SKKN Tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12B2 trường THPT Triệu Sơn 4 thông qua việc giải quyết một số bài toán có nội dung liên quan đến thực tiễn khi dạy học bài tập chương III giải tích 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN.
Người thực hiện: Lê Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1. Mở đầu
1
1.1. Lí do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4
2.3.1. Các bài toán có nội dung thực tiễn liên quan đến ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
4
2.3.2. Một số bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể..
8
2.3 3. Một số bài toán liên quan đến vật lý
14
2.3.4. Một số bài toán liên quan đến sự tăng trưởng
16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
19
3. Kết luận, kiến nghị.
20
1. MỞ ĐẦU	
1.1. Lí do chọn đề tài.
Hứng thú là một thuộc tính tâm lí của con người. Hứng thú có vai trò rất quan trọng trong học tập và làm việc. M.Gorki từng nói “Thiên tài nảy nở từ tình yêu đối với công việc”. Hứng thú học tập chính là thái độ nhận thức đặc biệt của chủ thể đối với hoạt động học tập, vì sự cuốn hút về mặt tình cảm và ý nghĩa thiết thực của nó trong đời sống của cá nhân. Cùng với tự giác, hứng thú làm nên tính tích cực nhận thức, khơi dậy sự sáng tạo. Nhờ hứng thú, người học có thể giảm mệt mỏi, căng thẳng, tăng sự chú ý, thúc đẩy tính tích cực tìm tòi, sáng tạo trong quá trình học tập và dễ dàng thành công hơn trong học tập [5].
 Như vậy, hứng thú học tập có vai trò đặc biệt quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả của quá trình học tập, tạo được hứng thú cho người học trong quá trình dạy học sẽ góp phần không nhỏ đến việc nâng cao chất lượng giáo dục. Do đó vấn đề làm thế nào để tạo hứng thú học tập cho học sinh luôn được nhiều giáo viên quan tâm, trăn trở.
 	 Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống của mỗi cá nhân và trong các lĩnh vực của đời sống xã hội và là công cụ thiết yếu của nhiều khoa học khác. Sở dĩ Toán học có vai trò quan trọng như vậy là do nó có sự liên hệ mật thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn cuộc sống, lao động sản xuất của con người, là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên và xã hội.
Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế xã hội, của khoa học kỹ thuật và sản xuất người lao động phải có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của khoa học kĩ thuật nói chung và của toán học nói riêng trong những điều kiện cụ thể để mang lại hiệu quả lao động thiết thực. Chính vì lẽ đó trong quá trình dạy học cần bồi dưỡng cho học sinh tiềm năng trí tuệ, tư duy sáng tạo, hứng thú học tập và làm việc, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, năng lực giải quyết vấn đề, đáp ứng được với thực tế cuộc sống. Do vậy quá trình dạy học toán ở trường THPT phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống [6].
Nội dung chương III giải tích lớp 12 nguyên hàm tích phân có nhiều kiến thức liên quan đến các môn học khác và có nhiều bài toán liên quan đến thực tiễn. Trong chương này cũng có nhiều cơ hội để đưa nội dung thực tiễn vào dạy học”. Tuy nhiên số lượng các bài toán thực tiễn trong sách giá khoa chưa nhiều, các tài liệu tham khảo về vấn đề này vẫn chưa phong phú; trong quá trình dạy học chương này học sinh vẫn có thói quen ghi nhớ một cách máy móc các công thức các phương pháp biến đổi, tính tích phân và áp dụng trong những bài toán tìm tích phân , tính diện hình phẳng, thể tích vật thể tthông thường, khi gặp các bài toán có nội dung thực tiễn các em tỏ ra khá lúng túng và ngại tư duy nên thường “bỏ qua’’. Vì đều này mà các em không thấy được ý nghĩa thực tế của việc học Toán và chưa thực sự có hứng thú đối với môn toán. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Tạo hứng thú học tập cho học sinh lớp 12B2 trường THPT Triệu Sơn 4 thông qua việc giải quyết một số bài toán có nội dung liên quan đến thực tiễn khi dạy học bài tập chương III giải tích 12 ” nhằm tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập và rèn luyện ở các em kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào trong quá trình giải quyết các tình huống thực tiễn của cuộc sống.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Thông qua đề tài phát huy khả năng tìm lời giải cho các bài tập có nội dung thực tế liên quan đến các kiến thức ở chương III giải tích lớp 12 từ đó hình thành hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo và năng lực vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cho học sinh.
Giúp học sinh thấy được toán học có nhiều ứng dụng trong thực tế, qua đó kích thích niềm đam mê, hứng thú học toán ở các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 + Phương pháp giải một số bài tập tích phân có nội dung thực tế .
 + Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 + Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
 + Phương pháp nghiên cứu điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
 + Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Trong học tập môn Toán thì tư duy giải bài tập là hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ và năng lực thực tiễn. Mục tiêu cụ thể của giáo dục phổ thông hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời [7]. Vì vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng toán học vào cuộc sống cho học sinh nhất thiết phải chú ý lồng ghép các bài toán thực tế vào trong quá trình dạy hoc qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn và làm cho học sinh có hứng thú với môn toán, cảm thấy toán học không khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. 
 Các dạng bài tập trong chương III giải tích 12 rất phong phú, nhiều bài toán hay, xâu chuỗi được các mảng kiến thức khác nhau và có thể lồng các hoạt động thực tiễn như xây dựng, đo đạc...vào nội dung các bài toán. Do vậy khi dạy học phần này giáo viên cần lưu ý tạo điều kiện để học sinh có thể tiếp cận với một số bài toán có nội dung liên quan đến thực tiễn, từ đó tạo hứng thú học tập và phát huy tính tích cực, chủ động của các em đồng thời rèn luyện cho các em khả năng giải quyết các tình huống trong đời sống thực tế.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 	Trong chương III giải tích 12 nội dung sách giáo khoa cũng đã đề cập đến một số bài toán có nội dung thực tế liên quan đến ứng dụng hình học và vật lý của tích phân. Tuy nhiên trong quá trình dạy học ở trường THPT nhiều khi giáo viên mới chỉ chú trọng rèn luyện cho học sinh vận dụng tri thức toán học để giải quyết các vấn đề trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kỹ năng vận dụng tri thức trong toán học vào các môn học khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. Dẫn đến học sinh không có nhiều kỹ năng giải bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất và không thấy được các ứng dụng của những tri thức mình đã được học vào cuộc sống. Chính điều này đã làm cho học sinh ít thấy được ý nghĩa của việc học toán trong thực tiễn và chưa có thói quen áp dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống, các em không biết học toán để làm gì ngoài vấn đề “học để thi” dẫn đến nhiều học sinh chỉ học theo cách đối phó mà chưa thực sự có hứng thú, có niềm đam mê đối với môn toán nói chung và các môn học khác nói riêng.
 Năm học 2017- 2018 khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Sau khi dạy xong chương III giải tích 12 và tổ chức ôn tập, rèn kỹ năng giải bài tập trong các tiết dạy tự chọn và các buổi dạy thêm trong nhà trường. Tôi cho học sinh lớp 12A2 làm bài kiểm tra các nội dung kiến thức, kỹ năng cơ bản mà học sinh cần phải nắm được trong chương này. Kết quả như sau:
Lớp
Số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu, kém
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
12A2
42
2
4,7
15
35,7
20
47,6
5
12
Sau khi thấy kết quả học tập của học sinh chưa được như mong muốn tôi đã tiến hành tìm hiểu thái độ học tập của học sinh khi học chương III giải tích 12 và thu được số liệu sau.
Số lượng học sinh
Tỉ lệ %
Thái độ, hứng thú học tập
10
23,8
 Không có hứng thú vì nội dung môn học khó và không biết học để dùng vào việc gì trong thực tế cuộc sống?
15
35,7
Cảm thấy bình thường vì có thể mục tiêu của các em chỉ là thi đậu tốt nghiệp THPT Quốc gia mà để đậu được các em không nhất thiết phải tư duy giải quyết các bài tập vận dụng, vận dụng cao.
17
40,5
Cảm thấy cần phải học để tích lũy tri thức để có thể đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốc gia.
Từ kết quả đó, trong năm học 2018- 2019, khi dạy học bài tập chương III, giải tích 12 tôi đã tiến hành đổi mới bằng cách lồng ghép một số ứng dụng thực tiễn vào nội dung các bài tập trong quá trình dạy học tại lớp 12B2 (lớp 12A2 có chất lượng tương đương với lớp 12B2) nhằm tạo hứng thú cho các em trong quá trình học tập, nâng cao kết quả học tập của các em và rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn qua các tiết dạy học bài tập trong chương tình chính khóa, các tiết học tự chọn có sự hướng dẫn của giáo viên và tổ chức một buổi cho học sinh thực hành đo đạc dưới hình thức ngoại khóa. Khi dạy bài tập chương III nguyên hàm, tích phân, tôi thường chọn lọc một số bài tập có nội dung thực tế và liên quan đến các nội các môn học khác và liên quan đến thực tế đời sống để tạo hứng thú học tập cho học sinh, phát triển năng lực tư duy cũng như rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn. Cụ thể là tổ chức cho học sinh giải quyết một số dạng bài tập sau:
 2.3.1. Các bài toán có nội dung liên quan đến việc tính diện tích hình phẳng.
Phương pháp chung: Chọn hệ tọa độ Oxy phù hợp, từ điều kiện bài toán xác định diện tích hình cần tính chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong, đường thẳng nào đó, tìm phương trình các đường sau đó sử dụng các công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích các hình phẳng.
Bài tập 1: Vòm cửa lớn của trường Đại Học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8 m và rộng 8 m. 
n Phân tích bài toán
Hình phẳng cần tính diện tích được giới hạn bởi đường thẳng BC và một đường Parabol, cho nên ta không thể dùng các công thức tính diện tích của những hình đơn giản quen thuộc như: hình chữ nhật, hình tròn, tam giác,... Ta cần dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng này.
Như vậy, việc đầu tiên ta cần đưa đường cong Parabol của vào hệ trục Oxy mà mô hình nó thành đồ thị hàm số bậc hai 
Dựa vào độ cao 8m và chiều rộng 8m của cánh cửa ta xác định các hệ số a, b, c trong biểu thức hàm số.
Ứng dụng ý nghĩa hình học của tích phân ta có công thức tính diện tích của cánh cửa là
Hướng dẫn giải
Không mất tổng quát, ta xét dạng hình parabol vòm cửa lớn như hình vẽ sau
Đồng thời xét 
Ta có: 
Do đó: .
Bài tập 2: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ là như hình vẽ bên.
Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ tương ứng với chiều dài mét [4].
	Lời giải
Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh 
đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất 
thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ
.
 Từ giả thuyết bài toán, ta có .
Góc phần tư thứ nhất 
Nên 
Bài tập 3: Một biển quảng cáo có dạng 
hình elip với bốn đỉnh , , , như 
hình vẽ bên. Biết chi phí phần tô đậm là
200 000 đồng/ m2 và phần còn lại là
100 000 đồng/ m2. Hỏi số tiền để sơn theo
 cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
biết , và tứ giác 
là hình chữ nhật có ?
A. 7 322 000 đồng. B. 7 213 000 đồng. C. 5 526 000 đồng. D. 5 782 000 đồng
 Lời giải
 Vì elip có độ dài trục lớn , độ dài trục bé nên elip có diện tích là .
 Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trùng Ox, trùng Oy khi đó elip có phương trình chính tắc .
Vì nên nên điểm N có tọa độ là .
 thuộc elip nên . Ta có .Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
Do tính đối xứng của hình elip nên diện tích phần được tô đậm là . Đặt . 
Do đó 
Diện tích phần còn lại của elip là . số tiền cần làm biển quảng cáo là đồng. 
Bài tập 4:
 Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng (m). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là đồng/m2 và đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) [8].
Hướng dẫn: Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. 
Tính được bán kính của nửa hình tròn là 
Khi đó phương trình nửa đường tròn là .
Phương trình parabol có đỉnh là gốc sẽ có dạng . Mặt khác qua điểm do đó: .
Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và nửa đường tròn.( phần tô màu)
Ta có công thức ,
Vậy số tiền cần có là đồng.
Chú ý: Đối với các bài tập trắc nghiệm khách quan, sau khi học sinh chọn hệ tọa độ và thiết lập được công thức, học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính tích phân , so sánh kết quả để chọn đáp án đúng.
Bài tập tương tự
Bài tập 5: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cường 
lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần
 lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ) 
 Bài tập 6: Sân vận động quốc gia Mỹ Đình là sân vận động đa chức năng: sân bóng đá kích thước , kết hợp thi đấu điền kinh với 8 đường chạy vòng 400 mét và 10 đường chạy thẳng 110 m, 2 sân nhảy cao, 2 sân ném tạ, ném lao, ném tạ xích, 2 khu nhảy sào kép, 2 khu nhảy xa kép. Trong đó sân bóng đá nội tiếp hình elip có tâm trùng với tâm của sân bóng đá. M là một điểm bất kỳ thuộc elip. Biết khoảng cách lớn nhất từ M đến chiều dài, chiều rộng của sân lần lượt là . Gọi S diện tích phần bên ngoài sân bóng đá và bên trong hình elip (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Giá trị gần đúng của S gần số nào nhất trong các số sau?
A. 3195 m2.	B. 750 m2.	C. 950 m2.=2222	D. 3945 m2.
 Bài tập 7: Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” được tổ chức tại trường THPT Triệu Sơn 4, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật , phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 100.000 đồng cho một mét vuông bảng
Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn 
trên pano sẽ là bao nhiêu?
 nhiêu 
Bài tập 8: Anh Lâm muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường cong phía trên là một parabol. Giá 1 mét vuông cửa rào sắt là 700.000 đồng. Vậy anh Lâm phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa rào sắt như vậy. (làm tròn đến hàng nghìn)
A. 6.423.000.	B. 6.320.000.	
C. 6.523.000.	D. 6.417.000.
2.3.2. Một số bài toán thực tế về tính thể tích vật thể . 
Phương pháp chung: Chọn hệ tọa độ phù hợp, từ điều kiện bài toán xác định thể tích khối cần tính là thể tích khối tròn xoay sinh ra hình phẳng giới hạn bởi các đường nào đó quay quanh một trục nào đó, tìm phương trình các đường sau đó sử dụng các công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích.
Bài tập 1: Một thùng nước có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng nước là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng nước (đơn vị lít) là bao nhiêu [9]
n Phân tích bài toán
Thùng nước có dạng là một khối tròn xoay có đường sinh là một đường cong có dạng Parabol . Vì vậy để tính thể tích thùng nước ta cần áp dụng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay. Chú ý rằng khi mô hình đường cong Parabol ta để chiều cao của thùng trải theo chiều của trục hoành.
 Bước đầu ta cần xây dựng hàm số với điều kiện đi qua các đỉnh N(-50; 30), A(0;40), M(50;30) như hình vẽ.
Dựa vào chiều cao 1m của thùng nước ta tìm được các cận của tích phân. Khi đó lập được công thức tính được thể tích thùng nước.
Hướng dẫn giải
Gọi là parabol đi qua điểm và có đỉnh (hình vẽ). Khi đó, thể tích thùng nước bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục.
 Dễ dàng tìm được 
Thể tích thùng nước là:
Bài tập 2: Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng , trục bé bằng , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng , được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là . Biết thể tích của dầu có trong thùng là . Tính 
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Theo đề bài ta có phương trình của Elip là .
Gọi , lần lượt là giao điểm của dầu với elip.
Gọi là diện tích của Elip ta có .
Gọi là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng . 
Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là nên ta có phương trình của đường thẳng là .
Mặt khác từ phương trình ta có . Do đường thẳng cắt Elip tại hai điểm , có hoành độ lần lượt là 
và nên
Tính . Đặt .
.
Vậy .
Thể tích của dầu trong thùng là .
Suy ra . Vậy .
Bài tập 3: Vật thể hình đĩa bay (UFO) có thiết diện qua tâm đối xứng và hình chiếu mặt trên theo phương thẳng đứng như hình vẽ. Hãy tính thể tích của vật thể này biết .
A. .	B. .	C. .	D. .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
 Khi đó phương trình đường tròn 
phương trình đường Elip 
Từ Từ (C) cắt (E) tại bốn điểm phân biệt, tọa độ giao điểm tại góc phần tư thứ nhất là 
Thể tích của khối cầu 
Thể tích khối Ôvan 
Thể tích phần chung của hai khối 
Vậy thể tích của vật thể là 
Bài tập 4: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol) [4].
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục như hình vẽ.
Ta có 
Gọi là Parabol đi qua hai điểm 
Nên ta có hệ phương trình sau: 
Gọi là Parabol đi qua hai điểm 
Nên ta có hệ phương trình sau: 
Ta có thể tích của bê tông là: 
Bài tập5: Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình đó theo R và r. 
A. 
B. 
C.
D. 
Hướng dẫn giải 
Xét hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn tâm (O;R) và bán kính r xung quanh trục Ox.
Phương trình đường tròn 
Đặt x=rsint
 Đáp án A
Bài tập 6: Một khối cầu có bán kính là , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Trên hệ trục tọa độ , xét đường tròn . Ta thấy nếu cho nửa trên trụ