SKKN Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để tìm nhanh đáp án một số bài toán trắc nghiệm

MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Phương pháp đặc biệt hóa trong tìm đáp án trong câu hỏi trắc nghiệm môn toán
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO
2
2
3
3
3
4
4
4
5
16
17
17
17
19
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Thời đại ngày nay, trong giáo dục đào tạo, người ta yêu cầu cao về việc rèn óc thông minh sáng tạo, tính năng động thích nghi với những thay đổi nhanh đến chóng mặt, nên toán học, vốn đã được coi là “thể dục của trí não”, là “nữ hoàng của các khoa học”, càng phải phát huy vai trò đó; toán học không chỉ phải rèn óc thông minh sáng tạo để phục vụ những lĩnh vực cần đến các khái niệm, các công thức, định lý toán học mà còn rèn óc thông minh sáng tạo để phục vụ cho cả các lĩnh vực “phi toán”[3]. 
	Giải toán là một hoạt động quan trọng của tư duy, tuy nhiên không phải bài toán nào cũng giải được một cách dễ dàng. Do đó ngoài hệ thống kiến thức cơ bản làm cơ sở cho việc giải bài toán, chúng ta cần vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp khác nhau. Với một số bài toán việc giải trực tiếp đôi khi gặp khó khăn, trong trường hợp này chúng ta có thể nghĩ đến việc xét bài toán trong trường hợp đặc biệt, vì thực tế cho thấy trong trường hợp này việc giải bài toán dễ dàng hơn nhiều và từ đây mấu chốt của bài toán ban đầu được tháo gỡ.
Sự thay đổi phương pháp kiểm tra đánh giá từ tự luận sang trắc nghiệm khách quan, đặc biệt là trong kì thi THPT Quốc gia đã đem lại sự hứng khởi hơn cho học sinh trong học tập, song nó cũng đòi hỏi học sinh phải thay đổi cách làm, thay đổi phương pháp tư duy khi đứng trước một số lượng câu hỏi nhiều hơn gấp nhiều lần và gặp rất nhiều áp lực về mặt thời gian. Chẳng hạn, khi gặp những bài toán kiểu như:
Tính: , được kết quả nào sau đây?
A. .	B. .	
C. .	D. 
Hoặc : (Đề khảo sát THPT QG Thanh Hóa 2018) 
Cho hàm số có đồ thì cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ . Tính giá trị biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Ta nhận thấy rằng việc tìm đáp án bằng phương pháp tự luận thông thường đòi hỏi mức độ tư duy rất cao và tốn rất nhiều thời gian. Tuy nhiên, bằng phương pháp đặc biệt hóa (chọn giá trị cụ thể của tham số hoặc chọn hàm đặc trưng,..) học sinh lại có thể dễ dàng loại trừ được những phương án sai trong khoảng thời gian ngắn. Vì vậy trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là trong ôn tập THPT Quốc gia tôi đã hướng dẫn học sinh ‘‘Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để tìm nhanh đáp án một số bài toán trắc nghiệm” đem lại hiệu quả cao trong học tập, thi cử.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu vai trò của đặc biệt hóa trong dạy học toán và trong phương pháp tìm đáp án của một số bài toán trắc nghiệm.
- Đề xuất thêm cho học sinh một phương pháp giúp tìm nhanh được đáp án trắc nghiệm.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp đặc biệt hóa trong toán học nói chung và trong trắc nghiệm nói riêng.
Các dạng bài toán có thể vận dụng được phương pháp đặc biệt hóa.
Tính hiệu quả của kinh nghiệm được áp dụng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
- Nghiên cứu các tài liệu về đặc biệt hóa, khái quát hóa trong lý luận dạy học môn toán.
- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài.	
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin qua các tiết giảng dạy và kết quả các bài khảo sát, kiểm tra đánh giá năng lực học sinh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
	Theo G.Polya: “ Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”. Điều đó cũng có nghĩa là nếu một mệnh đề đúng trong trường hợp tổng quát thì nó sẽ đúng trong các trường hợp cụ thể, trường hợp riêng, nếu mệnh đề sai trong một trường hợp cụ thể nào đó thì mệnh đề tổng quát sai. 
	Đặc biệt hóa là chuyển từ cái chung, cái tổng quát về cái riêng, cái cụ thể. Chẳng hạn, trong các bài toán có công thức có chứa các tham số, biến số ta sẽ đặc biệt hóa nó bởi các giá trị cụ thể phù hợp theo yêu cầu bài toán và lúc đó ta sẽ kiểm tra được kết quả của các đáp án, nhằm đưa ra lựa chọn đúng. Hoặc khi cần tìm một hàm số ta có thể đặc biệt hóa nó bởi các hàm đơn giản quen thuộc như và dựa vào dữ liệu bài toán để giải quyết trong trường hợp riêng nhằm loại bỏ phương án sai, hoặc tìm ra phương án đúng một cách nhanh hơn, dễ dàng hơn.
	Từ những có sở khoa học trên, và sự hạn chế số phương án (chỉ có 4 lựa chọn) của dạng toán trắc nghiệm mà trong nhiều bài toán trắc nghiệm, người ta có thể sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để lựa chon đáp án đúng cho bài toán.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trước khi đưa ra phương pháp đặc biệt hóa, khi bắt gặp những bài toán trắc nghiệm có dạng trên thì đa số học sinh đều cảm thấy lúng túng, e ngại vì nó quá phức tạp nên thường chọn ngẫu nhiên một đáp án mà không có một cơ sở loại trừ nào, hoặc cố gắng giải bằng phương pháp tự luận nhưng thường không tìm được đáp án đúng, hoặc tìm được lời giải thì mất quá nhiều thời gian, làm ảnh hưởng chung đến kết quả của cả bài kiểm tra.
Tuy nhiên, sau khi được giáo viên hướng dẫn việc tìm đáp án trắc nghiệm bằng phương pháp đặc biệt hóa các em học sinh đã chuyển từ trạng thái lúng túng, e ngại sang trạng thái thích thú, hưng phấn bởi vì các em đã giải tỏ được những rào cản khó khăn, dần dần cảm thấy được những điều thú vị và từ đó tự tin giải quyết kiểu bài toán như vậy một cách đầy say mê hứng thú.
2.3. Phương pháp đặc biệt hóa trong tìm đáp án trong câu hỏi trắc nghiệm môn toán 
Các bài toán có thể sử dụng phương pháp đặc biệt hóa rất đa dạng và phong phú. Do vậy, để trong quá trình học tập học sinh tiếp nhận kiến thức một cách dễ dàng và khoa học, bước đầu tôi sẽ nêu ra và giải quyết một số ví dụ cụ thể bằng cả hai phương pháp tự luận thông thường và đặc biệt hóa. Từ đó giúp học sinh dễ dàng nhận dạng, đồng thời thấy được tính hiệu quả của phương pháp mới này với cách giải thông thường và biết cách vận dụng vào quá trình học tập, thi cử.
Ví dụ 1: Tính tổng 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Đáp án B.
Phương pháp thông thường: 
+) Cho ta có 
+) Cho ta có 
Từ 
Nhận xét : Với cách giải trên rõ ràng việc tư duy để đưa về tích phân là đã đòi hỏi học sinh phải là học sinh khá, giỏi hơn nữa việc chọn chọn cận từ 0 đến a sau đó chọn a = 1, rồi a = 2 và kết hợp để đưa ra được tổng S thì đó phải là cả một quá trình tư duy sáng tạo cao mà rất ít học sinh có thể làm được. Tuy nhiên phương pháp sau thì lại rất đơn giản mà một học sinh trung bình cũng có thể tìm được đáp án đúng.
Phương pháp đặc biệt hóa:
Chọn thay vào tổng S được và các đáp án A, B, C, D
Nhận thấy, chỉ có B là nhận kết quả , nên ta lựa chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi Khi đó bằng:	
A. 	B. 	
C. 	D. 
Đáp án A.
Phương pháp thông thường: 
Ta có 
Lại có 
Đặt và 
 là cấp số nhân với 
Vậy 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Với từ dữ liệu đề bài ta có: .Trong các đáp án, bằng phương pháp đặc biệt hóa (quy lớn về nhỏ) ta sẽ thay lần lượt các số: 2016 bởi số 1; 2017 bởi số 2; 2018 bởi số 3; và 2019 bởi số 4 ta nhận được bảng kết quả sau:
Chỉ có đáp án A có kết quả . Vậy đáp án đúng là A.
Ví dụ 3: Tính tổng theo ta được.	
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án A.
Phương pháp thông thường: 
Các số hạng của có dạng . 
Do đó 
Nhận thấy là hệ số của trong khai triến 
Vì vậy xét theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có
Từ đó ta có: 
 . 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Cho thay vào S ta được , và thay vào các đáp ta được: A.;	 B. ; 	 C.; 	 D. . 
Vậy đáp án cần chọn là A.
Ví dụ 4: (Đề khảo sát THPT QG Thanh hóa 2018) 
Cho hàm số có đồ thì cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ . Tính giá trị biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Đáp án C.
Phương pháp thông thường: 
Từ giả thiết ta có 
Suy ra 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Chọn có và có 3 nghiệm phân biệt . Khi đó : 
Và nhận thấy thay vào các đáp án A, B, D không cho kết quả bằng 0 nên ta lựa chọn đáp án C.
Ví dụ 5: Tính tích phân , ta được kết quả	
A. .	B..	C. .	D. 
Đáp án D.
Phương pháp thông thường: 
+ Vì trong kết quả có xuất hiện ln, nên ta nghĩ đến ý tưởng dùng công thức . Để xuất hiện công thức này ta coi mẫu chính là:
 + Vậy 
.
Phương pháp đặc biệt hóa:
Cho ta được 
Khi đó thay vào các đáp ta được: A.; B. ; C.. D.
Vậy đáp án cần chọn là D. 
Ví dụ 6: Cho dãy số xác định bởi . 
Tính tổng ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Đáp án C.
Phương pháp thông thường: 
+ Ta có . 
Đặt 
+ Ta có 
 Phương pháp đặc biệt hóa:
Ta có thay vào tổng S được 
Tiếp tục thay 2011 bởi 2 và thay 2012 bởi 3 vào các đáp án ta được:
A. ; 	B. ; 	C. ; 	C. .
Vậy đáp án đúng là C.
Ví dụ 7: Tính tổng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Đáp án B.
Phương pháp thông thường: 
Xét 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Cho ta được: , và thay vào các đáp được: A.; 	 B. ; 	 C. ; 	D. 
Vậy đáp án cần chọn là B.
Nhận xét: Những ví dụ trên phần nào so sánh cho ta thấy sự hiệu quả của phương pháp đặc biệt hóa và thực hiện được với phong phú các dạng bài toán. 
Trong điều kiện giới hạn của SKKN nên trong các ví dụ sau đây sẽ chỉ sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để tìm đáp án.
Ví dụ 8: (Trích đề thi thử Chuyên ĐHSP lần 3 - 2017) 
Cho hai số phức thỏa mãn: . Khi đó bằng: 
A. 2	B. 4	C. 1	D. 0
Phương pháp đặc biệt hóa:
Ta chọn được ngay hoặc những giá trị cơ bản như thỏa mãn điều kiện ban đầu . 
Thay vào đề bài . Vậy đáp án cần chọn là B.
Nhận xét: Trong nhiều bài toán phức tạp, việc đưa về trường hợp đặc biệt giúp giải quyết đơn giản và dễ dàng.
Ví dụ 9: Cho hai số phức thỏa mãn: . Tính giá trị biểu thức ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Chọn, thỏa mãn yêu cầu đề bài .
 Thay vào ta tính được . Vậy đáp án cần chọn là C.
Nhận xét: Những giá trị cơ bản không thỏa mãn giá trị ban đầu tuy nhiên giá trị môđun là 1 làm ta liên tưởng đến những số phức lượng giác đặc biệt như: , , , .
Với phương pháp này ta nên kết hợp với máy tính có chức năng tính toán số phức, máy tính sẽ tính các giá trị đặc biệt rất nhanh và tiết kiệm thời gian hơn. 
Ví dụ 10: Gọi là điểm biểu diễn của các số phức đôi một khác nhau thỏa mãn và . Số đo góc A của tam giác ABC bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Lựa chọn những điểm biểu diễn bằng các trường hợp đặc biệt như số thuần ảo, số thuần thực Ở đây ta chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài và thấy tam giác ABC vuông cân tại A nên chọn đáp án A.
Nhận xét: Với các loại bài toán tính giá trị hoặc so sánh giá trị, đôi khi, sự biến đổi các phương án kết hợp ước lượng việc giải toán sẽ rất nhanh. Bạn không phải đặt bút hoặc chỉ thực hiện biến đổi là đã có thể ước lượng được đáp số.
Ví dụ 11: Cho tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi là một điểm thuộc miền trong của tứ diện và lần lượt là khoảng các từ đến các mặt. Khi đó bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Đặc biệt hóa điểm M bởi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta dễ dàng suy ra được: , nên . Lựa chon đáp án B.
Ví dụ 12: Cho hàm số có hai cực trị thì là: 
A. 	B. 	
C. 	D. 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Do đề bài sẽ đúng với mọi nên ta sẽ chọn cho một giá trị đặc biệt để 4 kết quả của đáp án là khác nhau. Ví dụ ta chọn thì ta được đáp án A sẽ là và đáp án D sẽ là .
Với thì 
Nên . Vậy đáp án là B.
Nhận xét : Với trắc nghiệm, kỹ năng loại trừ các phương rất quan trọng, giúp tìm được đáp án nhanh. Khi chưa giải được kết quả cụ thể, thí sinh vẫn có thể sử dụng phương pháp này để chọn đáp án đúng.
Ví dụ 13: Cho , đẳng thức nào sau đây là đúng ?
A. 	B. 	
C. 	D. 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Ta nhận thấy nếu một trong các lựa chọn A, B, D đúng thì tỉ số phải là số nguyên (vì ). Vì vậy chọn ta tính được , ; nhận thấy không nguyên nên đáp A, B, D bị loại nên đáp án là C.
Ví dụ 14: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Biết . Gọi lần lượt là hình chiến vuông góc của lên . Khi đó bằng:
A. 	B. 	
C. 	D. 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Đặc biệt hóa bằng cách chọn . Suy ra là trung điểm của ( vì tam giác SAB cân tại A) và 
Suy ra . Kiểm tra các đáp án khi thay bởi ta nhận được chỉ có đáp án A là . Vậy lựa chọn A .
Ví dụ 15: Cho . Tính  
A. 	B. 	C. 	D. 
Phương pháp đặc biệt hóa: 
Bài toán chỉ có 1 điều kiện nên chọn hàm . 
Khi đó . 
Suy ra . Vậy đáp án cần chọn là C.
Ví dụ 16: Cho là hàm số chẵn và có đạo hàm trên đoạn . 
Biết và . Tính  ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Vì là hàm số chẵn và có hai dữ kiện bài toán nên ta chọn 
Khi đó: 
Vậy đáp án cần chọn là A.
Ví dụ 17: Cho hàm số liên tục trên . Biết và . Tính  ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Phương pháp đặc biệt hóa:
Vì là hàm số có hai điều kiện bài toán nên ta chọn 
Khi đó: 
 . 
Vậy đáp án cần chọn là D.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
	Trên đây là một số ví dụ minh họa, tôi đã sử dụng thể hiện thành công áp dụng linh hoạt kinh nghiệm dạy cho học sinh lớp11, 12. Qua các tiết sử dụng giải pháp của SKKN này cho thấy:
Phương pháp đặc biệt hóa phù hợp cho tất cả các đối tượng học sinh. Giúp học sinh chủ động, tích cực xây dựng kiến thức, phát hiện, chiếm lĩnh các đơn vị kiến thức, điều đáng kể là các em không những hiểu bài mà nhận biết dạng cùng hướng giải bài toán, có khả năng giải hoàn chỉnh bài toán vận dụng cao.
Thông qua các hoạt động học sinh bị cuốn hút vào các công việc học tập, tạo cho học sinh lòng ham học, kích thích tính tích cực chủ động sáng tạo, khơi dậy khả năng tiềm ẩn của mỗi học sinh.
Việc sử dụng phương pháp và phương tiện dạy học hợp lí đã tăng tính tích cực, chủ động sáng tạo, tạo niềm tin vào khả năng của mỗi học sinh.
Sau thời gian thực nghiệm học sinh cảm thấy yêu thích môn toán hơn, yêu cuộc sống hơn, đặc biệt là việc tìm tòi các phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm tiếp cận tốt với kỳ thi THPTQG. 
 Kiểm chứng kết quả thực hiện: Đối với tất cả các lớp bản thân dạy cũng như áp dụng tương tự phương pháp đặc biệt hóa đối với học khối 11, kết quả môn toán đạt hiệu quả cao trong các kỳ thi khảo sát chất lượng của Trường, Sở GD&ĐT Thanh Hóa, Kỳ thi THPTQG do Bộ GD&ĐT tổ chức.
Đồng thời với việc áp dụng linh hoạt phương pháp dạy học tích cực và kỹ thuật dạy học tích cực vào các tiết dạy toán có hiệu quả, nên các lớp tôi dạy: 11A4, 12A6, 12A8 của Trường THPT Sầm Sơn năm học 2017-2018 và học sinh khối 12 năm học trước kết quả rất tốt. Tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng cao, học sinh yếu kém giảm nhiều:
+ Kém : Giảm từ 8% còn 0%	+ Yếu: Giảm từ 17% còn 3%
+ Khá: tăng từ 19,14% đến 30%	+ Giỏi: Tăng từ 4,53% đến 12,33%
 Xưa nay vẫn học sinh vẫn chủ yếu giải quyết các bài toán trắc nghiệm theo phương pháp tự luận là chính, ít suy nghĩ tìm tòi, sáng tạo. Với phương pháp đặc biệt hóa bài toán các em thấy có hứng thú, chủ động hơn, tích cực suy nghĩ để từ đó tự mình tìm ra nhiều phương án khác nữa hay hơn, hiệu quả hơn, tiết kiệm thời gian hơn và có tiến bộ hơn, kết quả học tập và thi cử tốt hơn, học sinh khá giỏi tăng nhiều. Qua thống kê và phân tích, tôi nhận thấy với phương pháp giảng dạy này đã giúp cho học sinh không đạt yêu cầu giảm, số học sinh khá, giỏi tăng lên. Đặc biệt số học sinh yếu, kém vẫn theo được và có tiến bộ.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận 
Thời đại ngày nay là thời đại của sự bùng nổ thông tin,thời đại của trí tuệ vì vậy phải coi trọng tư duy, nhất là tư duy sáng tạo, mà trong đó, quy nạp và suy diễn, khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc hướng dẫn học sinh tìm tòi và phát hiện các kết quả toán học. Tôi đã sử dụng linh họat phương pháp dạy nói chung, đặc biệt hóa nói riêng, phương pháp dạy học tích cực và các kỹ thuật dạy học tích cực trong các tiết dạy toán, cho mọi đối tượng học sinh và thấy đều có hiệu quả cao. Các em đều có cảm giác phấn khởi, tích cực khi sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan hoặc tự luận một cách hợp lý. Nhờ kinh nghiệm trên, các em nhìn nhận, giải quyết bài toán nhanh, linh hoạt và độc đáo hơn. Trong quá trình giảng dạy toán ở trường phổ thông, nếu giáo viên sử dụng các phương pháp dạy học kết hợp với khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hóa sẽ là phương pháp dạy học tích cực, giảng dạy có hiệu quả nhất. Phát huy tính tích cực, tự giác và khả năng sáng tạo của học sinh THPT, hướng tới tăng cường sự tham gia hợp tác tích cực của học sinh, tạo điều kiện phân hóa trình độ người học, đáp ứng các phong cách học, phát huy khả năng tối đa của người học, đảm bảo tối đa cho người học sâu và thoải mái, đồng thời hình thành các kỹ năng tìm kiếm, thu thập, xử lý thông tin, giải quyết vấn đề, chuẩn bị hành trang cho học sinh đối diện với thử thách trong cuộc sống, góp phần đào tạo nguồn lực theo yêu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội. 
Kinh nghiệm tìm đáp án bài toán trắc nghiệm bằng phương pháp đặc biệt hóa giúp tôi và đồng nghiệp, học sinh có thêm phương pháp dạy, học tích cực đơn giản, hiệu quả hơn. Tuy nhiên, có nhiều vấn đề cần hoàn thiện hơn nữa, nhưng tôi cũng xin mạnh dạn đưa ra đây để các đồng nghiệp tham khảo, đồng thời chỉ giúp tôi những điểm cần hoàn chỉnh, cần lược bỏ, bổ sung. 
3.2. Kiến nghị
Với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian và kinh phí để tổ chuyên môn có thể tổ chức nhiều hơn các hoạt động trải nghiệm về các SKKN đã thành công .
Với Sở GD-ĐT: Cần có nhiều những buổi sinh hoạt chuyên đề về sự ứng dụng thành công của SKKN ở các trường trong tỉnh để các trường có cơ hội trao đổi học tập lẫn nhau, nâng cao chất lượng giáo dục của toàn tỉnh. 
Mặc dù đã rất nỗ lực, cố gắng song trong quá trình làm việc chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót về hình thức cũng như nội dung. Tác giả rất mong được Hội đồng xét duyệt đóng góp thêm ý kiến để SKKN này được hoàn thiện hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG
Lê Ngọc Nội
Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Dương Quốc Nam
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Toán học và những suy luận có lí, G. Polya, Nxb Giáo dục, 1995.
[2]. Một số đề thi thử THPTQG, 2017 và 2018.
[3]. Nên học Toán thế nào cho tốt, GS.TSKH.NGND Nguyễn Cảnh Toàn, www.sachtoan24h.com 
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Dương Quốc Nam
Chức vụ và đơn vị công tác: Thư kí hội đồng, trường THPT Sầm Sơn,
Thành phố Sầm Sơn, tỉnh Thanh Hóa
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
Kết quả đánh giá xếp loại
Năm học đánh giá xếp loại
Tính hữu dụng của một công thức tính diện tích tam giác trong giải một số dạng bài toán hình học.
Ngành GD tỉnh Thanh Hóa
C
2009 -2010
Thay đổi số chiều hệ trục tọa độ Đề-Các giúp giải quyết nhanh một số bài toán về diện tích và cực trị trong hình học.
Ngành GD tỉnh Thanh Hóa
C
2011 -2012
Vận dụng phương pháp chuẩn hóa để chứng minh bất đẳng thức thuần nhất trong bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
Ngành GD tỉnh Thanh Hóa
C
2013 -2014