Xây dựng hệ tọa độ
Xây dựng hệ tọa độ hợp lý là điều rất cần thiết cho việc ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán. Đây là bước đầu tiên của bài giải. Người giáo viên cần hướng dẫn khéo léo giúp học sinh nhận ra các tính chất đặc biệt của bài toán, ở đây chủ yếu là sử dụng tính vuông góc, để xây dựng một hệ tọa độ mà trên đó các tham số được giảm một cách tối ưu nhất.
Ở đây, ta xem xét một số trường hợp áp dụng tốt phương pháp này.
Đối với các bài toán có sẵn góc vuông như: hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông. Đối với các hình như vậy ta có thể chọn hệ trục tọa độ có gốc nằm tại một đỉnh vuông, có hai trục Ox và Oy chứa 2 cạnh tương ứng của góc vuông đó. Và chọn đơn vị trên các trục bằng độ dài của một trong hai cạnh góc vuông. Bằng cách chọn như vậy, các tham số được giảm tối đa có thể. Và dạng hình này cũng là dạng áp dụng thuận lợi nhất phương pháp tọa độ trong mặt phẳng này.
Đối với các bài toán có chứa tam giác đều, tam giác cân, tam giác thường. Ta có thể xây dựng một hệ trục bằng cách dựa vào đường cao. Cụ thể, ta dựng đường cao từ một đỉnh bất kỳ (đối với tam giác cân ta nên dựng đường cao từ đỉnh cân). Chân đường cao khi đó chính là gốc tọa độ, cạnh đáy và đường cao vừa dựng nằmtrên hai trục tọa độ.
Đối với các bài toán có chứa các đường tròn thì ta có thể chọn gốc tọa độ nằm tại tâm của đường tròn và đơn vị của hệ tọa độ bằng bán kính đường tròn, một hoặc hai trục chứa bán kính, đường kính của đường tròn.
Tuy nhiên, khi áp dụng thì không cứng nhắc trong việc chọn hệ trục tọa độ. Nên để học sinh linh hoạt và tìm ra cách chọn tối ưu cho bài toán.
Một số bài toán có thể có nhiều đối tượng hình học trên đó, thì tùy vào giả thuyết ta chọn hệ trục tọa độ cho phù hợp.
2.3.2. Một số tính chất của hình học phẳng vận dụng vào bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
 Học sinh muốn giải thành thạo, giải nhanh các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy ở kỳ thi THPT, thi học sinh giỏi các cấp thì cần nắm vững được kiến thức về các tính chất, các bài toán cơ bản của hình học phẳng. 
Bài toán 1: Cho hình vuông. Gọi lần lượt là trung điểm của và . Khi đó 
Giải: Gọi cạnh hình vuông là Ta có
Suy ra 
Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta có bài toán sau
Bài toán 2. Cho hình vuông Gọi lần lượt thuộc và sao cho Khi đó 
Bài toán 3. Cho hình chữ nhật có Gọi là trung điểm Khi đó 
Giải: Ta có
Suy ra 
Bài toán 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình vuông gọi là trung điểm của cạnh , là điểm nằm trên cạnhsao cho . Chứng minh rằng . 
Giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó nên do đó . Suy ra .
Nhận xét: Bài toán này được áp dụng khá nhiều trong các đề thi. Việc chứng minh nó bằng hình học thuần túy như sau:
Gọi là giao điểm của hai đường chéo và . Điểm là trung điểm . Khi đó là hình bình hành và là trực tâm tam giác nên mà . Nên .
Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật . Gọi là hình chiếu của xuống . Biết điểm lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng .
Giải: 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ . Khi đó . Tọa độ điểm 
Phương trình đường thẳng . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình . 
Do đó điểm 
Nhận xét:
-Ta có thể chứng minh theo cách sau
Gọi là trung điểm . Khi đó tứ giác là hình bình hành. Suy ra là trực tâm
 tam giácnên mà . Nên 
- Theo cách này không phải học sinh nào cũng có thể lấy thêm điểm . Nhìn ra được tính chất được tính chất đặc biệt của nó.
Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình thang vuông và . Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường chéo . là trung điểm . Chứng minh rằng .
Giải: 
Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó . Phương trình đường thẳng . 
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình . 
Do đó điểm 
Cách 2: (thuần túy hình phẳng)
Gọi E là trung điểm HD. Khi đó tứ giác MEAB là hình bình hành. Suy ra nên E là trực tâm tam giác ADM suy ra mà . Nên .
Bài toán 7: Cho hình chữ nhật ABCD có . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BD. E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CD, BH. Chứng minh rằng .(trường hợp đặc điệt của bài toán 5)
Giải: 
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó . Phương trình đường thẳng Tọa độ điểm Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình . 
Do đó điểm ; . Suy ra 
Ta có thể chứng minh bài toán này theo cách thuần túy sau:
 Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH, AB.
 Ta chứng minh AF EF .Ta thấy các tứ giác ADEI và ADFI nội tiếp nên tứ giác ADEF cũng nội tiếp, do đó AF EF .
Bài toán 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là một điểm trên cạnh AB sao cho và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD. Điểm M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng 
Giải: 
Cách 1:Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó . Phương trình các đường thẳng . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình . 
Do đó điểm 
.
Cách 2: Gọilà giao điểm của đường thẳng qua vuông góc với với các đường. Do tam giác vuông tại và nên là trung điểm . Suy ra là trọng tâm tam giác . Do đólà đường trung bình tam giác . Gọi là trung điểm , khi đó là trực tâm tam giác và tứ giác là hình bình hành nên từ .
 Sau đây tôi xin giới thiệu một số dạng toán áp dụng cụ thể phương pháp tọa độ hóa vào giải bài toán hình học phẳng trong các đề thi THPT Quốc gia, đề thi thử của các trường THPT trong cả nước những năm trước và đề thi học sinh giỏi của một số tỉnh.
2.3.3. Một số dạng toán áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Dạng 1: Ba điểm phân biệt và mối liên hệ vuông góc.
 Trong hình học tọa độ phẳng bài toán thường cho nhiều điểm, nhưng giả thiết của bài toán thường xoay quanh ở một số điểm đặc biệt. Bằng cách vẽ hình chính xác ta có thể phỏng đoán được 3 điểm nào đó sẽ có mối quan hệ vuông góc và đây cũng chính là điểm mấu chốt của bài toán. Khi học sinh phát hiện được điều này sẽ giúp cho các em định hướng cách giải bài toán một cách dễ dàng.
Bài 1.1.[3]. (Trích đề thi học sinh giỏi môn Toán- Thanh hóa năm 2015-2016) 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình thang có và thuộc trục hoành. Gọi là trung điểm của đoạn , đường thẳng đi qua điểm Tìm toạ độ các đỉnh biết vuông góc với và điểm có tọa độ nguyên
Nhận xét: Các giả thiết của bài toán xoay xung quanh các điểm . Nếu vẽ hình chính xác thì học sinh có thể dễ dự đoán được . Và có thể coi đây là chìa khóa, nút thắt của bài toán. Xử lí được nút thắt này thì bài toán đã giải được một nửa. 
Giải: Để chứng minh gắn thêm hệ trục tọa độ khác như hình vẽ ta có: 
Phương trình
Trở lại bài toán ta có:
Đường thẳng qua vuông góc với Ox nên có phương trình .
Gọi
Thay (2) vào (1) ta được :.
 (do b nguyên) (Ta chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất trên khoảng nên không có nghiệm nguyên). Khi đó , đường thẳng CD có phương trình cắt Ox tại C(-1;0). Vậy là các điểm cần tìm.
Ta có thể chứng minh bằng cách sau:
 Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE, cắt BE và BD lần lượt tại I và H; gọi J là giao điểm của BD với CE. Khi đó ta có: 
và suy ra H là trực tâm của suy ra thẳng hàng. Do đó 
Bài 1.2. [2]. Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình thangvuông tại và , biết và Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Điểm là trung điểm của . Xác định tọa độ các điểm của hình thang biết B thuộc đường thẳng 
Nhận xét: Các giả thiết của bài toán xoay xung quanh các điểm . Nếu tinh ý ta có thể nhận thấy (Để chứng minh xem lại bài toán 6 )
Giải: Ta có Suy ra phương trình 
Tọa độ B là nghiệm của hệ:
 Gọi I là giao điểm của AC và BD, ta có 
Suy ra , . Tìm được Từ .
Bài 1.3.[3]. ( Trích đề thi HSG thanh hóa năm 2014-2015). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho hình chữ nhật có điểm là hình chiếu vuông góc của lên . Điểm là trung điểm của cạnh , phương trình đường trung tuyến kẻ từ củalà :. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật .
Nhận xét:
Giả thiết bài toán xoay quanh các điểm . Bằng trực quan ta đề xuất giả thuyết và nếu giả thuyết đề ra là đúng chúng ta sẽ “mở nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm và . Từ đó bằng các phương pháp giải toán quen thuộc ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật. (Để chứng minh xem lại bài toán 5 )
Giải: Ta có: . Suy ra phương trình đường thẳng 
Do Þ Toạ độ .
Do là trung điểm của mà nên tọa độ điểm 
phương trình của 
đi qua và vuông góc với nêncó phương trình: 
Ta có : Þ 
Phương trình là: suy ra tọa độ 
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: 
Dạng 2: Ba điểm phân biệt và mối liên hệ góc a .
Bài 2.1. [1] (Trích đề thi TSĐH khối A năm 2012). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông . Gọi là trung điểm cạnh , là điểm trên cạnh sao cho . Giả sử và đường thẳng có phương trình . Tìm tọa độ điểm .
Nhận xét: Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm đồng thời ta nhận thấy nếu ta biết được giá trị của góc khi đó ta có thể xác định tọa độ điểm .
Giải: Gọi cạnh hình vuông là . Ta có . 
Khi đó 
Phương trình đường thẳng .
( với )
+) Với , chọn suy racó phương trình . Nên tọa độ là nghiệm của hệ 
+) Với tọa độ là nghiệm của hệ: .
Bài 2.2.[2]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác vuông tại . Gọi là điểm trên cạnhsao cho . Đường tròn tâm đường kính cắt tại . Xác định tọa độ các đỉnh của biết đường thẳng đi qua 
, phương trình đường thẳng và điểm có hoành độ dương.
Nhận xét: Từ dữ kiện đã cho trong bài toán ta nhận thấy phương trình đường thẳng đã cho, tọa độ điểm , nếu ta xác định được góc thì từ đó ta tìm được tọa độ điểm .
Giả thiết bài toán làm ta nghĩ đến: 
Bằng trực quan ta thấy , nếu giả thiết này đúng tìm được tọa độ đỉnh C. Khi đó tọa độ các đỉnh còn lại ta tìm được.
Giải: Ta có: Tứ giác nội tiếp nên 
Suy ra 
 Giả sử phương trình: 
Ta có:
+) Nếu , chọn suy ra , do đó tọa độ đỉnh 
Do I là trung điểm MC nên tọa độ nên phương trình ; phương trình của .
Tọa độ đỉnh B là nghiệm hệ : 
Phương trình nên tọa độ A là nghiệm hệ phương trình:
 +) Nếu , chọn nên phương trình , do đó tọa độ đỉnh C là nghiệm hệ (Loại)
Bài 2.3.[2]. Cho hình vuông. Điểm thuộc đoạn , phương trình cạnh thuộc đoạn sao cho điểm Tìm tọa độ điểm .
Giải: Không mất tính tổng quát giả sử rằng cạnh của hình vuông bằng 1. Đặt 
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có 
 Ta có:
Đặt 
Ta có:
Giả sử AN có véc tơ pháp tuyến AM có véc tơ pháp tuyến 
Ta có: 
Phương trình AN: 
Với chọn suy ra suy ra phương trình AN: 
Nhận xét: Để giải bài toán này theo phương pháp hình học thuần túy không hề đơn giản. Phải dựng thêm điểm và chứng minh hàng loạt các tính chất
Dạng 3: Ba điểm phân biệt và mối liên hệ khoảng cách .
Bài 3.1.[2]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông có . Biết thuộc cạnh và thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông .
Nhận xét: Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm song tọa độ của các điểm này đã biết và 
Giải: Giả sử phương trình 
Khi đó phương trình: 
Từ giả thiết suy ra: .
+) Nếu suy ra phương trình các cạnh là: 
Do đó tọa độ các đỉnh là : 
+) Nếu . Chọn suy ra . Ta có phương trình các cạnh là : 
Do đó tọa độ các đỉnh : 
Bài 3.2.[2]. Cho vuông cân tại Gọi là trung điểm là trọng tâm điểm là điểm nằm trên đoạn sao cho Tìm tọa độ điểm lập phương trình biết hoành độ của nhỏ hơn 4 và có phương trình 
Giải: Đặt cạnh góc vuông của là 2. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó . Phương trình đường thẳng . 
Phương trình đường thẳng .
 Mà 
Ta có 
 vuông cân 
 Vậy là tâm đường tròn ngoại tiếp vuông cân tại 
Do đó 
Gọi 
Gọi VTPT của là 
Mặt khác: 
Từ (1) và (2) 
+) Với chọn ta có 
+) Với chọn ta có 
Nhận thấy với (loại)
Vậy 
Bài 3.3.[2]. Trong mặt phẳng cho hình chữ nhật có điểm . Điểm là trung điểm của đoạn, đường thẳng có phương trình là Điểm nằm trên đường thẳng Tìm tọa độ các đỉnh biết rằng C có tung độ nhỏ hơn 2.
Giải: Đặt 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó . Phương trình đường thẳng 
Vì B thuộc đường thẳng d nên 
Trở lại bài toán ta có 
Với loại vì khi đó cùng phía với 
Với b=2. Suy ra thỏa mãn. Gọi là tâm hình chữ nhật ta có 
(loại vì tung độ điểm nhỏ hơn 2)
Vậy suy ra .
Bài3.4.[2].Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông. Điểm là trung điểm của cạnh. Đường thẳng có phương trình  với điểm  là trung điểm của cạnh, điểm thuộc cạnh  và . Tìm tọa độ điểm  của hình vuông biết điểm  có hoành độ nhỏ hơn 3. 
Giải: Đặt cạnh hình vuông là . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó 
. Phương trình đường thẳng 
 Suy ra cạnh hình vuông bằng 5. 
Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình AC đi qua trung điểm I của EF và suy ra 
Dạng 4: Ba điểm phân biệt và mối liên hệ thẳng hàng .
Bài 4.1.[2].( Đề thi thử trường chuyên ĐH Vinh 2014). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật có góc với điểm thỏa mãn điều kiện ,là giao điểm của hai đường thẳng và . Cho biết và điểm có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm .
Nhận xét: Bài này chỉ cho tọa độ hai điểm và vì vậy ta nghĩ đến việc tìm mối liên hệ giữa 3 điểm thì ta tìm được tọa độ điểm . Khi đó bằng cách lập hệ phương trình ta tìm được tọa độ các đỉnh còn lại.
Giải: Từ giả thiết suy ra thuộc cạnh và . Vì nên .
Vì vuông tại và nên 
Đặt:.
Trong tam giác vuông ta có: 
Giả sử với , ta có: 
Mặt khác: .
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là : 
Bài 4.2.[2].Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có trực tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp và trung điểm cạnh là . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 
Nhận xét:
 Từ dữ kiện bài toán, nếu ta xác định được tọa độ điểm A ta sẽ viết được phương trình đường thẳng từ đó lấy giao đ