SKKN Sử dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1
-------—&–-------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ 
BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Lê Trọng Nguyên
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
THANH HOÁ, NĂM 2017
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
I. Mở đầu ........
2
 1.1. Lý do chọn đề tài 
2
 1.2. Mục đích nghiên cứu...
2
 1.3. Đối tượng nghiên cứu.
2
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
3
 2.1. Cơ sở lý luận
3
 2.2. Thực trạng của vấn đề..
3
 2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
4
 2.3.1. Phương pháp chung..
4
 2.3.2. Một số công thức áp dụng ....
5
 2.3.3. Bài toán về hình chóp có một góc tam diện vuông ..
6
 2.3.4. Bài toán về hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông hoặc hình hộp chữ nhật (hoặc hình lập phương) 
8
 2.3.5. Bài toán về một hình không gian có thể tạo một góc tam diện vuông ...
13
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ..
16
III. Kết luận, kiến nghị ..
17
 3.1. Kết luận ...
17
 3.2 Kiến nghị ..
17
I. MỞ ĐẦU:
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Hình học không gian là một chủ đề lớn trong chương trình phổ thong. Trong các đề thi từ cấp cơ sở đến cấp quốc gia luôn có các bài toán về hình học không gian. Vì vậy, việc tiếp xúc và giải toán hình học không gian đối với học sinh phổ thông là tất yếu.
 Để giải toán hình học không gian, đối với chương trình phổ thông có thể nhận diện tùy từng bài tập và áp dụng một trong các phương pháp: Phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp véc tơ. Phương pháp tổng hợp được trình bày chủ yếu trong chương trình Hình học 11 và học kì 1 của chương trình Hình học 12, phương pháp này yêu cầu học sinh phải có sự tư duy trừu tượng cao. Phương pháp véc tơ được trình bày ở một phần nhỏ trong chương trình Hình học 11, phương pháp này thường ít gặp. Phương pháp tọa độ là sự kết hợp giữa chương trình Hình học giải tích lớp 12 và Hình học không gian, cụ thể là xây dựng hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trên hình vẽ của bài toàn hình học không gian. Mỗi phương pháp đều có cái hay riêng khi áp dụng vào một bài toán cụ thể.
 Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy phương pháp tọa độ tỏ ra rất hữu hiệu đối với một số bài toán hình học không gian mà nếu giải bằng phương pháp tổng hợp sẽ tương đối vất vả. Đối với học sinh cũng vậy, khi được trang bị phương pháp này, các em tỏ ra linh hoạt hơn trong việc giải các bài toán hình học không gian. Vì vậy, đưa phương pháp này được viết dưới dạng hệ thống vào giảng dạy cho học sinh để các em trang bị kiến thức cho các kì thi là cần thiết. Phương pháp này chỉ được nêu ra ở một số bài tập trong chương trình Hình học 12. Với suy nghĩ như vậy, tôi đã chọn vấn đề này làm đề tài để viết, nhưng chỉ với sự cố gắng của cá nhân thì chắc chắn còn nhiều thiếu sót cần bổ sung. Mong được các thầy cô giáo, các bạn bè đồng nghiệp quan tâm và đóng góp ý kiến giúp đỡ!
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
 Nhằm giúp học sinh định hướng được dạng bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ. Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ năng giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. Qua đó nâng cao khả năng tư duy, tạo hứng thú học tập cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
 Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối lớp 12 được phân công giảng dạy sau khi đã học xong chương 3 (Phương pháp tọa độ trong không gian) phần Hình học. 
 Đề tài nghiên cứu về một số dạng bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ và cách vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán đó.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
 Phương pháp nghiên cứu của đề tài là xây dựng cơ sở lí thuyết, vận dụng vào bài tập thông qua hệ thống ví dụ.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lí luận: 
 Khi đứng trước một bài toán, học sinh cần định hướng được bài toán đó thuộc dạng gì? Và những phương pháp nào có thể áp dụng để giải bài toán đó? Vậy những bài toán về hình học không gian như thế nào thì có thể giải được bằng phương pháp tọa độ?
 Để xác định được, cần thông qua giả thiết và hình vẽ của bài toán: Để giải được bài toán bằng phương pháp tọa độ thì điều đầu tiên nhất thiết phải có là một hệ tọa độ Đề các vuông góc trong gian, mà để có được một hệ tọa độ như vậy thì trước hết cần có ba đường thẳng đồng quy đôi một vuông góc, hay nói cách khác: cần có một góc tam diện vuông.
 Như vậy, ta cũng đã hình dung được rằng: một bài toán về hình học không gian muốn giải được bằng phương pháp tọa độ thì từ giả thiết của bài toán phải xác định được ít nhất một góc tam diện vuông để từ đó xây dựng được hệ tọa độ Đề các vuông góc. Thông thường, những bài toán dạng này thì trong hình (tức là từ giả thiết) đã có sẵn một góc tam diện vuông, tuy nhiên có những bài toán để xác định được hệ tọa độ (tức là tạo một góc tam diện vuông) cần kẻ thêm một số đường phụ. Trên thực tế, các bài tập, bài toán hình không gian giải được bằng phương pháp tọa độ thì hình vẽ của nó thường sẽ thuộc một trong các hình sau:
- Hình chóp có một góc tam diện vuông.
- Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, hình hộp chữ nhật ( hoặc hình lập phương).
- Hình có thể tạo được một góc tam diện vuông bằng kẻ thêm một số đường phụ.
 Sau khi xây dựng được hệ trục tọa độ thì các đối tượng điểm, véc tơ cần thiết phải xác định được tọa độ, các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng cần thiết phải viết được phương trình của chúng.
2.2. Thực trạng của vấn đề:
 Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy việc tiếp thu kiến thức, vận dụng kiến thức để giải bài toán hình học không gian đối với phần lớn các em học sinh mức trung bình khá còn gặp nhiều khó khăn. Hơn nữa, trong nhiều năm qua các đề thi từ cấp cơ sở đến cấp quốc gia đều có bài toán về hình học không gian, phần hình học mà học sinh được học từ học kì 2 lớp 11 và học kì 1 lớp 12. Nhiều học sinh cảm thấy lúng túng không tìm ra cách xử lí bằng phương pháp nào, ngay cả những vấn đề rất cơ bản. Vì vậy, dạng bài tập này trở thành vấn đề khó vượt qua đối với học sinh. 
 Để giải quyết vướng mắc của học sinh về bài toán hình học không gian, ngoài cách giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp thuần túy, ta cũng có thể dùng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học không gian. Lời giải của phương pháp này sẽ khắc phục một số khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu và vận dụng một cách dễ dàng, nhanh chóng trong việc làm bài tập.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện:
 Để thực hiện đề tài, tôi phân chia thành hệ thống các bài tập hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ, tương ứng mỗi phần có chỉ ra cơ sở lí thuyết để vận dụng.
 Tiến hành xen kẽ hướng dẫn học sinh trong khi chữa bài tập trên lớp cũng như trong các tiết học tự chọn. Khi gặp bài toán có thể sử dụng phương pháp này thì hướng dẫn để học sinh sử dụng, có thể nêu sự so sánh với các phương pháp khác, từ đó rút ra kết luận.
 Các bài tập giải bằng phương pháp này trong nhiều trường hợp được giải quyết ngắn gọn, nhanh chóng, tạo cho học sinh hứng thú trong học tập.
 Các bài tập đề cập đến trong đề tài được bắt nguồn từ sách giáo khoa, sách bài tập, các đề thi cấp quốc gia, được lựa chọn theo hướng cơ bản, có kiến thức để khai thác, khắc sâu.
2.3.1. Phương pháp chung:
 Khi gặp bài toán về hình học không gian, học sinh nhận dạng và định hướng có thể giải được bằng phương pháp tọa độ thì điều đầu tiên là phải xây dựng được hệ trục tọa độ Đề các vuông góc gồm gốc và các trục tọa độ.
 Thao tác chọn hệ trục là: Chọn đỉnh của góc tam diện vuông làm gốc tọa độ, các cạnh của góc đó sẽ nằm trên các trục tọa độ (lưu ý chọn chiều dương cho trục), nếu hình có nhiều góc tam diện vuông thì chọn một góc phù hợp nhất để xây dựng hệ trục, nếu hình chưa có góc tam diện vuông mà định hướng có thể dựng được bằng việc kẻ thêm một vài đường phụ thì cần xác định kẻ đường phụ phù hợp (các đường này cần đơn giản, dễ xác định).
 Một thao tác nữa khi chọn hệ trục là: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc ba chiều thường được biểu diễn như hình bên. Vì vậy, khi vẽ hình thì nên vẽ cho góc tam diện vuông (sẽ chọn làm hệ trục) của hình ở vào vị trí như hình vẽ bên.
 Chú ý: Đơn vị của các trục có thể chọn là 1 hoặc khác tùy từng bài toán, nhưng thường chọn là 1.
 Sau khi đã xây dựng được hệ trục, cần thực hiện được các bước tiếp theo:
- Xác định tọa độ các điểm, các véc tơ cần phải tính.
- Viết phương trình các đường thẳng, các mặt phẳng có liên quan đến yêu cầu của bài toán.
- Áp dụng các công thức của hình học giải tích để thực hiện tính toán.
 Một yêu cầu nữa của phương pháp này là: Nắm bắt chặt chẽ các kiến thức về hình học giải tích, vận dụng thành thạo và linh hoạt các công thức của hình giải tích khi thực hiện giải bài toán.
2.3.2. Các công thức áp dụng trong đề tài: 
Một số công thức về véc tơ: với ta có:
+ , , 
+ , .
+ 
+ 
+ , .
Phương trình mặt phẳng:
+ Mặt phẳng đi qua điểm và có véc tơ pháp tuyến có phương trình là: .
+ Mặt phẳng đi qua 3 điểm với có phương trình theo đoạn chắn: .
Công thức về tính góc:
+ Góc giữa hai đường thẳng: hai đường thẳng có các véc tơ chỉ phương lần lượt là thì góc giữa được tính bẳng: .
+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: đường thẳng d có véc tơ chỉ phương , mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến , góc giữa d và là được tính bằng: .
+ Góc giữa hai mặt phẳng: mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến , mặt phẳng () có véc tơ pháp tuyến , góc giữa và () được tính bằng: .
Công thức về khoảng cách:
+ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là: .
+ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng đi qua điểm và có một véc tơ chỉ phương là: .
+ Khoảng cách giữa hai đương thẳng chéo nhau và biết đi qua điểm , có một véc tơ chỉ phương và đi qua điểm , có một véc tơ chỉ phương là: .
2.3.3. Bài toán về hình chóp có một góc tam diện vuông:
 Bài toán dạng này liên quan đến hình chóp có đáy là tam giác vuông hoặc hình chữ nhật và một cạnh bên vuông góc với đáy (cạnh bên tương ứng với góc vuông của đáy).
Ví dụ 1.1: 
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, Cạnh bên SD vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)?
 Phân tích: Trên hình vẽ của bài toán này ta thấy SD, AD, CD đôi một vuông góc. Vì vậy ta có thể xây dựng hệ trục tọa độ gốc D, các trục lần lượt chứa các cạnh SD, AD, CD.
 Giải: 
Chọn hệ tọa độ Dxyz với 
Kéo dài BC cắt AD tại E 
Mặt phẳng (SBC) chính là mặt phẳng (SEC) có phương trình là: 
 hay 
Gọi d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) thì:
 (đvđd)
Nhận xét: Bài toán trên, nếu giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp tuy không quá khó nhưng cũng không phái đơn giản. Trước hết cần chứng minh được: . Sau đó dựng và tính . Nhưng chỉ làm được như trên cũng đã không dễ, qua đây cho ta thấy sự thuận lợi của phương pháp tọa độ trong bài toán này là đáng kể.
Ví dụ 1.2:
Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân với Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. M là một điểm trên cạnh SB, N là một điểm trên cạnh SC sao cho MN song song với BC và AN vuông góc với CM. Tính tỉ số ?
 Phân tích: Trên hình vẽ của bài toán này ta thấy SA, AB, AC đôi một vuông góc. Vì vậy ta có thể xây dựng hệ trục tọa độ gốc A, các trục lần lượt chứa các cạnh SA, AB, AC.
 Giải:
Chọn hệ tọa độ Axyz với 
Giả sử 
Do tam giác SAC vuông cân tại A và 
Vậy ta có 
Do 
.
 Nhận xét: Bài toán này có thể dung phương pháp véc tơ để giải cũng khá hay, song do phạm vi của đề tài nên không không tiện trình bày. Nếu sử dụng phương pháp tổng hợp để tìm cách giải sẽ rất khó khăn. Đối với bài toán trên, phương pháp tọa độ vẫn là tối ưu nhất.
Ví dụ 1.3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Tính cosin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD)?
 Phân tích: Trên hình vẽ của bài toán này ta thấy SA, AB, AD đôi một vuông góc. Vì vậy ta có thể xây dựng hệ trục tọa độ gốc A, các trục lần lượt chứa các cạnh SA, AB, AD.
 Giải:
Chon hệ tọa độ Axyz với 
Mặt phẳng (SBD) có phương trình là 
Tọa độ đường thẳng SC có một véc tơ chỉ phương là 
Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD) thì
 .
 Nhận xét: Bài toán này có thể giải theo phương pháp sau:
Chứng minh góc cần tìm là .
Tính SC, SO, OC rồi áp dụng định lí cosin trong tam giác SOC.
Nếu so sánh giữa hai phương pháp trên thì ta thấy cách giải dùng phương pháp tọa độ vẫn nhanh hơn và tính toán ít hơn.
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, và vuông góc với mặt đáy. Gọi E là trung điểm CD. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBE)?
Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)?
2.3.4. Bài toán về hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông hoặc hình hộp chữ nhật (hoặc hình lập phương):
Ví dụ 2.1:
Trong mục 2.3.3: Ví dụ 1.1 được tham khảo từ TLTK số 2. Ví dụ 1.2 được tham khảo từ TLTK số 3. Ví dụ 1.3 là của tác giả. Bài tập 1, bài tập 2 được tham khảo từ TLTK số 5.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. . M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C?
 Phân tích: Đối với bài toán có hình vẽ dạng này, trong hình đã có hai góc tam diện vuông tại B và B’. Vậy có thể chọn hệ tọa độ gốc B hoặc gốc B’. Với bài toán này, ta chọn hệ tọa độ gốc B.
 Giải:
Chọn hệ tọa độ Bxyz với 
,
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C là:
 (đvđd)
Nhận xét: 
Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp tổng hợp. Tuy nhiên cần phải dựng được các đối tượng trung gian, cụ thể là mặt phẳng chứa AM và song song với B’C (mp(AME) với E là trung điểm BB’). 
Sau đó phải xác định được
Dựng và tính 
(có thể áp dụng tính chất đường cao trong tứ diện vuông BAME)
 Qua đây ta thấy áp dụng phương pháp tọa độ vẫn nhanh gọn hơn đối với bài toán trên.
Ví dụ 2.2:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD,BB’. P,Q là các điểm lần lượt nằm trên các đoạn AD’ Và BD sao cho .
 a; Chứng minh rằng 
 b; Chứng minh PQ luôn song song với mặt phẳng (A’D’BC) khi k thay đổi.
 Phân tích: Đối với bài toán có hình lập phương, có thể chọn một trong tám đỉnh của hình lập phương làm gốc tọa độ, các trục tọa độ lần lượt chứa các cạnh của hình lập phương từ đỉnh đã chọn. Bài toán này nên chọn A làm gốc tọa độ.
 Giải:
Chọn hệ tọa độ Axyz với 
a; Ta có 
Lại có 
Từ đó 
.
b; Do và 
 Do và 
Lại có 
 Mặt phẳng (A’D’BC) có một véc tơ pháp tuyến là 
Từ đó ta có .
Ví dụ 2.3: 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Trên cạnh AA’ lấy điểm E sao cho . Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho . Qua tâm của hình lập phương và E,F dựng mặt phẳng . Tính theo a khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng ?
 Phân tích: Đối với bài toán có hình lập phương, có thể chọn một trong tám đỉnh của hình lập phương làm gốc tọa độ, các trục tọa độ lần lượt chứa các cạnh của hình lập phương từ đỉnh đã chọn. Bài toán này nên chọn B làm gốc tọa độ.
 Giải: 
Chọn hệ tọa độ Bxyz với
Tâm của hình lập phương là trung điểm I của BD’ và 
Ta có
Mặt phẳng là mặt phẳng (IEF) có một véc tơ pháp tuyến 
phương trình mặt phẳng là 
 hay 
Khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng là 
 (đvđd)
Ví dụ 2.4:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh BB’,CD,A’D’.
 a; Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
 b; Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
 Phân tích: Đối với bài toán có hình lập phương, có thể chọn một trong tám đỉnh của hình lập phương làm gốc tọa độ, các trục tọa độ lần lượt chứa các cạnh của hình lập phương từ đỉnh đã chọn. Bài toán này nên chọn B’ làm gốc tọa độ.
 Giải: 
Chọn hệ tọa độ B’xyz với 
a; Đường thẳng A’B đi qua A’ và có một véc tơ chỉ phương .
Đường thẳng B’D đi qua B’ và có một véc tơ chỉ phương .
Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D thì
Ta có 
.
Vậy (đvđd)
b; Ta có 
.
Vậy góc giữa MP và C’N bằng .
 Nhận xét: Các ví dụ ở phần này đều có thể giải được bằng phương pháp hình học tổng hợp, nhưng có thể nói là tương đối khó: Cần phải kẻ thêm khá nhiều các đường phụ, sử dụng các công thức hình học về đồng dạng, diện tích, thể tích, và phải tính toán cũng khá nhiều. Đối với mức độ tư duy của một học sinh trung bình khá thì chưa hẳn đã giải được các bài toán trên bằng phương pháp tổng hợp. Tuy nhiên, nếu biết áp dụng phương pháp tọa độ như trên thì lại không phải khó. Qua đây, ta thấy được cái “hay” của phương pháp này. Nhưng đó chưa phải là tất cả, sự thuận lợi của nó càng tăng thêm nếu biết vận dụng vào một bài toán hình không gian chưa có góc tam diện vuông nhưng ta sẽ tạo được. Điều đó được thể hiện qua phần tiếp theo sau đây.
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng C’N và MP?
Trong mục 2.3.4: Ví dụ 2.1 được tham khảo từ TLTK số 3. Ví dụ 2.2 được tham khảo từ TLTK số 4. Ví dụ 2.3 là của tác giả. Ví dụ 2.4 được tham khảo từ TLTK số 3. Bài tập 1 được tham khảo từ TLTK số 6. Bài tập 2, bài tập 3 được tham khảo từ TLTK số 2.
Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’, AB, AD (có chung gốc A), lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho , , . Tìm sự liên hệ giữa m, n, p sao cho mặt phẳng (MNP) đi qua đỉnh C’ của hình lập phương?
Bài tập 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với .
a; Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BD).
b; Tính khoảng cách từ điểm A’ đến đường thẳng C’D.
c; Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
2.3.5. Bài toán về một hình không gian có thể tạo một góc tam diện vuông:
 Dạng bài toán này, tuy chưa sẵn có góc tam diện vuông, nhưng nhất thiết phải có các quan hệ vuông góc để làm tiền đề xây dựng góc tam diện vuông bằng việc kẻ thêm một vài đường phụ. Thông thường, trong hình đã có hai đường thẳng vuông góc và cắt nhau, và một đường thẳng thứ ba không đồng quy nhưng vuông góc với cả hai đường thẳng trước đó.
Ví dụ 3.1:
Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD?
Phân tích hình vẽ: 
Hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) vuông góc có giao tuyến là AD.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD,BC. Tam giác SAD đều nên 
Vây ta có ba tia IA, IJ, IS đôi một vuông góc và .
 Chọn hệ trục tọa độ Ixyz với 
Khoàng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là: 
Ta có 
 (đvđd).
 Nhận xét: Bài toán trên đây giải bằng phương pháp tổng hợp khá phức tạp, cần qua nhiều bước và có nhiều đường phụ phải kẻ. Từ đây ta thấy rằng phương pháp tọa độ có ứng dụng khá rộng, vấn đề của dạng bài toán này là lập được hệ trục tọa độ. Nếu bài toán có hình chóp tứ giác đều thì có thể lập hệ trục với gốc là tâm của đáy. Ví dụ sau đây cũng nêu một kiểu lập hệ trục.
Ví dụ 3.2:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. ; cạnh và vuông góc với mặt đáy. D là trung điểm AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD?
Giải:
Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) thì đường thẳng đó song song với SA.
Trên đường thẳng đó lấy điểm S’sao cho 
 (S, S’ nằm cùng phía so với mặt phẳng (ABC)).
Ta có ba tia CA, CB, CS’ đôi một vuông góc và 
 Chọn hệ tọa độ Cxyz với 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD là:
 (đvđd).
Ví dụ 3.3:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’)?
Giải:
Kẻ CH . Vậy ba tia HB, HC, HA’ đôi một vuông góc.
Chọn hệ trục tọa độ Hxyz như hình vẽ.
Ta có 
Ta có 
mặt phẳng (ACC’A’) có một véc tơ pháp tuyến là:
 với 
Phương trình mặt phẳng (ACC’A’) là: .
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) là: (đvđd).
Nhận xét chung: 
 Qua các ví dụ, ta đã thấy được sự thuận lợi và khả năng áp dụng phong phú của phương pháp tọa độ trong việc giải toán hình học không gian. Đây là một phần kiến thức không thể thiếu của học sinh khi học hình học không gian. Phương pháp này chỉ được học sinh tiếp nhận khi đã học chương trình hình học giải tích lớp 12