SKKN Sử dụng đạo hàm nhằm giúp học sinh lớp 12 chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

1. MỞ ĐẦU
* Lý do chọn đề tài
Các bài toán về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn gây khó khăn cho không ít học sinh trong quá trình học tập. Các bài toán dạng này cũng thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia. Nó thường là các bài toán hay và khó nhất trong đề thi. Phần lớn các em học sinh nếu gặp bài toán loại này thì thường bỏ qua và chỉ có một số ít học sinh làm được trọn vẹn nó.
	Trong các kì thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia những năm gần đây thường xuất hiện bài toán về bất đẳng thức và về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Trong số các bài toán đó thì phần lớn ta có thể giải quyết được trọn vẹn bài toán bằng cách sử dụng đạo hàm một cách khéo léo. Tuy nhiên để nhìn nhận ra các bài toán về bất đẳng thức, hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà sử dụng được đạo hàm để giải là một điều không hề đơn giản chút nào. Vậy có cách nào để nhìn ra được một bài toán về bất đẳng thức, hay về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà sử dụng đạo hàm để giải hay không? Và nếu có thì phải giải bài toán đó như thế nào?
Đề tài “Sử dụng đạo hàm nhằm giúp học sinh lớp 12 chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số” được viết nhằm giúp các em học sinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải các bài toán bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất để bước vào kì thi THPT Quốc gia năm 2016 đạt kết quả tốt nhất.
* Mục đích nghiên cứu
 - Trang bị cho học sinh về một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số mang lại hiệu quả rõ nét trong việc giải đề thi THPT Quốc gia.
 - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau.
* Đối tượng nghiên cứu
 - Các dạng toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nằm trong chương trình toán phổ thông .
 - Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng.
* Phương pháp nghiên cứu
 - Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
 - Phương pháp phân loại và hệ thống hóa.
 - Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2 .1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số
2.1.1.1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên khoảng K. Khi đó
*) gọi là đồng biến trên K nếu với mọi mà ta đều có 
*) gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi mà ta đều có 
Các hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng còn được gọi chung là các hàm đơn điệu trên khoảng đó. 
2.1.1.2. Định lý ( Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng)
Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó
*) Nếu (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì đồng biến trên .
*) Nếu (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì nghịch biến trên .
2.1.1.3. Điểm tới hạn của hàm số
Điểm được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu nó thuộc tập xác định của và hoặc không xác định.
Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của hàm số giữ nguyên một dấu.
2.1.2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức
2.1.2.1. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D. Khi đó 
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 
Kí hiệu: .	
- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 	
Kí hiệu: .	
Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng:
Tính đạo hàm
Lập Bảng biến thiên
Dựa vào Bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
 Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:
Tính đạo hàm
Tìm các điểm tới hạn xi và tính các giá trị 
Kết luận 
2.1.2.2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
 Cho biểu thức n biến xác định trên , tức là Khi đó 
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 
Kí hiệu: .	
- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 
Kí hiệu: .	
2.1.3. Một số Bất đẳng thức áp dụng trong đề tài
2.1.3.1. Bất đẳng thức Cauchy
- Trường hợp 2 số: Với mọi x, y không âm, ta đều có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y.
- Trường hợp 3 số: Với mọi x, y, z không âm, ta đều có: 
Bất đẳng thức Cauchy được vận dụng nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta có thể khai thác, sử dụng các dạng thức khác nhau của bất đẳng thức này, chẳng hạn trường hợp ba số dương, ta có các dạng khác như:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
2.1.3.2. Bất đẳng thức Bunhia-copxki Với 6 số thực bất kì: ta luôn có 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
2.1.3.3. Các bất đẳng thức suy ra từ bình phương một biểu thức
*) Dấu bằng xảy ra khi x = y.
*) . 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
*) 
2.1.4. Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số
- Tìm tập xác định;
- Tính đạo hàm;
- Tìm các điểm tới hạn, các giới hạn;
- Lập Bảng biến thiên. 
2.1.5. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức:
Đánh giá, biến đổi biểu thức, bất đẳng thức đưa về xét một hàm số.
Tìm khoảng đánh giá của hàm số.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng vừa tìm được.
Giải quyết bài toán ban đầu.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Từ thực tế giảng dạy học sinh ở trên lớp, qua một số năm dạy ôn thi Đại học, THPT Quốc gia của trường THPT Hậu Lộc 4, tôi nhận thấy đa số học sinh đều coi bài tập về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức là bài tập khó, chỉ vận dụng các bất đẳng thức để suy nghĩ nên dẫn tới “không có hướng giải”. Có thực trạng đó theo tôi là do một số nguyên nhân sau: 
 - Do phân phối của chương trình của phần này cả lí thuyết và bài tập ôn tập có giới hạn và nằm cả ở lớp 10, lớp 12 nên khi dạy trên lớp các giáo viên không thể đi sâu vào phân tích một cách chi tiết, khai thác nhiều phương pháp, đặc biệt là phương pháp đạo hàm. Trong khi đó các đề thi TSĐH, THPT Quốc gia, HSG trong các năm gần đây luôn có dạng toán này với mức độ yêu cầu khó.
- Các tài liệu tham khảo hiện nay về phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức chưa có tài liệu trình bày một cách có hệ thống, chuẩn mực. Vì vậy đa số học sinh sẽ không thể tự phân tích, tổng hợp để hình thành phương pháp đạo hàm khi giải các bài toán này.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Giải pháp 1: Khảo sát trực tiếp hàm số theo một biến.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định được ẩn và miền giá trị của ẩn
Bước 2: Lựa chọn hàm số cho phù hợp
Bước 3: Tính đạo hàm và khảo sát hàm số trên miền giá trị của ẩn
Bước 4: Suy ra kết quả bài toán
Chú ý: Kỹ thuật này thường áp dụng cho bài toán có 1 biến số
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên .
Giải: 
Xét hàm số trên . 
Ta có: 
Thử lại thỏa mãn .
Bảng biến thiên:
 - +
Từ bảng biến thiên suy ra 
Nhận xét: Sử dụng đạo hàm đối với bài này là không khó. Tuy nhiên học sinh lại khá lung túng trong việc giải phương trình 
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: .
Phân tích:
Biểu thức xác định khi 
Cách 1: Đạo hàm trực tiếp rồi suy ra kết luận của bài toán.
Cách 2: Vẫn dùng đạo hàm, nhưng ta nhân lượng liên hợp sau đó mới đạo hàm. Cách 2 dễ làm hơn cách 1.
Cả hai cách làm trên khi đạo hàm cần phải tỉ mỉ chính xác, đôi khi không cẩn thận thì sẽ rất dễ bị nhầm lẫn, nói chung là tương đối phức tạp. Vậy có cách nào đơn giản hơn mà tránh được sự nhầm lẫn không? Chúng ta xem xét cách làm sau đây:
Giải.
Xét hàm số: trên đoạn 
Đặt và 
Ta có: 
Do đó ta thấy và tăng trên đoạn ; và giảm trên đoạn nên tăng trên đoạn . Từ đó suy ra tăng trên đoạn 
Vậy: Min; Max.
Nhận xét: Đây là cách giải khá độc đáo nhưng không phải học sinh nào cũng nhìn ra được. Cách giải này chưa được đề cập nhiều nên học sinh sẽ thấy rất lạ và khó có thể làm theo cách này.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng: 
Giải. Xét hàm số 
 là hàm số đồng biến và có tối đa một nghiệm. Kiểm tra thấy là nghiệm duy nhất của . 
Bảng biến thiên: 
Ví dụ 4. Cho số thực dương . Chứng minh rằng: .
Giải:
Ta có: 
Xét hàm số: trên khoảng 
Ta có:
Suy ra đồng biến trên khoảng đồng biến trên khoảng , do đó 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Thông thường học sinh chỉ đạo hàm đến cấp 1 do đó khi giải bài toán này sẽ rất lúng túng. Và vì thế mà học sinh lầm tưởng rằng bài toán trên là rất khó. Tuy nhiên nếu học sinh mà tinh ý, biết đạo hàm tiếp đến cấp 2 thì bài toán trên lại được giải một cách rất nhẹ nhàng mà không cần phải đao to, búa lớn gì cả.
Ví dụ 5. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
Giải.
Ta có nhận xét sau: 
 +) Cố định thì A chỉ phụ thuộc vào một biến .
 +) Biểu thức A có thể viết lại như sau : 
 +) Hàm số là hàm hằng hoặc hàm số bậc nhất theo biến và 
 Suy ra 
Ta nhận thấy khi x=0, y=0, z=2 thì A=4
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2.
Nhận xét: Như vậy kỹ thuật khảo sát trực tiếp theo một biến có thể áp dụng cho một hàm nhiều biến bằng cách cố định các biến còn lại.
2.3.2. Giải pháp 2: Dùng phương pháp thế để đưa về hàm số 1 biến.
Phương pháp giải
Bước 1: Biến đổi giả thiết để tìm ra cách thế một ẩn theo ẩn còn lại
Bước 2: Từ điều kiện của bài toán tìm miền giá trị của ẩn
Bước 3: Lựa chọn hàm số cho phù hợp
Bước 4: Khảo sát hàm số theo biến, sau đó suy ra kết quả bài toán
Chú ý: Kỹ thuật này thường áp dụng cho bài toán có 2 biến số và giả thiết cho bằng một đẳng thức.
Ví dụ 6. Cho là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Phân tích: Dễ dàng nhận thấy từ giả thiết ta có thể rút một ẩn theo ẩn còn lại, khi đó biểu thức S chỉ phụ thuộc vào 1 ẩn và ta có thể khảo sát hàm só theo ẩn này.
Giải. Ta có : với 
Đặt với 
Bảng biến thiên: 
Dựa vào BBT đạt được khi 
Nhận xét. Đây là một bài toán giải bằng phương pháp hàm số rất hay vì ta có thể đưa về hàm số một biến bằng phương pháp thế.
Ví dụ 7. Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – năm 2009
Cho và .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
Giải. Từ 
Suy ra : 
Xét hàm số: với 
Từ đó suy ra được :
 hoặc
Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy được sử dụng phương pháp hàm số sẽ cho ta một lời giải ngắn gọn hơn rất nhiều so với phương pháp truyền thống.
Ví dụ 8. Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức .
Giải.
 Theo giả thiết, ta có Khi đó, , suy ra 
Từ đó suy ra 
Ví dụ 9. Chứng minh rằng với .
Giải. Từ 
Xét hàm số: .
Bảng biến thiên: 
Từ đó suy ra: 
Dấu “=” xảy ra khi .
2.3.3. Giải pháp 3: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hàm số 1 biến.
Phương pháp giải:
Bước 1: Biến đổi bài toán để tìm ra cách đặt ẩn phụ 
Bước 2: Từ điều kiện của bài toán tìm miền giá trị của ẩn phụ
Bước 3: Lựa chọn hàm số cho phù hợp
Bước 4: Khảo sát hàm số theo biến mới, sau đó suy ra kết quả bài toán
Chú ý: Giải pháp này thường áp dụng cho những bài toán có nhiều ẩn, đây là phương pháp chính để giải các bài toán tìm GTLN, GTNN trong đề thi THPTQG hiện nay. 
Ví dụ 10. Cho là những số thực không âm thỏa mãn .
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Phân tích: Ta có thể biến đổi
nên giúp ta liên tưởng đến ẩn mới .
Giải:
Từ giả thiết ta có: . Do đó: 
Mặt khác: 
Đặt . Khi đó 
Xét hàm số: . Ta có: 	
Bảng biến thiên:
 2 3
0 + 0 -
 4
 0 0 
Từ bảng biến thiên 
Do đó max khi và .
Nhận xét: Như vậy nếu bằng biến đổi đại số mà có thể đưa về cùng một biến mới thì ta lựa chọn hàm số với biến mới đó. Vấn đề quan trọng tiếp theo là tìm điều kiện chính xác của biến. Ta thử vận dụng kỹ thuật trên với ví dụ sau:
Ví dụ 11. Cho là hai số thực thỏa mãn: . 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Phân tích: Tương tự ví dụ 10 ta có biến đổi nên dẫn tới lựa chọn một trong hai ẩn mới là hoặc . Căn cứ giả thiết bài toán ta có thể biểu diễn nên ta lựa chọn ẩn là . 
Giải:
Từ: 
Ta có: .
Đặt .
Khi đó 
Xét hàm số: 
Ta có: ; hoặc (loại)
 Có: 
Vậy: khi .
 khi .
Nhận xét: Trên đây là kỹ thuật biến đổi để đưa biểu thức về theo một biến. Đôi khi trong nhiều bài chúng ta còn phải dùng các bất đẳng thức để đưa về một biểu thức trung gian, sau đó mới biến đổi đề đưa về một biến:
Ví dụ 12. Cho và . Chứng minh rằng: .
Phân tích: Dựa vào giả thiết bài toán ta liên tưởng đến việc coi là một ẩn mới. Khi đó ta phải tìm cách biến đổi theo t, vì không biến đổi trực tiếp được nên ta phải dùng BĐT để đưa về biểu thức trung gian: . Từ đó ta có lời giải:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
Khi đó: (1)
Đặt 
Xét hàm số . 
Ta có: suy ra hàm số nghịch biến trên . Do đó hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi .
Nhận xét: Để làm được bài tập này học sinh cần nắm chắc một số bất đẳng thức, rồi vận chúng vào biến đổi về biểu thức trung gian và tìm điều kiện của ẩn. Thường là những học sinh khá giỏi mới làm được. Bài này cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy để giải.
Ví dụ 13. Cho là hai số thực dương thỏa mãn . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Phân tích: Tương tự ví dụ 12 ta có thể lựa chọn một trong hai ẩn mới là hoặc . Dùng bất đẳng thức Cauchy để biến đổi từ đó ta chọn ẩn 
Giải:
Ta có: . Do đó: 
Mặt khác:
Đặt 
Xét hàm số: trên . Ta có: 
Do đó nghịch biến trên hay . Vì vậy 
Vậy: min khi .
Nhận xét: Bài toán này sử dụng đạo hàm khá hay. Nhưng con đường đi đến việc sử dụng đạo hàm sẽ không dễ đối với những em học sinh chưa nắm chắc bất đẳng thức. Nếu biết tách, ghép hợp lý và vận dụng một số bất đẳng thức để đưa về biểu thức theo một ẩn. Bây giờ ta sẽ vận dụng kỹ thuật này giải một số đề thi tuyển sinh trong những năm gần đây:
Ví dụ 14. Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – năm 2014
Cho và .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Giải.
Do nên , nghĩa là . Tương tự, .
Suy ra 
Đặt , suy ra . Xét hàm , với .
Ta có Suy ra 
Mà nên . Do đó .
Khi thì . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là .
Ví dụ 15. Đề thi tuyển sinh Đại học khối A – năm 2014
Cho là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Giải.
Ta có , nên 
Suy ra .
Mặt khác, 
Do đó .
Đặt , suy ra và 
Do đó . Xét , với 
Ta có , nên 
Ta có . Nên khi 
Do đó . Khi và thì . 
Do đó giá trị lớn nhất của là .
Ví dụ 16. Đề thi THPT Quốc gia năm 2015
Cho các số thực thuộc đoạn và thỏa mãn điều kiện.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Giải. 
Đặt 
Ta có . Suy ra .
Mặt khác, , nên 
Và , nên Suy ra . Vậy .
Khi đó
Xét hàm số , với .
Ta có . Do đó Suy ra 
Ta có thỏa mãn điều kiện bài toán và khi đó 
Vậy giá trị lớn nhất của bằng 
Ví dụ 17. Đề thi thử trường THPT Hậu Lộc 1 năm 2016
Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
F = 
Giải.
Áp dụng Bunhiacopxki và giả thiết, ta có:
 F2 ≤ 3[6x2 + 12(y + z)] ≤ 18[x2 + 2 = 18[x2 + 2]
Xét hàm số: f(x) = x2 + 2, với x Î 
 Ta có: f’(x) = 
 f’(x) = 0 với x Î Þ x = 0, x = ± 1
Khi đó:
 f (0) = , f(1) = f(- 1) = 5, f() = f() = 3
Þ Þ F2 ≤ 18.5 = 90 Þ F ≤ 3
Dấu “=” xảy ra Û Û x = y = z = 1
Vậy maxF = 3 khi x = y = z = 1.
2.3.4. Giải pháp 4: Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
.
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 3. (HSG-NGHỆ AN) Cho các số thực thỏa mãn: .
Chứng minh rằng: . 
Bài 4. (HSG-VP-2010) Chứng minh rằng với ta có: 
Bài 5. Cho hai số dương x , y thỏa mãn : . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 6. Cho các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện và . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 7. Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 
Bài 8. Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2011. Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứ: 
Bài 9. Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – năm 2010
Cho các số thực không âm thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 10. Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – năm 2009
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
với x, y là các số thoả mãn điều kiện 
Bài 11. Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, A1 – năm 2013
Cho thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 12. Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – năm 2012
Cho thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 13. Đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2012
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 14. Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – năm 2013
Cho và .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 15. Đề thi thử trường THPT Chuyên – Đại học Vinh năm 2016. 
Tìm số thực m lớn nhất sao cho tồn tại các số thực không âm thỏa mãn:
 và .
Bài 16. Đề thi thử trường THPT Quảng Xương 4 – Thanh Hóa năm 2016. 
Giả sử là các số thực dương thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Trong năm học 2015 – 2016, tôi được nhà trường phân công dạy môn toán tại lớp 12A7. Đứng trước thực trạng học sinh rất ngại khi đối mặt với những bài toán về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, tôi đã mạnh dạn đưa vào chương trình bồi dưỡng nhóm gồm 20 học sinh khá, giỏi sử dụng phương pháp hàm số để giải lớp các bài toán trên. Và thực tế sau khi được học một cách có hệ thống và đầy đủ các kỹ thuật sử đạo hàm thì học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước những bài toán về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Qua đó học sinh còn rèn luyện được cách trình bày bài giải một cách khoa học, chặt chẽ, đầy đủ; đặc biệt còn rèn luyện cho học sinh về tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy hàm, củng cố được những kiến thức cơ bản về hàm số. 
Đây cũng là tài liệu sẽ giúp ích cho bản thân trong quá trình dạy học những năm tiếp theo; đồng thời là tài liệu tham khảo bổ ích cho đồng nghiệp, đặc biệt là những đồng nghiệp trẻ, chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy. 
Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi đã thực hiện hai bài kiểm tra trước và sau khi áp dụng, cụ thể như sau:
Đề 1 (Trước khi thực hiện chuyên đề). Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Đề 2 (Sau khi thực hiện chuyên đề). Cho x, y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n : .T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc :
Kết quả cụ thể:
Lần
kiểm tra
Sĩ số
Số học sinh giải được
Số học sinh
không giải được
SL
%
SL
%
Đề 1
20
7
35
13
65
Đề 2
20
18
90
2
10
So sánh
Tăng 55%
Giảm 55%
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Kiến thức được trình bày trong đề tài đã được giảng dạy cho các em học sinh khá, giỏi ôn thi THPT QG. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê, hứng thú.
Với chuyên đề này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp, luôn luôn không ngừng tìm tòi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại và cho học sinh các bài tập định hướng để các em học tập, tìm hiểu.
Tuy vậy, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan và khách quan nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô giáo và các em học sinh để đề tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.
3.2. Kiến nghị
- Tổ chuyên môn cần tổ chức những diễn đàn trao đổi về chuyên môn để phổ biến sáng kiến kinh nghiệm, đồng thời nghiên cứu phát triển sáng kiến theo một số hướng như: Khai thác thêm các kỹ năng đánh giá khác; Kỹ năng khảo sát theo từng biến; Ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức
- Nhà trường cần tăng cường hơn nữa những trang thiết bị hỗ trợ cho giảng dạy, tổ chức thường xuyên những hội thảo về phương pháp giảng dạy, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 21 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Nguyễn Sĩ Tam
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.
[2] Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Trần Tuấn Anh.
[3] Hướng dẫn ôn thi THPT QG năm học 2014 – 2015, 2015 – 2016.
[4] Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào ĐH – C