SKKN Sử dụng tính chất đường phân giác trong bài toán hình học tọa độ phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA II
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG.
 Người thực hiện : Nguyễn Thị Thu Hà
 Chức vụ : Giáo viên
 Đơn vị công tác : Trường THPT Tĩnh Gia 2
 SKKN thuộc môn : Toán
THANH HÓA NĂM 2018
 MỤC LỤC
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
I. MỞ ĐẦU
2
 1. Lí do chọn đề tài
2
 2. Mục đích nghiên cứu
2
 3. Đối tượng nghiên cứu
2
 4. Phương pháp nghiên cứu
2
II. NỘI DUNG
3
 1. Cơ sở lí luận
3
 2. Thực trạng vấn đề
3
 3. Giải pháp thực hiện
3-15
 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
15
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
16
IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO
17
`I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
 Trong chương trình toán lớp 10 học sinh được học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bước đầu biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải một số bài tập trong sách giáo khoa như lập phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, đường elipvà các bài toán về góc, khoảng cách. Bài toán tọa độ trong mặt phẳng luôn xuất hiện trong đề thi đại học các năm trước và đề thi THPT quốc gia hai năm gần đây. Tuy nhiên bài toán này trong đề thi THPT quốc gia ngày càng nâng dần mức độ khó, đòi hỏi học sinh phải định hướng tốt, tư duy tìm được điểm “mấu chốt” của bài toán. 
 Chủ đề về tam giác là chủ đề rộng được khai thác rất nhiều trong các đề thi. Để giải quyết tốt được bài toán về tam giác nói riêng và bài toán tọa độ phẳng nói chung đòi hỏi học sinh phải nắm vững tính chất hình học và khai thác tốt tính chất hình học đó. Trong nhiều bài toán các em còn phải mày mò tìm ra được tính chất hình học ẩn trong bài toán- đó là điểm “mấu chốt” để giải quyết bài toán. Trong quá trình học tập và ôn thi THPT quốc gia rất nhiều học sinh lúng túng không giải được bài toán này. Đặc biệt việc sử dụng tính chất đường phân giác sẽ giải quyết được các bài toán liên quan rất dễ dàng và nhanh gọn. Trong quá trình dạy học và ôn luyện cho lớp 10A2 năm học vừa rồi tôi nhận thấy việc vận dụng tính chất của đường phân giác sẽ giúp học sinh giải nhanh và chính xác được các bài toán về tọa độ của điểm ,phương trình đường thẳng trên hệ trục tọa độ Oxy mà giả thiết bài toán có liên quan đến phương trình đường phân giác . Vì vậy tôi chọn đề tài : “Sử dụng tính chất đường phân giác trong bài toán hình học tọa độ phẳng ”để giúp học sinh có tài liệu học tập ,luyện tập cho kiểu bài toán này,giáo viên có tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy. 
2. Mục đích nghiên cứu:
 Trên cơ sở nghiên cứu đề tài: “Sử dụng tính chất đường phân giác trong bài toán hình học tọa độ phẳng ” cùng quá trình ôn luyện cho học sinh, tôi mong muốn giúp học sinh định hướng và khai thác tốt tính chất hình học cũng như tìm được tính chất hình học ẩn trong bài toán để giải quyết được bài toán về tam giác, từ đó các em có thể giải quyết được các bài toán tọa độ phẳng nói chung, giúp các em có thể đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia và nâng cao hơn nữa chất lượng dạy học Toán.
3. Đối tượng nghiên cứu:
 Cách định hướng khai thác tính chất hình học của tam giác để giải bài toán về tam giác trong hình học tọa độ phẳng Oxy.
4. Phương pháp nghiên cứu: 
 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí‎ thuyết.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận:
 Hình học phẳng được xây dựng từ các đối tượng như điểm, đường thẳng, tam giác, tứ giác, đường tròn,elip,parabol,hypebol Từ lớp 7 các em đã được học về các tam giác đặc biệt, các đường trong tam giác và tính chất của chúng. Bài toán tọa độ trong mặt phẳng liên quan mật thiết tới kiến thức hình học phẳng mà các em đã biết ở lớp dưới. Khi giải một bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng ta cần phải đọc kỹ đầu bài, vẽ hình chính xác, phân tích giả thiết của bài toán, định hướng bài toán cho biết gì, cần phải làm gì. Đặc biệt là khai thác tính chất hình học của bài toán.Việc sử dụng tính chất đặc trưng hợp lý sẽ tạo ra lời giải “đẹp” cho bài toán.
2. Thực trạng vấn đề:
 Đứng trước những bài toán hình học tọa độ phẳng như vậy học sinh thường lúng túng không xác định được đường lối, phương pháp giải, nhiều học sinh không tránh khỏi tâm trạng hoang mang, mất phương hướng. Các em cho rằng nhiều dạng toán như thế thì làm sao nhớ hết các dạng toán và cách giải các dạng toán đó, nếu bài toán không thuộc dạng đã gặp thì không giải được. Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có thể sự thử nghiệm đó sẽ có kết quả nhưng hiệu suất giải toán sẽ không cao. Với thực trạng đó để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học tọa độ trong mặt phẳng nói chung và bài toán về tam giác nói riêng người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải: ta cần phải làm gì, giả thiết bài toán cho ta biết điều gì, đặc biệt khai thác tính chất đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải.Đặc biệt trong các bài toán liên quan đến đường phân giác ,việc sử dụng tính chất mà tôi đề cập dưới đây sẽ tạo cho học sinh có đường lối rõ ràng khi giải quyết bài toán.
3.Giải pháp thực hiện:
 Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, đường tròn, kiến thức về tọa độ của vectơ và của điểm. Với mỗi bài toán cụ thể yêu cầu học sinh vẽ hình chính xác, bởi nhiều bài toán từ trực quan hình vẽ ta có thể chỉ ra tính chất của hình và định hướng tìm cách giải. Với mỗi dạng toán đó tôi đưa ra một số tính chất đặc trưng mà các bài toán hay sử dụng, các ví dụ cụ thể, phân tích định hướng cách giải, trình bày lời giải, đặc biệt là bước phân tích định hướng tìm lời giải, thông qua đó giúp học sinh tư duy và vận dụng để giải bài toán khác một cách tốt nhất.
* Kiến thức liên quan tới đường phân giác trong:
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi AD là đường phân giác trong góc A (DBC); M là trung điểm BC; phân giác AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E.
Tính chất 1: Ta có tỉ lệ: . 	
Tính chất 2: Nếu điểm N thuộc đường thẳng AB thì 
điểm N’ đối xứng với N qua AD sẽ thuộc đường AC.
Tính chất 3: E là điểm chính giữa cung BC và OE vuông góc với BC tại trung điểm M của BC.
Đặc biệt với tính chất 2 sẽ được sử dụng vào tất cả các bài toán tọa độ để có
hiệu quả lới giải cao nhất.
* Bài tập minh họa:
Bài tập 1: 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC có đỉnh ,đường trung tuyến và đường phân giác trong có phương trình lần lượt là: .Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh .
 ( Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư phạm Hà Nội -2005)
 Định hướng:
 Từ giả thiết ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm 
 Gọi là điểm đối xứng với qua .Tìm được tọa độ điểm . 
 Theo tính chất của đường phân giác thì nằm trên đường thẳng .
 Từ đó viết được đường thẳng .
 Lời giải:
 Gọi . Do là trung điểm của nên 
Mặt khác nằm trên nên ta có phương trình: . 
Vậy . 
Gọi là điểm đối xứng của qua đường thẳng .Ta dễ dàng tìm được . 
Theo tính chất của đường phân giác thì nằm trên đường thẳng .Nên đường thẳng đi qua 2 điểm và và có phương trình là: 
Vậy phương trình đường thẳng là : .
Bài tập 2: 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình : x-y+2=0 và đường cao kẻ từ B có phương trình: 4x+3y-1=0.
 ( Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Cộng đồng Vĩnh Long -2004)
Định hướng:
 Ta biết phương trình đường phân giác trong góc A và
 tọa độ điểm H thuộc cạnh AB nên có thể tìm được tọa
 độ điểm H’ đối xứng với H qua phân giác AD và H’ 
thuộc AC. Khi đó ta lập được phương trình cạnh AC 
đi qua H’ và vuông góc với BK nên tìm được tọa độ 
điểm A. Từ đó tìm được tọa độ điểm C.
Lời giải:
Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua phân giác AD.
PT đường thẳng HH’ đi qua H và vuông góc với AD là: x+y+2=0.
Tọa độ trung điểm I của HH’ là nghiệm của hệ:
Đường thẳng AC đi qua H’ và vuông góc với BK nên có PT: 3x-4y+13=0.
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: .
Điểm C thuộc AC nên gọi . 
Ta có : => .
Vậy .
Bài tập 3:
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc của C lên AB là H(-1;-1),phương trình đường phân giác trong của góc A là ,phương trình đường cao kẻ từ B là .
 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B -2008)
 Định hướng:
 Gọi K là điểm đối xứng với H qua đường phân giác AD.Khi đó K nằm trên đường thẳng AC.Từ đó viết được phương trình đường thẳng AC.Tìm được tọa độ điểm A.
Do CH là đường cao nên viết được phương trình đường thẳng CH.
Do C là giao điểm của CH và AC nên tìm được tọa độ điểm C.
 Lời giải:
Gọi K là điểm đối xứng của H qua đường thẳng AD.
Phương trình đường thẳng HK là 
Gọi .Tọa độ I là nghiệm của hệ : 
Do I là trung điểm của HK nên 
Theo tính chất của đường phân giác thì K thuộc đường thẳng AC.
Phương trình đường thẳng AC là: .
Do nên tọa độ A là nghiệm của hệ : 
Do CH vuông góc với AH nên phương trình đường thẳng CH là : .
Do nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ : 
 Vậy 
Bài tập 3: 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), đường phân giác trong góc A có PT: x-y-1=0, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(. Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC bằng hai lần diện tích tam giác IBC.
 ( Tài liệu tham khảo trên mạng Internet)
Định hướng:
 Trong bài toán này vẫn cho phương trình đường phân giác trong góc A nhưng không biết điểm nằm trên hai cạnh AB hoặc AC (khác điểm A) .Vậy việc sử dụng tính chất đối xứng của đường phân giác trong bài toán này như thế nào ? Hay phải sử dụng tính chất ẩn gì ở đây nữa? Vấn đề bài toán là ở chỗ này.
 Kéo dài phân giác trong góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D ta có D là điểm chính giữa cung BC IDBC. Phương trình đường tròn ngoại tiếp ta lập được, suy ra tọa độ điểm D .Do BCID nên viết được dạng của phương trình đường thẳng BC. Sử dụng tiếp giả thiết thứ hai để tìm phương trình cạnh BC.
Lời giải:
Gọi D là giao điểm của đường phân giác trong góc A với
 đường tròn (C) ngoại tiếp . 
 Ta có .
Đường tròn (C) có tâm I và bán kính IA 
 nên có phương trình:
 .
Tọa độ giao điểm D là nghiệm của hệ:
 .
Ta có => D là điểm chính giữa cung BC => IDBC
Ta có .
 Do BCID nên phương trình đường thẳng BC có dạng : 3x+4y+m=0.
Mặt khác : 
 .
Vậy phương trình đường thẳng BC là 3x+4y=0 hoặc 3x+4y-16=0.
Bài tập 4: 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A và phân giác ngoài góc B lần lượt là (d1): x=2 và (d2): x+y+7=0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC biết I(-1/2;1); J(2;1) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
 (Tài liệu tham khảo trên mạng Internet) 
Định hướng:
 Giả thiết bài toán cho biết PT đường phân giác ngoài góc B, vậy sử dụng giả thiết này như thế nào?
 Vì J tâm đường tròn nội tiếp , ta có thể lập được phương trình đường phân 
giác trong góc B (đi qua J và vuông góc với phân giác ngoài).
 Từ đó tìm được tọa độ điểm B 
Suy ra phương trình đường tròn (C )ngoại tiếp 
 ( Tâm I và bán kính IB) 
Rồi suy ra tọa độ điểm A.
Để tìm tọa độ điểm C ta sử dụng tính chất của 
đường phân giác trong góc A tìm điểm A’ là giao 
điểm của phân giác trong góc A với đường tròn (C).
 Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với IA’.
 Do C là giao của BC với đường tròn (C ) nên tìm được tọa độ điểm C.
Lời giải:
Đường phân giác ngoài góc B đi qua J và vuông góc với (d2): x+y+7=0 nên có phương trình: 
 .
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 
Đường tròn ngoại tiếp có tâm và có bán kính 
Phương trình đường tròn (C) : 
Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ: 
*) Với A(2;6)
 Gọi A’ là giao điểm của đường phân giác trong góc A với đường tròn(C). 
Ta có A’(2;-4) . Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với IA’ nên có phương trình x-2y-5=0
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: .
*) Với A(2;-4) A’(2;6) phương trình BC: x+2y+11=0 
 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: .
 (loại vì ).
Vậy A(2;6); B(-3;-4); C(5;0). 
 Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC vuông tại A,có đỉnh C(-4;1),đường phân giác trong của góc A có phương trình : 
 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
 ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2010)
Định hướng:
Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường phân giác ,khi đó D thuộc đường thẳng AB.Nghĩa là tam giác ACD vuông tại A nên A nằm trên đường tròn đường kính CD.Từ đó tìm được tọa độ điểm A.Khi đó viết được phương trình AB.Sử dụng giả thiết còn lại tìm được tọa độ điểm B và viết được phương trình đường thẳng BC.
 Lời giải:
Gọi D là điểm đối xứng của C qua đường phân giác của góc A.
Phương trình đường thẳng CD là : 
Gọi I là trung điểm của CD ,tọa độ của I là nghiệm của hệ :
Theo tính chất của đường phân giác nên D thuộc AB.Do đó tam giác ACD vuông tại A nên A nằm trên đường tròn đường kính CD có phương trình là : 
 Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 
Do A có hoành độ dương nên A(4;1) AC=8.
Do 
Phương trình đường thẳng AD là : x=4.
Gọi B(4;t).Do AB=6 nên 
Do AD là đường phân giác trong nên cùng hướng nên B(4;7)
Vậy phương trình đường thẳng BC là: 
Nhận xét:
Với năm bài tập trên ta đều sử dụng tính chất hình học có sẵn trong bài toán là tính chất đối xứng của đường phân giác trong của tam giác.
Bài tập 6:
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm H(5;5) là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC thuộc đường thẳng d: x-7y+20=0. Đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác ABC đi qua K(-10;5). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết điểm B có tung độ dương.
 ( Tài liệu tham khảo trên mạng Internet)
Định hướng: 
 Bài toán cho biết đường phân giác trong góc A của nhưng không biết điểm thuộc cạnh AB, AC mà biết điểm H là chân đường vuông góc kẻ từ A lên BC và đường trung tuyến AM đi qua điểm K. Vậy ba giả thiết này có mối liên hệ gì với nhau? 
 Từ giả thiết vuông tại A ta chứng minh được đường phân giác trong góc A cũng là phân giác trong góc . Đó chính là tính chất hình học ẩn trong bài toán. 
 Đến đây ta sử dụng tới tính chất đường phân giác trong để giải bài toán.
Lời giải: 
Gọi D là chân đường phân giác trong góc A (MBC).
Do AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM=MC
 cân tại M nên 
Mà (cùng phụ với )
Lại có 
 AD là đường phân giác trong góc .
Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua AD thì
 H’ thuộc AM.
Đường thẳng d đi qua H và vuông góc với 
AD có phương trình 7x+y-40=0.
Tọa độ giao điểm I của d và AD là nghiệm của hệ:
Vì I là trung điểm của HH’ nên 
Đường thẳng AM đi qua hai điểm H’ và K nên có phương trình : 2x+11y-35=0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 
Đường thẳng BC đi qua H(5;5) và có VTPT 
Nên phương trình đường thẳng BC là: 2x+y-15=0
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ : 
Đường tròn ngoại tiếp có tâm M và bán kính nên có phương trình : .
Tọa độ hai điểm B,C là nghiệm của hệ: 
Vậy ( Vì điểm B có tung độ dương)
 Vậy A(1;3); B(4;3); C(9;-3).
Nhận xét: 
Để giải bài toán này ta cần chỉ ra được tính chất hình học ẩn trong bài toán đó là: AD là đường phân giác trong góc .
Bài tập 7:
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Các điểm E,F lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho BE=CF. Trung điểm BE và CF lần lượt là M,N. Viết phương trình đường thẳng AC biết A(1;1); B(5;3) và phương trình đường thẳng MN là 2x+2y-19=0.
Định hướng: 
 Trong bài toán này các giải thiết của bài toán không liên quan tới đường phân giác trong mà cho biết tọa độ điểm A,B và phương trình đường thẳng MN. Một tư duy tự nhiên ta nghĩ tới các đường thẳng qua A hoặc B và vuông góc với MN. 
 Vẽ đường thẳng d qua A và vuông góc với MN. Ta thấy d có thể là đường phân giác trong góc A. Khi đó điểm B’ đối xứng với B qua d sẽ thuộc AC.Khi đó đường thẳng AC sẽ viết được phương trình. 
 Vấn đề là làm thế nào chứng minh được d là phân giác trong góc A. Bài toán có các yếu tố đoạn thẳng bằng nhau BE=CF và các trung điểm M, N của BF và CE. Hãy tìm mối liên hệ giữa các yếu tố này? Nếu gọi I là trung điểm của EF ta hoàn toàn chứng minh được cân, từ đó suy ra đường thẳng IK qua I vuông góc với MN là đường phân giác trong góc . Mà và d là phân giác trong góc A. 
Lời giải: 
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của EF và MN. 
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với MN. 
Ta có: .
Mà BE=CF MI=NI cân 
 IKMN và IK là đường phân giác trong
góc .
Mặt khác :.
 d là phân giác trong góc .
Đường thẳng d qua A(1;1) và vuông góc với MN: 2x+2y-19=0 nên có phương trình : x-y=0.
Đường thẳng qua B(5;3) và vuông góc d có phương trình : x+y-8=0
Tọa độ giao điểm J của d và là nghiệm của hệ:
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d thì B’ thuộc AC.
J là trung điểm BB’ B’(3;5).
Đường thẳng AC đi qua hai điểm A(1;1); B’(3;5) nên có VTCP .
Phương trình đường thẳng AC là 2x-y-1=0.
Nhận xét:
 Trong bài toán này tính chất hình học ẩn trong bài toán là đường thẳng d qua A và vuông góc với MN là đường phân giác trong góc A.
Bài tập 8: 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm C(-1;-2) ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi M, N, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, AC, BC. Gọi K(-1;-4) là giao điểm của BI với MN. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC, biết H(2;1). 
 (Đề thi thử trường THPT Anh Sơn 2- lần 2-năm 2016) 
Định hướng: 
 Từ trực quan hình vẽ ta thấy BK vuông góc với KC. Nếu chứng minh được điều này ta sẽ tìm được hướng giải bài toán như sau:
 Khi đó ta sẽ lập được phương trình BI, phương trình BC và tìm được tọa độ điểm B. Sử dụng BI là phân giác trong góc B ta tìm được tọa độ điểm C’ đối xứng với C qua BI và C’ thuộc AB. Từ đó lập được phương trình AB. Để lập phương trình AC ta sử dụng tính chất điểm I cách đều AC và BC.
Lời giải:
Ta có: 
 tứ giác KNIC nội tiếp đường tròn 
đường kính IC (vì ).
 hay .
Đường thẳng BK đi qua K(-1;-4) và có vec tơ pháp tuyến nên có phương trình: y+4=0.
Đường thẳng BC đi qua H(2;1) và có vec tơ chỉ phương nên có phương trình: x-y-1=0.
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: .
Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua BK thì C’ thuộc AB.
K là trung điểm của CC’ nên C’(-1;-6).
Đường thẳng AB đi qua hai điểm B(-3;-4) và C’(-1;-6) nên có phương trình:
 x+y+7=0
Đường thẳng IH đi qua H(2;1) và vuông góc với HC nên có phương trình:
 x+y-3=0
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: .
Gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AC ( với ).
Đường thẳng AC đi qua C(-1;-2) có phương trình: 
Ta có:
*) Với chọn b= -1 thì a=1 phương trình AC: x-y-1=0 (loại vì ACBC)
*) Với chọn b=7 thì a=23 phương trình AC: 23x+7y+37=0.
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
Vậy .
Nhận xét: 
Để giải bài toán này ta cần tìm được tính chất hình học ẩn trong bài là BK vuông góc với KC và sử dụng tính chất điểm đối xứng qua đường phân giác trong .
 Bài tập tương tự:
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm 
 H(-1;3), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(3;-3), chân đường cao kẻ từ A là K(-1;1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh C(4;3), phương trình đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác lần lượt là x+2y-5=0; 4x+13y-10=0. Viết phương trình các cạnh của tam giác.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có phương trình , điểm G là trọng tâm tam giác ABC và điểm M(7;2) nằm trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC, M khác A. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn hơn tung độ điểm C.
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên AC, là trung điểm của HD, phương trình đường thẳng BD: ; phương trình đường thẳng AB: . Tìm tọa độ điểm C.
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;4), tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của góc có phương trình x-y+2=0, điểm M(-4;1) thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường thẳng AC.
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AC=2AB. Điểm M(2;-2) là trung điểm cạnh BC. Gọi E là điểm thuộc cạnh AC sao cho EC=3EA, điểm là giao điểm của AM và BE. Xác đị