SKKN Từ quy trình giải các bài toán cơ bản hướng dẫn học sinh giải toán hình học không gian lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TỪ QUY TRÌNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 
Người thực hiện: Đinh Thế Ninh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán
THANH HÓA, NĂM 2019
THANH HOÁ NĂM 2014
1. MỞ ĐẦU
MỤC LỤC
1. Mở đầu
2
1.1. Lý do chon đề tài
2
1.2 Mục đính nghiên cứu
3
1.3. Đối tượng nghiên cứu
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu
3
1.5. Những điểm mới của SKKN
4
2. Bội dung sáng kiến kinh nghiệm
4
3. Kết luận, kiến nghị
17
3.1. Kết luận
17
3.2. Kiến nghị
18
1. MỞ ĐẦU
Hình học không gian là một phần rất quan trọng của hình học phổ thông, nó có liên quan mật thiết với hình học phẳng ở cấp THCS. Việc học tốt hình học không gian không những giúp học sinh học tốt hình học tọa độ trong không gian mà còn giúp học sinh phát triển tư duy rất tốt.
Tuy nhiên khi giải các bài toán hình học không gian học sinh thường rất thiếu tự tin , một phần vì học sinh ngại hình học không gian vì cứ nghĩ hình học không gian là khó, một phần là vì học sinh không có những “tư duy định sẵn” như đại số, giải tích. Do đó hiệu quả giải toán không cao mà sự phân loại dạng toán, phương pháp giải toán cũng không rõ ràng.
Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toán hình học không gian. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải bài toán hình học không gian” từ cách xây dựng các “quy trình giải các bài toán cơ bản”.
1.1. Lý do chon đề tài
Đứng trước một bài toán hình học không gian học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu ?”. Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học không gian, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải.Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán.
Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải cho bài toán hình học không gian thường không suy nghĩ, đào sâu thêm. Học sinh không chú ý đến bản chất hình học của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán hình học không gian nhưng vẫn không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán. Thậm chí một bài toán tương tự nhau xuất hiện trong nhiều đề thi mà học sinh vẫn làm miệt mài như lần đầu tiên giải nó, bởi không nhận biết được dạng toán này đã từng làm ??.
1.2 Mục đính nghiên cứu
Với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn giản. Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán. Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều.
Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bản chất của bài toán hình học không gian và phát hiện các dạng toán đặc trưng. Và vì vậy song song với các lời giải cho bài toán hình học không gian, tôi luôn yêu cầu học sinh chỉ ra bản chất và hệ thống các bài toán hình không gian cơ bản tương ứng, từ đó xây dựng các quy trình tựa thuật toán cho các bài toán cơ bản. 
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả. Việc đưa nội dung này nhằm khai thác các bài toán cơ bản trong hình học không gian và tư duy tựa thuật toán tương ứng để định hướng tìm lời giải bài toán hình học. Việc chỉ ra các bài toán cơ bản của bài toán hình học không gian cùng với thuật toán tương ứng sẽ giúp học sinh định hướng và giải toán có hiệu quả hơn, vững tin với việc giải toán hình học không gian. Qua đó giúp học sinh nhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học không gian là tổng hợp của nhiều bài toán cơ bản, việc nắm vững hệ thống các bài toán cơ bản là mấu chốt cho quá trình suy luận giải toán”. Vì vậy phân tích bản chất bài toán cơ bản của bài toán hình học không gian để từ đó định hướng tư duy cho việc giải bài toán là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học không gian.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung chương trình Hình học lớp 11 
Đối tượng sử dụng đề tài học sinh các lớp 11A2, 11A8 trường THPT Hoằng Hóa 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán hình học không gian và các quy trình của bài toán hình học cơ bản tương ứng.
3. Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh.
4. Trong mỗi bài toán hình học không gian đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất bài toán để phát hiện các bài toán cơ bản cũng như đưa ra các quy trình giải bài toán. 
5. Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
1.5. Những điểm mới của SKKN
Nội dung này được triển khai thông qua 3 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết):
Buổi học thứ nhất: Tổ chức thực hiện hình thành kỹ năng giải toán.
Buổi học thứ hai: Tổ chức cho học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán.
Buổi học thứ ba: Tổ chức kiểm tra để lấy kết quả nội dung triển khai
 và kỹ năng mà học sinh đạt được.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
B.1:Buổi học thứ nhất
Giáo viên nêu vấn đề và định hướng cách suy nghĩ giải toán, giáo viên hướng dẫn làm các ví dụ mẫu 1, 2,3. Qua đó, bằng cách phân tích trên hình không gian tương ứng với bài toán, giáo viên phân tích lợi ích của việc “ tư duy tựa thuật toán những bài toán cơ bản của bài toán hình học không gian” cũng như phân tích cho học sinh thấy rằng việc lựa chọn phương pháp giải không phải là ngẫu nhiên mà luôn chất chứa những nguyên nhân sâu xa rất bản chất. Đó chính là cấu trúc của bài toán, hình thức của bài toán và các mối quan hệ “tất yếu” giữa các yếu tố tạo nên bài toán. Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích bài toán hình học không gian thông qua tổ hợp các bài toán cơ bản một mặt giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, mặt khác giúp học sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời giải bài toán.
Để buổi học này đạt hiệu quả, tôi đã thực hiện ngay sau khi học xong phần hình học không gian ở lớp 11. Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất, tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về hình học không gian. Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời giải , phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi :"bản chất bài toán ấy là gì?,có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được không?" 
Sau đây là sơ lược của buổi học về nội dung này
*Giáo viên: Bài toán hình học không gian xuất hiện thường xuyên trong các đề thi ĐH, đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó. Vì vậy để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán 
Trong buổi học hôm nay chúng ta sẽ cùng nghiên cứu về một phương pháp tư duy giải toán: "Xây dựng quy trình giải bài toán cơ bản để giải bài toán hình học không gian"
Trước hết ta cần chú ý xác định hình cho bài toán hình không gian trên cơ sở các dữ kiện bài toán đã cho.
Sau đó ta sẽ phân tích tính chất hình học trên hình không gian để định hướng tìm lời giải bài toán theo quy trình của các bài toán cơ bản định sẵn.
Các ví dụ
Một bài toán hình học không gian có thể được giải theo các bước sau:
B1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.
B2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.
B3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình đã chọn.
Qua quy trình này HS sẽ thấy được mức độ khó, dễ của mỗi bài toán cũng như hiểu được bài toán có bao nhiêu bài toán cơ bản và mục tiêu kiến thức muốn kiểm tra của tác giả bài toán.
Ví dụ 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và . Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng . Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).
GV hướng dẫn:
Bước 1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.
+ Đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và nên hoàn toàn xác định.
Đế xác định hình chóp S.ABCD ta cần xác định chiều cao SH dựa vào giả thiết: “Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng ”. Do đó ta phải giải bài toán cơ bản : “Xác định góc giữa hai mặt phẳng”.
Bước 2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.
Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng”. Để giải bài toán này ta phải tìm hình chiếu của AC lên (SCD) mà thực chất là xác định phương vuông góc với (SCD).
Bước 3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình đã chọn.
Lời giải
+ Tính SH từ giả thiết bài toán.
Từ giả thiết ta có: 
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi L là chân đường cao hạ từ O của .
Kẻ HK//OL (1)
Mà H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) (2)
Từ (1), (2) 
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là 
 vuông tại O có 
có OL//HK 
vuông tại H 
+Tính góc giữa AO và mặt phẳng (SCD).
Trong mp (SHK) kẻ (do)
 M là hình chiếu của H trên (SCD). Mà 
 MC là hình chiếu của AO trên (SCD). 
 Góc giữa đường thẳng AO và (SCD) là 
 ;
Phân tích bài toán
Thông qua việc chỉ ra các bài toán cơ bản trong giải toán hình học không gian, HS thấy rằng mỗi bài toán là tổ hợp của nhiều bài toán cơ bản có mối quan hệ logic . Việc nắm vững các bài toán cơ bản cùng quy trình giải toán giúp học sinh hoàn toàn chủ động trong tư duy giải toán cũng như thứ tự trình bày lời giải bài toán.
 Bài toán cơ bản và quy trình giải toán .
G2mp
Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Quy trình 1: Quy về góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đã cho.
Quy trình 2: Quy về hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
Quy trình 3: Sử dụng công thức hình chiếu
Gđmp
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Quy trình: Quy về góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đã cho.
GV yêu cầu HS xây dựng quy trình cho bài toán cơ bản:
 G2đt = “Xác định góc giữa hai đường thẳng”
 Ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho DH = 2AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC, biết góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD. 
GV hướng dẫn:
Bước 1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.
+ Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên hoàn toàn xác định.
Đế xác định hình chóp S.ABCD ta cần xác định chiều cao SH dựa vào giả thiết: “Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng ”. Do đó ta giải bài toán : Gđmp
Bước 2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.
Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau”. Bài toán này có nhiều quy trình và HS phải lựa chọn để tư duy giải toán.
Bước 3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình đã chọn.
Lời giải
Ta có , do SH là chiều cao của khối chóp S.ABCD và góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) là góc . Ta có:
Do M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC nên MN//SC 
Mà AB//CD 
Do đó .Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên 
SD.Ta có
 .Vậy 
Phân tích bài toán
Mỗi bài toán cơ bản có tính độc lập tương đối, nếu suy tận cùng bản thân nó cũng là một tổ hợp các vấn đề hình học cơ bản hơn. Chẳng hạn, bài toán xác định khoảng cách hẳn nhiên phải sử dụng các quy trình của bài toán quan hệ vuông góc.
Do vậy cần nhắc nhở học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản, xếp chúng vào một hệ thống tư duy logic.
 Bài toán cơ bản và quy trình giải toán .
K2cn
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Quy trình 1: Tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng sau khi trực tiếp dựng đường vuông góc chung.
Quy trình 2: Quy khoảng cách từ điểm thuộc đường này đến mặt phẳng song song và chứa đường kia. Sau đó chuyển về đỉnh “tốt hơn” theo tỉ số khoảng cách.
Quy trình 3: Sử dụng công thức thể tích (Lớp 12, GV giới thiệu).
GV yêu cầu HS xây dựng quy trình cho bài toán cơ bản:
 Kđmp = “Tính khoảng cách điểm và mặt phẳng”,
 Kđđt = “Tính khoảng cách điểm và đường thẳng”.
Ví dụ 3 và ví dụ 4 sau đây chỉ ra rằng việc giải các bài toán cơ bản là rất cần thiết, và đó là cơ sở xây dựng nên các quy tình giải toán. Học sinh vừa học được quá trình suy luận, kĩ năng giải toán vừa hiểu được bản chất của quy trình đưa ra.
 Ví dụ 3
 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB > CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB . 
Gọi P = SC Ç (ADN) và AN , DP cắt nhau tại I .Chứng minh : SI ∕ ∕ AB 
GV hướng dẫn:
Bước 1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.
+ Bài toán cơ bản về quan hệ song song, hình đã cho là xác định.
Bước 2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.
Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Chứng minh hai đường thẳng song song”. .
Bước 3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình đã chọn.
Lời giải
Ta có :
Phân tích bài toán
Đây là một bài toán cơ bản trong quan hệ song song của hình học không gian, việc cho HS làm việc với các dạng cơ bản này là rất hữu ích trong việc làm quen và rèn kĩ năng giải toán. Vì vậy luôn nhắc nhở học sinh: “Học cơ bản, bám sát nội dung SGK” , không nên bay bổng với các kiến thức khó mà quên cơ bản. Đây là một thực trạng của HS khi học hình học không gian, hoặc là mất cơ bản hoặc chỉ chăm chăm giải càng nhiều đề thi càng tốt. Một cách học ít hiệu quả và thiếu bản chất, rất dễ xa vào học vẹt theo thói quen.
 Bài toán cơ bản và quy trình giải toán .
S2đt
Chứng minh hai đường thẳng song song
Quy trình 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung .
Quy trình 2: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng 
Quy trình 3: Chứng minh bằng phản chứng hoặc sử dụng định lí về giao tuyến.
GV yêu cầu HS xây dựng quy trình cho bài toán cơ bản:
 Sđtm = “Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng”
 S2mp = “Chứng minh hai mặt phẳng song song ”
Ví dụ 4
 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AMBP.
 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2007)
GV hướng dẫn:
Bước 1: Xác định hình không gian trên cơ sở giả thiết của bài toán.
+ Bài toán cơ bản về quan hệ vuông góc, hình đã cho là xác định. Ta cần xử lí giả thiết: “Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy”, đây thực chất là một quy trình trong “Chứng ming đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”.
Bước 2: Phát hiện các bài toán cơ bản và tư duy theo quy trình định sẵn.
Yêu cầu bài toán tương ứng với việc giải bài toán cơ bản: “Chứng minh hai đường thẳng vuông góc”. .
Bước 3: Lựa chọn quy trình thích hợp và trình bày lời giải bài toán theo quy trình đã chọn.
Lời giải.
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH AD
Vì (SAD)(ABCD), suy ra SH (ABCD) suy ra SHBP (1)
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: (3) 
Do HC // AN, MN // SC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: (đpcm) 
Phân tích bài toán
Đây là một bài toán cơ bản trong quan hệ vuông góc của hình học không gian, qua bài toán học sinh thấy được: “Mối quan hệ vòng quanh trong quan hệ vuông góc”, đây là một tính chất đặc thù rất hay của quan hệ vuông góc hình học không gian.
 Bài toán cơ bản và quy trình giải toán .
V2đt
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Quy trình 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng 
Quy trình 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. 
GV yêu cầu HS xây dựng quy trình cho bài toán cơ bản:
 Vđtm = “Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”
 V2mp = “Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ”
Cuối buổi học tôi yêu cầu HS về nhà hoàn thiện các quy trình theo dạng cơ bản cho từng vấn đề: Giao điểm, Thiết diện, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, tính góc, tính khoảng cách, và tìm, làm các bài tập liên quan.
Một vấn đề được HS phát hiện đó là có thể “kí hiệu” cho mỗi bài toán theo dạng.
Chẳng hạn VD1 được “kí hiệu” là: “G2mp Gđmp”, VD3 là : “ 0 S2đt”.
Nhìn vào kí hiệu HS biết kiến thức kiểm tra của bài toán cũng như mức độ dễ khó tương đối của bài toán, đây là một trợ giúp tư duy đoán nhận cho HS.
B.2. Buổi thứ hai
Với sự chuẩn bị của học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh trình bày lời giải theo định hướng đã lựa chọn. Tuy nhiên vẫn khuyến khích sử dụng các phương pháp khác để có lời giải đa dạng.
Sau đây là sơ lược về hệ thống các bài toán rèn luyện và lời giải sơ lược theo phương pháp đưa ra.
1.Bài toán 1
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=4a, BC=3a, gọi I
là trung điểm của AB , hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với mặt 
phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bẳng 600. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
Lời giải sơ lược
HS: “G2mp K2cn”
S
A
C
I
H
K
x
z
 y
E
B1: Xác định hình cho bài toán
Xác định chiều cao hình chóp theo giả thiết: “góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bẳng 600”
HS1: Dùng QT2-G2mp.
Do hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với (ABCD) 
Dựng IH vuông góc với AC tại H ( Định lý 3 đường vuông góc)
 là góc giữa (SAC) và (ABC), theo giả thiết 
Ta có 
Xét tam giác SHI có 
HS2: Dùng QT3-G2mp.
Do hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với (ABCD) 
 là hình chiếu của lên mp(ABC) 
Ta có : ; Đặt 
...
Áp dụng công thức hình chiếu ta có:
B2: Giải bài toán cơ bản cho bài toán
 Dùng QT2-K2cn.
Dựng đường thẳng d đi qua B và song song với AC, gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi 2 đường thẳng SB và d. Ta có AC song song với mp(P) chứa SB
Dựng IK vuông góc với d tại K, dung IE vuông góc với SK tại E
Suy ra: 
Xét tam giác SIE có 
Nhận xét 1:
Đây là bài toán thu được nhiều ý tưởng giải toán rất hay từ học sinh, học sinh cũng sôi nổi và mạnh dạn hơn trong cách trình bày tư tưởng giải toán. Điều đó cho thấy hiệu quả của việc "Giải toán hình học không gian theo quy trình của các bài toán cơ bản".
Qua bài toán này học sinh còn phát hiện được tính độc lập của giả thiết và kết luận
của bài toán, do đó có thể thay đổi vai trò của G2mp cho K2cn. 
Cụ thể bài toán phát biểu là:
 “Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=4a, BC=3a, gọi
I là trung điểm của AB , hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với 
mặt phẳng (ABC), khoảngcách giữa hai đường thẳng SB và AC bẳng . 
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) ”
Để giải bài toán này Học sinh nhận thấy chỉ cần trình bày hai phần đó đổi vị trí cho nhau bằng cách tìm đường cao SI.
 Qua bài toán học sinh nhận thấy: “Bài toán hình học không gian là tổ hợp một số bài toán cơ bản trong mối quan hệ logic, chúng có tính độc lập tương đối và có thể đổi vai trò cho nhau để tạo nên bài toán mới”. Điều này rất tốt khi chúng ta cần nhiều bài toán tương đương để kiểm tra.
 Có một vài học sinh giỏi còn đề xuất cách giải bằng phương pháp tọa độ và phương pháp thể tích.
2.Bài toán 2
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. 
 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A năm 2006)
Lời giải sơ lược
HS: “0 K2cn”
+ BC // MN MN // (A’BC) 
 d(MN,A’C) = d(MN,