SKKN Tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy
Người thực hiện: Lê Đức Huy
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán học
THANH HOÁ NĂM 2018
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
	Xuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toán cực trị là mô hình đơn giản của các bài toán kinh tế trong cuộc sống. Với tinh thần đổi mới giáo dục trong các đề thi học sinh giỏi, đại học của những năm gần đây, bài toán cực trị nói chung được đưa vào thường xuyên. Điều đó đặt ra cho quá trình giảng dạy bộ môn Toán học cần phải chú ý rèn luyện cho học sinh những dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi của thực tiễn và đưa giáo dục nói chung và Toán học nói riêng gần hơn với cuộc sống.
	Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chất lượng bài giảng, chất lượng quá trình giáo dục tôi mạnh dạn đưa ra ý tưởng “Tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy”.
II. Mục đích nghiên cứu 
 Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp giải bài toán cực trị hình học giải tích.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 1.Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích.
 2.phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích được giảng dạy tại trường.
IV.Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phương pháp thống kê Toán học
V.Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
 Có hệ thống bài tập hay, khó.
 Phương pháp giải đa dạng , gắn gọn.
PHÂN 2: NỘI DUNG
I.	Cơ sở lý luận
1.	Các tính chất của Bất đẳng thức
Điều kiện
Nội dung
2.	Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
	Cho hàm số xác định trên tập D 	
	Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu
	Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu
	Đối với hàm hai biến, ba biếnta cũng có định nghĩa tương tự.
3.	Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)
Cho n số không âm: 
khi đó ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
4.	Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho hai bộ n số: khi đó ta có bất đẳng thức:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
5.	Định lý Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì hàm số tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn .
6.	Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng đi qua nhận làm vector chỉ phương. Khi đó có phương trình tham số là: 
7.	Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm nhận làm vector pháp tuyến. Khi đó có phương trình tổng quát là:
8.	Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 và điểm . Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng được tính bằng công thức: .
9.	Góc giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình
Gọi là góc giữa hai đường thẳng đã cho. Khi đó:
.
10.	 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Cho đường thẳng đi qua nhận làm vector pháp tuyến. Khi đó đường thẳng có phương trình tổng quát là:
11.	 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mặt phẳng và điểm . Khoảng cách từ điểm M đến được tính bằng công thức
 .
II. Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài.
 Các bài toán về cực trị hình học giải tích là dạng bài tập khó được xuất hiện nhiều trong các đề học sinh giỏi của trường, tỉnh và trong các kì thi quan trọng.
 Đây là một dạng khó nên đa số học sinh khi gặp dạng toán này còn lúng túng và không giải được. Học sinh chưa biết phối hợp một cách khéo léo giữa lý thuyết, các bài tập cơ bản để hình thành tư duy để giải quyết các bài toán khó. 
 Từ thực tế trên, sau đây Tôi xin trình bày phương pháp bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy.
III. Một số dạng bài toán cực trị hình học giải tích trong chương trình phổ thông
1.Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị
Bài 1.Cho đường thẳng . Tìm điểm sao cho:
 a)nhỏ nhất. b) lớn nhất.
Lời giải 
a)Phân tích: 
Nếu hai điểm A, B khác phía so với đường thẳng thì điểm M cần tìm chính là giao điểm của đường thẳng với đường thẳng AB.
Nếu hai điểm A, B cùng phía so với đường thẳng (Hình 1) khi đó ta thực hiện theo các bước sau
Hình 1
Bước 1: Xác định điểm là điểm đối xứng với A qua .
Bước 2: Từ đánh giá: hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng. Nên ta đi viết phương trình đường thẳng .
Bước 3: Điểm . 
Với thuật toán trên ta đi đến lời giải chi tiết cho câu a) như sau:
Đặt 
Ta có: .
Như vậy hai điểm nằm về một phía so với đường thẳng .
Gọi là điểm đối xứng với A qua .
Đường thẳng 
Gọi . Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:
Do I là trung điểm của nên ta có: 
Từ đó . 
Đường thẳng 
Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ phương trình:
Trong trường hợp câu b) thì thuật toán lại có sự khác biệt so với câu a). Nếu hai điểm A; B mà nằm về hai phía so với thì ta lại phải đi tìm điểm đối xứng với A qua . Sau đó ta sử dụng đánh giá:
 hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng. Từ đó tìm ra tọa độ của M. 
Nếu hai điểm nằm về cùng một phía so với thì ta có ngay đánh giá: hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng. Do đó điểm M cần tìm là giao của với .
Sử dụng kết quả câu a) ta có hai điểm nằm về cùng phía so với nên ta có đánh giá: hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng.
Ta có nên 
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: 
Để củng cố thuật toán trên các em học sinh làm thêm một số bài tập:
Bài 2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm . Đường thẳng đi qua M cắt Ox; Oy lần lượt tại .
a)Tìm để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất?
a)	Tìm đạt giá trị nhỏ nhất?
b)	Tìm đạt giá trị nhỏ nhất?
a) Lời giải 1
Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có: 
Nhận thấy tam giác vuông tại nên: 
Mặt khác do 
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 
Từ đó suy ra: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xảy ra dấu bằng. Khi đó kết hợp với ta có hệ phương trình: 
Bình luận: Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM và nhận thấy tính hiệu quả cao, lời giải gọn gàng và đẹp. Vấn đề là học sinh cần tìm hiểu được nhiều cách giải cho một đề toán. Do vậy một trong những thủ thuật của người thầy (theo cá nhân tôi) là sau lời giải một bài toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Còn lời giải nào khác nữa không?. Câu hỏi đó làm cho học sinh có hứng thú tìm tòi, và phải làm cho học sinh thấy được chúng ta không nên bằng lòng theo kiểu “ăn xổi”.
a) Lời giải 2 
Từ kết quả ta rút ra: 
Theo bài ra do 
Từ đó: 
Ta đi khảo sát hàm số trên miền .
Lại có: 
Lập bảng biến thiên ta có:
 Suy ra: 
Với . Vậy các giá trị cần tìm là: 
Bình luận: Lời giải 2 có vẻ phức tạp, tuy nhiên việc sử dụng đạo hàm vào bài toán cực trị cũng cần hết sức chú ý vì đây cũng là một công cụ rất mạnh trong chương trình toán phổ thông mà học sinh cần được trang bị và thành thạo.
b) Lời giải 1 
Gọi là chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB 
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có: hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Tức là .
Vậy ta có hệ phương trình: 
Vậy các giá trị cần tìm là: 
Bình luận: Trong câu b) ta đã sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu luôn nhỏ hơn độ dài đường xiên. Giống như câu a) ta lại có một câu hỏi: Còn lời giải nào khác nữa không? Và cứ như vậy học sinh sẽ có sự hứng thú nhất định và các em trở thành những nhà thám hiểm thực sự trong kho tàng kiến thức!
Để ý thấy: gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki? Do đó gợi ý cho ta lời giải thứ 2 như sau:
b) Lời giải 2
Theo bài ra do 
Xét: 
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình: 
Vậy các giá trị cần tìm là: 
Bình luận: Thật gọn, đẹp! Còn có cách giải khác nữa không? 
Đối với câu c) Giáo viên sẽ tránh cho học sinh một sai lầm khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời giải 1 của câu c) như sau:
c) Lời giải 1
	Ta có (Theo bất đẳng thức AM-GM)
	Mặt khác (Theo bất đẳng thức AM-GM)
	Từ đó suy ra: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cả hai đánh giá cùng xảy ra dấu bằng. Điều đó tương đương với 
Dễ nhận thấy hệ trên vô nghiệm. Như vậy lời giải là sai! 
c) Lời giải 2
	Ta có 
	Mặt khác 
	Do 
	Ta được 
	Ta đi khảo sát hàm số với 
	Ta có 
	Lại có 
Ta có bảng biến thiên
a
2	
-	 0	+
Từ đó ta có kết luận: 
Bài 3. Bài toán về góc sút và khung thành. 
Cho hai điểm A, B nằm về cùng phía so với đường thẳng . Tìm trên đường thẳng điểm M sao cho M nhìn xuống A, B một góc lớn nhất? 
Nhận xét: Bài số 9 là một bài khá lý thú, gây hứng thú và tò mò cho người làm toán. Dễ nhận thấy một vài trường hợp đặc biệt như khi là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB thì điểm M cần tìm chính là tiếp điểm. Vậy trong các trường hợp còn lại thì ta xử lý thế nào?
Dựng đường tròn đi qua A, B và tiếp xúcvới tại M. Ký hiệu là đường tròn (C) 
Xét điểm N trên và khác M. Gọi I là giao của (C) và NB 
Ta có (cùng chắn cung AB)
Mặt khác: 
 Vậy M là điểm cần tìm
2.Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sử dụng phương pháp hình giải tích
Bài 1. Cho . Tìm: của biểu thức .
	Lời giải
	Nhận xét: điều kiện của đầu bài thoả mãn phương trình của một đường tròn: có tâm .
	Gọi là một giá trị của biểu thức. Dễ nhận thấy . Do đó ta được đường tròn có tâm .
	Vì là một giá trị của biểu thức điều đó tương đương với phải có điểm chung. (*)
	(*) 
	So sánh các kết quả của (1); (2) và (3) ta có 
Bình luận: Như vậy ta đã sử dụng phương pháp của hình học giải tích để tìm Max của biểu thức A nhờ những nhận xét về điều kiện và đầu bài. Sẽ tương đối khó khăn khi đi tìm một phương pháp khác cho bài số 10! Với bài 10 ta có thể khái quát hoá thành bài tập như sau:
Bài 2 Cho thoả mãn điều kiện P. Trong đó P có thể biến đổi về phương trình của một đường tròn nào đó. Yêu cầu tìm min, max của biểu thức trong đó biểu thức cũng biến đổi được đưa về phương trình của một đường tròn nào đó.
	Quay lại Bài 1 ta có thể nhận thấy biểu thức A có thể được biến đổi nhờ điều kiện của đầu bài.
	Thực vậy: Từ giả thiết ta có 
	Như vậy nếu gọi là một giá trị của biểu thức A. Điều đó chứng tỏ giữa đường thẳng và đường tròn có tâm phải có điểm chung (**)
Vậy .
	Bình luận: Với việc đưa biểu thức A về dạng phương trình đường thẳng thì ta phải xử lý ít trường hợp hơn so với việc đưa biểu thức A về phương trình của đường tròn.
PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1.Cho hai điểm và đường thẳng . Tìm điểm đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số: )
Bài 2.Cho hai điểm và đường thẳng . Tìm điểm đạt giá trị lớn nhất?
Bài 3.Cho hai điểm và đường thẳng . Tìm sao cho :
a) đạt giá trị nhỏ nhất.
b) đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4 .Trong mặt phẳng toạ độ , viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho đạt giá trị nhỏ nhất? 
Bài 5.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , cắt chiều dương của các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N khác gốc toạ độ sao cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 6.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , cắt chiều dương của các trục Ox, Oy tại các điểm A; B khác gốc toạ độ sao cho đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 7.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức với điều kiện: .
Bài 8.Cho đường tròn: . Tìm điểm H trên đường tròn (C) sao cho tam giác HAB có diện tích là lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 9.Cho đường tròn: . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất ở đây I là tâm đường tròn (C).
Bài 10.Cho đường thẳng: . Tìm sao cho
 đạt giá trị nhỏ nhất (Đ/s: ). 
PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN
Chuyên đề được thực hiện tại lớp 11A1 năm học 2017-2018. Để đánh giá kết quả của chuyên đề tôi thực hiện cho học sinh làm dạng bài trong chuyên đề trước và sau khi giảng dạy kết quả thu được là khả quan. Trước khi giảng dạy thì chỉ có một số em làm được sau khi giảng dạy chuyên đề thì đa số các em đã định hình phương pháp làm và thực hiện thành thạo. 
Kết quả cụ thể được thống kê trong bảng sau
KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A1
Điểm
7
6
5
4
3
2
1
Trước 
0
2
3
5
27
10
6
0
Sau
3
5
7
15
5
5
3
0
 Như vậy nhìn vào bảng thống kê đa số học sinh đã hiểu và vận dụng và thực hiện được bài toán cực trị trong hình giải tích (Oxy).
PHÂN 5: KẾT LUẬN
1. Chuyên đề có giá trị thực tiễn trong công tác giảng dạy và học tập của học sinh và giáo viên.
2. Phù hợp với khả năng nhận thức và tiếp thu của học sinh.
3. Chuyên đề sẽ được mở rộng ra các bài toán cực trị trong không gian.
4. Do trình độ nên chuyên đề có thể còn một số khiếm khuyết, rất mong sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để chuyên đề có giá trị cao hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.	Hạ Vũ Anh - Phương pháp Vectơ và phương pháp toạ độ trong hình học
2.	Nguyễn Minh Hà (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Bình - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 10. 
3.	Trần Văn Hạo (Chủ biên) - Đại số 10. 
 MỤC LỤC
Trang 
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1
I. Lý do chọn đề tài
1
II. Mục đích nghiên cứu
1
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
1
IV. Phương pháp nghiên cứu
1
V. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
1
PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy”
2
I. Cơ sở lý luận. 
2
II.Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài. 
4
III. Một số dạng bài toán cực trị hình học giải tích trong chương trình phổ thông
4
1. Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị
4
2. Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sử dụng phương pháp hình giải tích
11
PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG
 13
PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN
 15
PHẦN 5: KẾT LUẬN.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 15
XÁC NHẬN CỦA HỆU TRƯỞNG
Lê Quốc Tuấn
Thanh Hoá, ngày 25 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. 
 Lê Đức Huy