SKKN Sử dụng tọa độ để giải một số bài tập về hình không gian

MỤC LỤC
A.MỞ ĐẦU..................................................................................................... 2
 1. Lí do chọn đề tài .................................................................................... 2
 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2
 3. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................... 3
 4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 3
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .............................................. 3
 I. Cơ sở lí luận ........................................................................................... 3
 II. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN ................................. 4
 III. Nội dung, biện pháp thực hiện ........................................................... 4
 1. Kiến thức cần nắm .............................................................................. 5
 2. Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong giải các bài toán hình không gian. ........................................................................... 10
 IV. Hiệu quả bước đầu của SKKN........................................................... 19
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ..................................................................... 21
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài: 
Hình học không gian là một môn học tương đối khó có tính hệ thống tương đối chặt chẽ, logic và trừu tượng. Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán cho phù hợp với trình độ học sinh ở trường THPT. 
Trong các đề thi THPT quốc gia gần đây các bài toán hình học không gian như tính khoảng cách, tính thể tích, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, bài toán về xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng trong không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải được bằng cả phương pháp hình học thuần túy và cả phương pháp tọa độ. Việc giải các bài toán Hình học bằng phương pháp thông thường sẽ khá phức tạp và khó khăn cho các em học sinh lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã quên kiến thức, kỹ năng chứng minh, dựng hìnhtrong không gian .
 Với những bài toán đó thì phương pháp tọa độ cho ta lời giải nhanh chóng, dễ dàng hơn, tuy nhiên học sinh cũng gặp không ít khó khăn. Bởi vì, phương pháp này không được đề cập nhiều trong sách giáo khoa, học sinh phổ thông ít được tiếp cận.
Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải toán Hình học không gian chuẩn bị cho kỳ thi THPT quốc gia. Tôi đưa ra một sáng kiến nhỏ: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ’’ giúp học sinh với kiến thức của mình có thể hiểu rõ được phương pháp, giải quyết được một số bài toán đơn giản về dạng này.
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm:
	Giúp học sinh giải quyết được một số bài toán đơn giản về dạng bài tập “Sử dụng tọa độ để giải một số bài tập về hình không gian”.
`	Giúp học sinh vận dụng được lí thuyết vào giải toán, thực hiện tốt nguyên lí giáo dục “học đi đôi với hành”.
	Đây là kiến thức không mới nhưng nếu người giáo viên không có sự đầu tư đúng mức thì hiệu quả thu được sẽ không cao.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp sưu tầm, tham khảo tài liệu có thể phục vụ cho việc tiến hành nghiên cứu giải pháp.
- Phương pháp trao đổi, lấy ý kiến đối với đồng nghiệp về nội dung giải pháp rồi rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
- Phương pháp tổng hợp, phân tích và tổng quát hóa để xây dựng giải pháp.
4. Đối tượng và phạm vi áp dụng.
- Giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán.
- Học sinh lớp 12, trường THPT Tống Duy Tân – Vĩnh Lộc – Thanh Hóa.
B. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
 I. Cơ sở lí luận:
 Vào năm 1637, nhà toán học RénéDescartes đã cho xuất bản cuốn “La Géométrie” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp tọa độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp tọa độ. Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hóa và trừu tượng hóa toán học trong nhiều lĩnh vực.
 Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải quyết một bài toán gồm:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2: Xây dựng thuật giải
Bước 3: Thực hiện thuật giải
Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
 Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học là giáo viên hướng dẫn cho học sinh biết sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dung linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về tọa độ điểm, tọa độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp, chú ý đến việc chọn vị trí của gốc , chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích.
Bước 2: Giải bài toán hình học giải tích nói trên.
Bước 3: Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng.
 Tuy nhiên trong thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không đơn giản với học sinh, vì đây là một quá trình nghiên cứu trừu tượng hóa và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quên với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. Cách giải bài toán như vậy gọi là phương pháp tọa độ hóa.
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
 Vì chất lượng đầu vào thấp nên năng lực của các em còn hạn chế. Với tâm lý sợ môn toán nhất là môn hình học nên nhiều em bỏ không học hoặc cố học mà không vào (hổng kiến thức hình học các lớp dưới) hoặc chậm tiếp thu kiến thức mới. Khi dạy hình học không gian chỉ một bộ phận ít học sinh có thể tiếp thu nội dung: vẽ hình, chứng minh các bài toán đơn giản. Đối với học sinh khối 12 việc làm các bài tập hình học không gian lớp 11 lại càng khó khăn, mà các bài toán liên quan đến hình học không gian như: tính khoảng cách, xác định góc, tính thể tích khối đa diệnlại gặp nhất nhiều trong các đề thi THPT quốc gia. Để giúp học sinh giải quyết được các bài tập dạng này giáo viên đã thay đổi phương pháp giảng dạy đó là hướng dẫn các em chuyển các bài toán hình học không gian thuần túy sang cách giải bằng phương pháp tọa độ. Sau khi thay đổi phương pháp giảng dạy nhận thấy đầu tiên là các em hứng thú hơn trong việc giải các bài toán liên quan đến hình không gian trong các đề. Hi vọng với sự học hỏi, đổi mới phương pháp giảng dạy giúp cả cô và trò trong việc học và dạy được tốt hơn trong các năm học tới.
 III. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
Kiến thức cần nắm:
 1.1. Phương pháp:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ trong không gian: Vì vuông góc với nhau từng đôi một nên nếu hình vẽ bài toán cho có chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các cạnh đó làm trục tọa độ.
Bước 2: Suy ra tọa độ các đỉnh, điểm trên hệ trục vừa ghép.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
 1.2.Các bài toán về ghép trục tọa độ thường gặp:
Hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật 
Chọn hệ trục như hình vẽ.
* Với hình lập phương:
;;
; ;
;;
* Với hình hộp chữ nhật:; ;;;
z
 Hình hộp có đáy là hình thoi.
+ Gốc tọa độ trùng với giao điểm của hai đường chéo của hình thoi 
+ Trục đi qua hai tâm của hai đáy.
z
Hình chóp 
+) Đáy là hình chữ nhật, hình vuông.
+) 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
z
z
Hình chóp 
+) Đáy là hình chữ nhật, hình vuông.
+) Các cạnh bên bằng nhau( vuông góc với đáy)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Hình chóp 
+) Đáy là hình thoi.
+) vuông góc với đáy
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
z
Hình chóp 
+) Đáy là hình bình hành.
+) vuông góc với đáy
Chọn hệ tọa độ sao cho
z
O
Hình chóp 
+) Đáy là hình bình hành.
+) vuông góc với đáy
z
Hình chóp có:
+)Đáy là tam giác vuông hoặc tam giác đều
+) vuông góc với đáy
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
Hình chóp có:
+)Đáy là tam giác đều cạnh a
+) Các cạnh bên bằng nhau
z
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
z
Hình chóp có:
+)Đáy là tam giác vuông tại 
+) vuông góc với đáy.
Chọn hệ trục tọa sao cho 
Trên đây là một số dạng cơ bản của một số loại hình khối mà chúng ta có thể ghép tọa độ vào để giải. Các em lưu ý rằng chúng ta có thể tọa độ hóa một khối đa diện bất kỳ. Chỉ cần chúng ta xác định được đường cao của khối đa diện đó và thông thường ta đều đặt gốc tọa độ là chân đường cao của khối đa diện; trục cao là đường cao, sau đó dựng hai tia còn lại. Trong thực hành giải toán chúng ta căn cứ tùy bài toán để đặt hệ trục sao cho việc tìm tọa độ các đỉnh của khối đa diện và các điểm liên quan một cách dễ dàng.
 1.3. Các dạng toán thường gặp
 1.3.1. Độ dài đoạn thẳng: 
 Khoảng cách giữa hai điểm và là:
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua , có một vectơ chỉ phương và một điểm . Khi đó khoảng cách từ đến đường thẳng là:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho đường thẳng đi qua , có một vectơ chỉ phương 
Đường thẳng đi qua , có một vectơ chỉ phương 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và là:
Góc giữa hai đường thẳng:
 Cho đường thẳng có một vectơ chỉ phương 
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương 
 Gọi là góc giữa và . Khi đó :
Góc giữa hai mặt phẳng:
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và .Ta có:
 1.3.7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
 Cho đường thẳng có một vectơ chỉ phương 
 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là 
 Gọi là góc giữa và mặt phẳng (P). Khi đó:
Diện tính thiết diện :
 Diện tích tam giác 
 Diện tích hình bình hành 
Thể tích khối đa diện:
 Thể tích khối hộp 
 Thể tích tứ diện: 
Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.
 2. Xây dựng hệ thống bài tập sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình không gian:
Các bài toán về hình lăng trụ:
 Bài toán 1: (Câu 30 Đề 001- Đề minh họa của Bộ giáo dục năm 2019)
 Cho hình lập phương . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng:
 A. B. C. D.
Lời giải: 
Gọi cạnh của lập phương là a
Chọn hệ trục tọa độ sao cho như hình vẽ.
 Khi đó :; ;; 
; ;; .
Ta có: 
 có vectơ pháp tuyến 
Tương tự, ta có: và 
 có vectơ pháp tuyến 
Vì nên 
Suy ra, góc giữa hai mặt phẳng và bằng 
Đáp án: D
Bài toán 2: ( Câu 46 Đề 101- Đề thi THPT quốc gia 2018)
 Cho hình lập phương có tâm . Gọi là tâm hình vuông và điểmlà điểm thuộc sao cho(hình vẽ).
Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng:
 A. B. C. D. 
.
 Lời giải:
 Gọi cạnh của lập phương là a
Chọn hệ trục tọa độ sao cho như	
hình vẽ. Khi đó :; ;
; ; ;; 
.
 Vì là tâm hình lập phương nên 
 Vì là tâm hình vuông nên 
Vì nên 
 Ta có và 
 có vectơ pháp tuyến 
 Tương tự : 
 có vectơ pháp tuyến 
 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và, ta có:
Đáp án D
Bài toán 3:(Trích đề thi Đại học sư phạm I – Khối B năm 2001)
 Cho hình hộp chữ nhật có ,
.Trên cạnh lấy điểm , gọi là trung điểm . Đặt .Tính thể tích khối tứ diện theo và , trong đó là tâm hình hộp. Tìm vị trí của điểm để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất. 
z
Lời giải:
 Chọn hệ trục tọa độ sao cho 
và . Khi đó 
Ta có: 
Suy ra: 
Vậy (đvtt)
Khi đó, , đạt được khi 	 	
Các bài toán về hình chóp tam giác:
Bài toán 1: ( Đề 132 thi thử lần 5 THPT Chuyên Thái Bình năm 2019)
 Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , tam giác là tam giác đều cạnh và tam giác là tam giác cân. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ?
 A. B. C. D. 
 Bài giải:
z
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
, như hình vẽ. Khi đó:
Vì cân đỉnh nên 
Ta có: và 
 có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
Vậy 
 Đáp án: D 
Bài toán 2: ( Câu 30 - Đề 001 Sở giáo dục và Đào tạo Quãng Bình năm 2019)
 Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy và , gọi là trung điểm của . Tính của góc là góc giữa đương thẳng và ?
 A. B. C. D. 
 Bài giải:
 Chọn hệ trục tọa độ sao cho
, như hình vẽ. Khi đó:
z
; 
Ta có: 
 có vectơ pháp tuyến 
Từ đó ta có: 
Đáp án: C
 Bài toán 3: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011)
 Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác vuông cân tại , . Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của ; mặt phẳng qua và song song với cắt tại . Biết góc giữa hai mặt phẳng vàbằng. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
Lời giải:
 Đặt . Chọn hệ trục tọa độ sao cho
 như hình vẽ. Khi đó:
z
Vectơ pháp tuyến của là:
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Vì góc giữa hai và bằng nên ta tìm được 
Suy ra và 
Các bài toán về hình chóp tứ giác: 
 Bài toán 1: ( Câu 43 Đề 101 thi THPT Quốc gia năm 2017)
 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng đáy và tạo mặt phẳng một góc bằng . Tính thể tích V của khối chóp đã cho:
 A. B. C. D. 
 Lời giải:
z
 Chọn hệ trục tọa độ sao cho (như hình vẽ)
Khi đó: 
Giả sử: với . Ta có:
Mặt phẳng đáy là mặt phẳng nên có phương
trình: 
mpcó vectơ pháp tuyến : 
Gọi là góc giữa và mặt phẳng 
Theo đề ta có 
 và 
Vậy 
Đáp án: B
Bài toán 2: ( Câu 29 Đề 101 thi THPT Quốc gia năm 2018)
 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách giữa đường thẳng và bằng:
 A. B. C. D.
 Lời giải:
 Chọn hệ trục tọa độ sao cho (như hình vẽ)
z
Khi đó: 
Ta có: 
Và ;
Vậy, khoảng cách giữa đường thẳng và bằng:
 (đvđd)
Đáp án: B
 Bài toán 3: ( Câu 34- Đề 001 đề thi minh họa của Bộ giáo dục năm 2019)
 Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , , và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng:
 A. B. C. D.
Lời giải:
 Gọi là giao điểm của và 
z
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 
 Ta có: 
Và: 
 Khi đó: ;
 Suy ra: và 
 Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
 Vậy, 
Đáp án: A
 Nhận xét: Đối với bài toán về xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hay bài toán về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhaukhi giải bằng phương pháp cổ điển thì rõ ràng khâu khó khăn nhất là dựng hình( trực tiếp hoặc gián tiếp) vốn đòi hỏi học sinh phải nắm vững về phương pháp cũng như phải có sự suy nghĩ khá sâu sắc; trong khi đó, nếu ta có thể tọa độ hóa để giải thì phương pháp tiếp cận rất rõ ràng vì tất cả các yêu cầu trên đều đã có công thức, do đó còn lại là yêu cầu học sinh thực hiện cẩn thận một số bước tính toán cơ bản để áp dụng được công thức đã cho.
Bài tập rèn luyện:
 Bài 1: ( Câu 17 đề thi thử Chuyên Vinh lần 2 – Năm 2019)
 Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , . Tính góc giữa và ?
 A. B. C. D.
 Bài 2:( Câu 43 Đề 001 đề thi thử THPT Lý Thường Kiệt Hà Nội năm 2019)
 Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại . Tính khoảng cách từ đến 
 A. B. C. D. 
 Bài 3: (Câu 11 Đề 061 thi thử THPT Hàm Rồng Thanh Hóa lần 3 năm 2019)
 Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông tâm cạnh , cạnh bên .. khoảng cách giữa và là:
 A. B. C. D. 
 Bài 4: : ( Câu 34 đề thi thử Chuyên Vinh lần 2 – Năm 2019)
 Cho hình chóp đều có đáy là hình thang vuông tại và với , vuông góc với đáy và . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và ?
 A. B. C. D. 
 IV. Hiệu quả bước đầu của sáng kiến kinh nghiệm:
 3. 1. Thời gian áp dụng:	
Với đề tài nghiên cứu này, tôi đã áp dụng đối với học sinh lớp 12 năm học 2017-2018 và hiện tại tôi đang tiếp tục áp dụng đối với các lớp 12B , 12E năm học 2018-2019. Sau khi học nội dung này và sau các bài kiểm tra, tác giả nhận thấy hầu hết học sinh đều đạt mục tiêu bài học đề ra.
 3.2. Hiệu quả đạt được.
a. Học sinh bước đầu đã có được phương pháp tiếp cận lời giải các bài toán một cách khoa học, biết quy lạ về quen, đặc biệt một số em có tư chất tốt đã biết phát hiện và đề xuất những ý tưởng mới.
 b. Tạo sự hứng thú đối với học sinh khi tiếp cận với các bài toán hình học không gian có trong các đề thi thử THPT trên toàn quốc.
 c. SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống Duy Tân sử dụng trong dạy học các lớp khối 12, tác giả đã nhận được phản hồi tốt từ các thầy cô. SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích. 
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận.
 Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian là một phương pháp có nhiều tính ưu việt, phù hợp với đối tượng học sinh chuẩn bị thi THPT Quốc gia, đặc biệt là các kỳ thi gần đây khi Bộ giáo dục có chủ trương thực hiện kỳ thi “ Ba chung”. Nên bản thân tôi cũng rất tâm huyết khi thực hiện đề tài này.
2. Đề xuất, khuyến nghị.
 Với thời gian ngắn, trình độ bản thân có hạn, chắc chắn đề tài của tôi còn có nhiều hạn chế. Với tâm huyết và tấm lòng của mình, tôi muốn đóng góp cho công việc dạy học một số giải pháp để nâng cao hiệu quả giảng dạy. 
 Vì tác dụng tích cực trong việc ôn thi cho các em học sinh lớp 12 nên kính mong hội đồng khoa học và quý thầy (cô) góp ý bổ sung để giải pháp tôi đưa ra ngày một hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng hơn trong quá trình dạy học ở trường THPT. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
LÊ THỊ TÍNH
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tạp chí Toán học tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
2. Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007.
3. Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên), Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007 .
4. Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục, 2008.
5. Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên), Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục, 2009 .
6. Lê Hồng Đức( Chủ biên), Các phương pháp giải Hình học không gian bằng phép tọa độ hóa, Nhà xuát bản Hà Nội, 2005.
7. Đề thi thử Kì thi THPT Quốc gia năm 2017- 2018 và 2018 - 2019 của các trường trên toàn quốc. (tham khảo qua trang www.thusuc.page.tl).