SKKN Sử dụng đạo hàm để giúp học sinh lớp 12 giải tốt một số bài toán cực trị có nội dung thực tiễn với việc vận dụng kiến thức liên môn

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU	1
1.1. Lý do chọn đề tài	1
1.2. Mục đích nghiên cứu	2
1.3. Đối tượng nghiên cứu	2
1.4. Phương pháp nghiên cứu	2
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI	3
2.1. Cơ sở lý luận	3
2.2. Thực trạng vấn đề	3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề	3
Dạng 1: Bài toán liên hệ với diện tích và thể tích	7
Dạng 2: Bài toán liên hệ với vật lí	10
Dạng 3: Bài toán liên hệ với quãng đường	12
Dạng 4: Bài toán liên hệ với hóa – sinh	13
Dạng 5: Bài toán liên hệ với kinh tế	14
Bài tập tự luyện	16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm	18
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ	18
3.1. Kết luận	18
3.2. Kiến nghị	19
3.3. Lời kết	19
MỘT SỐ TỪ VIẾT TẮT
HS: Học sinh
GV: Giáo viên	
THPT: Trung học phổ thông 
GDCD: Giáo dục công dân
PP: Phương pháp
BĐT: Bất đẳng thức
HSG: Học sinh giỏi
 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
 Giải toán là một hoạt động chủ yếu trong toán học. Các bài toán là một phương tiện hữu hiệu để học sinh có thể áp dụng tri thức toán học vào cuộc sống từ đó góp phần nâng cao các kỹ năng cuộc sống thông qua các tri thức lĩnh hội ở trường phổ thông. Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới với bốn tiêu chí: ‘’ Học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình’’. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học toán là không thể không đề cập đến.
 Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội. Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế, khoa học, kỹ thuật và sản xuất đòi hỏi ở con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng, ý thức để có thể vận dụng những thành tựu của toán học trong những điều kiện cụ thể mang lại hiệu quả lao động thiết thực, muốn vậy thì ngay từ bây giờ khi đang còn ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri thức toàn diện để học sinh vận dụng được các kiến thức tổng thể như: Vật lý, Hóa học, Sinh học, Công nghệ thông tin, vào học Toán để tạo ra những con người lao động tự chủ, năng động, sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được nhu cầu phát triển của đất nước, của nền kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế, dạy học toán ở trường THPT phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống, với việc vận dụng các kiến thức liên môn để tạo hứng thú nội dung bài học để cho ra đời những sản phẩm thiết thực, toàn diện hơn.
 Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập trung rèn luyện cho học sinh vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu. Còn kỹ năng vận dụng kiến thức liên môn trong Toán học vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. Những bài toán có nội dung thực tiễn liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn đang được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông. Tuy nhiên các bài toán này lại xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi THPT quốc gia, như trong đề thi THPT quốc gia môn toán năm 2017 mã đề 101 có hai câu là câu 35 và câu 41, còn năm 2018 trong mã đề 101 có ba câu là câu 27, câu 31 và câu 32. Chính vì vậy mà khi giải các bài toán có nội dung thực tiễn học sinh nói chung và học sinh lớp 12 nói riêng đang còn lúng túng và gặp khó khăn trong việc phân tích đề bài, xác định dạng bài và những kiến thức có liên quan đến bài toán, dẫn đến cách giải dài dòng, thậm chí không giải được. Việc tìm ra một phương pháp giải bài tập nhanh, độc đáo sẽ gây được hứng thú học tập, kích thích trí tò mò tìm hiểu của học sinh, đặc biệt là những phương pháp có tính vận dụng liên môn. 
 Nhận thấy việc sử dụng đạo hàm trong việc tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số rất hữu hiệu. Thông qua việc dạy học kiến thức này, ta có thể giúp học sinh giải tốt những bài toán thực tiễn khá hấp dẫn và mang nhiều ý nghĩa. Vì vậy mà tôi chọn đề tài “Sử dụng đạo hàm để giúp học sinh lớp 12 giải tốt một số bài toán cực trị có nội dung thực tiễn với việc vận dụng kiến thức liên môn” 
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học việc vận dụng các kiến thức liên môn để giải quyết.
- Phân tích và xây dựng các bài toán có nhiều nội dung thể hiện mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, các bài toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy cho học sinh ở THPT. Qua đó chúng ta thấy được ý nghĩa “Học đi đôi với hành”.
- Biết vận dụng thực tế cuộc sống vào dạy học toán.
- Góp phần nâng cao tính thực tế, hứng thú học tập cho học sinh tạo nên chất lượng dạy học bộ môn toán ở trường THPT.
- Giúp học sinh giải tốt một số bài toán cực trị có nội dung thực tiễn trong đề thi THPT Quốc Gia
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Với mục đích nghiên cứu đã nêu trên đối tượng nghiên cứu của đề tài là:
- Nghiên cứu về tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học.
- Toán học liên hệ với thực tiễn thể hiện như thế nào trong nội dung phần ứng dụng đạo hàm để giải toán.
- Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán ở chương trình THPT và vấn đề tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào để giảng dạy cùng với việc vận dụng các kiến thức liên môn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lý luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học tôi tập trung vào các phương pháp sau:
- Nghiên cứu lý luận
- Điều tra quan sát thực tiễn
- Thực nghiệm sư phạm: Phân tích kết quả học tập và lấy ý kiến của học sinh.
 2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
2.1. Cơ sở lí luận
 	 - Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới với bốn tiêu chí: học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học toán là không thể không đề cập đến.
 - Những bài toán có nội dung thực tiễn liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn đang được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông. Tuy nhiên các bài toán này lại xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi THPT quốc gia, như trong đề thi THPT quốc gia môn toán năm 2017 mã đề 101 có hai câu là câu 35 và câu 41, còn năm 2018 trong mã đề 101 có ba câu là câu 27, câu 31 và câu 32. 
 - Các vấn đề lý thuyết của Toán học từ đại số, giải tích, hình học đều xuất phát từ nhu cầu tự nhiên của thực tiễn cũng như các môn học khác. Việc tìm ra một phương pháp giải bài tập nhanh, độc đáo sẽ gây được hứng thú học tập, kích thích trí tò mò tìm hiểu của học sinh, đặc biệt là những phương pháp có tính vận dụng liên môn. 
2.2. Thực trạng vấn đề.
 - Trong chương trình toán học phổ thông rất ít các bài toán có nội dung thực tiễn được áp dụng vào đời sống chẳng hạn khi dạy bài bất đảng thức của đại số 10 cơ bản có phần ứng dụng thực tế nhưng trong SGK không có bài tập vận dụng hoặc trong bài giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số của giải tích 12 cơ bản có 3 ví dụ chiếm rất ít trong tổng thể các bài tập.
 - Nhiều học sinh nắm rất vững kiến thức toán học về mặt lý thuyết nhưng khi giải các bài toán có nội dung thực tiễn thì lại lúng túng và gặp khó khăn trong việc phân tích đề bài , xác định dạng bài và những kiến thức có liên quan đến bài toán, dẫn đến cách giải dài dòng, thậm trí không giải được.
 - Thực tế trong cách đổi mới thi cử hiện nay thì việc đưa các bài toán có nội dung thực tiễn là rất nhiều mà để giải quyết chính xác các bài toán đó thì đòi hỏi học sinh ngoài việc thành thạo các công thức toán học mà phải hiểu biết thêm về vật lí , công nghệ thông tin, hóa họckinh nghiệm để có thể suy luận giải quyết các bài toán thực tiễn một cách đầy đủ và chính xác.
 Trước thực trạng nói trên tôi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi làm thế nào để giúp học sinh khi đứng trước những bài toán có nội dung thực tiễn có thể giải quyết được một cách nhanh chóng và chính xác bằng kỹ năng toán học và bằng vốn thực tế hiểu biết cuộc sống của mình.
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 
2.3.1. Hệ thống, bổ sung những kiến thức cơ bản về toán học
*Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 a) Cho hàm số xác định trên tập D.
 + Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D nếu với mọi x thuộc D và tồn tại xo D sao cho .
 + Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D nếu 
 với mọi x thuộc D và tồn tại xo D sao cho .
 b) Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
 c) Hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng mà nó xác định.
* Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 
a) Cho hàm số xác định trên K ( K là khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn ) 
+ Hàm số đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp thuộc K mà thì .
+ Hàm số nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp thuộc K mà thì .
b) Cho hàm số có đạo hàm trên K. 
+ Nếu với mọi x thuộc K và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.
+ Nếu với mọi x thuộc K và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K.
* Một số công thức cơ bản được sử dụng : 
+ Định lí pitago: Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: BC2 = AB2 + AC2
+ Đạo hàm của các hàm số sơ cấp và hàm hợp: 
+ Thể tích của hình lăng trụ: V = h. 
+ Thể tích của hình trụ tròn xoay: V = h.
+ Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:
a) Vận tốc tức thời – gia tốc tức thời:
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t), và s = s(t) là một hàm số có đạo hàm. 
 - Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm to là đạo hàm của hàm số 
s = s(t) tại thời điểm to: 
 v(t) = s’(to)
 - gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm to là đạo hàm cấp hai của hàm số s = s(t) tại thời điểm to: 
 a(t) = v’(t) = s’’(to).
b) Cường độ tức thời: Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian Q = Q(t) (Q = Q(t) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm to là đạo hàm của hàm số Q = Q(t) tại to : 
 I(to) = Q’(to)
+ Định lý côsin: Trong tam giác ABC bất kỳ BC= a, CA= b, AB = c ta có
 a2 = b2+ c2 – 2bc.cosA
 b2 = a2+ c2 – 2ac.cosB
 c2 = a2+ b2 – 2ab.cosC
Hệ quả: , , 
2.3.2. Các kiến thức liên quan đến vật lý, sinh học, kinh tế,, các kiến thức từ khoa học 
+ Các kiến thức về vật lí: sự phân rã của chất phóng xạ. Vận tốc, gia tốc của một vật chuyển động thẳng. 
+ Các kiến thức về sinh học: khả năng nhớ trung bình của một học sinh trong một tháng. nuôi cấy sinh trưởng của một loại tế bào 
+ Các kiến thức về lĩnh vực kinh tế: bài toán lãi suất, bài toán kinh doanh,
2.3.3. Đổi mới phương pháp dạy học
- Sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh. 
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không thấy nhàm chán
2.3.4. Vài nét về phương pháp dạy học tích hợp liên môn
 - Dạy học theo hướng tích hợp liên môn là lồng ghép các nội dung cần thiết vào những nội dung vốn có của một môn học
 - Dạy học theo hướng tích hợp liên môn có tính thực tiễn nên sinh động, hấp dẫn đối với học sinh. Có ưu thế trong việc tạo ra động cơ, hứng thú học tập. Học các chủ đề tích hợp liên môn học sinh được tăng cường vận dụng kiến thức tổng hợp vào giải quyết các tình huống thực tiễn
 - Dạy học theo hướng tích hợp liên môn giáo viên có thể tích hợp các nội dung ở các môn học khác nhau, hoặc các kiến thức khác nhau liên quan đến bài giảng để truyền tải đến cho học sinh những chủ đề giáo dục lồng ghép thông qua đó không những truyền đạt kiến thức cho học sinh mà còn rèn luyện kỹ năng sống, giá trị sống cho học sinh.
 - Dạy học theo hướng tích hợp liên môn không phải là tích hợp đa môn. 
Ví dụ: Khi đưa ra số liệu là tích hợp được môn toán, trình chiếu bài giảng trên máy tính là tích hợp môn tin học, dùng các từ khoá Tiếng Anh là tích hợp môn Ngoại Ngữ, thông tin cảnh báo là tích hợp môn GDCD, 
 - Dạy học theo hướng tích hợp liên môn không phải bài nào cũng dạy được mà nó phải được dạy theo từng nội dung giảng dạy cần thiết và phải trả lời được câu hỏi học để làm gì ? (Học để biết, Học để hiểu, Học để làm, Học để chung sống, Học để làm người) 
2.3.5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải
 Việc phân loại các dạng bài tập cùng với phương pháp giải là vô cùng cần thiết, sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán nó sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp giải các bài tập cơ bản, trên cơ sở đó việc tìm ra một phương pháp giải bài tập nhanh, độc đáo sẽ gây được hứng thú học tập, kích thích trí tò mò tìm hiểu của học sinh. 
Đặt vấn đề: 
Từ một miếng tôn có dạng là nửa đường tròn bán kính 1m, người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhêu ?
 Giải:
Ta xem miếng tôn cần cắt là một hình chữ nhật ABCD.
 Đặt BC = x (0 < x < 1) OC = DC = 2
 SABCD = 2.x. 
Đến đây ta có 2 cách làm
Cách 1: 
 Ta có SABCD = 2.
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số: x2 và (1 - x2)
Ta có : x2 + (1 - x2) 2. 
 SABCD lớn nhất = 1 x2 = (1 - x2) x = 
Cách dùng bất đẳng thức Cô-si là một cách hay nhưng nó cũng là một nhược điểm bởi nhắc đến bất đẳng thức nó là một dạng toán khó và ngay cả học sinh có lực học khá, giỏi cũng cảm thấy e ngại và gặp khó khăn khi giải bài toán dù ta thấy bài toán được giải khá đơn giản khi áp dụng theo bất đẳng thức Cô-si.
Tuy nhiên cách giải quyết bài toán theo cách 2 sau đây khá dễ hiểu và ngay cả một học sinh có lực học trung bình khá cũng có thể giải tốt bài toán và hơn thế nữa phương pháp này có thể giải quyết tốt nhiều bài toán thực tiễn ở các dạng khác nhau.
Cách 2 : sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 
Xét hàm số 
 f(x) = 2.x. trên khoảng 
 f’(x) = 
từ đó ta có bảng biến thiên
 x
 0	 1	 
 f’(x)
 + 0	-
 f(x)
1
 Max y = 1 vậy SABCD lớn nhất = 1
Dạng 1: Bài toán liên hệ với diện tích và thể tích.
Ví dụ 1: (Đề minh họa 2017) 
Có một tấm nhôm hình vuông cạnh Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm để hình hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
 Giải
Độ dài cạnh đáy của cái hộp: 
Diện tích đáy của cái hộp: .
Thể tích cái hộp là: 
 với 
Ta có: 
Cho , giải và chọn nghiệm 
Lập bảng biến thiên ta được khi 
Ví dụ 2:
Ông A dự định sự dụng hết 6,5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?
 Giải 
Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể cá lần lượt là x, 2x, y ( x, y > 0)
Diện tích phần lắp kính là: 
2x.x + 2xy + 2.2x.y = 2x2 + 6xy = 6,5 
Thể tích bể cá là: V = 2x.x.y = 2x 
Thể tích bể cá là: V = 2x.x.y = 2x = với 0 < x < 
V’ = V’ = 0 
Ta có bảng biến thiên: 
 x
 0	 
 f’(x)
 + 0 -
 f(x)
0
0
Vậy Max V = 
Ví dụ 3: Từ một khúc gỗ hình trụ, cần xẻ thành một chếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất ?
 Giải: 
Gọi x, y là chiều rộng, chiều dài của miếng phụ như hình vẽ. Gọi d là đường kính của khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện ngang của thanh xà có cạnh là: và 
 0 < x < 
Gọi x, y là chiều rộng, chiều dài của miếng phụ như hình vẽ. Gọi d là đường kính của khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện ngang của thanh xà có cạnh là: và 
 0 < x < 
Theo bài ra ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, Theo định lí pitago ta có:
Suy ra S = S(x) = .x., với 0 < x < với S là diện tích một miếng phụ.
Áp dụng đạo hàm vào hàm 
 S = S(x) = .x., với 0 < x < 
Ta có S lớn nhất khi và chỉ khi 
x
y
 Ví dụ 4:Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này,- đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học ? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)
 Giải
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy; . Xét hàm số . Ta có = + 1 = .
= 0 , khi đó y = = .
Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của mương là , y = thì mương có dạng thuỷ động học.
Ví dụ 5:(Trích đề minh họa HSG Phú Thọ 2016 – 2017)
Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mồi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ (bờ sông là đường DC không phải rào). Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu m2 ?
 Giải
Đặt AA’ = h, CD = x, ta có AB = AD = BC = a AD2 = AA’2 + A’D2
Diện tích mảnh vườn S = 
 Áp dụng đạo hàm ta tìm được diện tích lớn nhất của mảnh vườn S = khi x = 2a. 
Dạng 2: Bài toán liên hệ với vật lí.
Ví dụ 1:
Một chất điểm chuyển động theo quy luật , với (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Khi đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên bằng:
 Giải: 
Áp dụng công thức tính đạo hàm ta có : v(t) = s’(t)
 = -3t2 + 12t + 17
Xét hàm số f(t) = -3t2 + 12t + 17 trên đoạn [0;8] 
Ta có f’(t) = - 6t + 12 = 0 t = 2 [0;8]
 f(0) = 17, f(2) = 29, f(8) = -79
Vậy Max f(t) = 29 vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên bằng 29 (m/s)
Ví dụ 2:
Một nguồn điện với suất điện động E và điện trở r được nối với một biến trở R. Với giá trị nào của biến trở thì công suất tỏa nhiệt ở mạch ngoài sẽ đạt cực đại ?
 Giải:
Áp dụng công thức: P = R.I2 với 
Xét hàm số : f(x) = trên khoảng 
 f’(x) = 
từ đó ta có bảng biến thiên
0
f(x)
+
 r
+
_
f(r)
0
x
f'(x)
 Max y = f(r) R = r, vậy P lớn nhất R = r
Ví dụ 3: 
Một con cá bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vựơt khoảng cách 300km (tới nơi sinh sản). Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong thời gian t giờ cho bởi công thức E(v) = cv3t, trong đó c là hằng số cho trước; E tính bằng jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng bao nhiêu ?
 Giải: 
Vận tốc của con cá khi bơi ngược dòng: v - 6 (km / h),(v 6).
Theo thời gian con cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản: t = .
Năng lượng tiêu thụ của con cá khi bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản:
 E(v) = 
Bài toán trở thành tìm v để E(v) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: 
 E’(v) = 
Lập bảng biến thiên của hàm số y = E’(v) trên khoảng 
Ta có Emin đạt được tại v = 9. Vậy vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng v = 9 (km / h).
 Nhận xét:
Đối với bài toán này có rất nhiều em tính nhầm hàm E(v) = và sẽ chọn được v = 6 km / h đó là lựa chọn sai vì vận tốc v trong biểu thức 
E(v) = là vận tốc thực của con cá khi di chuyển, còn t là thời gian con cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản ứng với vận tốc của con cá đã trừ đi vận tốc dòng nước.
Dạng 3: Bài toán liên hệ với quãng đường
Ví dụ 1
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí có khoảng cách đến bờ biển .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng .Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến trên bờ biểnvới vận tốc rồi đi bộ đến với vận tốc .Vị trí của điểm cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?
 Giải
Đặt .
Ta có: Thời gian chèo đò từ đến là: 
Thời gian đi bộ đi bộ đến là: 
Thời gian từ đến kho 
Khi đó: , cho 
Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi 
Ví dụ 2:
O
A
C
B
1,4
1,8
Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. 
Hãy xác định vị trí đó ? ( gọi l