SKKN Phương pháp tìm tọa độ điểm trong bài toán cực trị của hình học không gian

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
	Trong sách giáo khoa hình học ở trường phổ thông, ở lớp 10, học sinh bước đầu đã được làm quen với phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Ở lớp 12, học sinh tiếp tục được làm quen với phương pháp tọa độ trong không gian. Nhờ phương pháp đó, chúng ta có thể chuyển nhiều bài toán hình học sang bài toán đại số và ngược lại, từ kết quả của đại số, ta có thể suy ra được các tính chất và mối quan hệ giữa các hình. 
	Trong đề thi THPT Quốc gia môn toán, phần phân loại các câu hỏi khó, tương ứng với điểm 8, 9, 10; thường xuyên rơi vào các chủ đề: “hình học tọa độ trong không gian Oxyz”, “số phức”, “tích phân”, “bài toán thực tiễn”,Đặc biệt trong chủ đề “hình học tọa độ trong không gian Oxyz” bài toán về tìm tọa độ điểm liên quan đến cực trị thường xuất hiện nhiều và rất khó giải. 
	Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ bản về tìm tọa độ điểm trong các bài toán cực trị của hình học không gian, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn. Đặc biệt, biết sử dụng các kiến thức về hình học tọa độ trong không gian để giải quyết các bài toán khó liên quan đến cực trị, tôi đã chọn đề tài “Phương pháp tìm tọa độ điểm trong bài toán cực trị của hình học không gian ”. 
1.2. Mục đính nghiên cứu.
	Các bài toán về cực trị trong hình tọa độ trong không gian là một dạng bài tập mới đối với học sinh THPT, làm thay đổi các tư duy và nhìn nhận vấn đề về hình học theo hướng tư duy của đại số, mang tính trừu tượng và bước đầu có thể làm cho HS có sự ngỡ ngàng, thiếu tính logic. 
	Một kiến thức mới, cần phải có thời gian để học sinh thực hành và làm quen. Tuy nhiên cái khó của người giáo viên trong giảng dạy hình tọa độ trong không gian là phương pháp tọa độ trong không gian được đưa vào chương trình cuối cùng của SGK hình học 12 khi kết thúc chương trình giáo dục phổ thông nên thời gian giành để nghiên cứu nó bị hạn chế. Vì vậy, việc hướng dẫn học sinh biết hệ thống kiến thức và xây dựng một lớp bài toán tìm tọa độ điểm trong bài toán cực trị của hình học không gian. Có như vậy, học sinh mới có thể giải quyết nhanh các bài tập khó về cực trị hình học trong đề thi trắc nghiệm toán.
	Vậy vấn đề đặt ra là:
Cần giúp HS tiếp cận hệ thống và ghi nhớ đầy đủ các tính chất và khái niệm cơ bản về phương pháp tọa độ trong không gian.
Cần giúp HS biết phân loại các bài tập tìm tọa độ điểm trong bài toán cực trị của hình học không gian tìm ra phương pháp giải cụ thể cho lớp bài toán này.
Giúp HS biết vận dụng kiến thức về tọa độ điểm trong các bài toán cực trị của hình không gian trong thực tế cuộc sống hàng ngày.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
	Để giải quyết các vấn đề nêu trên, trong đề tài này tôi đề xuất các ý tưởng nghiên cứu sau:
Cần cho HS tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm của hình tọa độ trong không gian dưới dạng sơ đồ tư duy để từ đó khắc sâu được kiến thức.
Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt HS tự đúc kết ra các kinh nghiệm giải toán. Qua đó tự tìm ra thuật giải cho bài toán tìm tọa độ điểm trong các bài toán cực trị của hình học không gian.
Cho HS thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thực tiễn cuộc sống. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đốc rút ra các khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản.
Thống kê số liệu để phân loại được các bài toán về tìm tọa độ điểm trong các bài toán cực trị của hình học không gian và rút ra được hệ thống sơ đồ tư duy trong giải các bài tập dạng này. 
Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy và học ở trường sở tại để đưa ra được thuật giải logic, ngắn gọn, dễ hiểu và dễ nhớ nhất 
Từ các bài toán đưa ra mối liên hệ của tọa độ điểm trong các nghiên cứu toán học, vật lí, khoa học, kĩ thuật.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Căn cứ vào nội dung chương trình của SGK môn hình học lớp 12 (chương III)
Căn cứ vào hệ thống bài tập ôn tập chương III hình học lớp 12.
Căn cứ vào phân loại các dạng bài tập trong tài liệu tham khảo: 18 chủ đề hình học 12 (chủ biên: Nguyễn Văn Dũng - Nguyễn Tất Thu).
	Tuy nhiên, trong các tài liệu tham khảo trên đa phần đều nặng về lí thuyết, chưa phân dạng các bài toán tìm tọa độ điểm liên quan đến cực trị một cách chi tiết, chưa đưa ra được kết cấu một bài làm dưới dạng sơ đồ tư duy, đặc biệt tọa độ điểm liên quan đến mặt cầu còn ít và không đủ dạng . Dựa vào các tài liệu trên, tôi đã hướng dẫn học sinh phân loại được các dạng toán cụ thể và xây dựng được một hệ thống tư duy cho lớp các bài tập tìm tọa độ điểm trong bài toán cực trị của hình học không gian. 
	Vì vậy, chỉ cần đọc đề bài là học sinh đã có thể phân loại và nhận dạng bài tập cần làm (theo sơ đồ tư duy định sẵn có ở trong đầu đã được học và không sa vào chứng minh rườm rà). Khi đó học sinh chỉ cần áp dụng kết quả cuối cùng và sử lí theo số liệu cụ thể của đề bài. Đây chính là bí quyết để học sinh rút ngắn thời gian làm bài.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Sau khi học xong khái niệm, tôi đã cho học sinh thực hành làm bài trắc nghiệm 50 câu với phân loại 50 câu đủ ba phần: Câu hỏi nhận dạng, câu hỏi vận dụng và câu hỏi vận dụng cao. Thực hiện kiểm chứng trên lớp với 45 học sinh 12 A1 năm học 2018 – 2019 thu được kết quả sau:
Nhận biết(nắm vững lý thuyết)
Thông hiểu(có thể vận dụng lý thuyết để giải toán)
Vận dụng linh hoạt (giải được đa số các bài tập đưa ra)
Số
học sinh
Phần trăm
Số
học sinh
Phần trăm
Số
học sinh
Phần trăm
45
100%
20
44,4%
7
15,6%
Tuy nhiên về thời gian thu được kết quả sau:
1,8 phút / 1 bài
Từ 2 phút/ 1 bài đến 5 phút/ 1 bài
Từ 5 phút/ 1 bài đến 10 phút/ 1 bài
Trên 10 phút / 1 bài
Số
học sinh
Phần trăm
Số
học sinh
Phần trăm
Số
học sinh
Phần trăm
Số
học sinh
Phần trăm
2
4,4%
5
11,1%
13
28,9%
20
55,6%
 Đặc điểm của lớp thực nghiệm là:
 Số học sinh của lớp: 45. 
Kết quả học tập về môn toán năm học 2018 – 2019 là: 7 học sinh có học lực giỏi, 13 học sinh có học lực khá, 21 học sinh có học lực trung bình 
4 học sinh có học lực yếu.
	Như vậy qua khảo sát trên ta thấy đa số học sinh chưa đảm bảo với yêu cầu kiểm tra đánh giá mới. 
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết đề.
2.3.1. Bài toán tọa độ điểm và mặt phẳng
Bài toán 1: Trong không gian cho các điểm . Xét véc tơ 
Trong đó là các số thực cho trước thỏa mãn 	Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho nhỏ nhất.
Phương pháp:
Gọi là điểm thỏa mãn:
(Như vậy điểm hoàn toàn xác định và là một điểm cố định)
Ta có ( với )
nên 
Do đó 
 Vì là hằng số khác không nên có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất, mà nên điểm cần tìm là hình chiếu của trên mặt phẳng 
	Sau đây là các ví dụ minh họa để giáo viên hướng dẫn cụ thể cho học sinh thực hiện.
	Ví dụ 1: Trong không gian cho các điểm và mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho:
 đạt giá trị nhỏ nhất.
 đạt giá trị nhỏ nhất.
Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
Gọi trung điểm của là 
Ta có: nên 
	nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. Mà nên điểm cần tìm là hình chiếu của trên .
	Giả sử thì 
	nên từ ( là véc tơ pháp tuyến của )
	ta có 
	Vậy điểm cần tìm là 
Gọi là điểm thỏa mãn 
Ta có 
nên 
Do đó có giá trị nhỏ nhất khi nhỏ nhất, hay là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Gọi ta có tọa độ thỏa mãn hệ 
Suy ra tọa độ điểm cần tìm là .
Ví dụ 2: Cho các điểm và mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho:
 đạt giá trị nhỏ nhất.
 đạt giá trị nhỏ nhất.
Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
Gọi trọng tâm của tam giác là .
Ta có nên , do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. Mà nên điểm cần tìm là hình chiếu của trên .
	Giả sử thì 
	 nên từ ( là véc tơ pháp tuyến của )
	ta có 
	Vậy điểm cần tìm là .
Gọi là điểm thỏa mãn 
Ta có: suy ra 
Vì nên biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất, hay là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng .
	Tọa độ điểm thỏa mãn hệ 
	Điểm cần tìm là 
	Bài toán 2: Trong không gian , cho các điểm 
	Xét biểu thức 
	Trong đó là các số thực cho trước. 
	Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho
 có giá trị nhỏ nhất biết .
 có giá trị lớn nhất biết .
Phương pháp:
Gọi là điểm thỏa mãn (Như vậy điểm hoàn toàn xác định, là điểm cố định.)
Ta có (với ) 
nên 
Do đó 
Vì không đổi nên 
Với thì đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
Với thì đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. Mà nên nhỏ nhất khi điểm là hình chiếu của trên mặt phẳng .
	Sau đây là các ví dụ minh họa để giáo viên hướng dẫn cụ thể cho học sinh thực hiện. 
	Ví dụ 1: Trong không gian cho các điểm và mặt phẳng . Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho:
 có giá trị nhỏ nhất.
 có giá trị lớn nhất.
	Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
Gọi trung điểm của là . Khi đó 
Ta có 
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất, hay là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng .
Tọa độ điểm thỏa mãn hệ phương trình 
Vậy điểm cần tìm là .
Gọi là điểm thỏa mãn 
Ta có: 
	Do đó lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất, hay nhỏ nhất, nên là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng .
	Tọa độ điểm thỏa mãn hệ phương trình 
	Điểm cần tìm là .
	Ví dụ 2: Trong không gian cho các điểm và mặt phẳng . Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho:
 có giá trị nhỏ nhất.
 có giá trị lớn nhất.
Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
Gọi trọng tâm của tam giác là 
Khi đó nên 
	Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất, hay là hình chiếu của điểm trên 
 Ta có điểm cần tìm là . 
Gọi là điểm thỏa mãn 
Ta có 
	Nên lớn nhất khi là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng . 
	Tọa độ điểm thỏa mãn hệ phương trình
	Bài toán 3: Trong không gian , cho các điểm và mặt phẳng . Tìm điểm sao cho:
 nhỏ nhất.
 lớn nhất với .
Phương pháp:
Với câu hỏi 1: nhỏ nhất:
Bước 1: Xét vị trí tương đối của các điểm so với mặt phẳng .
Nếu thì hai điểm nằm cùng phía với mặt phẳng .	
Nếu thì hai điểm nằm khác phía với mặt phẳng .	
Bước 2: nhỏ nhất 
	Trường hợp 1: Hai điểm ở khác phía so với mặt phẳng . nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi 
	Trường hợp 2: Hai điểm ở cùng phía so với mặt phẳng .
	Gọi đối xứng với qua mặt phẳng . Ta có:
	Vậy nhỏ nhất bằng khi 
 	Với câu hỏi 2: lớn nhất:
Trường hợp 1: Hai điểm ở cùng phía so với mặt phẳng .
Vì ở cùng phía so với mặt phẳng nên lớn nhất bằng khi và chỉ khi 
	Trường hợp 2: Hai điểm ở khác phía so với . 
Gọi đối xứng với qua mặt phẳng . Khi đó và ở cùng phía với và nên .
Vậy lớn nhất bằng khi 
	Sau đây giáo viên có thể đưa ra ví dụ để học sinh thực hiện giải chi tiết.
	Ví dụ 1: Cho các điểm và mặt phẳng . Tìm điểm thuộc sao cho:
 có giá trị nhỏ nhất.
 có giá trị lớn nhất.
 có giá trị nhỏ nhất.
 có giá trị lớn nhất.
Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
Ta có:
 nằm cùng phía đối với .
 nằm khác phía đối với .
Ta có và nằm khác phía so với nên nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi .
Phương trình đường thẳng 
Ta có mà nên: 
Vậy điểm cần tìm là 
Ta có và nằm cùng phía so với nên lớn nhất bằng khi và chỉ khi 
Tọa độ điểm thỏa mãn hệ phương trình
Vậy điểm cần tìm là 
Gọi là hình chiếu của điểm trên mặt phẳng .
Ta có và 
 ( là véc tơ pháp tuyến của ) nên tọa độ thỏa mãn 
Tọa độ điểm đối xứng với qua mặt phẳng là 
Vì ở cùng phía so với nên ở khác phía so với .
Ta có: nên đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi .
Do nên 
Vậy điểm cần tìm là 
Gọi đối xứng với qua 
Vì ở khác phía so với nên ở cùng phía so với .
Ta có nên đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi .
Do nên 
Vậy tọa độ điểm cần tìm là 
2.3.2. Bài toán: Tọa độ điểm và đường thẳng.
Bài toán 1: Trong không gian , cho các điểm và đường thẳng 
Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho
Câu hỏi 1: Độ dài véc tơ đạt giá trị nhỏ nhất với là các số thực cho trước thỏa mãn ;
Câu hỏi 2: Biểu thức 
Có giá trị nhỏ nhất biết 
Có giá trị lớn nhất biết 
Câu hỏi 3: Diện tích tam giác nhỏ nhất (Trong trường hợp và chéo nhau) 
	Phương pháp:
Vì nên 
Đối với câu hỏi 1: Tính 
Đối với câu hỏi 2: Tính 
Đối với câu hỏi 3: Tính diện tích tam giác . Sau khi 	tính ta được các biểu thức phụ thuộc . Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một tam thức bậc hai ẩn t.
Giáo viên đửaa các ví dụ để học sinh thực hiện,
Ví dụ 1: Cho và 
Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho:
 nhỏ nhất.
 nhỏ nhất.
Diện tích tam giác nhỏ nhất.
Học sinh thực hiện giải chi tiết:
Vì điểm nên 
Ta có 
Nên 
Vậy điểm cần tìm là 
Ta có: 
	do đó 
	Vậy giá trị nhỏ nhất của là , đạt được khi điểm có tọa độ 
Ta có 
nên 
Vì thế diện tích tam giác là 
Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác là , xảy ra khi 
Ví dụ 2: Cho các điểm và đường thẳng . Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho:
 lớn nhất.
 nhỏ nhất.
Vì nên 
Ta có và 
Giá trị nhỏ nhất của khi hay 
Ta có nên 
Vì vậy 
Do đó giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi điểm có tọa độ 
Bài toán 2: Trong không gian cho các điểm và đường thẳng 
Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:
Vì nên . Tính .
Lập tổng 
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa tham số .
Áp dụng bất đẳng thức học sinh sẽ đánh giá được bài toán.
	Ví dụ: Cho đường thẳng và các điểm . Tìm điểm thuộc đường thẳng sao cho:
 nhỏ nhất.
 nhỏ nhất.
Học sinh thực hiện giải chi tiết như sau:
Gọi ta có
Do đó 
Hay giá trị nhỏ nhất của là khi hay tọa độ điểm cần tìm là .
Gọi 
Ta có 
Xét hai véc tơ 
Ta có nên 
Hay 
Dấu đẳng thức có khi 
hay 
vậy điểm cần tìm là 
2.3.3. Bài toán: Tọa độ điểm và mặt cầu.
Bài toán 1: Trong không gian cho mặt cầu tâm và bán kính . Tìm điểm sao cho véc tơ có tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp:
Gọi là điểm thỏa mãn: 
Ta có 
Vậy 
Xét vị trí của với mặt cầu 
Nếu nằm ngoài 
 với là tâm mặt cầu .
	Học sinh sẽ tìm được hai điểm , cần phải thử để loại nghiệm.
Nếu nằm trong 
với là tâm mặt cầu .
Tương tự trường hợp trên, học sinh cũng tìm được 2 điểm cần phải thử lại để loại nghiệm. 
Ví dụ: Trong không gian cho mặt cầu
 và các điểm . Tìm điểm trên sao cho véc tơ có độ dài nhỏ nhất.
	Học sinh thực hiện lời giải chi tiết sau:
	Gọi là điểm thỏa mãn 
	Ta có 
	Nên 
	Suy ra 
	Đường thẳng đi qua và tâm của mặt cầu .
	 cắt tại 2 điểm và 
	Ta có 
	Vậy 
	Vậy điểm thỏa mãn là 
	Bài toán 2: Trong hệ trục tọa độ , cho mặt cầu tâm và bán kính .
	Mặt cầu 
	Mặt phẳng 
	Tìm điểm thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là lớn nhất, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là nhỏ nhất.
	Phương pháp:
	Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng bằng cách so sánh khoảng cách và .
Nếu thì và không có điểm chung. Khi đó và là giao của đường thẳng với . Trong đó, là đường thẳng đi qua và vuông góc với . Tìm ta sẽ có hai điểm. Tính khoảng cách từ hai điểm đó đến , khoảng cách nào lớn hơn thì điểm đó là điểm , điểm còn lại là điểm .
Nếu thì tiếp xúc với . Giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi là tiếp điểm của và . Giá trị lớn nhất bằng khi đối xứng với qua tâm . 
Nếu thì là một đường tròn.
Giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi nằm trên đường tròn . Tìm sẽ có hai điểm. Tính khoảng cách từ hai điểm đó đến , khoảng cách nào lớn hơn thì điểm đó tương ứng là điểm M.
	Ví dụ: Trong không gian cho mặt cầu 
Tìm các điểm trên sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 
là lớn nhất, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là nhỏ nhất, với:
Học sinh thực hiện giải chi tiết sau:
Ta có 
Do đó và không có điểm chung.
Gọi là đường thẳng đi qua tâm của mặt cầu và vuông góc với .
 Phương trình 
Gọi 
Suy ra hai điểm thỏa mãn và .
Ta có 
Vậy các điểm cần tìm là và 
Ta có 
 tiếp xúc với .
Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với 
Giao điểm của và là hai điểm và .
Do và nên:
Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt cầu đến mặt phẳng nhỏ nhất là 0, đạt được tại .
Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt cầu đến mặt phẳng lớn nhất là 6, đạt được tại .
Ta có 
nên 
Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt cầu đến nhỏ nhất là 0, đạt được tại với là đường tròn giao tuyến của và .
Điểm thuộc mặt cầu đến mặt phẳng lớn nhất là điểm có khoảng cách đến lớn hơn trong các giao điểm của và .
Trong đó là đường thẳng đi qua tâm của mặt cầu và vuông góc với .
Giao điểm của với là và 
Ta có 
nên điểm cần tìm là 
Ngoài hai bài toán tổng quát trên, trong bài toán điểm và mặt cầu còn gặp một số bài toán đặc biệt. Trong đó, muốn có lời giải ngắn gọn và chi tiết cần kiểm tra các tính chất đặc biệt có trong đề bài. Học sinh có thể được tìm hiểu thông qua hai ví dụ sau:
	Ví dụ 1: Trong không gian cho mặt cầu 
 và hai điểm . Tìm điểm trên sao cho biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
Học sinh giải chi tiết sau:
Kiểm tra dữ liệu đề bài bằng cách thay tọa độ và vào ta được
Như vậy và nằm ngoài .
Gọi là trung điểm của nằm ngoài 
Trong đó không đổi nên 
Lập với là tâm mặt cầu
 Tìm 
Vậy 
	Ví dụ 2: Trong không gian cho mặt cầu . Tìm điểm trên sao cho giá trị biểu thức đạt giá trị lớn nhất với .
Học sinh thực hiện giải chi tiết sau:
Ta có 
Ta có 
Như vậy qua cách kiểm tra dữ liệu đề bài ta thấy điểm nằm trên 
Điểm tồn tại Khoảng cách (Với là bán kính mặt cầu).
Vậy đạt được khi với 
 tiếp xúc với tại .
Ta có ( là số thực).
với là véc tơ pháp tuyến của 
Vậy là điểm cần tìm. 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh dự thi học sinh giỏi, phụ đạo học sinh yếu kém, tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm tìm tọa độ điểm trong bài toán cực trị của hình học không gian, đặc biệt tôi đã áp dụng cụ thể trong việc giảng dạy bộ môn hình học lớp 12. Đây thực sự là một tài liệu hữu ích đã được tôi kiểm chứng thực tế và cho kết quả tốt.
Thường thì các em học sinh có học lực khá và giỏi sẽ giải quyết tương đối tốt bài toán đặt ra, tuy nhiên lời giải còn chưa ngắn gọn, xúc tích. Dựa vào học sinh giỏi, giáo viên có thể tổng kết thành các bước làm cụ thể. Thông qua hoạt động nhóm các em có học lực tốt sẽ giúp đỡ các bạn có học lực yếu kém và trung bình. Các bài toán tổng quát với sơ đồ tư duy là “ ngọn đèn dẫn lối” cho các em tìm thấy hướng đi của mình và kết quả tương đối khả quan:
 Kiểm chứng trên lớp với 45 học sinh 12 A1 năm học 2018 – 2019 thu được kết quả sau:
Nhận biết(nắm vững lý thuyết)
Thông hiểu(có thể vận dụng lý thuyết để giải toán)
Vận dụng linh hoạt (giải được đa số các bài tập đưa ra)
Số
học sinh
Phần trăm
Số
học sinh
Phần trăm
Số
học sinh
Phần trăm
45
100%
40
88,9%
35
77,8%
Về thời gian thu được kết quả sau:
1,8 phút / 1 bài
Từ 2 phút/ 1 bài đến 5 phút/ 1 bài
Từ 5 phút/ 1 bài đến 10 phút/ 1 bài
Trên 10 phút / 1 bài
Số
học sinh
Phần trăm
Số
học sinh
Phần trăm
Số
học sinh
Phần trăm
Số
học sinh
Phần trăm
15
33,3%
20
44,4%
5
11,15%
5
11,15%
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trên đây tôi đã giới thiệu một số phương pháp tìm tọa độ điểm trong bài toán cực trị của hình học không gian. Tôi đã áp dụng trực tiếp đối với học sinh mà mình dạy, thấy học sinh thực hiện lời giải nhanh hơn và kết quả tính toán chính xác hơn.
3.2. Kiến nghị.
 Tuy nhiên vì thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm eo hẹp và quy định hạn hẹp của số trang trong một sáng kiến kinh nghiệm nên không tránh được những sai sót khi thực hiện để tài. Mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn chỉnh hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của 
mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Hà Thị Thu Hồng